第一节数列的概念_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮 第 1 节 数列的概念 考向一 数列的通向公式与递推公式 一、数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的 第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a 表示，第1项也叫做首项；第二个位置上的数叫做 1 这个数列的第2项，用a 表示；……；第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a 表示．类比函数中 2 n 的定义域，容易得到数列中项的下角标nN． 2． 数列的一般形式可以写成a ，a ，a ，…，a ，…，简记为 a ． 1 2 3 n n 二、数列的分类 分类标准 名称 含义 有穷数列 项数有限的数列 按项的个数 无穷数列 项数无限的数列 三、数列的通项公式与递推公式 1．如果数列{a }的第n项a 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子a  f(n)来表示，那么这个式子 n n n 叫做这个数列的通项公式．有的数列不止有一个通项公式（可类比相同函数），例如； 0,1,0,1, ，这个数 0,n为奇数 列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成a  ，也可 n 1,n为偶数 1＋－1n 1＋cosnπ 以写成a ＝ (n∈N*)或a ＝ (n∈N*)．有的数列没有通项公式，比如无理数e和中的数依 n n 2 2 次排成的数列． 2．通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离 散的数的函数． 3．递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，比如数列 a 满足： n a 1，a 1且a a a （n3），那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 1 2 n n2 n1 【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）4，6，8，10，； （2）1，3，6，10，15，； 2 4 6 8 10 （3） ， ， ， ， ，； 3 15 35 63 99 （4）2，3，5，9，17，33，； （5）3，0，3，0，3，0，3，0，．； （6）8，88，888，8888，；MST老唐说题26版一轮 【例2】401是数列5，9，13，17中的第几项( ) A．第98项 B．第99项 C．第100项 D．第101项 1，n＝1， 【例3】设数列{a }满足a ＝ 1 n n 1＋ ，n≥2，n∈N*. a n－1 写出这个数列的前5项． 考向2 数列的前n项和S （积T ）与a 的关系 n n n 题型1 数列的前n项和S 与a 的关系 n n 1．把数列{a }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a }的前n项和，记作S ，即S ＝a ＋a ＋…＋ n n n n 1 2 a ． n S ,n1 2．a  1 ． n S S ,n2 n n1 S ,n1 3．已知S 与n的关系式，记为S  f  n ，它可由阶差公式a  1 直接求出通项a ，但要 n n n S S ,n2 n n n1 注意验证n1与n2两种情况能否统一，具体分三步进行： (1)n1时，由a  S ，求a 的值； 1 1 1 (2)n2时，由a S S ，求得a 的表达式； n n n1 n (3)检验a 的值是否满足（2）中a 的表达式． 1 n ①若满足，则合写； S ,n1 ②若不满足，则写成分段函数的形式：a  1 ． n S n S n1 ,n2MST老唐说题26版一轮 4．前n项和S 与通项a 的关系 n n （1）S an2 bn  {a }为等差数列，a 2anba． n n n  abc,n1 （2）S an2 bnc（c0） a  ，即{a }从第二项开始为等差数列． n n 2anba,n2 n 注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！ 【例1】已知数列{a }的前n项和为S n2 2n．求数列{a }的通项公式． n n n 【例2】已知数列{a }的前n项和为S n2 2n1．求数列{a }的通项公式． n n n 【例3】在正项数列{a }中，S 为其前n项和，且S2 (n2 n1)S (n2 n)0，求通项公式a ． n n n n n 【例4】数列{a }的前n项和S (1)n1n，求数列的通项公式a ． n n n 题型2 数列的前n项积T 与a 的关系 n n 1．把数列{a n }从第1项起到第n项止的各项之积，称为数列{a n }的前n项积，记作T n ，即T n a 1 a 2 a n ． T ,n1  1 2．a n  T n ,n2 ．  T n1 T ,n1 3．已知T n 与n的关系式，记为T n  f  n ，它可由阶商公式a n    T 1 n ,n2 直接求出通项a n ，但要注意  T n1 验证n1与n2两种情况能否统一，具体分三步进行： T (1)n1时，由a T ，求a 的值；(2)n2时，由a  n ，求得a 的表达式； 1 1 1 n T n n1MST老唐说题26版一轮 (3)检验a 的值是否满足（2）中a 的表达式． 1 n ①若满足，则合写； T ,n1  1 ②若不满足，则写成分段函数的形式：a n  T n ,n2 ．  T n1 【例1】已知数列{a }的前n项积T 2n22n．求{a }的通项公式． n n n 考向3 数列的性质 题型1 数列的单调性与最值问题 一般地，一个数列{a }，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a a 0，那么这个数列叫做 n n1 n 递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a a 0，那么这个数列叫做递减数列．如 n1 n 果数列{a }的各项都相等，即a a 0，那么这个数列叫做常数列． n n1 n 1．利用定义法判断数列的单调性 （1）作差比较法，即较a a 与0的大小 n1 n a a 0 a a 0 a a 0 n1 n n1 n n1 n 单调性  a 是递增数列  a 是递减数列  a 是常数列 n n n a （2）作商比较法，即比较 n1 与1的大小 a n a a a n1 1 n1 1 n1 1 a a a n n n a 0  a 是递增数列  a 是递减数列 n n n a 0  a 是递减数列  a 是递增数列  a n 是常数列 n n n （3）转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．常见的数列母函 数有一次函数、二次函数、分式函数、分段函数、类指数函数等等． 【例1】数列 a 的通项公式为a 32n2 23n1，nN．求证： a 为递增数列． n n nMST老唐说题26版一轮 n 【例2】已知数列{a }的通项公式a  (nN )， n n n2 1  （1）求证：0a 1； n （2）判断{a }是递增数列还是递减数列，并说明理由． n 2．利用数列的单调性求参数的取值范围 常利用以下等价关系：数列 a 递增⇔a a 恒成立；数列 a 递减⇔a a 恒成立，通过分离变量法 n n1 n n n1 n 转化为代数式的最值来解决． 【例3】已知数列{a }是单调递增数列，a m(2n 1)n2，nN*，则实数m的取值范围为( ) n n 3 A．(2,) B．(1,2) C．( ,) D．(2,3) 2 3．求数列中的最大(小)项问题 （1）先利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值． （2）构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值． a a a a （3）利用“两边夹”， n n1(n2)求数列中的最大项a ；利用 n n1(n2)求数列中的最小项a ． a n a n1 n a n a n1 n 注：适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【例4】已知数列 a 中，a n2 n，nN． n n （1）若 a 是递增数列 ，求λ的取值范围； n （2）若 a 的第7项是最小项，求λ的取值范围． nMST老唐说题26版一轮 【例5】已知数列{a }的通项公式为a n2 21n，求该数列的最大项． n n 9n(n1) 【例6】已知a  (nN*)，则数列{a }中有没有最大项？如果有，求出最大项； n 10n n 如果没有，请说明理由． 题型2 数列的周期性 1．定义 类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列{a }，如果存在一个常数T (TN)，使得对任意的正整 n 数n  n 恒有a  a 成立，则称数列{a }是从第n 项起的周期为T 的周期数列．若n 1，则称数列 0 nT n n 0 0 {a }为纯周期数列，若n  2，则称数列{a }为混周期 n 0 n 数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期． 2．常见的周期数列 以下类型针对非常数数列，即a a ． n n1 类型一 邻项等和 ①若a a k ，则T 2；特别地a a 0，则T 2； n n1 n n1 ②若a a a k ，则T 3；特别地a a a 0，则T 3； n n1 n2 n n1 n2 类型二 邻项等积 ①若a a k(k 0)，则T 2；证明：a a k，两式作商得a a ． n n1 n1 n2 n2 n 特别地a a 1，则T 2； n n1 ②若a a a k(k 0)，则T 3；证明同上． n n1 n2 特别地a a a 0，则T 3； n n1 n2MST老唐说题26版一轮 类型三 错号等值 ①若a a a k ，则T 6；证明类比类型一． n2 n1 n 特别地a a a 0，则T 6； n2 n1 n ②若a a a k(k 0)，则T 6；证明类比类型二． n2 n1 n a 特别地a a a 1，即a  n1 ，则T 6； n2 n1 n n2 a n 类型四 一次分式之T 2 aa b 若a  n ，其中ad 0，则T 2． n1 ca d n k 特别地，若ad 0，即为前面类型二（邻项之积a  ） n1 a n 类型五 一次分式之T 3 aa b 若a  n ，其中(ad)2 ad bc，则T 3． n1 ca d n 类型六 一次分式之T 4 aa b 若a  n ，其中(ad)2 2(ad bc)，则T 4． n1 ca d n 类型七 一次分式之T 6 aa b 若a  n ，其中(ad)2 3(ad bc)，则T 6． n1 ca d n 【例1】在数列 a 中，a 2，a 1a  nN ，设S 为数列 a 的前项和，则 n 1 n1 n  n n S 2S S  （ ） 2022 2023 2024 A．3 B．2 C．3 D．2 1 1a 【例2】若数列{a }满足a  ，a  n (nN )，则该数列的前2025项的乘积a a a a n 1 2 n1 1a  1 2 3 2025 n 等于( ) 3 1 A．2023 B．2024 C． D． 2 2MST老唐说题26版一轮 1 【例3】已知数列 a 中，a b(b0)，a  (nN)则能使a b的n的数值是（ ） n 1 n1 a 1 n n A．14 B．15 C．16 D．17 3a 1 【例4】已知实数列{a }满足a  a（a为实数），a  n1 (nN)，求a ． n 1 n 2024 3a n1