第一节直线与圆_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第九章

MST老唐说题26版一轮 9.1 直线与圆 考向 1 直线与方程 题型1 倾斜角、斜率、直线方程 一．直线与方程 1．直线的倾斜角和斜率 若直线l与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l重合所成的角称为直线l的倾斜 角， （1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[0，) 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为k tan  （3）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 2 （4） k 越大，直线越陡峭 2.过两点的直线斜率公式 y y 已知直线上任意两点，A(x ，y )，B(x ，y ) 则k  2 1 1 1 2 2 x x 2 1 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若x x ，则直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 1 2 （四）三点共线 两直线AB，AC 的斜率相等→A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线，则直线AB，AC 的斜率相 等（斜率存在时）或斜率都不存在． 3．直线的方程 （一）直线的截距 若直线l与坐标轴分别交于(a ，0)，(0，b) ，则称a，b分别为直线l的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距 离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 （二）直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy kxx  不含垂直于x轴的直线 1 1 斜截式 ykxb 不含垂直于x轴的直线 yy xx 两点式 1  1 不含直线 xx (x x ) 和直线 yy (y  y ) y y x x 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x y 截距式  1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 a b 一般式 AxByC0(A2 B2 0) 平面直角坐标系内的直线都适用MST老唐说题26版一轮 题型一 求直线斜率和方程 【例1】已知直线ax2y4的倾斜角为135，则a( ) A．2 B．1 C．1 D．2 3 【例2】若经过A(m1,3)，B(m,1m)两点的直线的倾斜角是 ，则m( ) 4 A．3 B．1 C．1 D．3 【例3】在下列四个命题中，正确的是( ) A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大 B．过点P(x ，y )的直线方程都可以表示为：y y k(xx ) 0 0 0 0 C．经过两个不同的点P(x ，y )，P(x ，y )的直线方程都可以表示为：(y y )(x x )(xx )(y  y ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x y20 【例4】已知点A(2,0)，B(0,4)，若过P(6,8)的直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围为( ) A．k1 B．k2 C．k2或k1 D．1k2  【例5】已知直线l:(2m1)x(m1)ym0经过定点P，直线l经过点P，且l的方向向量a (3,2)， 则直线l的方程为( ) A．2x3y50 B．2x3y50 C．3x2y50 D．3x2y50 【例6】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）求经过A(1,5)、B(2,1)两点的直线方程； （2）求在x轴、y轴上的截距分别是3、1的直线方程； （3）求经过点Q(1,2)且斜率为2的直线方程．MST老唐说题26版一轮 （三）直线系问题 概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系．它的方程称直线系方程． （1）过定点直线系 过已知点P(x ，y )的直线系方程y y k(xx )（k为参数）． 0 0 0 0 （2） 斜率为定值直线系 斜率为k的直线系方程ykxb（b是参数）． （3）平行直线系 与已知直线AxByC 0平行的直线系方程AxBy0（为参数）． （4）垂直直线系 与已知直线AxByC 0垂直的直线系方程BxAy0（为参数）． （5）过两直线交点的直线系 过直线l :AxB yC 0与l :A xB yC 0的交点的直线系方程： 1 1 1 1 2 2 2 2 AxB yC (A xB yC )0（为参数）．（重点掌握） 1 1 1 2 2 2 【例7】已知直线l :x y20与l :2x3y30，求经过的交点且与已知直线3x y10平行的直线 1 2 L的方程． 【例8】求证：m为任意实数时，直线(m1)x(2m1)ym5恒过一定点P，并求P点坐标． 【例9】求过直线：x2y10与直线：2x y10的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 题型2 位置关系 直线l ：yk xb ，直线l ：yk xb ，若l //l ，则k k ；若l l ，则k k 1.（此处注意与 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 向量的区别） 1 1 【例1】“m1”是“直线l :mx2y10与直线l : xmy 0平行”的( ) 1 2 2 2 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】直线l 1 :ax(a1)y10，l 2 :(a1)x2y30，若l 1 l 2， 则a ．MST老唐说题26版一轮 题型3 距离问题 （一）两点间距离 设A(x ，y)，B(x ，y )，则 AB  (x x )2(y y )2． 1 1 2 2 1 2 1 2 Ax By C （二）点到直线距离 设P(x ，y )，l:AxByC 0，则点P到直线l的距离d  0 0 ． 0 0 A2 B2 C C （三）两平行线间距离 l :AxByC 0，l :AxByC 0，则l ，l 的距离为d  1 2 ． 1 1 2 2 1 2 A2 B2 【例,1】已知点P(1,2)到直线l:4x3ym0的距离为1，则m的值为( ) A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 【例2】已知直线l :x2y20，l :2x4y30相互平行，则l 、l 之间的距离为( ) 1 2 1 2 5 5 2 5 5 A． B． C． D． 10 5 5 2 【例3】（2020•新课标Ⅲ）点(0,1)到直线yk(x1)距离的最大值为( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 【例4】求函数y= x2 9 + x2 8x41的最小值． 【例5】已知两点A(2,3)、B(4,1)，直线l:x2y20，在直线l上求一点P． （1）使 PA  PB 最小； （2）使 PA  PB 最大． 【例6】（2014•四川）设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的直线mxym30交于点 P(x,y)，则|PA||PB|的取值范围是( ) A．[ 5，2 5] B．[ 10，2 5] C．[ 10，4 5] D．[2 5，4 5]MST老唐说题26版一轮 1 【例7】（多选）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y (x0)图象上一动点．若点P， x A之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为( ) A． 10 B． 10 C．1 D．1 题型4 对称问题 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(x, y)关于x轴的对称点为(x, y)． （2）点(x, y)关于y轴的对称点为(x, y)． （3）点(x, y)关于原点的对称点为(x, y)． （4）点(x, y)关于直线x－y=0的对称点为(y,x)． （5）点(x, y)关于直线x+y=0的对称点为(y, x)． （6）点(x, y)关于直线x－y+c=0的对称点为(yc,xc)． （7）点(x, y)关于直线x+y+c=0的对称点为(c y,c x)． （一）点关于直线对称 点P(x ，y )关于直线l:AxByC 0对称的点为P(x ，y )，连接PP，交l于M 点，则l垂直平分PP， 1 1 2 2 k k 1  l PP 所以PPl ，且M 为PP中点，又因为M 在直线l上，故可得 x x y  y ，解出(x ，y ) A 1 2 B 1 2 C 0 2 2  2 2 即可． 策略：点关于直线对称的妙解公式，设点P(x ，y )关于直线l:AxByC 0 1 1 Ax By C 对称的点为P(x ，y )，则P(x ，y )坐标为(x 2At，y 2Bt)，其中t  1 1 ． 2 2 2 2 1 1 A2 B2 定理1：点A(x ,y )关于直线l:xm对称的点坐标为A 2m x ,y ． 0 0 0 0 点A(x ,y )关于直线l:yn对称的点坐标为A x ,2n y ． 0 0 0 0 直线l :AxByC 0关于直线l:xm对称的直线方程为l :A  2m x  ByC 0． 1 2 直线l :AxByC 0关于直线l:yn对称的直线方程为l :Ax B  2n y C 0． 1 2 直线l :AxByC 0关于点(m，n)对称的直线方程为l :A(2mx)B  2n y C 0． 1 2 定理2：点A  x ,y 关于直线l:x yC 0对称的点坐标为AC  y ,C  x ． 0 0 0 0 点A  x ,y 关于直线l:x yC 0对称的点坐标为AC y ,Cx ． 0 0 0 0 直线l :AxByC0关于直线l:x yC 0对称的直线方程为l :A C y B Cx C0； 1 2 直线l :AxByC0关于直线l:x yC 0对称的直线方程为l :A C y B  Cx C0； 1 2 x  yC 0 yCx x  yC 0 yCx 关于定理2，只需记住 0  0 或者 0  0 x y C 0 xC y x y C 0 xC y 0 0 0 0MST老唐说题26版一轮 【例1】已知点M(a,b)与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y0对称， 则点Q的坐标为（ ） A．(a,b) B．(b,a) C．(a,b) D．(b,a) 【例2】点(1,2)关于直线x2y20的对称点坐标是( ) A．(1,4) B．(3,2) C．(0,4) D．(1,6) 【例3】已知直线l : x  y  1  0 ，试求：①点P(4,5)关于l 的对称坐标；②直线l : y  2x  3 关于 1 直线l 的对称的直线方程． 【例4】设直线l :x2y20与l 关于直线l:2xy40 对称，则直线l 的方程是( ) 1 2 2 A．11x2y220 B．11x y220 C．5x y110 D．10x y220 【例5】如图，在直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射到y轴 上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程为 ．MST老唐说题26版一轮 考向 2 圆与方程 题型1 圆的方程 1．圆的方程 （1）圆的定义 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 （2）圆的标准方程 设圆心的坐标C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为：(xa)2 (yb)2 r2 （3）圆的一般方程 D E 1 圆方程为x2  y2 DxEyF 0，圆心坐标：( ， )，半径：r D2 E2 4F 2 2 2 ①x2，y2的系数相同，方程中无xy项 ②对于D、E、F的取值要求：D2 E2 4F 0 ③以A(x ，y )，B(x ，y ) 为直径端点的圆的方程为(xx )(xx )(y y )(y y )0 1 1 2 2 1 2 1 2 （4）确定圆心的位置： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上． ②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． ③两圆相切时，切点与两圆圆心共线． （5）求圆方程的方法： ①几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 ②待定系数法： a．根据题意，选择标准方程或一般方程； b．根据条件列出关于a，b，r或D，E，F 的方程组； c．解出a，b，r或D，E，F ，代入标准方程或一般方程 ③相关点法（代入法） 若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点P(x，y)，用点P的坐标表 示出来点Q，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代 入法）． ④换元法（参数方程法） 若圆心为点M(x ，y )，半径为r ，则可将圆上的点换元为为(x rcos，y rsin) ．其中为参数， 0 0 0 0 02． 【例1】“k 4”是“方程x2  y2 kx(k2)y50表示圆的方程”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件MST老唐说题26版一轮 【例2】（2022•甲卷）设点M 在直线2x y10上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为 ． 【例3】（2022•乙卷）过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 ． 【例4】已知圆C 经过(2,3)，(4,3)，(1,0)三点． （1）求圆C的方程；   （2）设点A在圆C上运动，点B(7,6)，且点M 满足AM 2MB，记点M 的轨迹为，求的方程． 题型2 位置关系 2．位置关系 （1）点与圆的位置关系 法一 点M(x ，y )与圆O：(xa)2 (yb)2 r2的位置关系： 0 0 若M(x ，y )在圆外，则(x a)2 (y b)2 r2 ；若M(x ，y )在圆上，则(x a)2 (y b)2 r2 ； 0 0 0 0 0 0 0 0 若M(x ，y )在圆内，则(x a)2 (y b)2 r2． 0 0 0 0 法二 点M(x ，y )与圆O：(xa)2 (yb)2 r2的位置关系： 0 0 若M(x ，y )在圆外，则|OM |r ，若M(x ，y )在圆上，则|OM |r ，若M(x ，y )在圆内，则|OM |r 0 0 0 0 0 0 （2）直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点；直线与圆相切，只有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点． （3）判断直线与圆的位置关系的方法 几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．相交d r；相切d r；相离d r 代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x的一元二次方程Ax2 BxC 0 0相交  则判别式B2 4AC0 相切   0相离MST老唐说题26版一轮 （4）圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r ，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d Rr d  Rr Rrd Rr d Rr d Rr 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【例1】（2024北京卷）求圆x2  y2 2x6y 0的圆心到x y20的距离（ ） A. 2 3 B.2 C. 3 2 D. 6 【例2】（2022•北京）若直线2x y10是圆(xa)2  y2 1的一条对称轴，则a( ) 1 1 A． B． C．1 D．1 2 2 【例3】（2024•港澳台高考）圆x2 (y2)2 4与圆(x2)2 (y1)2 9交于A，B两点，则直线AB的方 程为( ) A．2x3y20 B．3x2y20 C．3x2y20 D．2x3y20 【例4】（2021•多选•新高考Ⅱ）已知直线l:axbyr2 0与圆C:x2  y2 r2，点A(a,b)，则下列说法正 确的是( ) A．若点A在圆C 上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C 外，则直线l与圆C 相离 C．若点A在直线l上，则直线l与圆C 相切 D．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 【例5】（2016•山东）已知圆M :x2  y2 2ay0(a0)截直线x y0所得线段的长度是2 2，则圆M 与 圆N:(x1)2 (y1)2 1的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离MST老唐说题26版一轮 题型3 切线问题与弦长问题 （1）圆的切线方程的求法 ①点M(x ，y )在圆上， 0 0 法一 利用切线的斜率k 与圆心O和切点M 连线的斜率k 的乘积等于1，即k k 1． l OM OM l 法二 圆心O到直线l的距离等于半径r ． ②点M(x ，y )在圆外，则设切线方程： 0 0 yy k(xx )，变成一般式 kxyy kx 0 ，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k． 0 0 0 0 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一 条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆x2  y2 r2上一点P(x ，y )的切线方程是x x y yr2； 0 0 0 0 过圆(xa)2 (yb)2 r2上一点P(x ，y )的切线方程是(x a)(xa)(y b)(yb)r2． 0 0 0 0 过圆x2  y2 r2外一点P(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x y yr2 0 0 0 0 x x 过曲线上P(x ，y )，做曲线的切线，只需把x2替换为x x，y2替换为 y y，x替换为 0 ，y替换为 0 0 0 0 2 y  y 0 即可，因此可得到上面的结论． 2 4．弦长问题 l ①利用垂径定理：半径r ，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系r2 d2 ( )2，这也是求弦长最常 2 用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦 长． ③利用弦长公式：设直线l:ykxb，与圆的两交点(x ，y )，(x ，y ) ，将直线方程代入圆的方程， 1 1 2 2  消元后利用根与系数关系得弦长：l 1k2|x x | (1k2)[(x x)24xx] (1k2) ． 1 2 1 2 1 2 a 【例1】（2018•新课标Ⅰ）直线yx1与圆x2  y2 2y30交于A，B两点，则|AB| ． 【例2】（2024•甲卷）已知a，b，c成等差数列，直线axbyc0与圆C:x2 (y2)2 5交于A，B两 点，则|AB|的最小值为( ) A．1 B．3 C．4 D．2 5MST老唐说题26版一轮 【例3】（2023•新高考Ⅱ）已知直线xmy10与C:(x1)2  y2 4交于A，B两点，写出满足“ABC 8 面积为 ”的m的一个值 ． 5 【例4】（2023•新高考Ⅰ）过点(0,2)与圆x2  y2 4x10相切的两条直线的夹角为，则sin( ) 15 10 6 A．1 B． C． D． 4 4 4 【例5】过点P(2,4)引圆(x1)2 (y1)2 1的切线，则切线的方程为( ) A．x2或4x3y40 B．4x3y40 C．x2或4x3y40 D．4x3y40 【例6】已知圆M :(x1)2 (y2a)2 ( 21)2与圆N:(xa)2 y2 ( 21)2有两条公切线，则实数a的 取值范围是( ) 7 2 A．(1,1) B．( ,0)( ,1) 5 3 3 7 3 C．(1, ) D．( ,1)( ,1) 5 5 5 【例7】（2023•乙卷）已知O的半径为1，直线PA与O相切于点A，直线PB与O交于B，C两点，   D为BC的中点，若|PO| 2，则PAPD的最大值为( ) 1 2 12 2 A． B． C．1 2 D．2 2 2 2MST老唐说题26版一轮 【例8】（2021•多选•新高考Ⅰ）已知点P在圆(x5)2 (y5)2 16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( ) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当PBA最小时，|PB|3 2 D．当PBA最大时，|PB|3 2 【例9】已知AB为圆O:x2  y2 49的弦，且点M(4,3)为AB的中点，点C为平面内一动点，若 AC2 BC2 66，则( ) A．点C构成的图象是一条直线 B．点C构成的图象是一个圆 C．OC的最小值为2 D．OC的最小值为3 题型4 动点与距离问题 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形 结合求解． yb （1）形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题． xa （2）形如t axby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． (xa)2 (yb)2 (a，b) （3）形如 型的最值问题，可转化为动点到定点 的距离的平方的最值问题 【例1】直线x y20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x2  y2 4x20，则PAB面积 的取值范围是( ) A．[ 2,3 2] B．[2 2,3 2] C．[2，6] D．[4，12] 【例2】（2023•乙卷）已知实数x，y满足x2  y2 4x2y40，则x y的最大值是( ) 3 2 A．1 B．4 C．13 2 D．7 2MST老唐说题26版一轮 【例3】已知直线l:2xym0 上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆C:x2  y2 2x4y20分 别切于点M ，N，且MAN 120，则实数m的取值范围是( ) A．[ 52, 52] B．[2 54,2 54] C．[ 152 3, 152 3] D．[0, 152 3] 【例4】若直线y xb与曲线y3 4xx2 有公共点，则b的取值范围是( ) A．[1,12 2] B．[12 2,12 2] C．[12 2,3] D．[1 2,3] 【例5】（多选）已知实数x，y满足方程x2  y2 4y10，则下列说法正确的是( ) A．yx的最大值为 62 B．x2  y2的最大值为2 3 y 3 C．x y的最大值为 62 D． 的最大值为 x 3MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 阿氏圆 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(0,1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯 圆”．特殊地，当1时，点P的轨迹是线段AB的中垂线． 求证：已知动点P与两定点A、B的距离之比为(0)，那么点P的轨迹是什么？ 证明： 【例1】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之 比为定值(1)的点所形成的图形是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy中， |PA| 1 A(2,0)，B(4,0)，点P满足  ．当P、A、B三点不共线时，PAB面积的最大值为( ) |PB| 2 A．24 B．12 C．6 D．4 3 【例2】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆 锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研 |MQ| 究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q、P的距离之比 (0,1)，那么点M 的轨迹就 |MP| 1 是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2  y2 1，定点Q为x轴上一点，P( ,0) 2 且2，若点B(1,1)，则2|MP||MB|的最小值为( ) A． 6 B． 7 C． 10 D． 11MST老唐说题26版一轮 拓展2 米勒定理与角度问题 米勒定理：已知点M ，N是AOB的边OA上的两个定点，点P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形 MPN 的外接圆与边OB相切于点P时，ÐMPN 最大． 证明：如图，设P'是边OB上不同于点P的任意一点，连结P'M,P'N ，PN’交圆于点C,因为MP'N 是圆外角，ÐMPN 是圆周角，易证MP'N MCN MPN ,故MPN 最大． 根据切割线定理得，OP2 OM ON ，即OP OM ON ，于是我们有：MPN 最大等价于三角形MPN 的 外接圆与边OB相切于点P OP2 OM ON 等价于OP OM ON. 【例1】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N是锐角AQB的一边QA上的两点，试在边QB上 找一点P，使得MPN 最大．”如图，其结论是：点P为过M ，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的 切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(0,2)，N(2,4)，点P在x轴上 移动，当MPN 取最大值时，点P的横坐标是( ) A．2 B．6 C．2或6 D．1或3 【例2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理” )：若点A，B是MON 的 OM 边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与边ON相切于点C时，ACB 最大．在平面直角坐标系中，已知点D(2,0)，E(4,0)，点F 是y轴负半轴的一个动点，当DFE 最大时， DEF 的外接圆的方程是( ) A．(x3)2 (y2 2)2 9 B．(x3)2 (y2 2)2 9 C．(x2 2)2(y3)2 8 D．(x2 2)2(y3)2 8