第一节导数小题篇正文_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第三章

MST老唐说题26版一轮 3. 1 导数小题篇 考向 1 导数的运算 1．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 f(x)c（c为常数） f(x)0 f(x)xa (aR) f(x)axa1 f(x)ax (a0，a1) f(x)axlna 1 f(x)log x(a0，a1) f(x) a xlna f(x)ex f(x)ex 1 f(x)lnx f(x) x f(x)sinx f(x)cosx f(x)cosx f(x)sinx 2．导数的四则运算法则  （1）函数和差求导法则：[f(x)g(x)]  f(x)g(x)；  （2）函数积的求导法则：[f(x)g(x)]  f(x)g(x) f(x)g(x)； f(x) f(x)g(x) f(x)g(x) （3）函数商的求导法则：g(x)0，则[ ] ． g(x) [g(x)]2 3．复合函数求导数    复合函数 y f[g(x)]的导数和函数y f(u)，ug(x)的导数间关系为 y  y u ： x u x 如y(3x1)2我们将分三步： yu2 ①将复合函数分解为基本初等函数 ； u3x1 ②将y对u的导数记为y 2u，将u对x的导数记为u 3； u x ③y y u 2u36(3x1)18x6 ． u x 注意：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．MST老唐说题26版一轮 4．八大同构函数 x ex lnx x 八大同构函数分别是：①yxex，②y ，③y ，④yxlnx，⑤y ，⑥y ， ex x x lnx ⑦yex x1，⑧y xlnx1．我们通过基本的求导来看看这八大同构函数的图像，再分析单调区间及 极值，以及它们之间的本质联系． 图1-2-1 图1-2-2 ①如图1-2-1，对于函数yxex，求导后可得： f(x)(x1)ex， f(x)在区间(，1)递减，在区间 1 (1，)递增，且 f(x)  f(1) ； min e 1 1 ②如图1-2-2，对于yxlnx，求导后可得：f(x)lnx1，f(x)在区间(0， )递减，在区间( ，)递 e e 1 1 增，且 f(x)  f( ) ； min e e 反思 关于图1-2-1和图1-2-2，我们仔细观察会发现对于yxex函数，我们把x换成lnx即可得到yxlnx． 图1-2-3 图1-2-4 x 1x ③如图1-2-3，对于函数y ，求导后可得： f(x) ， f(x)在区间(，1)递增，在区间(1，) ex ex 1 递减， f(x)  f(1) ； max e lnx 1lnx ④如图1-2-4，对于函数y ，求导后可得：f(x) ，f(x)在区间(0，e)递增，在区间(e，) x x2 1 递减， f(x)  f(e) ； max e x lnx 反思 关于图1-2-3和图1-2-4，我们仔细观察会发现对于y 函数，我们把x换成lnx即可得到y ． ex xMST老唐说题26版一轮 图1-2-5 图1-2-6 ex ex(x1) ⑤如图1-2-5，对于函数y ，求导后可得：当x0时， f(x) 0，在区间(，0)递减； x x2 ex(x1) 当x0时， f(x) ，在区间(0，1)递减，在区间(1，)递增， f(x)  f(1)e； x2 min x lnx1 ⑥如图1-2-6，对于函数y ，求导后可得：当0 x1时， f(x) 0，在区间(0，1)递减； lnx (lnx)2 lnx1 当x1时， f(x) ，在区间(1，e)递减，在区间(e，)递增， f(x)  f(e)e； (lnx)2 min ex x 反思 关于图1-2-5和图1-2-6，我们仔细观察会发现对于y 函数，我们把x换成lnx即可得到y ． x lnx 图1-2-7 图1-2-8 ⑦如图1-2-7，对于函数yex x1，求导后可得： f(x)ex 1， f(x)在区间(，0)递减，在区间 (0，)递增， f(x)  f(0)0； min 1 ⑧如图1-2-8，对于函数y xlnx1，求导后可得： f(x)1 ， f(x)在区间(，1)递减，在区间 x (1，)递增， f(x)  f(1)0； min 反思 关于图 1-2-7 和图 1-2-8，仔细观察会发现对于 yex x1函数，我们把 x 换成lnx 即可得到 y xlnx1． 我们可以利用八大函数进行快速求解最值或单调区间 注意：改变单调区间的因素： f(x) f(xa)、 f(x) f(ax)、 f(x)f(x)； 改变最值的因素： f(x) f(x)a、 f(x)af(x)、 f(x)f(x)；MST老唐说题26版一轮 题型1 基本求导 【例1】下列式子正确的是( )   1 A．(sin )cos B．(lnx) 6 6 x ex ex C．( ) D．(xsinx)cosx 2x 2 【例2】若函数 f(x)3x sin2x，则( ) A． f(x)3xln32cos2x B． f(x)3x 2cos2x C． f(x)3xln3cos2x D． f(x)3xln3cos2x 【例3】已知函数 f(x)ex  f(0)x2  f(0)(x2)（其中 f(x)是 f(x)的导函数），则 f（1）( ) A．e2 B．e3 C．e2 D．e3 (x1)2 sinx 【例4】函数 f(x) ，其导函数记为 f(x)，f(2022) f(2022) f(2022) f(2022)( ) x2 1 A．3 B．3 C．2 D．2 【例5】已知函数 f(x)x(x3)(x32)(x33)(x34)(x35)，则 f(0)( ) A．315 B．314 C．314 D．315 题型2 必备拓展知识 【例1】给出定义：若函数 f(x)在D上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在D上也可导，则称 f(x)在D 上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x)) ．若 f(x)0在D上恒成立，则称 f(x)在D上为凸函数（反之  f(x)0为凹函数）．以下四个函数在(0, )上不是凸函数的是( ) 2 A． f(x)cosxsinx B． f(x)lnx3x C． f(x)x34x8 D． f(x)xexMST老唐说题26版一轮 【例2】【多选】已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，若存在x 使得 f(x ) f(x )，则称x 是 f(x)的一个“新 0 0 0 0 驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是( ) A． f(x)sinx B． f(x)x3 C． f(x)lnx D． f(x)xex 【例3】给出定义：设 f(x)是函数y f(x)的导函数，若方程 f(x)0有实数解，则称点(x ， f(x ))为 0 0 函数 y f(x)的“拐点”．已知函数 f(x)3x4sinxcosx 的拐点为M(x ， f(x ))，则下列结论正确的 0 0 为( ) A．tanx 4 B．点M 在直线y3x上 0 4 C．sin2x  D．点M 在直线y4x上 0 17 【例4】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的 重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如 果函数y f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则(a,b)内至少存在一个点x (a,b)，使 0 得 f （b）f （a） f(x )(ba)，其中xx 称为函数y f(x)在闭区间[a，b]上的“中值点”．请问函 0 0 数 f(x)5x3 3x在区间[1，1]上的“中值点”的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考向 2 导数的切线问题 题型1 在点的切线方程 切线方程y f(x ) f(x )(xx )的计算：函数y f(x)在点A(x ，f(x ))处的切线方程为： 0 0 0 0 0 y  f(x ) y f(x ) f(x )(xx )，一定要抓住关键 0 0 ． 0 0 0 k  f(x ) 0 ex e 【例1】（2023•甲卷）曲线y 在点(1, )处的切线方程为( ) x1 2 e e e e e 3e A．y x B．y x C．y x D．y x 4 2 4 4 2 4MST老唐说题26版一轮 【例2】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线yaex xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y2xb，则( ) A．ae，b1 B．ae，b1 C．ae1，b1 D．ae1，b1 ex 2sinx 【例3】（2024•甲卷）设函数 f(x) ，则曲线y f(x)在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的三角 1x2 形的面积为( ) 1 1 1 2 A． B． C． D． 6 3 2 3 题型2 过点的切线方程 设切点为P(x ，y )，则斜率k  f(x )，过切点的切线方程为y y  f(x )(x x )，又因为切线方程过点 0 0 0 0 0 0 A(m，n)，所以n y  f(x )(mx )然后解出x 的值． 0 0 0 0 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【例1】已知函数 f(x)2xlnx，若过点(0，1)的直线与曲线y f(x)相切，则该直线斜率为 ． 【例2】已知 f(x)x3，则函数 f(x)的图象过点(1，1)的切线方程为 ． 【例3】（2022•新高考Ⅱ）曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 题型3 切线条数问题 设切点为P(x ，y )，则斜率k  f(x )，过切点的切线方程为y y  f(x )(x x )，又因为切线方程过点 0 0 0 0 0 0 A(m，n)，所以n y  f(x )(mx )然后解出x 的值，x 有几个值，就有几条切线． 0 0 0 0 0 【例1】经过点(2，0)作曲线yx2ex的切线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（2021•新高考Ⅰ）若过点(a,b)可以作曲线yex的两条切线，则( ) A．eb a B．ea b C．0aeb D．0beaMST老唐说题26版一轮 【例3】（2022•新高考Ⅰ）若曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 题型4 公切线问题 公切线代数表达： 当y= f(x)与y= g(x)具有公切线时，设直线与y= f(x)切于点 (x ，f(x)) 与y= g(x)切于点 (x ，g(x )) ， 1 1 2 2 f(x )g(x ) ①当y= f(x)与y= g(x)切于同一点，设切点为P(x 0 ，y 0 )，则有  f(x 0 )g(x ) 0 ； 0 0 ②公切线方程的等量关系 f(x)g(x ) f(x 1 )g(x 2 )，求参数取范围或者切点的取值范围． 1 2 x x 1 2 【例1】（2024•新高考Ⅰ）若曲线yex x在点(0,1)处的切线也是曲线yln(x1)a的切线，则a ． 【例2】曲线yex在点(x ，y )处的切线与ylnx在点(x ，y )处的切线相同，则(x 1)(x 1)( ) 1 1 2 2 1 2 A．1 B．2 C．1 D．2 【例3】（2025•深圳一模）已知曲线yex1与曲线yalnxa(a0)只有一个公共点，则a( ) 1 A． B．1 C．e D．e2 e 考向3 单调性与极值最值 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内 函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.MST老唐说题26版一轮 2．函数的极值 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 3．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且 函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别 在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 题型1 最值与求参 【例1】下列函数中，在区间 内不单调的是（ ） A． 0,1 B． 1− C． =ln +1 D． =2 2 =tan2 = + 【例2】（2022•乙卷）函数 f(x)cosx(x1)sinx1在区间[0，2]的最小值、最大值分别为( )   3    3  A． ， B． ， C． ， 2 D． ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【例3】已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ） 1 3 =3 +16ln − 1,3 A． B． C． D． 43 43 −∞,12 −∞, 3 −∞,12 −∞, 3MST老唐说题26版一轮 题型2 极值与求参 【例1】已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图像如图所示，则函数 ′ 在 内的极小值 有=（ ） , = , = , A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1 【例2】若函数 f(x) x2 xalnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为( ) 2 1 1 1 1 A．(0, ) B．(0, ) C．(, ) D．(, ] 4 2 4 4 【例3】已知函数 在 处有极值0，则实数 的值为（ ） 3 2 2 A．4 B=． 4+或31 1 + + C． 9=−1 D．11 + 【例4】（2024•多选•新高考Ⅰ）设函数 f(x)(x1)2(x4)，则( ) A．x3是 f(x)的极小值点 B．当0 x1时， f(x) f(x2) C．当1 x2时，4 f(2x1)0 D．当1 x0时， f(2x) f(x) 题型3 距离问题 ①一般转化为平行切线问题； ②若两函数互为反函数，可转化为其中一个函数到y x的距离最小值的两倍． 【例1】已知A是函数 f(x) x2lnx图像上的动点，B是直线x y20上的动点，则A，B两点间距 离|AB|的最小值为( ) A．4 2 B．4 C．2 2 D． 5 1 【例2】（2012•新课标）设点P在曲线y ex上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|最小值为( ) 2 A．1ln2 B． 2(1ln2) C．1ln2 D． 2(1ln2)MST老唐说题26版一轮 【例3】（2024•武汉四调）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 f(x)axex ln(ax)和 2ln(x1) g(x) 图象上的动点，若对任意a0，有|PQ|m恒成立，则实数m的最大值为( ) x 3 5 A． 3 B． 2 C． 2 D． 2 2 lna 【例4】已知实数a，b，c，d满足|b ||cd 2|0，则(ac)2 (bd)2的最小值为( ) a 9 3 A．4 B． C． 2 D．2 2 2 题型4 单调性与共零点转化 若F(x) f(x)g(x)0，且满足：① f(x)与g(x)在同一定义域内有变号零点； ② f(x)与g(x)同为单调递增（或单调递减）函数；则一定有 f(x)与g(x)共零点，即零点相同，如左图． 【例1】设函数 f(x)(x2 a)(lnxb)，若 f(x)0，则ab的最小值为( ) 1 1 2 A． B． C． D．0 2e e2 e4 【例2】函数 f(x)xlnxbx2alnx2ab(b1) ，若 f(x)0恒成立， a 则 的最小值是( ) b1 1 1 e 1 A． B． C． D． e 2e 2 2 【例3】（2024•新高考Ⅱ）设函数 f(x)(xa)ln(xb) ，若 f(x)0，则a2 b2的最小值为( ) 1 1 1 A． B． C． D．1 8 4 2MST老唐说题26版一轮 考向4 必备函数模型 题型一 三次函数的图像和性质 1．基本性质 设三次函数为： f(x)ax3bx2 cxd (a、b、c、dR 且a0),其基本性质有： 性质1：①定义域为R．②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像： a0 a0 0 0 0 0 图 像 性质2：三次方程 f(x)0的实根个数 对于三次函数 f(x)ax3bx2 cxd (a、b、c、dR 且a0),其导数为 f(x)3ax2 2bxc b b23ac 当b2 3ac0，其导数 f(x)0有两个解 x ，x ，原函数有两个极值 x ，x  ． 1 2 1 2 3a ①当 f(x ) f(x )0时,原方程有且只有一个实根； 1 2 ②当 f(x ) f(x )0时,原方程有两个实数根； 1 2 ③当 f(x ) f(x )0时,原方程三个实数根； 1 2 性质3：对称性 b b 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；( ，f( )) ，其中横坐标为其函导数的对称轴； 3a 3a 【例1】（2024•新高考Ⅱ）设函数 f(x)2x3 3ax2 1，则( ) A．当a1时， f(x)有三个零点 B．当a0时，x0是 f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得xb为曲线y f(x)的对称轴 D．存在a，使得点(1， f （1）)为曲线y f(x)的对称中心 【例2】（2021•乙卷）设a0，若xa为函数 f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则( ) A．ab B．ab C．aba2 D．aba2MST老唐说题26版一轮 【例3】已知函数 f(x)(x3)3 2x6，且 f(2ab) f(6b)0(a ，bR)，则( ) 1 1 A．sinasinb B．ea eb C．  D．a2024 b2024 a b 题型二 六大同构函数模型 【例1】利用八大函数（不求导）求下列函数的单调区间： 1 lnx ① f(x)(x1)ex；② f(x)  ； x x 【例2】利用八大函数（不求导）求下列函数的最值： ① f(x) x2ex1(x0)；② f(x)2ex 2x； 1 lnx lnx ③ f(x) x(1lnx)；④ f(x)  ；⑤ f(x) ； x x x2 ex2 【例3】已知函数 f(x)xex lnxx2，g(x) lnxx的最小值分别为a，b，则( ) x A．ab B．ab C．ab D．a，b的大小关系不确定 题型三 飘带函数 b 函数yax （a0，b0）的图像类似两条无限延伸的飘带，故把它称为飘带函数．由于一条飘带 x 1 1 函数y (x )与对数函数lnx具有紧密的放缩关系，为使整个函数放缩关系完整，我们通常用一个反比 2 x 2(x1) 例函数y 对ylnx进行逼近放缩，如图，从图像可以看出三个函数在x1的左右两边大小关系彻 x1 1 1 2(x1) 2(x1) 1 1 底发生改变，既有结论：① (x )lnx ，x(0，1)；② lnx （x )，x[1，)， 2 x x1 x1 2 x 此不等式在多变元问题中是常见有效的放缩方法，是多元问题的一条主线，万万不能忘记．MST老唐说题26版一轮 1 1 1 1 1 (x1)2 证明①构造函数 f(x)lnx (x )，则 f(x)    0，而 f(1)0， 2 x x 2 2x2 2x2 1 1 1 1 故当0x1时，lnx (x )；当x1时lnx (x )． 2 x 2 x 2(x1) 1 4 (x1)2 ②构造函数g(x)lnx ，则g(x)   0，而 f(1)0， x1 x (x1)2 x(x1)2 2(x1) 2(x1) 故当0x1时，lnx ；当x1时，lnx ． x1 x1 飘带函数在高考中应用广泛，如：证明对数平均不等式、比大小、导数与数列结合等． 【例1】已知函数 f(x)=x(lnx-ax)+a，对任意的x³1，都有 f(x)£0，则实数a的取值 范围是（ ） 1 A．(0，1) B．[1，+¥) C．(0，+¥) D．[ ，+¥) 2 1 7 1 【例2】设a ，bln ，csin ，则( ) 3 5 3 A．cab B．bca C．cba D．abc 考向 5 同构体系 题型1 单变量同构 lnx 【例1】设实数0，若对任意的x(0，)，不等式ex  0恒成立，则的取值范围是 ．  1 1 【例2】若对任意的x(0，)，不等式eax xsin2ax  sin(lnx2)恒成立，则实数a的取值范围 eax x 是 ． a 【例3】函数 f(x)aexln 2(a0)，若 f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为 ． x2MST老唐说题26版一轮 【例4】已知函数 f (x)=ex -aln(ax-a)+a(a>0)，若关于x的不等式 f (x)>0恒成立，则实数a的取值 范围为________． 题型2 双变量同构与等量关系 八大同构函数中，会经常形成内部同构的关联，成为了近几年常考题型. 1 ①若h(x) xex，则g(x) xlnxh(lnx)，当h(x ) g(x )时，g(x )h(lnx )h(x )，当x 1，0 x  1 2 2 2 1 1 2 e 1 （或者x 1，x  ）时，一定有x lnx ，或者x ex 1； 1 2 e 1 2 2 ex x x lnx ② 若 h(x) (或 ) ， 则 g(x) h(lnx) （ 或 g(x) h(lnx) ） ， 当 h(x ) g(x ) 时 ， x ex lnx x 1 2 g(x )h(lnx )h(x )，当0 x 1，1 x e（或者x 1，x e）时，一定有x lnx ，或者x ex 1； 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ③若h(x)ex x，则g(x) xlnxh(lnx)，当h(x ) g(x )时，g(x )h(lnx )h(x )，当x 0，0 x 1 1 2 2 2 1 1 2 （或者x 0，x 1）时，一定有x lnx ，或者x ex 1； 1 2 1 2 2 【例1】已知实数，满足e3 1，(ln1)e4，其中e是自然对数的底数，则的值为( ) A．e3 B．2e3 C．2e4 D．e4 lnx 【例2】已知函数 f(x) ，g(x) xex，若存在x (0，)，x R，使得 f(x ) g(x )k(k 0)成 1 2 1 2 x x 立，则（ 2）2ek 的最大值为 . x 1 【例3】（2022•新高考1）已知函数 f(x)ex ax和g(x)axlnx有相同的最小值． （1）求a； （2）证明：存在直线yb，其与两条曲线y f(x)和y g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个 交点的横坐标成等差数列．MST老唐说题26版一轮 题型3朗博同构的保值性 ex 1.朗博函数指的是形如xnex或 类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理， xn ex 比如xex elnxx， exlnx (x0)；关于朗博函数我们统一往母函数 f(x)ex x1(xR)同构， x 即 f(x)0恒成立，当且仅当x 0时等号成立；或 f(xlnx)0，当且仅当x 0.567时等号成立，等等， 0 0 要确保“ f(x)0”能成立，且取等条件满足定义域，我们称之为保值性． 2.常见变形总结（a0，x0）（注意定义域） x 1lne，2lne2，1lnxln(ex)，lnx1ln ； e xex exlnx ，aex exlna ，xlnxln(xex) ； ex ex ex exlnx， exlna ，xlnx ln ； x a x x2ex ex2lnx ，a2ex ex2lna ，x2lnxln(x2ex) ； ex ex ex ex2lnx ， ex2lna ，x 2lnx ln( )； x2 a2 x2 【例1】已知函数 f(x) xex11，g(x) xalnx，若 f(x) g(x)恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．(，1] B．(，0] C．(，1] D．(，e] 【例2】若x0时，恒有x2e3x (k3)x2lnx10成立，则实数k的取值范围是 ． 【例3】若 ＞ ，则a的取值范围为（ ） 2 + − + ≥ 0( 0) A．（0， e2] B． ， C． ， D． ， 2 2 1 2 1 (0 ] [ ] [ ] 2 2 题型4 双变量同构的新考法 1. 一类题型是不同同构方式下的内部关系或外部关系 2. 一类题型是同构结合其他知识点进行考察 3. 一类题型是不完整同构的考察 【例1】【多选】已知a0，b0，abea lnb10，则( )MST老唐说题26版一轮 1 1 A．lnb B．ea  C．alnb1 D．ab1 a b 【例2】【多选】已知实数a，b满足aea blnb3，则( ) A．alnb B．abe C．bae1 D．e1ab4 【例3】已知a，b(1,)，且abeb lna1，e为自然对数的底数，则( ) A．baeb B．eb ae3b C．ab D．ae3b 【例4】若a，bR，自然对数的底数为e，则e2a e2b2  aebbea  a2b2 的最小值为 ． 【例5】对任意的a，bR，不等式(6a6b1)e2ab 6a1mbea 恒成立，则实数m的取值范围 是 ．MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 数形结合与公切线问题 考向一 平移函数公切线问题 f(x ) f(x ) b 当y f(x)与yg(x)为平行曲线，即g(x) f(xa)b，则有 f(x ) f(x ) 1 2  1 2 x x a 1 2 证明:因为y f(x)与g(x) f(xa)b有公切线，设y f(x)切点为(x ，f(x))， 1 1 y  g(x) f(xa)b 切点为(x ，f(x a)b)，则一定有 f(x ) f(x a)，所以x x a，根据公切线方程y y k(x x ) 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 b 可得: f(x a)b f(x ) f (x )(x x ) ，所以baf(x )，即 f(x )k  如果按照数形结合来理解， 2 1 1 2 1 1 1 a 就是y f(x)与yg(x) f(xa)b ，两点确定公切线，两切点连线的斜率就是公切线斜率，即将切点 (x ，f(x))左移a单位，再下移b单位，这样得到点(x a，f(x)b)，所以公切线斜率 1 1 1 1 f(x )b f(x ) b k  1 1  x ax a 1 1 ykxb ylnx2 yln(x1) 【例1】(2016•新课标II)若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 b ． 【例2】若直线ykxb与曲线C :y3ex和曲线C :yex2同时相切，则b（ ） 1 2 9 3 3 1 1 A.  ln B.2ln2 C. ln D.3ln3 2 2 2 2 2MST老唐说题26版一轮 考向二 公切线方程中的隐形同构 两曲线公共点公切线问题：当y f(x)与 yg(x) 切于同一点，设切点为P(x , y )，则有 f(x 0 ) g(x 0 ) ， 0 0 f(x ) g(x ) 0 0 单参数求定值，双参数转化为单参数后确定参数的取值范围，这里面要看清楚同构. 【例1】直线ykxb是曲线yx2 (a1)的切线，也是曲线yalnx1的切线，则k的最大值是( ) 2 4 A． B． C．2e D．4e e e 【例2】已知 f(x)x2 4axb，g(x)6a2lnxb，a0.若y f(x)，yg(x)图象有公共点P，且在该 点处的切线重合，则b的可能取值为（ ） A． 2 B． 3 e 2 3 C． 1 e2 D． 5 e 2 3 e3 2 2 2 考向三 凹凸性数形几何解读公切线条数 y f(x)与yg(x)是否有公切线，决定它们公切线条数的是函数凹凸性和相同的单调区间交点. 凹凸性相同的两曲线，在两个曲线 f(x)0，g(x)0时，两个函数均为凹函数，且 f(x)0，g(x)0时 均在递增区间， ①如图，若y f(x)与yg(x)无交点，可以类比于两个圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线; ②若y f(x)与yg(x)有唯一交点时，如图，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线; ③若y f(x)与yg(x)有两个交点时，如图，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线; 内含型无公切线 内切型有一条外公切线 同旁相交型两条外公切线 同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线 f(x)0为凹函数，g(x)0为凸函数时，且 f(x)0，g(x)0， 两个函数均在递增区间; ④如图，若y f(x)与yg(x)有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线; ⑤若y f(x)与yg(x)有唯一交点时，如图所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线. ⑥若y f(x)与yg(x)无交点时，如图所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线.MST老唐说题26版一轮 非同旁相交型无公切线 外切型有一条内公切线 外离型有两条内公切线 【例1】已知直线ykxb与曲线yex 2和曲线yln(e2x)均相切，则实数k的解的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．无数 1 【例2】若函数 f(x)4lnx1与函数g(x) x2 2x(a0)的图象存在公切线，则a的取值范围为( ) a 1 1 2 1 2 A．(0, ] B．[ ,) C．[ ,1) D．[ , ] 3 3 3 3 3 【例3】(多选)若两曲线yx21与yalnx1存在公切线，则正实数a的取值可能是（ ） A.1.2 B.4 C.5.6 D.2e 考向四 分段函数公切线条数问题 a 【例1】（多选）关于曲线 f(x)lnx和g(x) (a0)的公切线，下列说法正确的有( ) x 1 A．无论a取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则a e 1 C．若a1，则两曲线只有一条公切线 D．若 a0，则两曲线有三条公切线 e2MST老唐说题26版一轮 【例2】若曲线ylnx与曲线yx2 2xa(x0)有公切线，则实数a的取值范围是( ) A．(ln21,) B．[ln21，) C．(ln21,) D．[ln21，) 拓展1 切线条数与拐点切线界定 题型一 数形结合凹凸性分析： 我们可以参考圆的切线，对于圆上一点只能作一条切线，圆外一点能作两条切线，圆内一点不能作切 线，所以对于一个凹凸性不改变的函数，即二阶导没有变号零点的函数，在“圆外”一点能作两条切线如 下左图所示． 【例1】（2021•新高考I）若过点(a，b)可以作曲线yex的两条切线，则（ ） A．eb a B．ea b C．0aeb D．0bea 题型二 三次函数切线条数 b b 一般地，如图，过三次函数 f x图象的拐点( ，f( ))（对称中心或拐点）作切线l,则坐标平面 3a 3a 被切线l和函数 f x的图象分割为四个区域，有以下结论： （1）由于区域Ⅰ、IV属于外弧区域，故过区域Ⅰ、IV内的点作 f x的切线，有3条； （2）由于区域II、Ⅲ属于内弧区域，过区域II、Ⅲ内的点或者对称中心作 f x的切线，有且仅有1条； （3）过切线l或函数 f x图象（除去对称中心）上的点作 f x的切线，有且仅有2条．MST老唐说题26版一轮 【例1】（2022•多选•新高考Ⅰ）已知函数 f(x)x3 x1，则( ) A． f(x)有两个极值点 B． f(x)有三个零点 C．点(0,1)是曲线y f(x)的对称中心 D．直线y2x是曲线y f(x)的切线 【例2】过点(1，2)可作三条直线与曲线 f(x)x3 3xa相切，则a的取值范围为( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 【例3】若过点(m，n)(m0)可作曲线yx3 3x三条切线，则( ) A．n3m B．nm33m C．nm33m或n3m D．3mnm33m 题型三 含渐近线和拐点的函数切线界定 （1）关于 f(x)(xa)ex切线条数问题，由于 f(x)(xa1)ex， f(x)(xa2)ex，当xa2时， f(x)0，此处(a2，2ea2)为函数的拐点，易求拐点处切线方程为yea2(xa4)，当x时， f(x)0，我们把y0称为此函数的渐近线，区别于三次函数只有拐点，故我们通过拐点切线和渐近线， 将平面分为7个区域，我们可以对此类型题进行归纳总结，如下： 当y0时，函数y f(x)与拐点处切线yea2(xa4)以及x轴（渐近线）将平面分成四个区域（如 图所示），分别由两个外弧区域和两个内弧区域组成，MST老唐说题26版一轮 ①区域1和区域4属于双外弧区域，位于此区域的点能作y f(x)三条切线； ②区域2和区域3属于一内弧一外弧区域，位于此区域的点能作y f(x)一条切线； 我们将拐点切线作为内外弧分界点，区域2就是拐点右侧曲线的内弧区域，但是相对于曲线左侧，则 是外弧区域，所以只能往拐点左侧区域作唯一一条切线，也是“远切线”；同理，区域3是拐点左侧曲线 的内弧区域，也是拐点右侧曲线的外弧区域，所以过区域3的任意一点能作唯一一条切点位于拐点右侧的 “远切线”；那么区域1和区域4就是拐点左右两侧的双外弧区域，在本侧能作两条切点位于拐点同侧的 “近切线”，以及一条拐点另一侧的“远切线”． ③过曲线上拐点处仅能作一条切线，过拐点以外的曲线上任意一点能作两条切线； 在曲线上任意一点能作一条切线，这可以理解为拐点同侧外弧的两条切线合二为一，类比于圆，圆上 一点能作一条切线，就是圆外的两条切线在这里合二为一，还有一条切线源自拐点另一处的“远切线”． ④过拐点处切线上除了拐点以外的任意一点，仅能作两条切线； 拐点切线，就是一条“近切线”和一条“远切线”合二为一，否则就会有三条切线． 当y0时，函数y f(x)与拐点处切线yea2(xa4)以及x轴将平面分成三个区域（如图所示）， 分别由两个外弧区域和一个内弧区域组成，由于不在渐近线内侧，故少了一条“远切线”． ⑤区域5和区域7属于双外弧区域，位于此区域的点能作y f(x)两条切线，相比区域1和区域4，少了一 条位于x处的远切线； ⑥区域6属于一内弧一外弧区域，由于唯一一条远切线的缺失，故位于此区域的点不能作y f(x)的切线； ⑦由于缺失了一条远切线，故过曲线上任意一点仅能作一条切点在曲线上切线； ⑧过曲线与x轴的交点仅能作唯一切线． 【例1】（2022•新课标1卷）若曲线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【例2】已知过点A(a,0)作曲线y(1x)ex的切线有且仅有1条，则a的可能取值为( ) A．5 B．3 C．1 D．1 x 【例3】若曲线 f(x) 有三条过点(0,a)的切线，则实数a的取值范围为( ) ex 1 4 1 4 A．(0， ) B．(0， ) C．(0， ) D．(0， ) e2 e2 e eMST老唐说题26版一轮 【例4】若过点（a，b）（a＞0）可以作曲线y＝xex的三条切线，则（ ） A．0＜a＜beb B．﹣aea＜b＜0 C．0＜ae2＜b+4 D．﹣（a+4）＜be2＜0 【例5】（无拐点）过点A(a，0)作曲线yxlnx的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为( ) 1 A．(0,) B．(1,) C．( ,) D．(e,) e 【例6】若过点P(t,0)可以作曲线y(1x)ex的两条切线，切点分别为A(x ，y )，B(x ，y )，则y y 的 1 1 2 2 1 2 取值范围是( ) A．(0，4e3) B．(，0)  (0，4e3) C．(，4e2) D．(，0)  (0，4e2)MST老唐说题26版一轮 拓展3 双参数问题处理技巧 题型一 零点比大小破解双参比值问题 b b 1．kx+b£ f(x)恒成立，求 的最值和取值范围；2．kx+b³ f(x)恒成立，求 的最值和取值范围． k k 如图2-2-1所示，通常的方法是构造函数g(x)= f(x)-kx，则g(x) ³b时，从而达到解决此类型的目的， min 这种解答方法适合解答题，但此类型题目出现在选填压轴题的几率更大，常规思路由于计算量大，对一道 客观题来说没必要，故需要采纳一些高观点低运算的方法，此类型可以利用数形结合的思想，如图2-2-2 所示，通常y= f(x)是一个凹函数(f (x)>0)，如kx+b£ f(x)意味着y= f(x)与y=kx+b相切时即恒成立， b b (- ，0)是直线和x轴的交点，记为(x ，0)，将 y= f(x)的唯一零点x 求出，满足x £x =- 即可． k 2 1 1 2 k 图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3 图2-2-4 同理，在比较kx+b³ f(x)时，也是一类型转化，此时 y= f(x)为凸函数(f (x)<0)，也将图2-2-3的方案 b 转化为图2-2-4，构造x ³x =- ；四个图中的虚线直线是不可能满足题目要求的，此方法叫零点比大小． 1 2 k 注意：直曲分离是关键，问题与直线零点有直接关系，所以我们可以根据问题来将原式进行变形． n 【例1】若不等式ex1mx2n30对xR恒成立，其中m0，则 的最大值为（ ） m ln3e ln3e A． B．ln3e C．ln3e D． 2 2 b-a+1 【例2】已知a，bÎR，若ex -1³ax-b对任意实数x恒成立恒成立，则 的取值范围为_______． a 【例3】已知函数 f(x)(ea)ex max，(m，a为实数），若存在实数a， 使得 f(x)0对任意xR恒成立，则实数m的取值范围是( ) 1 1 1 A．[ ，) B．[e，) C．[ ，e] D．[e， ] e e eMST老唐说题26版一轮 1 1 b 【例4】已知e2axb x 对x( ，)恒成立，则 的最小值为 ． a a a 题型2 切线比较法破解双参乘积问题 已知ex  x1，当且仅当x0时取等，则有exlna  xlna1，我们可称y xlna1为临界切线． 若ex axb，求ab的最大值，我们可以做如下分析： b b 首先，需满足a0，a0与题设矛盾，ex axbexlna  x ；注意到y x 与y xlna1斜率 a a b 相等，则仅需满足 lna1（如下图），即可得到aba2(lna1)，接下来同构或者求导即可求出最 a 值． 【例1】已知函数 f(x)ln(axb)x1，若 f(x)0，则ab的最大值为 ． 1 1 【例2】（2012•新课标）已知函数 f(x)满足 f(x) f(1) ex1 f(0)x x2，若 f(x) x2 axb， 2 2 则(a1)b的最大值为 ．MST老唐说题26版一轮 题型3 距离转换与柯西不等式 a b 柯西不等式：(a2 b2)(c2 d2)(acbd)2，取等“  或ad bc”． c d b 【例1】若关于x的方程2ln(ax ) 4x2 1有实根，则a2 b2的最小值为 ． 2 【例2】(2022•天津卷)已知函数 f(x)exasinx，g(x)b x ． (1)求函数y f(x)在(0，f(0))处的切线方程； (2)若y f(x)和yg(x)有公共点： i)当a0时，求b的取值范围； ii)求证:a2b2 e． 拓展4 抽象函数的导函数构造 角度1 导数和差，构造和差型函数 f(x)c[f(x)cx]； f(x)g(x)[f(x)g(x)]； f(x)g(x)[f(x)g(x)]； 和与积联系，构造乘积型函数； 差与商联系，构造分式型函数： f(x)g(x) f(x)g(x) f(x) f(x)g(x) f(x)g(x)[f(x)g(x)]； [ ]． g2(x) g(x) 角度2 幂函数及其抽象构造 f(x) 定理1 xf(x) f(x)0[xf(x)]0；xf(x) f(x)0[ ]0 x xf(x) f(x) f(x) 证明：因为xf(x) f(x)[xf(x)]； [ ]，所以xf(x) f(x)0， x2 x f(x) 则函数yxf(x)单调递增；xf(x) f(x)0，则y 单调递增． x f(x) 定理2 当x0时，xf(x)nf(x)0[xnf(x)]0 ；xf(x)nf(x)0[ ]0 xn xnf(x)nxn1f(x) f(x) 证明 因为xnf(x)nxn1f(x)[xnf(x)]； [ ]，所以xf(x)nf(x)0，则函数 x2n xnMST老唐说题26版一轮 f(x) yxnf(x)单调递增；xf(x)nf(x)0，则y 单调递增． xn 角度三 指数函数与抽象构造 定理3 f(x) f(x)0[exf(x)]0； f(x) f(x)0[exf(x)]0 f(x) f(x) f(x) f(x)0[ ]0 ； f(x) f(x)0[ ]0 ex ex 证明： 因为 f(x)ex   ex f(x)+f(x)  ，[ f(x) ]  f(x) f(x) ，所以 f(x) f(x)0， ex ex f(x) 则y f(x)ex单调递增；反之y f(x)ex单调递减； f(x) f(x)0，则y 单调递增； ex f(x) 反之y 单调递减． ex (f(x)a) 定理4 f(x) f(x)a[ex(f(x)a)]0 ； f(x) f(x)a[ ]0 ． ex [ex(f(x)a)] (f(x)a) 证明：因为 f(x) f(x)a ； f(x) f(x)aex[ ] ，所以 f(x) f(x)a ，则 ex ex yex(f(x)a)单调递增； f(x) f(x)a，yex(f(x)a)单调递减； f(x)a 若 f(x) f(x)a，则 y 单调递增， ex f(x)a 若 f(x) f(x)a，则 y 单调递减． ex 角度四 三角函数与抽象构造 定理5 正弦同号，余弦反号定理   f(x)sinx f(x)cosx0[f(x)sinx]0 ，当x( ， )， f(x)tanx f(x)0[f(x)sinx]0 ； 2 2 f(x)   f(x) f(x)sinx f(x)cosx 0[ ]0 ，当x( ， )， f(x)tanx f(x)0[ ]0 ； sinx 2 2 sinx   cosxf(x) f(x)sinx0[f(x)cosx]0，当x( , )， f(x) f(x)tanx0[f(x)cosx]0； 2 2 f(x)   f(x) f(x)cosx f(x)sinx0[ ]0，当x( ， )， f(x) f(x)tanx0[ ]0． cosx 2 2 cosx 遇正切时化切为弦，请自己证明相关结论． 【例 1】设函数 f(x)是函数 f(x)(xR) 的导函数； f （3）e3，且 f(x) f(x)0 恒成立，则不等式 f(x)ex 0的解集为( ) A．(0,3) B．(1,3) C．(,3) D．(3,)MST老唐说题26版一轮 【例2】（2015•新课标II）设函数 f'(x)是奇函数 f(x)（xR）的导函数， f(1)0，当x0时， xf'(x) f(x)0，则使得 f(x)0成立的x的取值范围是（ ） A．(，1)(0，1) B． (1，0)(1，) C．(，1)(1，0) D．(0，1)(1，) 【例 3】已知定义在 R 上的函数 f(x) 的导函数为 f(x)，且3f(x) f(x)0 ， f(ln3)1，则不等式 f(x)27e3x的解集为( ) A．(,3) B．(,ln3) C．(ln3,) D．(3,)   【例4】已知函数 f(x)的定义域为( ， )，其导函数是 f(x)，且满足 f(x)cosx f(x)sinx0 ，则关 2 2  于x的不等式 f(x)2f( )cosx的解集为( ) 3         A．( ， ) B．( ， ) C．( ， ) D．( ， ) 3 2 2 3 2 3 2 6