第一节跟踪训练_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第七章

MST老唐说题26版一轮 第一节 跟踪训练 考向1 跟踪训练 题型1 【训练1】如图，正方体ABCDABCD 中，O是底面ABCD的中心，M ，N，P，Q分别为棱AA ，DD ， 1 1 1 1 1 1 AB ，BC 的中点，则下列与BC垂直的是( ) 1 1 1 1 1 A．OM B．ON C．OP D．OQ 【训练2】如图，在正四棱柱ABCDABCD ，E，F 分别是AB ，BC 的中点，则下面结论一定成立的 1 1 1 1 1 1 是( )  A．EF 与AC 平行 B．BC 与AB 所成角大小为 1 1 1 1 3 C．EF 与BB 垂直 D．EF 与BD垂直 1 题型2 【训练1】（2009•全国1卷）已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为 3 ，Q到的距离为2 3，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ） A．1 B．2 C．2 3 D．4 【训练2】在三棱锥PABC中，PC底面ABC,BAC 90,AB AC 4,PBC 45，则点C到平面PAB 的距离是（ ） 4 6 2 6 4 3 4 2 A． B． C． D． 3 3 3 3MST老唐说题26版一轮 【训练3】如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2，AD=1，A A=1，证明直线BC 平行于平面D AC， 1 1 1 1 1 1 1 并求直线BC 到平面D AC的距离． 1 1 【训练4】在长方体ABCDABCD 中，已知AB3，BC 4，AC 与平面ABCD所成角的大小是30，那 1 1 1 1 1 么平面ABCD到平面ABCD 的距离是 ． 1 1 1 1 【训练5】已知矩形ABCD，AB1，BC  3，沿对角线AC 将ABC折起，若二面角BACD的大小 为120，则B，D两点之间的距离为 ． 题型3 【训练1】（2018•全国卷II文）在正方体ABCDABCD 中，E为棱CC 的中点，则异面直线AE与CD所 1 1 1 1 1 成角的正切值为（ ） A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 2 2 2 2 【训练2】（2014•四川卷理）如图在正方体ABCDABCD 中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC 1 1 1 1 1 上，直线OP与平面ABD所成的角为，则sin的取值范围是（ ） 1 3 6 6 2 2 2 2 A．[ ,1] B．[ ,1] C．[ , ] D．[ ,1] 3 3 3 3 3MST老唐说题26版一轮 【训练3】如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=1200，则二面角 A-BD-C 的余弦值为 ． 考向2跟踪训练 题型1  【训练1】（2015•山东）在梯形ABCD中，ABC  ，AD//BC ，BC 2AD2AB2，将梯形ABCD绕 2 AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 2 4 5 A． B． C． D．2 3 3 3 【训练2】（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( ) 56 28 2 A．2012 3 B．28 2 C． D． 3 3 【训练3】（2023•甲卷）在三棱锥PABC中，ABC 是边长为2的等边三角形，PAPB2，PC  6 ， 则该棱锥的体积为( ) A．1 B． 3 C．2 D．3MST老唐说题26版一轮 【训练4】（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，FB//ED，ABED2FB．记 三棱锥EACD，F ABC，F ACE的体积分别为V ，V ，V ，则( ) 1 2 3 A．V 2V B．V V C．V V V D．2V 3V 3 2 3 1 3 1 2 3 1 【训练5】（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和4 3，其顶点都在同一 球面上，则该球的表面积为( ) A．100 B．128 C．144 D．192 【训练6】（2016•新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC ABC 内有一个体积为V 的球，若ABBC，AB6， 1 1 1 BC 8，AA 3，则V 的最大值是( ) 1 9 32 A．4 B． C．6 D． 2 3 【训练7】（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水 库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面 积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m 时，增加的水量约为( 7 2.65)( ) A．1.0109m3 B．1.2109m3 C．1.4109m3 D．1.6109m3MST老唐说题26版一轮 【训练8】若正四面体的表面积为8 3，则其外接球的体积为( ) A．4 3 B．12 C．8 6 D．32 3 【训练9】在棱长为1的正四面体ABCD中，E、F 分别为BC、AD的中点，则下列命题正确的是( )  1    2 A．EF  (AB ACAD) B．EF  2 2 2 C．BC 平面AEF D．AE和CF 夹角的正弦值为 3 【训练10】《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一 条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵 ABC ABC 中，AC BC，且AA  AB2．下列说法正确的是( ) 1 1 1 1 A．四棱锥CABBA为“阳马” 1 1 B．四面体ACC B 为“鳖臑” 1 1 1 2 C．四棱锥B AACC 体积的最大值为 1 1 3 D．过A点分别作AE AB于点E，AF  AC 于点F ，则EF  AB 1 1 1MST老唐说题26版一轮 题型2 【训练1】在正方体ABCDABCD 中，M ，N分别为AD，C D 的中点，过M ，N，B 三点的平面截 1 1 1 1 1 1 1 正方体ABCDABCD 所得的截面形状为( ) 1 1 1 1 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【训练2】在棱长为2的正方体ABCDABCD 中，点P，Q分别是棱AD，DD 的中点，则经过B，P， 1 1 1 1 1 Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为( ) 3 15 9 9 A．3 2 B． C． D． 2 2 2 2 【训练3】正方体ABCDABCD 的棱长为2，点P，Q，R分别是棱AD ，C D ，BC中点，则过点P， 1 1 1 1 1 1 1 1 Q，R三点的截面面积是( ) 3 A． B． 3 C．2 3 D．3 3 2 【训练4】如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，E，F 分别为棱AD ，AA 的中点，G为线段 1 1 1 1 1 1 1 BC上一个动点，则下列说法不正确的是( ) 1 A．存在点G，使直线BC 平面EFG 1 B．存在点G，使平面EFG//平面BDC 1 C．三棱锥A EFG的体积为定值 1 3 3 D．平面EFG截正方体所得截面的最大面积为 4MST老唐说题26版一轮 【训练1】已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9和16，且两截面间的距离为1，则该球的 体积为 ． 【训练2】如图，正方体ABCDABCD 的棱长为 3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面 1 1 1 1 与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ) 5 2 7 A． B． C． D． 6 3 6 题型3、4 【训练1】（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) 32 A．12 B．  C．8 D．4 3 【训练2】（2017•新课标Ⅰ）已知三棱锥S  ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平 面SCA平面SCB，SA AC，SB BC，三棱锥S  ABC的体积为9，则球O的表面积为 36 ． 解：三棱锥S  ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SA AC， SBBC，三棱锥S  ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形， 1 1 设球的半径为r ，可得  2rrr 9，解得r 3．球O的表面积为：4r2 36．故答案为：36． 3 2MST老唐说题26版一轮 【训练3】（2022•乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则 当该四棱锥的体积最大时，其高为( ) 1 1 3 2 A． B． C． D． 3 2 3 2 【训练4】在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABC 是边长为2 3的等边三角形，PAPB 7， 则该三棱锥外接球的表面积为( ) 65 65 49 A．16 B． C． D． 16 4 4 【训练5】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑ABCD中，AB平 面BCD，BC CD，且ABBC CD1，则其内切球表面积为( ) A．3 B． 3 C．(32 2) D．( 21) 题型5 【训练1】已知某棱长为2 2的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（ ） π π 3π 2π A． B． C． D． 2 3 3 2 【训练2】已知三棱锥SABC的棱长均为2 6，则与其各条棱都相切的球的体积为 . 【训练3】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为 S S ，S ，则 1  ． 1 2 S 2MST老唐说题26版一轮 【训练4】正三棱锥PABC的底面边长为2 3，侧棱长为2 2，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则 这个球的表面积为（ ） 17 9 A．  B．(4416 6) C．  D．32 4 2 考向3跟踪训练 【训练1】如图，将四边形ABCD中，△ADC沿着AC翻折到ADC，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹 1 是（ ） A．椭圆的一段 B．抛物线的一段 C．双曲线的一段 D．一段圆弧 【训练2】如图1，直线EF 将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE 和CDEF，将梯形CDEF沿边EF 翻折， 如图2，在翻折过程中（平面ABFE 和平面CDEF不重合），下列说法正确的是（ ） A．在翻折过程中，恒有直线AD//平面BCF B．存在某一位置，使得CD//平面ABFE C．存在某一位置，使得BF//CD D．存在某一位置，使得DE平面ABFEMST老唐说题26版一轮 【训练3】已知矩形ABCD中，AB2,BC1，，F为线段CD上一动点（不含端点），现将△ADF沿直线AF 进行翻折，在翻折的过程中不可能成立的是（ ） ．．． A．存在某个位置，使直线AF与BD垂直 B．存在某个位置，使直线AD与BF垂直 C．存在某个位置，使直线AB与DA垂直 D．存在某个位置，使直线AB与DF垂直 【训练4】已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角三角形BCD，且AB3， π BDC ，BC 3 2 ，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体ABCD，则当四面体ABCD 2 的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（ ） A．12π B．18π C．21π D．28π 【训练5】（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36， 且3l3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是( ) 81 27 81 27 64 A．[18， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[18，27] 4 4 4 4 3 【训练6】在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是 ．MST老唐说题26版一轮 【训练7】已知棱长为2的正方体ABCDABCD 中，P为棱DD 上一动点，则PB PC的最小值 1 1 1 1 1 1 为 ． 【训练8】【多选】如图，已知正方体ABCDABCD 的棱长为1，P是线段AB 上的动点，N是线段CC 1 1 1 1 1 1 的中点，则下列说法正确的是( ) A．PDCD 1 B．三棱锥C  APD的体积为定值 1 1 2 3 C．(CPPA)的最小值是 1 2 17 D．如果点P是线段AB 的中点，则平面PDN截正方体所得的截面周长为 5 1 2