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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义
专题05 周期问题
知识精讲
专题简析：
周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两
次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平
时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发展某种周期现
象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
典例分析
【典例分析01】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再
2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个
小球该涂什么颜色？
【思路点拨】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即
5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。因为 2001÷15=133……6，也就是经过
133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
【典例分析02】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。最后一盏
灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？
【思路点拨】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这 9盏灯看作一组，
47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯
是红灯；
（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数
的 ；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的 ；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的 。
【典例分析03】2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？
【思路点拨】一个星期是7天，因此7天为一个周期。10月1日是星期一，是第一个周期的第一天，再过7天即10月8日也是星期一。计算天数时为了方便，我们采用“算
尾不算头”的方法，例如10月8日就用（8－1）÷7=1，没有余数说明8号仍是星期一。
题中说从2001年10月1日到2002年1月1日，要经过92天，92÷7=13……1，余1天就
是从星期一往后数一天，即星期二。【典例分析04】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在
的列以哪个字母为代表？
A B C D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19 21 23
31 29 27 25
… … … …
… … … …
【思路点拨】这列数按每8个数一组有规律排列着。2001是这一列数中的第1001个
数，1001÷8=125……1，即2001是这列数中第126组的第一个数，所以它所在的那一列是
以字母B为代表的。
【典例分析05】888……8[100个8]÷7，当商是整数时，余数是几？
【思路点拨】
从竖式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0不断重复
出现。我们可以用100除以6，观察余数就知道所求问题了。
100÷6=16……4
余数是4说明当商是整数时，余数是1、4、6、5、2、0中的第4个数，即5。真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）三天打鱼，两天晒网（即前三天打鱼，后两天晒网），按照这种方式，在 104
天内，打鱼的天数是（ ）
A．60 B．61 C．62 D．63
【思路点拨】104÷5＝20…4，由此可得在104天内打鱼的天数．
【规范解答】解：104÷5＝20…4，
∴在104天内，打鱼的天数是21×3＝63（天）；
故选：D。
【考点评析】本题考查周期性问题，考查学生的计算能力，确定以5为周期是关键．
2．（2分）张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20分钟，而其余日期每日都跳绳
20分钟．某月他总跑步5小时，那么这个月的第10天是（ ）
A．周日 B．周六 C．周二 D．周一
【思路点拨】某月他总跑步5小时，说明有5个周一、周六和周日，31÷7＝4周…3天，
说明了这个月的1号是星期六，所以8号又是周六，10号是周一．
【规范解答】解：他总跑步5小时，说明有5个周一、周六和周日，
31÷7＝4周…3天，
说明了这个月的1号是星期六，
所以8号又是周六，10号是周一．
故选：D。
【考点评析】本题关键弄清1号是星期几，然后进一步推算出10号的时间．
3．（2分）在2012年，1月1日是星期日，并且（ ）
A．1月份有5个星期三，2月份只有4个星期三
B．1月份有5个星期三，2月份也有5个星期三
C．1月份有4个星期三，2月份也有4个星期三
D．1月份有4个星期三，2月份有5个星期三
【思路点拨】先分别推算出2012年1月，2012年2月的天数，然后用经过的天数除以
7，求出一共是几周，还余几天，然后根据余数判断．
【规范解答】解：因为2012年1月有31天，2月有29天，31÷7＝4（星期）…3（天），
29÷7＝4（星期）…1（天），
所以1月份有4个星期三，2月份有5个星期三．
故选：D。
【考点评析】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再
根据余数推算．
4．（2分）为了减少城市交通拥堵的情况，某城市拟定从2014年1月1日起开始试行新的
限行规则，规定尾号为1、6的车辆周一、周二限行，尾号2、7的车辆周二、周三限行，
尾号3、8的车辆周三、周四限行，尾号4、9的车辆周四、周五限行，尾号5、0的车辆
周五、周一限行，周六、周日不限行．由于1月31日是春节，因此，1月30日和1月
31日两天不限行．已知2014年1月1日是周三并且限行，那么2014年1月份（ ）
组尾号可出行的天数最少．
A．1、6 B．2、7 C．4、9 D．5、0
【思路点拨】首先分析1月份共31天，由于1月1日是周三，所以1月份周三、周四、
周五共5天，周一、周二共4天．继续推理即可．
【规范解答】解：依题意可知：
1月份共31天，由于1月1日是周三，所以1月份周三、周四、周五共5天，周一、周
二共4天．其中1月30日周四、1月31日周五．
所以只看周三即可．周三2、7 以及3、8 限行．
故选：B。
【考点评析】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到对应星期的天数，问
题解决．
5．（2分）2022年2月22日被广大网民称为“世界最爱日”，因为这个日期里面包含六
个2与它包含相同多2的日期是2022年12月22日，比它包含更多2的日期则是200年
后的2222年2月22日。
今年2月22日又恰好是星期二，200年后的2222年2月22日是星期（ ）
A．五 B．六 C．一 D．二
E．三
【思路点拨】2022 年到 2222 年有 200 年，其中 2024、2028、2032……2220 年是闰年，（2220﹣
2024）÷4+1＝50，即有50个闰年，但2100年与2200年不能被400整除，所以2100年
和2200年不是闰年，所以2022年到2222年有48个闰年，有200﹣48＝152（个）平年，
用这200年的总天数除以一个星期的循环周期解答即可。
【规范解答】解：2222﹣2022＝200（年）
（2220﹣2024）÷4+1
＝196÷4+1
＝50（个）
其中2100年与2200年不能被400整除，所以2100年和2200年不是闰年，所以50﹣2＝
48（个）闰年
200﹣48＝152（个）平年
48×366+152×365
＝17568+55480
＝73048（天）
73048÷7＝10435……3
因为2022年2月22日又恰好是星期二，2+3＝5，则2222年2月22日是星期五。
故选：A。
【考点评析】求出2022年到2222年闰年的年数是解题的关键。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）新年快要到了，乐乐想要通过自己的努力攒钱给妈妈买礼物。于是打算每天存
2元钱，每攒10天就要休息1天不存钱，并且在休息的这一天花4元钱给自己买一只棒
棒糖作为奖励，那么乐乐攒够80元最少需要 5 2 天。
【思路点拨】通过题干，可知以11天为一个周期，11天乐乐共攒钱2×10﹣4＝16元，
于是发现80里面有5个16，但要考虑实际情况，在第4个周期结束后，乐乐已经攒了
64元钱，只需再攒8天就可，这样，实际的天数可求，本题可解。
【规范解答】解：每个周期为11天，一个周期攒钱2×10﹣4＝16（元），
80÷16＝5（个）周期，
但实际上，最后一个周期的后3天没有攒钱，
所以最少需要5×11﹣3＝52（天）。
故答案为：52。
【考点评析】本题主要考查周期性问题，容易忽略的就是没有考虑实际问题，误以为后3天也攒钱了，这是此类问题容易出错的点。7．（2分）某班40名学生全都面向前方，从前向后站成一列，按照 1、2、3、4、1、2、
3、4、…的顺序循环报数，每人报一次数，报到 3的同学向后转．之后，如果相邻两个
学生面对面，他们就会握一次手，然后同时向后转，一直到不再有学生面对面．那么，
整个过程中，全班同学一共握手了 14 5 次．
【思路点拨】根据题意可知编号是3的学生向后转后，就会和编号是4的学生面对面，
就要握40÷4＝10（次）；第二轮编号是4的学生和编号是1的学生握手，一共要握10
﹣1＝9（次）；依此类推，据此解答即可．
【规范解答】解：根据题意可知编号是3的学生向后转后，就会和编号是4的学生面对
面，就要握40÷4＝10（次）；
第二轮编号是4的学生和编号是1的学生握手，一共要握10﹣1＝9（次）；
10+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）×3＝145（次）
答：整个过程中，全班同学一共握手了145次．
【考点评析】本题的关键是利用周期进行解题．
8．（2分）在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十
天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支”；十天
干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅．一直到癸亥，共得到60个组合，称
为六十甲子．如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法在甲子纪年中，以“丑”
结尾的年份除了“乙丑”外，还有 丁丑，己丑，辛丑，癸丑 ．
【思路点拨】首先分析题中的丑经过12年出现一次，共60年出现5次．枚举法即可．
【规范解答】解：依题意可知：
第一个是乙丑，丑出现时经过12+2＝14年．24+2＝26年，36+2＝38年，48+2＝50年．
经过14，26，38，50年对应的天干是丁，己，辛，癸．
故答案为：丁丑，己丑，辛丑，癸丑
【考点评析】本题考查对周期问题的理解和掌握，关键是找到对应的数字．问题解决．
9．（2分）四年一班的22名男生、33名女生在操场上站队，老师先让所有同学按照2名
男生、3名女生、2名男生、3名女生……的顺序从左至右站成一排。第一次从左向右依
次报数，第二次从右向左依次报数，每次都是从1报到
55。那么从右向左数的第20名女生两次所报的数之差为 8 。
【思路点拨】从右向左数，我们把每5个人看做一组，每组有3个女生，而20÷3＝6......2，从而
找到第20名女生所在的组数为第6组、第2位，从而她从右向左数的具体位置就可知道，
这样可知她从左向右的具体位置，则本题可解。
【规范解答】解：从右向左数，5个人看做一组，每组有3个女生，
而20÷3＝6......2，
所以第20名女生所在的组数为第6组、第2位，
则她在（5×6+2）＝32（位），
从而从左往右数，她在55﹣32+1＝24（位），
所以两次所报数之差为32﹣24＝8。
故答案为：8。
【考点评析】本题主要考查周期性问题，解题的关键是找出从右向左数的第20名女生
所在的具体位置。
10．（2分）一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有
5 个月．
【思路点拨】平年365天，365÷7得52余1．闰年366天，366÷7得52余2．不论28
或29天的2月还是31天的大月和30天的小月，至少都有4个星期天，最多有5个星期
天．每月均分走4个星期天，还剩52﹣12×4＝4个星期天，如果一年多出来的那1、2
天中正好遇上一个星期天（1月1、2号是星期天时），那就剩下4+1＝5个星期天，所
以可能最多也就只有5个月份有5个星期天．
【规范解答】解：366÷7＝52…2（个）；
一年最多53个星期日；
一年12个月，设每个月4个星期日，
则一共48个星期日；
还剩5个星期日的月份最多有5个月；
故答案为：5．
【考点评析】此题考查了每月天数的综合运用．
11．（2分）2021年10月25日星期一，中央广播电视总台央视奥林匹克频道及其数字平
台开播上线，2022年2月4日北京冬奥会开幕，那么北京冬奥会开幕这一天是星期
五 。【思路点拨】先求出2021年10月25日到2022年2月4日一共有多少天，再除以7，求
出一共有多少周，余下几天就是星期几。
【规范解答】解：7+30+31+31+4
＝37+66
＝103（天）
103÷7＝14（周）……5（天）
所以北京冬奥会开幕这一天是星期五。
故答案为：五。
【考点评析】求出2021年10月25日到2022年2月4日一共有多少天是解题的关键。
12．（2分）数列：1、3、3、4、11、13、13、……，是从1开始，依次加2、加0、加
1、加7并循环往复所形成．那么，当这个数列中第一次出现恰好由2、0、1、7这四个
数字（不一定按顺序）所组成的四位数时，这个数列已经写了 82 9 个数．
【思路点拨】根据题意，每4个数为一个周期，2+0+1+7＝10，每组中四个数的末位数
字分别是1、3、3、4，由此可知，第一次出现的由2、0、1、7这四个数字所组成的数
的个位只能是1，那这个四位数是2071．
【规范解答】解：
2+0+1+7＝10
2071÷10＝207……1
207×4+1＝829
【考点评析】此题先找出个位数字发生的变化，然后根据规律确定最小的四位数．
13．（2分）2018年11月份的日历上，有一列5个日期的数字和为75，已知这一列的第一
个日期那天是星期四，那么这个月的10号是星期 六 。
【思路点拨】因为同一列上相邻两个日期相差7，所以第二个日期比第一个日期多7，
第三个比第一个多14，第四个比第一个多21，第五个比第一个多28，据此设第一个日
期为x，根据“一列5个日期的数字和为75”，列方程求出x的值，再进一步解答即可。
【规范解答】解：设第一个日期为x。5x+7+14+21+28＝75
5x+70＝75
5x＝5
x＝1
所以第一个日期是1号，因为1号是星期四，所以10号是星期六。
故答案为：六。
【考点评析】熟练掌握日历日期的排列规律是解题的关键。
三．解答题（共15小题，满分75分，每小题5分）
14．（5分）如图所示，4盏霓虹灯安装在大正方形的4个小正方形框里，3秒后，上下的
灯互换图案，又过了3秒，左右的等互换图案，…，重复这样的变化规律．请画出经过
1分钟霓虹灯的排列图案．
【思路点拨】这个图形根据题意分析可得：每四次是一次循环，先求出1分钟变化了多
少次，再用次数加上1就是第多少个图形，然后除以4看余数即可得出答案．
【规范解答】解：1分钟＝60秒，
60÷3＝20（次），变化了20次，就是第21个图形；
21÷4＝5…1，余数是1，就和第一个图形相同，即：
【考点评析】本题是一道找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么
规律变化的，再按规律分析得出结论．
15．（5分）4位小朋友按编号1～4号顺时针围成一圈，从1号开始发彩色卡片，每次发
一张，按顺时针依次隔1人，再隔2人，再隔1人，再隔2人…，这样往下发共发了
2016张．则最后一张发给几号的小朋友？
【思路点拨】根据题干分析可得：分发彩色卡片的规律是：1﹣3﹣2﹣1﹣3﹣1﹣1﹣2，
8张卡片一个循环周期，求出第2016张是第几个循环周期的第几个即可解答问题．
【规范解答】解：1﹣3﹣2﹣1﹣3﹣1﹣1﹣2，周期为8，2016÷8＝252
没有余数，所以最后一张发给2号小朋友．
答：以最后一张发给2号小朋友．
【考点评析】根据题干，得出发彩色卡片的循环周期即可根据有余数除法的计算方法解
答问题．
16．（5分）从1开始依次把自然数一一写下去得：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13…从
左向右数，数到第12个数字起将开始第一次出现三个连排的1．数到第几个数字起将开
始出现五个连排的1．
【思路点拨】从1开始依次写出自然数：123456789101112…．从左向右数，数到第111
个数起将开始第一次出现三个连排的1，加上第112个数的两个1开始出现五个连排的
1．
【规范解答】解：数到第112个数，111的3个1，112的两个1，开始出现五个连排的
1；
9+180+11×3+1
＝9+180+33+1
＝223
答：数到第223个数字起将开始出现五个连排的1．
【考点评析】考查了整数的认识，本题要抓住开始出现五个连排的1的条件限制，由自
然数的特点解题．
17．（5分）有一个魔术是这样表演的：表演者将一副扑克牌去掉大小鬼共52张放入一暗
箱，另有足够多的备用扑克牌．请一位观众上台，让他们从暗箱中随意取出若干张牌，
算出这些牌的点数之和的个位数（规定J、Q、K的点数分别为11、12、13）．然后从备
用牌中拿来一张点数为这个个位数的扑克牌放进暗箱（如果个位数是0则不放），这个
过程称为一次“置换”．如此下去，经过多次置换，暗箱里的扑克牌数量会越来越少，
直至剩下一张．此时，魔术师非常自信地报出最后剩下的这张牌的点数，请问你能确定
它的点数是几吗？为什么？
【思路点拨】求出52张牌的和，根据每次的操作都是去掉若干个10，即可得出结论．
【规范解答】解：由题意，（1+2+3+…+13）×4＝91×4＝364
由于每次的操作都是去掉若干个10．
364÷10＝36…4所以最后剩下“4”．
【考点评析】本题考查周期性问题，考查数字求和，正确利用周期是关键．
18．（5分）某一年共有53个星期五和53个星期六，那么这一年3月1日是星期几？
【思路点拨】365÷7＝52…1，366÷7＝52…2，而一年共有53个星期五和53个星期六
说明是闰年，那么一月一日就是星期五，从1月1日到3月1日共31+29＝60天，60÷7
＝8…4，所以这一年3月1日是星期二，据此解答即可．
【规范解答】解：某一年共有53个星期五和53个星期六说明是闰年，那么一月一日就
是星期五：
从1月1日到3月1日共31+29＝60天
60÷7＝8…4
所以这一年3月1日是星期二．
答：那么这一年3月1日是星期二．
【考点评析】本题考查了日期和时间的推算．
19．（5分）如图一个3×3的网格中填好了数，定义一次操作：讲这个表中的一行或一列
或一条对角线上的数减去或加上同一个自然数．请你判断能否经过有限次操作，使得这
9个数相等？如果能，请指出最少操作的次数；如果不能，请答0．你的结论是 0 ．
【思路点拨】表中九个数之和恰为100，被3除余1，经过每一次操作，总和增加3的倍
数．设m次操作后能使表中各数都相等，此时表中诸数总和为：35+3（k+k+…k）．
1 2 m
通过论证，得出结论．
【规范解答】解：3+6+9+2+4+5+1+3+2＝35，35÷3＝11…2，被3除余2，
经过每一次操作，总和增加3的倍数，
设m次操作后能使表中各数都相等，此时表中诸数总和为：35+3（k+k+…k），
1 2 m
它仍应是一个被3除余2的数，但表中九个数变为相等，其总和应被3整除，这就得出
矛盾！
所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为九个相同的数．
故答案为：0．【考点评析】此题解答的关键：表中九个数之和恰为35，被3除余2，经过每一次操作，
总和增加3的倍数．
20．（5分）将乘积 化为小数，小数点后第2013位的数字是 9 ．
【思路点拨】由于 0. 4 ＝ ＝ ，0.3 523 ＝ ＝ ，将乘积
化为分数，得到结果，再根据循环节求解即可．
【规范解答】解：0. 4 ＝ ＝ ，0.3 523 ＝ ＝ ，
＝ × ，
＝ ，
＝0. 791 ，
2013÷5＝402…3，
所以第2013位的数字是9．
故答案为：9．
【考点评析】考查了算术中的规律，这是分数与循环小数的互化，周期问题，难度较大．
21．（5分）2012年的6月9日是星期六，问：2011年的6月9日是星期几？
【思路点拨】平年，二月份有29天，所以从2011年的6月9日到2012年的6月9日一
共是366天，用366除以7求出经过了多少个星期，还余几天，再向前推算即可．
【规范解答】解：2012÷4＝503，
没有余数，2012年是闰年，二月份有29天，从2011年的6月9日到2012年的6月9日
一共是366天，
366÷7＝52（周）…2（天），
余数是2，从星期六向前推算一天是星期四．
【考点评析】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再
根据余数推算．
22．（5分）某年的2月有5个星期五，那么这年的1月31日是星期 四 ．
【思路点拨】先讨论2月份的天数，2月份如果是28天，28÷7＝4（周）；这样2月份最多有4个星
期五；所以这个2月份有29天；有5个星期五说明2月1日和2月29日都是星期五，
那么1月31日是星期四．
【规范解答】解：2月有5个星期五，说明这个2月份有29天；
29÷7＝4（周）…1（天）；
余数是1，那么只有2月1日和2月29日都是星期五才会有5个星期五；
2月1日是星期五，它的前一天1月31日是星期四．
故答案为：四．
【考点评析】解决本题先知道2月份的天数可能是28天或29天，然后根据有5个星期
五找出2月1日的星期数，进而推算即可．
23．（5分）2009年的元旦是星期四，问：在2009年中，哪几个月的第一天也是星期四？
哪几个月有5个星期日？
【思路点拨】根据各月天数，求出每个月的第一天与2009年的元旦的相差的天数，与
2009年的元旦是7的整数倍的日期都是星期四；要求每个月有几个星期日，关键是看这
个月的前几天和后几天是星期几，大月有4个星期余3天，如果这个月的1、2、3号是
星期日，这个月就有5个星期日；月的1、2号是星期日，这个月就有5个星期日；闰二
月1号是星期日，这个月也有5个星期日．
【规范解答】解：如下表所示：
月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1号距1月 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334
1号的天数
除以7的 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5
余数
1号的星期 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二
数
10月1号与1月1号相距273天，273是7的倍数，所以，10月份的第一天也是星期四．
3月1号是星期日，3月份有31天，所以3月有5个星期日；
5月3号是星期日，5月份有31天，所以5月有5个星期日；
8月3号是星期日，8月份有31天，所以8月有5个星期日；11月1号是星期日，11月份有30天，所以11月有5个星期日．
【考点评析】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再
根据余数推算；要注意判断这几年是平年还是闰年．
24．（5分）将分数 化成纯小数后，小数点后至少多少个数字之和是2017？这时a是几？
【思路点拨】分母为7的分数，小数部分的循环节都是1、4、2、8、5、7这六个数循
环，那么一组数之和是1+4+2+8+5+7＝27，2017÷27＝74……19，只有4+2+8+5＝19，
所以a＝3．
【规范解答】解：1+4+2+8+5+7＝27
2017÷27＝74……19
4+2+8+5＝19
74×6+4＝448
3÷7＝0.428517428517……
答：小数点后至少448个数字之和是2017，这时a是3．
【考点评析】无论是七分之几，小数部分的循环节都是1、4、2、8、5、7这六个数循
环．
25．（5分）一本历史书共有2640页，张强每小时阅读16页．第一日到第十日，每日读5
小时；第十一日到第二十日，每日读6小时；第二十一日到最后一日的前一日，每日读
7小时．经过若干日全部读完．问：最后一日是第几日？最后一日读了几小时？
【思路点拨】由题意求得前20天的读书总页数，从而得出这本书还剩的页数，再除以
每天读书的页数16可得答案．
【规范解答】解：由题意第一日到第十日共读书5×16×10＝800（页），
第十一日到第二十日共读书6×16×10＝960（页），
则这本书还剩2640﹣（800+960）＝880页，
因为从第二十一日开始每天读书7×16＝112（页），
所以880÷112＝7…96，
96÷16＝6，
所以最后一日是第28日，第28日读了6小时．
【考点评析】本题主要考查周期性问题，解题的关键是利用除法算式求出余数，最后根
据余数得出正确的结果．26．（5分）有158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每
隔1人发一个苹果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔 2人发一个香
蕉，求没有得到水果的小朋友的人数．
【思路点拨】首先分析把从右边看的过程转换成从左边看．找到2次的大周期．枚举即
可解决．
【规范解答】解：依题意可知：
把从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，周期为3．
158÷3＝52…2，那么从左边看就是第一个人不给，从第二个开始每3个人给第一个．
那么去掉第一个和最后一个共156人，周期为2×3＝6．枚举一个周期为：
苹果 不给 给 不给 给 不给 给
香蕉 给 不给 不给 给 不给 不给
一个周期中共有2个人没有水果．156÷6＝26周期．共没有水果人数为26×2＝52人．
答：没有得到水果的小朋友的人数有52人．
【考点评析】本题考查对周期性的理解和运用，关键问题是找到两次周期枚举法问题解
决．
27．（5分）一只用黑、白两种颜色的皮子缝制成的足球如图所示．已知这只足球上有黑
色皮子l2块．问：这只足球上缝了多少块白色皮子？请简述理由．
【思路点拨】每个黑皮子周边缝有5个白皮子，每个白皮子周围有3个黑皮子，那么白
皮子与黑皮子的数量之比为5：3，据此列出方程计算即可．
【规范解答】解：观察可得：每个黑皮子周边缝有5个白皮子，每个白皮子周围有3个
黑皮子，所以白皮子与黑皮子的数量之比为5：3，
设白皮子有x块．
5：3＝x：12，
解得x＝20，
答：这只足球上缝了20块白色皮子．
【考点评析】解决此题的关键是由图形得到白皮子与黑皮子的数量之比，由此进一步解决问题．
28．（5分）2012位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报
这个数的2倍；若某位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知
第一位同学报1．
（1）那么第2012位同学所报的数是多少？
（2）到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他
人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第
100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了多少？
【思路点拨】（1）将前面几位同学所报的数字写出：1，2，4，8，16，11，6，12，
7，14，9，18，13，8，16…，发现从第四项开始，10个数为一个周期，即可求解．
（2）先按（1）的方法求出第99位同学报的数字；从第2012位同学所报的数倒推第
100位可能的数字；2步骤结合即可求解．
【规范解答】解：
（1）按照规则将前面几位同学所报的数字写出：1，2，4，8，16，11，6，12，7，
14，9，18，13，8，16…
可以看出从第四项开始，10个数为一个周期，所以（2012﹣3）÷10＝200（组）…9
（个），则，第2012位同学报数为18．
答：第2012位同学所报的数是18．
（2）确定第99位同学报的数
（99﹣3）÷10＝9（组）…6（个），则，第99位同学报数为7；
由于最后一位同学报的数字是5，
则倒数第2位只能报10，
倒数第3位只能报5或15
…
以此类推，第100位同学报的数字只能是15，也就是把前一位同学数字加上了8．
答：第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了8．
【考点评析】找出所报数字规律，用正向找规律推所报数字，见“（1）”和反方向推数
字方式，见“（2）”的方法求解
