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2022-2023学年小学三年级思维拓展举一反三精编讲义
专题09 重叠问题
知识精讲
专题简析：
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发
一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，
因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，
我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部
分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借
助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答
方法。
典例分析
【典例分析01】 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；
从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
【思路引导】根据题意，画出下图：
8面
10面
?面
从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重
复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。【典例分析02】 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从
右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？【思路引导】根据题意，画出下图：
前
左 右
后
由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前
数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在
一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部
分是 16 厘米，所以这两块木板的总长度是 120＋16=136 厘米，每块木板的长度是
136÷2=68厘米。
【典例分析04】 一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道
聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？
【思路引导】根据题意，画出下图：36人
？人
20人 18人
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加
起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在
做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人
数。
【典例分析015】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸
都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？
【思路引导】根据题意，画出下图：
《数学报》32人 《阅读报》30人
10人
订两份报纸的人数
从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的 10人，这10人既被包括在订
《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出
全班人数，必须从 32＋30=62人中去掉被重复算过的 10人。所以全班人数应是 62－
10=52人。
真题演练
一、选择题(共6题；共18分)
1．（3分）把三块一样长的木板，钉在一起（如图）．每块木板的长10分米，中间钉在
一起重叠的部分长2分米，你知道现在这块长木板的长是（ ）分米．A．30 B．28 C．26 D．22
【答案】C
【规范解答】解：10×3﹣2×2，
=30﹣4，
=26（分米）；
答：现在这块长木板的长是26分米．
故选：C．
【思路引导】通过观察与分析，三块木板两个地方重叠，总共重叠了2×2=4分米，所以现
在这块长木板的长是10×3﹣4，计算即可．此题属于重叠问题，解答的关键是正确求出重
叠部分的长度，不能误认为两次重叠部分是8分米．
2．（3分）有两张一样长的纸条粘贴起来，成为长30厘米的纸条，粘贴部分长10厘米，
求这两张纸条各长几厘米？（ ）
A．20 B．15 C．30
【答案】A
【规范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；
故答案应选：A．
【思路引导】要求这两张纸条各长几厘米，如果粘贴的是两张纸条的宽边，粘贴部分是10
厘米，粘贴后是30厘米，则原来的长度是（30+10）÷2=20（厘米） .
3．（3分）有两张一样长的纸条粘贴起来，成为长30厘米的纸条，粘贴部分长10厘米，
求这两张纸条各长几厘米？（ ）
A．20 B．15
【答案】A
【规范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；
故答案应选：A．
【思路引导】要求这两张纸条各长几厘米，如果粘贴的是两张纸条的宽边，粘贴部分是10
厘米，粘贴后是30厘米，则原来的长度是（30+10）÷2=20（厘米） .
4．（3分）六个正方形重叠（如图）连接点正好是正方形的中心．正方形边长是a，这个
图形的周长是（ ）A．24a B．14a C．12a D．18a
【答案】B
【规范解答】解：3a+3a+2a×4=14a，
答：这个图形的周长是14a；
故选：B．
【思路引导】这六个正方形重叠在一起，第一个和最后一个正方形的长度为3a+3a，中间4
个正方形的长度是2a×4=8a，把这些长度加起来就是这个图形的周长．
5．（3分）（2019三上·满洲里期末）三（1）班喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31
人，既喜欢读书又喜欢运动的有12人，三（1）班共有（ ）人．（每人至少选一项喜
欢的）
A．59 B．35 C．47
【答案】C
【规范解答】解：28+31﹣12
＝59﹣12
＝47（人）
所以三（1）班一共有47人。
故答案为：C。
【思路引导】根据“喜欢读书的有28人，喜欢运动的有31人”可得两者的总人数：28+31
＝59人，这其中把两种都喜欢的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得三（1）班一
共有：59﹣12＝47（人），据此解答即可。
6．（3分）一昼夜钟面上的时针和分针重叠（ ）次．
A．23 B．12 C．20 D．13
【答案】A
【规范解答】解：一昼夜时针转2圈；
时针每转1圈都会被分针追上12次；去掉开始时的重叠就是23次；
故答案为：A．
【思路引导】因为时针和分针一小时重叠一次，在最后一次还是回到原来的位置．
二、填空题(共9题；共18分)
7．（2分）（2019三上·松桃期末）三（1）班期中检测，数学成绩优秀的有34人，语文
成绩优秀的有37人，语文数学两科都优秀的有28人，至少一科成绩优秀的一共有
人。
【答案】15
【规范解答】34+37－28×2
=71－56
=15（人）
故答案为：15。
【思路引导】数学成绩优秀的人数+语文成绩优秀的人数－语文数学两科都优秀的人数×2=
至少一科成绩优秀的人数。
8．（2分）（2020三上·勃利期末）三年级有学生100人，喜欢数学的有72人，喜欢语
文的有53人．这两科都喜欢的有 人．
【答案】25
【规范解答】解：72+53﹣100＝125﹣100＝25（人）
故答案为：25。
【思路引导】两科都喜欢人数=喜欢数学人数+喜欢语文人数-三年级总人数。
9．（2分）（2019三上·西湖期中）两块木板各长70厘米，如图所示，钉成一块长木板，
中间重合部分是20厘米，这块钉在一起的长木板长 厘米。
【答案】120
【规范解答】解：70+70-20
=140-20
=120（厘米）所以这块钉在一起的长木板长120厘米。
故答案为：120。
【思路引导】这块钉在一起的长木板的长度=一块木板的长度+另一块木板的长度-中间重合
部分的长度，代入数值计算即可。
10．（2分）（2019三上·营山期末）同学们到动物园玩，参观熊猫馆的有25人，参观大
象馆的有28人，两个馆都参观的有16人。去动物园的一共有 人。
【答案】37
【规范解答】25+28-16=37（人）
故答案为：37。
【思路引导】去动物园一共有的人数=参加熊猫馆的人数+参加大象馆的人数-两个馆都参观
的人数。
11．（2分）（2019三上·宜昌期末）三（3）班参加书法组的有25人，参加美术组的有
22人，两个组都参加的有6人。三（3）班参加书法组和美术组的一共有 人。
【答案】41
【规范解答】25+22-6=41（人）。
故答案为：41.
【思路引导】 参加书法组的人数+参加美术组的人数-两个组都参加的人数=参加书法组和
美术组的总人数。
12．（2分）有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上：
那么，这10张纸片所盖住桌面上的面积是 平方厘米．
【答案】24
【规范解答】解：3×2+2×（10﹣1）
=6+2×9
=6+18
=24（平方厘米）
答：这10张纸片所盖住桌面上的面积是24平方厘米．故答案为：24．
【思路引导】第一张纸盖住桌子的面积是3×2=6平方厘米，第二张纸盖住的就是2×（3
﹣2）=2平方厘米，第三张纸盖住的也是2×（3﹣2）=2平方厘米，以后每张纸盖住的面
积都是2平方厘米，由此即可得出这10张纸所覆盖的面积为：第一张纸覆盖的面积+9个2
平方厘米的面积．
13．（2分）用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，
那么每张纸条长 厘米．
【答案】4
【规范解答】解：（31+9）÷10=4（厘米）．
故答案为：4．
【思路引导】由题意得，共有9个接头，即重叠了9次，据此可列式解答．
14．（2分）六个正方形（如图）重叠，连接点正好是正方形的中点，正方形边长是a，则
图的周长是 ．
【答案】14a
【规范解答】解：中间的四个正方形，只剩下两条边，它们的周长为：
（6﹣2）×2a，
=4×2a，
=8a；
两端的两个正方形的周长是：
3a×2=6a．
图的周长是：
8a+6a=14a．
故答案为：14a．
【思路引导】因为重叠在中间的正方形，只剩下两条边的长度是2a，两端的剩下三条边就
是3a．据此求得周长即可．
15．（2分）某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150人，外科92人，其中内、外两科
都求诊的18人，这一天共来了 个病人．
【答案】224【规范解答】解：这一天共来的病人：
150+92﹣18，
=242﹣18，
=224（人）；
故答案为：224．
【思路引导】先画出示意图，再找出重复部分（内、外两科都求诊的人数），重复了两次，
来诊病人总数等于来诊内科的人数和来诊外科的人数和减去一个内、外两科都求诊的人数．
三、解答题(共9题；共64分)
16．（6分）学校组织文艺演出，东东的座位从左数是第6个，从右数是第4个，从前数是
第5个，从后数是第5人，这个会场有多少人？
【答案】解：（6+4-1）×（5+5-1）=81（人）
答：会场有81人。
【思路引导】会场的人数=每排的座位数×会场座位的排数。
在计算每排的座位数和会场的排数时减去1，因为数的时候数了两次。
17．（6分）把2张长度都是10厘米的彩带纸重叠粘贴在一起，重叠部分长多少厘米？如
果3张纸同样重叠，重叠后的彩纸一共有多长？
【答案】解：10+10-18=2（厘米）
18+10-2=26（厘米）
答：重叠后的彩带一共有26厘米。
【思路引导】两条彩带重叠部分的长度=两张彩纸的总长度-两张彩带粘贴在一起的长度；
三张彩带重叠后彩纸的总长度=两张彩带粘贴在一起的长度+彩带对长度-两条彩带重叠部分
的长度。
18．（10分）（2019三上·南浔期末）如下图所示，把一些长8厘米的长方形纸条连接起
来，每两张纸条的粘合处都是2厘米。（1）（5分）照这样连接，6张纸条连起来的长是多少厘米？
（2）（5分）连接后纸条长度为62厘米时，需要多少张纸条？
【答案】（1）解：8-2=6（厘米）
8+6+6+6+6+6=38（厘米）
答：6张纸条连起来的长是38厘米。
（2）解：62-8=54（厘米）
54÷6=9（张）
9+1=10（张）
答：需要10张纸条。
【思路引导】（1）观察图可知，从第2张纸条开始，每次增加6厘米，用原来的长度+增
加的长度=纸条连接起来的总长度，据此列式解答；
（2）根据题意可知，用连接后的纸条长度-8=剩下的总长度，然后用剩下的总长度÷每个
小长方形增加的长度=纸的张数，然后加1即可得到总张数，据此解答。
19．（7分）小玲有一根长4厘米5毫米长的彩带，小兰也有一条同样长的彩带。把两根彩
带用胶水粘成一条彩带后有多长？（接头处长1厘米）
小玲的彩带：
小兰的彩带：
【答案】解：4厘米5毫米+4厘米5毫米-1厘米=8厘米
答：把两根彩带用胶水粘成一条彩带后有8厘米。
【思路引导】小玲彩带长度+小兰彩带长度-接头处长度=粘成一条彩带后的长度。毫米
÷10=厘米。
20．（7分）有一根绳子，连续对折3次，量得每折长4米，这根绳子长几米？
【答案】解：因为将绳子连续对折3次，
所以总共是8折，
绳子长是：4×8=32（米）；
答：这根绳子长32米．
【思路引导】因为将绳子折1次是2折，折2次是4折，折3次是8折，而在此题是连续对
折3次，即总共是8折，每折是4米，根据整数乘法的意义，列式解答即可．21．（7分）桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为2，3，4，5，若分别取走
边长为2，3，4，5的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少2，
3，4，5，那么四张纸片覆盖的面积是多少？
【答案】解：如图：
四张纸的面积分别为4、9、16、25，
每张纸片与其他纸片重叠部分的面积分别为2、6、12、20，
由于2+6+12=20，所以只能前3张纸片与第四张分别重叠，没有三张重叠在一起的部分，
重叠部分的面积是20，最大的正方形纸片与其他三张纸片都重叠，而其他三张纸片彼此都
不重叠．也就是只存在两两重叠的情况，并且重叠的面积是20平方米．
所以覆盖面积用四张正方形纸片总面积减去20平方米，所以总的覆盖面积为：
4+9+16+25﹣20=34
答：四张纸片覆盖的面积是34．
【思路引导】通过分析可知：四张纸的面积分别为4、9、16、25，每张纸片与其他纸片重
叠部分的面积分别为2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3张纸片与第四张分别
重叠，没有三张重叠在一起的部分，重叠部分的面积是20，最大的正方形纸片与其他三张
纸片都重叠，而其他三张纸片彼此都不重叠．也就是只存在两两重叠的情况，并且重叠的
面积是20平方米．所以覆盖面积用四张正方形纸片总面积减去20平方米，所以总的覆盖
面积为4+9+16+25﹣20=34，据此解答即可．
22．（7分）有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的
周长．【答案】解：两端的两个正方形的周长为：
1×3×2=6（厘米）；
中间4个正方形周长为：
1×2×4=8（厘米）；
图形的周长为：
6+8=14（厘米）．
答：重叠后图形的周长是14厘米．
【思路引导】通过观察发现，前后两个正方形，各剩3条边，周长为1×3×2=6（厘米），
中间4个正方形各剩两条边，周长为1×2×4=8（厘米），所以把这两部分的周长，相加
即可．
23．（7分）（2020三上·沾益期末）三年级（2）班喜欢踢足球的有20人，喜欢打乒乓
球的有15人，这两项运动都喜欢的有6人，三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有多少
人?
【答案】解：20+15-6
=35-6
=29（人）
答： 三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有29人。
【思路引导】喜欢两项运动的人数=喜欢足球的人数+喜欢乒乓球的人数-两项运动都喜欢的
人数。
24．（7分）如图所示，在相距10厘米的两条平行线d和c之间，有正方形A和长方形B．
正方形A沿直线d以每秒2厘米的速度向右运动，长方形B固定不动，A和B两个图形有重
叠部分的时间持续多少秒？（单位：厘米）【答案】解：（20+8）÷2，
=28÷2，
=14（秒）；
答：A和B两个图形有重叠部分的时间持续14秒．
【思路引导】A和B两个图形在重叠部分的时间内所行的路程应是图形B的长度加上图形A
的边长的长度；然后根据路程÷速度=时间即可求出持续的时间，列式为：（20+8）÷2=14
（秒）．
