文档内容
第 03 讲 二项式定理
（13 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
两个二项式乘积展开式的系
2022年新I卷，第13题,5分 无
数问题
2020年全国甲卷（理），
求指定项的二项式系数 无
第8题,5分
2020年全国丙卷（理），
求指定项的系数 无
第14题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解
2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解
3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算
4.会三项式、乘积式的相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数
或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习知识讲解
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C.
若二项展开式的通项为T ＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
r＋1
(1)h(r)＝0⇔T
r＋1
是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔T
r＋1
是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔T
r＋1
是分式项．
(4)h(r)是整数⇔T
r＋1
是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数
所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．
2. 二项式系数的性质
性质 内容对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
当k＜时，二项式系数逐渐增大；
增减性
当k＞时，二项式系数逐渐减小
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为 ；
最大值
当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为 或
3. 二项式系数和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…
＝ .
考点一、 求二项展开式的第项
1．（2024·浙江绍兴·二模） 的展开式的第四项为 .
1．（2024·陕西宝鸡·一模） 展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
2．（2023·北京·校考模拟预测）在 的二项展开式中，第四项为 ．
考点 二 、 求指定项的二项式系数
1．（2024·辽宁·模拟预测）二项式 展开式的第3项的二项式系数是 .
2．（2024·上海·三模）若 的二项展开式中第 项与第 项的系数相等，则该展开式中 的系数为
．1．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中第2项的二项式系数为6，则其展开式中的常数项为
．
2．（2024·江苏无锡·模拟预测）在 的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与
第11项的二项式系数之和，则 （ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
考点 三 、 二项式系数和
1．（2024·浙江·三模）若 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中 的系数为 .
2．（2024·四川攀枝花·三模）若 的展开式中 的系数为 ，则展开式中所有项的二项式
系数之和为 ．（以数字作答）
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则 的展
开式中 的系数为（ ）
A． B． C．10 D．20
2．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若 的展开式的二项式系数和为32，且 的系数为80，
则实数 的值为 .
考点 四 、 二项式系数的增减性和最值
1．（23-24高二下·广东深圳·期中） 的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知 的展开式中二项式系数的最大值与 的展开式中
的系数相等，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习） 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2024·贵州·模拟预测） 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .（用数字作答）
考点 五 、 求指定项的系数
1．（2024·湖北武汉·模拟预测） 展开式中含 项的系数为（ ）
A．420 B． C．560 D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知二项式 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
则其展开式中 的系数为 ．
1．（2024·浙江绍兴·三模） 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
2．（2024·黑龙江大庆·三模）在 的展开式中，含 项的系数是 .
考点 六 、 由项的系数确定参数1．（2024·黑龙江·模拟预测）若 的展开式中 的系数为144，则 .
2．（2024·福建宁德·模拟预测）已知 的展开式中含 项的系数为160，则实数a的值为
.
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测） 的展开式中 的系数为15，则 ．
2．（2024·山东·模拟预测）二项式 的展开式中， 的系数为10，则 ．
考点 七 、 有理项（含常数项）、无理项及其系数
1．（2024·江西鹰潭·模拟预测） 的展开式中，常数项的值为 ．
2．（浙江·高考真题）在二项式 的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是
.
1．（2024·湖北武汉·模拟预测） 展开式的7项中，系数为有理数的项共有（ ）项
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·河南·模拟预测）已知 （其中 ）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项
共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
3．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）若 的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开
式中的有理项（ 项中 是整数）可以是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项考点 八 、 二项展开式各项系数和 及奇次项与偶次项的系数和
1．（2024·上海·高考真题）在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为 ．
2．（2024·福建泉州·一模）（多选）已知 展开式中共有8项．则该展开式结论正确的
是（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为
C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项
3．（2024·河南驻马店·二模）（多选）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川乐山·三模）设 ，则
（ ）
A．1 B． C．2024 D．
1．（2024·辽宁·三模）（多选）关于二项式 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．第三项系数为270 B． 的系数为90
C．二项式系数和为 D．系数和为
2．（2024·福建福州·模拟预测）（多选）已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点 九 、 三项展开式的系数问题
1．（2024·湖南衡阳·一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
1．（2024·云南昆明·模拟预测） 的展开式中， 项的系数为（ ）
A．10 B． C．60 D．
2．（2024·安徽·三模） 的展开式中 的系数为 .
考点 十 、 两个二项式乘积展开式的系数问题
1．（2024·山西长治·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
2．（2024·江苏南京·模拟预测） 的展开式中， 的系数是 .
1．（2024·江西·一模） 的展开式中的常数项为（ ）A．147 B． C．63 D．
2．（2024·江西宜春·模拟预测）在 的展开式中， 项的系数是 ．
考点 十一 、 求系数最大 ( 小 ) 的项
1．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习） 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
2．（2024·安徽·二模）已知 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
1．（2023·上海嘉定·一模）已知 的二项展开式中系数最大的项为 ．
考点 十二 、 整除和余数问题
1．（2024·湖北·模拟预测） 被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
2．（2024·甘肃张掖·三模）已知今天是星期四，则 天后是（ ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
1．（24-25高三上·河南焦作·开学考试） 被10除的余数为 .
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种
动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
考点 十三 、 杨辉三角1．（2024·宁夏·二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研
究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．
若第 行中从左到右第3个数与第5个数的比为 ，则 的值为 ．
2．（2023·海南·三模）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学
家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早 年左右.如图所示，在“杨辉三
角”中，除每行两边的数都是 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 行的 为第 行中
两个 的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第 行中，从左到右第 个数是
B．由“第 行所有数之和为 ”猜想：
C．
D．存在 ，使得 为等差数列
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中
展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B．
C．第2020行的第1010个数最大
D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
1．（2023·安徽黄山·二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数 、 、 、 、 ，依次构成数列
，则 .
2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形
中的 换成 得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在
中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除
每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的
和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第 行的所有数字之和为
一、单选题
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A．80 B．240 C．1600 D．2400
2．（2024·山西太原·三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．-20 B．20 C．-30 D．30
3．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知 的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的
常数项为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·陕西·模拟预测）若 的展开式中的各项系数和为243，则
（ ）
A．32 B．31 C．16 D．15
二、多选题
5．（2024·吉林·模拟预测）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．各二项式系数的和为64 B．各项系数的绝对值的和为729
C．有理项有3项 D．常数项是第4项
6．（23-24高二下·广东深圳·期中）若 ，其中 为实
数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测） 的展开式中 的系数为 .
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）若 ，则 .
9．（2024·广东佛山·模拟预测） 的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
10．（2024·福建南平·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为 ．
一、单选题
1．（2024·山东·二模） 展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·模拟预测）若 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中 的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
3．（2024·河北邢台·二模）已知在 的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3
项，其中有理项的个数为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，
会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代
十进制是 ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 换算成十进制
数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多选题
5．（2024·江苏·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·河北·二模）已知 ，
，其中 ， ．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·山西·三模）已知函数 ，则（ ）
A． B． 展开式中，二项式系数的最大值为
C． D． 的个位数字是1
三、填空题8．（2024·山西朔州·一模） 的展开式中 的系数为 ．
9．（2024·河北·模拟预测）已知 的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为
.
10．（2024·江西景德镇·三模）若关于 ， 的三项式 的展开式中各项系数之和为
64，则 ；其中 项系数的最大值为 .
1．（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海·高考真题） 展开式中 的系数为 .
3．（2024·全国·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
4．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
5．（2023·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
6．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
7．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
， ．
8．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
9．（2022·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项是 .
10．（2021·北京·高考真题）在 的展开式中，常数项为 .
11．（2021·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
12．（2021·浙江·高考真题）已知多项式 ，则 ，.
13．（2020·天津·高考真题）在 的展开式中， 的系数是 ．
14．（2020·全国·高考真题） 的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
15．（2020·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
16．（2020·浙江·高考真题）设 ，则 ；
．
17．（2020·全国·高考真题） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
