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2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题26 容斥原理
知识精讲
专题简析：
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数
部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如
图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N＋N－N 。
a b ab
Nab
Na Nb
典例分析
【典例分析01】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有
37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数
学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析 完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多
于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一
次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、
数作业都完成的有：79－48=31人。
【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有
23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第
一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对
第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。【典例分析03】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两
科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：
56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。
【典例分析04】在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然
数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍
数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5
的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－
33=67个。
【典例分析05】光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作
品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有
10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22
幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两
个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的 10幅作品，即
得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以 2，即可求出其他年级参展作品的
总数。（24＋22－10）÷2=18幅。
真题百分练
1．（2分）（2022秋•徽县期末）三年级同学参加跳绳比赛（如图），参加这两个项目的
一共有多少人？下面解答正确的是（ ）
A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣6
2．（2分）（2022秋•吉首市期末）同学们去动物园参观，每人至少参观了大象馆和猴子
馆中的一个馆，参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参观的有6人。
一共有（ ）人去动物园参观。
A．25 B．19 C．313．（2分）（2022秋•汇川区期末）某次比赛中三（1）班获得“阅读之星”称号的有22
人，获得“速算小能手”称号的有35人，两种称号都获得的有15人，全班每人至少获
得了一种称号。三（1）班一共有（ ）人。
A．57 B．62 C．42
4．（2分）（2022春•天心区期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”一
亮相，好评不断。某班共45人，其中30人喜爱冰墩墩，25人喜爱雪容融，1人对这两
个吉祥物都不喜爱，则既喜欢冰墩墩又喜欢雪容融的有（ ）人。
A．25 B．44 C．9 D．11
5．（2分）某班有50名同学，在一次测验中答对第一题的有25人，答对第二题的有20人，
两题都答对的有10人，则有（ ）名同学两题都不对．
A．10 B．15 C．20
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022秋•勃利县期末）三年级同学参加跳绳和拍球比赛，参加跳绳比赛的有
18人，参加拍球比赛的有12人，两项比赛都参加的有2人，参加跳绳和拍球比赛的一
共有 人。
7．（2分）（2022秋•曾都区期末）同学们去动物园游玩，参观大象馆的有38人，参观熊
猫馆的有45人，两个馆都参观的有15人，参观大象馆和熊猫馆的一共有 人。
8．（2分）（2022秋•金乡县期末）三年级参加两个竞赛组的人数如图，参加绘画组有
人，两个组都参加的有 人。三年级一共有 人参加了这两个组的竞赛。
9．（2分）（2022春•东昌府区期末）光明小学举行文艺汇演，跳舞的有19人，唱歌的有
23人，两项都参加的有8人。参加这两项演出的一共有 人。
10．（2分）（2022春•市中区期末）向阳小学举行文艺汇演，跳舞的有16人，唱歌的有
24人，两项都参加的有9人。参加演出的一共有 人。
11．（2分）（2022春•山亭区期末）实验小学四一班有54人，喜欢体育项目的有42人，
喜欢文艺项目的有33人，每人至少喜欢一种项目，两种项目都喜欢的有 人。12．（2分）（2022春•宁津县期末）四年级二班有45名同学，其中26人参加了英语小组，
18人参加了书法小组，有10人两个小组都参加了．有 人两个小组都没参加．
13．（2分）（2022春•陵城区期末）儿童节文艺汇演中，跳舞的有 14人，合唱的有30人，
参加这两项演出的一共有35人。两项都参加的有 人。
三．应用题（共15小题，满分74分）
14．（4分）（2022秋•兰陵县期末）在55名运动员中，参加短跑比赛的有36人，参加跳
绳比赛的有38人。这两项比赛都参加的有多少人？
15．（5分）（2022春•峄城区期末）六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加
演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。两项演出都参加的有多少人？
16．（5分）（2022春•市北区期末）四年级有36名同学进行剪纸和篆刻的才艺展示，展
示剪纸的有26名，展示篆刻的有18名。两种都展示的有多少名同学？
17．（5分）（2019春•德州期末）四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，
喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读
数学故事的有多少人？
18．（5分）（2020春•峄城区期末）四（3）班学生都订了报纸，其中订《中国少年报》
的有38人，订《少年智力开发报》的有35人．已知四（3）班共有52名学生，则两种
报纸都订了的学生有多少人？19．（5分）（2020春•峄城区期末）正当人民开开心心迎接2020年春节到来时，一场突
如其来的新冠病毒席卷了整个神州大地．新冠病毒来势汹汹，它的传染性极强，可以人
传人．为了预防新冠病毒新学期开始同学们在家线上学习，线上做作业．一次作业四年
级一班语文作业全对的有31人，数学作业全对的有34人，两种作业都对的是30人，每
人至少全对一种作业．四年级一班共有学生多少人？
20．（5分）（2022春•滨城区期末）四年级一班有50人，喜欢吃苹果的有25人，喜欢吃
橘子的有22人，两种水果都喜欢吃的有13人。两种水果都不喜欢吃的有多少人？
21．（5分）（2022秋•丹江口市期末）三（1）班有学生45人，喜欢打乒乓球的有28人，
喜欢踢足球的有36人，既喜欢打乒乓球又喜欢踢足球的有多少人？
22．（5分）（2022春•寿光市期末）四年级一班共有26个同学参加了儿童节的舞蹈和合
唱表演。其中有12人参加了舞蹈队，有20人参加了合唱队。请根据以上信息，把图中
各部分的人数填在括号里。23．（5分）（2021春•宁津县期末）四年级1班语文作业全对的有37人，数学作业全对
的有42人，两科作业都对的有31人，每人至少全对一科作业。四年级1班共有多少学
生？
24．（5分）（2014秋•余姚市校级期中）某班有50名同学，在一次测验中答对第一题的
有25人，答对第二题的有20人，两题都答对的有10人，则有几名同学两题都不对？
25．（5分）（2022秋•泰安期末）四年级二班有45人，会下象棋的有21人，会下围棋的
有17人，两种棋都不会的有10人．两种棋都会的有多少人？
26．（5分）三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人
至少带一样．既带矿泉水又带水果的有多少人？27．（5分）（2022春•邹平市期末）“六一”艺术节汇演中，跳舞的有14人，合唱的有
30人，参加这两项演出的一共有35人．两项都参加的有多少人？
28．（5分）（2015春•凤庆县校级期中）四（1）班有26位同学参加了“小记者”兴趣小
组，有25位同学参加了“小主持人”兴趣小组，有6位同学既参加了“小记者”兴趣
小组，又参加了“小主持人”兴趣小组，其余的5位同学参加了其他兴趣小组．四
（1）班共有多少人？
