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2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题07 积的变化规律
典例分析
【典例分析01】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
分析与解答：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，
另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
【典例分析02】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有
什么变化？
分析与解答：一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，
那么另一个加数应减少10－6=4。
【典例分析03】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
分析与解答：被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，
差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
【典例分析04】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变
化？
分析与解答：如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不
变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了
8÷2=4倍。
【典例分析05】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
分析与解答：如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩
小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
真题百分练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•沾化区期末）如果A×3＝450，那么A×30＝（ ）
A．45 B．450 C．4500 D．45000
【思路引导】两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也要
乘或除以相同的数。根据积的变化规律，即可解答。【规范解答】解：对比A×3和A×30，发现A×30的其中一个因数不变，另一个因数乘
10，根据积的变化规律可知，积也要乘10，因为A×3＝450，所以A×30＝4500。选项
C符合题意。
故选：C。
【考点评析】本题主要考查积的变化规律，属于基础知识，要熟练掌握。
2．（2 分）（2022 秋•历城区期末）根据 12×3＝36，可以知道下面结果正确的是
（ ）
A．12×30＝306 B．120×3＝306 C．120×3＝360
【思路引导】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小
到原来的几分之几（0除外），积也会随着扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之几，
据此解答。
【规范解答】解：A．12×30＝360，计算错误；
B．120×3＝360，计算错误；
C．120×3＝360，计算正确。
故选：C。
【考点评析】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
3．（2分）（2022秋•宁安市期末）两个因数的积是570，一个因数不变，另一个因数除
以3，积是（ ）
A．570 B．190 C．1710
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
【规范解答】解：570÷3＝190
两个因数的积是570，一个因数不变，另一个因数除以3，积是190。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
4．（2分）（2022秋•杞县期末）已知A×B＝380，如果A扩大到原来的10倍，B也扩大
到原来的10倍，则积是（ ）
A．3800 B．38000 C．380
【思路引导】根据积的变化规律：两数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另
一个因数也乘（或除以）几（0除外），原来的积就乘（或除以）它们的乘积。【规范解答】解：已知A×B＝380，如果A扩大到原来的10倍，B也扩大到原来的10倍，
则积是380×10×10＝38000。
故选：B。
【考点评析】本题考查积的变化规律，熟练掌握并灵活运用。
5．（2分）（2022秋•文县期末）与48×32的积相等的是（ ）
A．（48×2）×（32×2） B．（48÷2）×（32÷2）
C．（48×2）×（32÷2）
【思路引导】如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变。
据此判断。
【规范解答】解：与48×32相比较：
A.（48×2）×（32×2）相当于48×32的48和32同时乘2，积变化了；
B.（48÷2）×（32÷2）相当于48×32的48和32同时除以2，积变化了；
C.（48×2）×（32÷2）相当于48×32的48乘2，32除以2，积不变。
故选：C。
【考点评析】熟练掌握积的变化规律是解题的关键。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2022秋•宁安市期末）已知A×B＝480，如果A乘以2，B不变，积是 960
；如果B除以4，A不变，那么积是 12 0 。
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
【规范解答】解：480×2＝960
480÷4＝120
答：已知A×B＝480，如果A乘以2，B不变，积是960；如果B除以4，A不变，那么积
是120。
故答案为：960，120。
【考点评析】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
7．（2分）（2022秋•通道县期末）根据80×21＝1680，直接写出下面各题的积。
80×42＝ 336 0 20×21＝ 42 0【思路引导】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几
（0除外），积也乘几或除以相同的数。
【规范解答】解：根据80×21＝1680，可得：
80×42＝3360 20×21＝420
故答案为：3360，420。
【考点评析】熟练掌握积的变化规律是解答此题的关键。
8．（2分）（2022秋•青川县期末）（1）两个因数的积是350，一个因数不变，另一个因
数乘4，则积是 140 0 ；
（2）〇÷△＝32，如果〇不变，△除以4，那么商是 12 8 。
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩
大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而
缩小，除数缩小商就扩大。
【规范解答】解：（1）350×4＝1400
两个因数的积是350，一个因数不变，另一个因数乘4，则积是1400；
（2）32×4＝128
〇÷△＝32，如果〇不变，△除以4，那么商是128。
故答案为：1400，128。
【考点评析】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。
9．（2分）（2022秋•舒兰市期末）根据19×35＝665，直接写出下面各题的得数。
19×350＝ 665 0 38×35＝ 133 0 665÷19＝ 3 5
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
根据乘与除的互逆关系可知，一个因数＝积÷另一个因数。
【规范解答】解：
19×350＝6650 38×35＝1330 665÷19＝35故答案为：6650，1330，35。
【考点评析】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。
10．（2分）（2022秋•中山市期末）根据8×125＝1000，直接写出下面的得数。
16×125＝ 200 0
56×125＝ 700 0
【思路引导】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以
几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数，据此解答。
【规范解答】解：根据8×125＝1000，可得：
16×125＝（8×2）×125＝1000×2＝2000
56×125＝（8×7）×125＝1000×7＝7000
故答案为：2000，7000。
【考点评析】熟练掌握积的变化规律是解决本题的关键。
11．（2分）（2022秋•微山县期末）两个数的积是240，如果一个因数不变，另一个因数
扩大到原来的10倍，则积是 240 0 。
【思路引导】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以
几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数，据此解答。
【规范解答】解：两个数的积是240，如果一个因数不变，另一个因数扩大10倍，则积
是240×10＝2400。
故答案为：2400。
【考点评析】此题主要考查积的变化规律的灵活应用。
12．（2分）（2022秋•黄梅县期末）根据38×12＝456，写出下面算式的得数
380×12＝ 456 0 38×6＝ 22 8
4560÷120＝ 3 8 456÷24＝ 1 9
【思路引导】在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数乘10，
积就乘10，另一个因数除以2，积就除以2；依此计算。
因数＝积÷另一个因数，则456÷12＝38，在商不为0的除法算式里，被除数和除数同
时乘或除以一个不为0的数，商的大小不变；当被除数一定时，除数乘几（不为 0），
商就除以几，依此计算。
【规范解答】解：根据38×12＝456，可得：380×12＝4560 38×6＝228
4560÷120＝38 456÷24＝19
故答案为：4560，228，38，19。
【考点评析】解答此题的关键是要熟练掌握积、商的变化规律，以及乘、除法的意义和
各部分之间的关系。
13．（2分）（2022秋•金乡县期末）不计算，在横线里直接写出下面算式的积或商。
32×120＝3840 780÷15＝ 5 2
32×12＝ 38 4 780÷30＝26
780÷60＝ 1 3 64×120＝ 768 0
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩
大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而
缩小，除数缩小商就扩大。
【规范解答】解：
32×120＝3840 780÷15＝52
32×12＝384 780÷30＝26
780÷60＝13 64×120＝7680
故答案为：52；384；13；7680。
【考点评析】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2022秋•井研县期末）已知A×B＝9，如果A、B同时扩大到原来的2倍，则
积也扩大到原来的2倍。 × （判断对错）
【思路引导】根据积的变化规律：两数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另
一个因数也乘（或除以）几（0除外），原来的积就乘（或除以）它们的乘积。
【规范解答】解：2×2＝4
已知A×B＝9，如果A、B同时扩大到原来的2倍，则积扩大到原来的4倍，原题说法错
误。故答案为：×。
【考点评析】此题考查积的变化规律，熟练掌握并灵活运用。
15．（2分）（2022秋•舞阳县期末）12×4＝48，两个因数都扩大为原来的2倍，积就变
成了192。 √ （判断对错）
【思路引导】如果两个因数扩大为原来几倍（0除外），积扩大为原来两个因数扩大为
原来倍数的乘积；据此解答即可。
【规范解答】解：2×2＝4
48×4＝192
所以如果两个因数同时扩大为原来的2倍，积就变成了192；原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题考查了积的变化规律的灵活应用。
16．（2分）（2022秋•沁阳市期末）两个因数相乘的积是 360，如果一个因数不变，另一
个因数除以10，那么积是36。 √ （判断对错）
【思路引导】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以
几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数，据此解答。
【规范解答】解：两个因数相乘的积是 360，如果一个因数不变，另一个因数除以10，
那么积是360÷10＝36；
原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题主要考查积的变化规律的灵活应用。
17．（2分）（2022秋•三河市期末）两个不为零的数相乘，把两个因数同时扩大10倍，
积不变。 × （判断对错）
【思路引导】两个因数相乘，一个因数乘m或除以m（0除外），另一个因数乘n或除以
n（0除外），积就乘mn或除以mn。据此判断。
【规范解答】解：两个不为零的数相乘，把两个因数同时扩大10倍，积扩大到原来的
10×10＝100倍。
所以原题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】熟练掌握积的变化规律是解题的关键。
18．（2分）（2022秋•邹城市期末）如果☆×12＝180，那么☆×4＝60。 √ （判断
对错）【思路引导】两个数相乘（0除外），一个因数不变，另一个因数除以几，则积就除以
几；据此解答。
【规范解答】解：12÷3＝4
180÷3＝60
所原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题主要考查了学生对积的变化规律的掌握。
四．计算题（共3小题，满分18分，每小题6分）
19．（6分）（2022秋•黄州区期末）根据25×18＝450，直接写出下面各题的得数。
250×18＝ 450 0 25×1800＝ 4500 0 4500÷25＝ 18 0
【思路引导】积的变化规律：如果一个因数乘（或除以）几，另一个因数不变，那么积
也乘（或除以）几；
因数×因数＝积，反过来积÷因数＝另一个因数，25×18＝450转换成除法算式，450
相当于被除数，25相当于除数，18相当于商；商的变化规律：除数不变，被除数扩大
几倍，商也扩大几倍；除数不变，被除数缩小为原来的几分之一，商也缩小为原来的几
分之一；据此解答。
【规范解答】解：根据25×18＝450，可得：
250×18＝4500 25×1800＝45000 4500÷25＝180
故答案为：4500，45000，180。
【考点评析】本题考查的是积的变化规律和商的变化规律。
20．（6分）（2021秋•中江县期末）不计算，直接写出下面两题的积或商。
900÷36＝25 23×16＝368
1800÷36＝ 5 0 230×16＝ 368 0
450÷18＝ 2 5 23×160＝ 368 0
【思路引导】在除法算式中除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商就乘或除以相
同的数；被除数和除数同乘或同除以相同的数（0除外），商不变；
根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），
积也会随之乘或除以相同的数，据此解答。
【规范解答】解：900÷36＝25 23×16＝368
1800÷36＝50 230×16＝3680
450÷18＝25 23×160＝3680
故答案为：50，25；3680，3680。
【考点评析】此题主要考查商与积的变化规律的灵活应用。
21．（6分）（2022秋•汉川市期中）根据下面第1题的积，找规律填出其他题的得数。
13×12＝156
13×24＝ 13×36＝ 13×48＝
26×6＝ 39×24＝ 26×24＝
【思路引导】一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几；
如果一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变；两个因数相乘，
一个因数乘m或除以m（0除外），另一个因数乘n或除以n（0除外），积就乘mn或除
以mn。
【规范解答】解：13×12＝156
13×24＝312 13×36＝468 13×48＝624
26×6＝156 39×24＝936 26×24＝624
【考点评析】熟练掌握积的变化规律是解题的关键。
五．应用题（共4小题，满分22分）
22．（5分）（2021秋•夏津县期末）一块长方形试验田的面积是180平方米，现将长扩大
到原来的4倍，宽不变。扩建后试验田的面积是多少平方米？
【思路引导】长方形的面积＝长×宽，如果宽不变，长扩大到原来的4倍，那么面积也
要扩大到原来的4倍，所以用原来的面积乘4就是现在的面积。
【规范解答】解：180×4＝720（平方米）
答：扩建后试验田的面积是720平方米。
【考点评析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也
同时乘或除以几；据此解答即可。
23．（5分）（2021秋•汤阴县期中）一个宽8米的长方形绿地面积是200平方米，如果长
不变，宽增加到24米，绿地面积增加了多少？
【思路引导】根据题意，可依据原来长方形面积除以宽计算出长方形的长，宽增加到 24米，即宽24
米，根据长方形的面积公式进行计算即可得到增加后的面积，再减去原来的面积即可得
解。
【规范解答】解：200÷8×24
＝25×24
＝600（平方米）
600﹣200＝400（平方米）
答：这块绿地面积增加梨400平方米。
【考点评析】此题主要考查长方形的面积公式的灵活运用。
24．（6分）（2021秋•昌乐县期中）一个长方形污水处理池的面积是4200平方米，将这
个污水处理池的长扩大为原来的2倍，宽不变，扩建后的这个污水处理池面积是多少平
方米？
【思路引导】长方形的面积＝长×宽，根据积的变化规律知，一个因数不变，另一个因
数扩大几倍，各也扩大几倍，所以宽不变，找扩大到原来的4倍，面积也扩大到原来的
4倍．据此解答。
【规范解答】解：4200×2＝8400（平方米）
答：扩建后的这个污水处理池面积是8400平方米。
【考点评析】本题主要考查了学生对长方形面积公式和积的变化规律知识的掌握。
25．（6分）（2016秋•金牛区期末）甲、乙两数相乘，如果乙数增加3，积就增加240，
已知乙数是甲数的8倍，求这两个数的积是多少？
【思路引导】根据乘法算式中各部分之间的关系，一个因数＝积÷另一个因数，由如果
乙数增加3，甲数不变，积增加240，可以求出甲数是240÷3＝80，则乙数是80×8＝
640，再求得两数的积即可．
【规范解答】解：甲数：240÷3＝80
乙数：80×8＝640
80×640＝51200
答：这两个数的积是51200．
【考点评析】此题主要考查乘法算式中各部分之间的关系和整数乘法计算．
六．解答题（共4小题，满分24分，每小题6分）
26．（6分）（2021秋•洪江市期末）一块长方形草坪的面积约为480平方米，现在对这块
草坪进行扩建。（1）方案一：只把长扩大为原来的3倍，宽不变，扩建后的草坪面积是多少平方米？（2）方案二：把长和宽都扩大为原来的3倍，扩建后的草坪面积是多少平方米？
【思路引导】长方形面积＝长×宽。积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或
除以几（0除外），积也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除
外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
【规范解答】解：（1）480×3＝1440（平方米）
答：扩建后的草坪面积是1440平方米。
（2）480×3×3＝4320（平方米）
答：扩建后的草坪面积是4320平方米。
【考点评析】此题主要考查的是长方形的面积公式和积的变化规律的灵活应用。
27．（6分）（2021秋•铁东区期末）不计算，直接写出下面两组题的结果。
35×16＝560 350×16＝ 35×32＝ 140×8＝
128÷8＝16 1280÷8＝ 128÷16＝ 640÷40＝
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩
大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而
缩小，除数缩小商就扩大。
【规范解答】解：
35×16＝560 350×16＝5600 35×32＝1120 140×8＝1120
128÷8＝16 1280÷8＝160 128÷16＝8 640÷40＝16
【考点评析】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。
28．（6分）（2022秋•成武县期中）根据120×25＝3000，在〇里填“×”或“÷”，在
□里填上合适的数。
（1200〇□）×25＝6000 （120〇□）×25＝1000
【思路引导】一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。
【规范解答】解：因为6000÷3000＝2
所以1200÷10×2＝1200÷5＝240
所以1200÷5×25＝60003000÷1000＝3
所以120÷3×25＝40×25＝1000
故答案为：÷，5；÷，3。
【考点评析】熟练掌握积的变化规律是解题的关键。
29．（6分）（2022秋•安溪县期中）在数学课上，我们通过算式举例、观察比较，发现了
“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几”的规律。现
在 你 能 不 能 像 课 本 探 究 这 一 规 律 那 样 ， 研 究 以 下 问 题 ：
（1）请选择其中的一个问题进行探究，在所选择问题后面的口打“√”，
当两个因数同时变化时，积有什么变化规律？口
当两个因数发生什么变化时，积不变？口
（2）我是这样研究的：
（3）我发现的规律是： 根据积的变化规律：如果两个因数都乘同一个数（ 0 除外），
积就乘两次这个数；两个因数都除以几（ 0 除外），积就除以两次这个数。一个因数扩
大若干倍或缩小到原来的几分之一（ 0 除外），另一个因数缩小到原来的几分之一或扩
大相同的倍数，积不变。
【思路引导】（1）根据题意，可以任意选择一个问题进行探究，例如我们可以研究第
一个问题：当两个因数同时变化时，积有什么变化规律？
（2）可以先研究两个因数都乘同一个数（0除外）。例如：
10×10＝100
（10×10）×（10×10）＝（100×10×10）＝10000（10×30）×（10×30）＝（100×30×30）＝90000
，发现：如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；再研究两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。例如：
100×100＝1000
（100÷10）×（100÷10）＝1000÷10÷10＝100
（100÷100）×（100÷100）＝1000÷100÷100＝1
发现：两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
最后研究：一个因数扩大若干倍或缩小到原来的几分之一（0除外），另一个因数缩小
到原来的几分之一或扩大相同的倍数。例如：
100×100＝10000
（100×10）×（100÷10）＝10000
（100÷100）×（100×100）＝10000
发现：一个因数扩大若干倍或缩小到原来的几分之一（0除外），另一个因数缩小到原
来的几分之一或扩大相同的倍数，积不变。
（3）总结研究的规律即可。
【规范解答】解：
（1）可以任意选择一个问题进行探究，例如我们可以研究第一个问题：
当两个因数同时变化时，积有什么变化规律？√（答案不唯一）
（2）我是这样研究的：
①研究两个因数都乘同一个数（0除外）：
10×10＝100
（10×10）×（10×10）＝（100×10×10）＝10000
（10×30）×（10×30）＝（100×30×30）＝90000
发现：如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数。
②研究两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。例如：100×100＝1000
（100÷10）×（100÷10）＝1000÷10÷10＝100
（100÷100）×（100÷100）＝1000÷100÷100＝1
发现：两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
③最后研究：一个因数扩大若干倍或缩小到原来的几分之一（0除外），另一个因数缩
小到原来的几分之一或扩大相同的倍数。例如：
100×100＝10000
（100×10）×（100÷10）＝10000
（100÷100）×（100×100）＝10000
发现：一个因数扩大若干倍或缩小到原来的几分之一（0除外），另一个因数缩小到原
来的几分之一或扩大相同的倍数，积不变。
（3）发现的规律是：根据积的变化规律：如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就
乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。一个因数扩大若
干倍或缩小到原来的几分之一（0除外），另一个因数缩小到原来的几分之一或扩大相
同的倍数，积不变。
故答案为：根据积的变化规律：如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这
个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。一个因数扩大若干倍或缩
小到原来的几分之一（0除外），另一个因数缩小到原来的几分之一或扩大相同的倍数，
积不变。
【考点评析】本题考查了积的变化规律知识，结合题意分析解答即可
