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2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题19 周期问题
知识精讲
专题简析：
年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。
有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
典例分析
【典例分析01】爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？
分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差
是43－11=32岁。所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此
16－11=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。
【典例分析02】妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈
妈和女儿今年各多少岁？
分析与解答：从 3 年前到今年，妈妈和女儿都长了 3 岁，她们今年的年龄和是：
39+3×2=45岁。于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45÷
（1+4）=9岁，妈妈今年是9×4=36岁。
【典例分析03】今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍。小红和
小梅今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的 5－1=4倍，
也是3年后小梅年龄的2－1=1倍，即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以，
小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年的年龄为：1×5=5岁。
【典例分析04】甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年，她的爸爸和妈妈的
年龄和为80岁？分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁，
再求 80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个 2，就是经过的年数。所以，再过
26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
【典例分析05】小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁，今年全家年
龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄总和是49岁，这个条件中8年与49岁看上去有一
个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁，
但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢？这说明8年前小英还没有出生。这相差的2
岁就是8年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的年龄和为
71－6=65岁。已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁，母亲34－
3=31岁。
真题百分练
一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）
1．（3分）（2022春•房山区期末）观察下面的图形，按这样的规律排列，第20个图形是
（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】根据涂色可知，每4个图形一循环，计算底20个图形是第几组循环零几
个，即可判断其形状。
【规范解答】解：20÷4＝5（组）
答：第20个图形是 。
故选：A。
【考点评析】先找到规律，再根据规律求解。
2．（3分）（2018春•磁县期末）体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、
5循环报数，最后一个报的数是2，这一排同学有（ ）人．
A．26 B．27 C．28
【思路引导】把这5个数看成一组，最后一个报的数是2，这一排的人数就是除以5，余数是2的数．
【规范解答】解：26÷5＝5…1；27÷5＝5…2；
28÷5＝5…3；
这一排可能的人数是27．
故选：B．
【考点评析】先找到规律，再根据规律求解．
3．（3分）（2016•启东市）根据规律，第30个图形是（ ）
△□☆☆△□☆☆△□☆☆…
A．△ B．□ C．☆
【思路引导】观察题干可知，这组图形是按照△□☆☆的顺序重复出现，把这样的4个
图形看成1组，求出30里面有几个这样的组，再根据余数判断即可．
【规范解答】解：30÷4＝7（组）…2（个）
余数是2，每组的第二个图形是□，所以第30个图形是□．
故选：B．
【考点评析】解决这类问题是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，
再根据规律求解．
4．（3分）（2022秋•天元区期末）小希星期天在家练硬笔书法时，写“争做文明的沛县
人争做文明的沛县人……”依次写下去，那么第95个字应是（ ）
A．沛 B．县 C．人
【思路引导】根据题意，按照“争做文明的沛县人”依次排列下去，用 95除以8，求出
商和余数，余数是几就表示第95个字和一组中的第几个字是一样的。
【规范解答】解：95÷8＝11（组）……7（个）
第95个字应是县字。
故选：B。
【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一个周期，先找出排列的周期
性规律，再根据规律求解。
5．（3分）“我喜欢学数学我喜欢学数学我喜欢学数学…”依次排列，第2004个字是（
）
A．“我” B．“欢” C．“学”
【思路引导】观察题干可知，这组汉字的排列规律是：5个汉字一个循环周期，分别按
照我喜欢数学的顺序依次循环排列，据此求出第2014个汉字是第几个循环周期的第几
个即可．【规范解答】解：“我喜欢学数学”为6个字，
2004÷6＝334，没有余数，
所以刚好是第六个字“学”；
故选：C．
【考点评析】根据题干得出这组汉字的排列规律是解决本题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
6．（2分）（2019春•简阳市 期末）小丁按照2个红球4个蓝球的顺序，把气球串起来挂
在墙上．这串气球中的第18个是 蓝色 球，第39个是 蓝色 球．
【思路引导】因为气球是有规律的排列的，所以把2个红色气球、4个蓝球也就是把6
个气球看做是一组，再看一看18（或39）里面有几个6，就是有几组，根据余数是几，
进一步推出最后一个气球的颜色．
【规范解答】解：一组有：2+4＝6（个）
18÷6＝3（组）
没有余数，所以第18个气球的颜色是蓝色．
39÷6＝6（组）…3（个）
余数是3，所以第39个气球的颜色是蓝色．
答：这串气球中的第18个是 蓝色球，第39个是 蓝色球．
故答案为：蓝色，蓝色．
【考点评析】此题考查事物的间隔排列规律，关键是弄清几个为一组，再看总共分几组，
根据余数是几，进一步确定最后一个的情况．
7．（2分）北京奥运会期间商场门前挂满了一串串的彩灯，按照 3红、3黄、3白、3紫的
顺序排列，那第117盏彩灯是 白 颜色．
【思路引导】把3红、3黄、3白、3紫这12盏彩灯看成一组，求出117里面有多少个
这样的一组，还余几，然后根据余数判断．
【规范解答】解：3×4＝12（盏）；
117÷12＝9…9；
余数是9，第9盏灯是白色的；第117盏就是白色的．
答：第117盏彩灯是白色的．
故答案为：白．【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规
律，再根据规律求解．
8．（2分）有同样大小的红、蓝、黄彩灯76盏，按先2个红的、再3个蓝的、再5个黄的
排列着．蓝色灯共有 2 4 盏；第54盏灯是 蓝 色．
【思路引导】彩灯的排列特点是：2+3+5＝10个一个循环周期，分别按照：2个红的、
再3个蓝的、再5个黄的顺序排列，由此计算出第76和第54个彩灯是第几个周期的第
几个即可．
【规范解答】解：（1）76÷10＝7…6
所以经过了7个循环，还余2个红的、3个蓝的、1个黄的；
共有蓝色的：3×7+3＝24（个）
（2）54÷10＝5…4
所以，是6个循环的第4个，第54个彩灯是蓝色．
答：蓝色灯共有 24盏；第54盏灯是 蓝色．
故答案为：24、蓝．
【考点评析】根据题干得出这组彩灯的颜色排列周期特点是解决此类问题的关键．
9．（2分）一座大楼上的彩灯按红、黄、蓝、绿、紫的顺序依次排列组装，一共有37个
灯泡．想一想：第20只灯泡的颜色是 紫色 ，最后一只灯泡的颜色是 黄色 ．
【思路引导】彩灯的排列特点是：5只一个循环周期，分别按照：红、黄、蓝、绿、紫
的顺序排列，由此计算出第20和第37个彩灯是第几个周期的第几个即可．
【规范解答】解：20÷5＝4
所以第20个灯泡是紫色；
37÷5＝7…2
所以第37灯泡是黄色；
答：第20只灯泡的颜色是 紫色，最后一只灯泡的颜色是 黄色．
故答案为：紫色；黄色．
【考点评析】根据题干得出这组彩灯的颜色排列周期特点是解决此类问题的关键．
10．（2分）按▲▲△▲△▲▲△▲△▲▲△▲△…的方法摆80个三角形，有 3 2 个是
白色．
【思路引导】把▲▲△▲△这么5个三角形看成一组，每组有2个白色三角形；求出80
里面有几个这样的一组，还余几，再进行推算．【规范解答】解：每5个三角形看成一组；
80÷5＝16；
80里面有16组，每组中有2个白色的三角形，所以一共有白色三角形：
16×2＝32（个）；
答：一共有32个白色三角形．
故答案为：32．
【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规
律，再根据规律求解．
11．（2分）有一列数 1、2、4、7、11、16、22、29、…这列数左起第2013个数除以5的
余数是 4 ．
【思路引导】用5去除 1、2、4、7、11、16、22、29、…，可得余数：1、2、4、2、
1，1、2、4、2、1…；每五个数一个循环，然后根据2013里面有几个5解答即可．
【规范解答】解：2013÷5＝402…3，
所以，这列数左起第2013个数除以5的余数是4．
故答案为：4．
【考点评析】本题关键是求出这个数列余数的变化规律，再根据周期问题的解答方法解
决问题．
12．（2分）（2022春•兴文县期末）☆△〇□☆△〇□☆△〇□⋯⋯，第105个图形是
☆ 。
【思路引导】观察图形可知，这组图形是4个图形一个循环周期，分别按照：☆△〇□
的顺序依次循环排列，计算出第105个图形是第几个周期的第几个即可。
【规范解答】解：105÷4＝26……1
答：第105个图形是第27周期的第1个，是☆。
故答案为：☆。
【考点评析】根据题干得出图形的排列规律4个图形一个循环周期是解决此类问题的关
键。
13．（2分）（2022春•安丘市期末）我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、
鸡、狗、猪十二种小动物，按这样顺序循环代表各年的年号。如果今年是牛年，那么再
过75年是 龙 年。
【思路引导】看75年里有多少个12年，还余多少年，再根据余数和生肖的顺序判断。
【规范解答】解：75÷12＝6......3余数是3，牛年再过3年是龙年。
答：再过75年是龙年。
故答案为：龙。
【考点评析】本题把12个生肖看成一个整体，再求出经过的年数，求出这些年里有几
个12年，还余几年，再根据余数推算。
14．（2分）（2020春•简阳市 期末）观察下面图形的排列规律，第18个图形是 长方
形 ，第99个图形是 平行四边形 。
【思路引导】观察得出规律：按照平行四边形、长方形、平行四边形、梯形4个图形为
一个周期循环出现。结合发现的规律，利用带余除法解决问题。据此答题即可。
【规范解答】解：经分析得：
18÷4＝4……2
平行四边形、长方形、平行四边形、梯形中的第2个图形为长方形。
99÷4＝24……3
平行四边形、长方形、平行四边形、梯形中的第1个图形为平行四边形。
故答案为：长方形；平行四边形。
【考点评析】本题考查简单周期问题。结合发现的规律，利用带余除法解决问题即可。
15．（2分）有一列数：7、8、4、9、7、8、4、9、7、8、4、9…，这样排下去，第125
个数是 7 ，第200个数是 9 ．
【思路引导】这个数列是一组循环出现的数字，它的循环周期有 4个数字依次是：7、
8、4、9，用125（或200）除以周期数4余数是几，然后结合余数确定循环数字中的第
几个数即可．
【规范解答】解：它的循环周期有4个数字依次是：7、8、4、9，
（1）125÷4＝31…1
余数是1，所以第125个数是第32个循环周期的第一个数字7．
（2）200÷4＝50
没有余数，所以第200个数是第50个循环周期的最后一个数字9．
故答案为：7；9．
【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规
律求解．
三．判断题（共2小题，满分6分，每小题3分）
16．（3分）（2022秋•玉门市期末）如果按“红红黄绿红红黄绿……”的顺序摆一些气球，
第35个气球一定是黄色的。 √ （判断对错）
【思路引导】根据题意，把“红红黄绿”4个气球看作一个周期，用35除以4，如果商
正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果有余数，余数是几，结果就为下一个
周期里的第几个。据此解答。
【规范解答】解：35÷4＝8……3
答：下一个周期中的第3个气球是黄色，则第35个气球一定是黄色的。
原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查周期问题。确定周期后，用总量除以周期，掌握商、余数与结果
的关系是解题的关键。
17．（3分）□△△○★□△△○★□△△○★…第32个图形是★． × ．（判断对
错）
【思路引导】□△△○★这样的5个图形看成一组，用32除以5，求出有多少个这样的
一组，还余几，再求出余的图形分别是什么，进而求解．
【规范解答】解：□△△○★这样的5个图形看成一组，
32÷5＝6（组）…2（个）
余下的2个是□△，第32个图形是△．
故原题说法错误；
故答案为：×．
【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规
律，再根据规律求解．
四．解答题（共9小题，满分59分）
18．（6分）（2022秋•沈丘县期末）黑、白、灰三种不同的颜色五角星共有83颗，按如
下顺序排列：
知道有多少颗 吗？
【思路引导】根据题意可知，4颗黑五角星、3颗灰五角星、2颗白五角星为1组，依此一组有：
4+3+2＝9（颗），则用三种不同的颜色五角星的总颗数除以9，从而计算出可以排列的
组数，再根据组数和余数计算出灰五角星的颗数即可。
【规范解答】解：4+3+2＝9（颗）
83÷9＝9（组）……2（颗）
剩下的2颗都为
9×3＝27（颗）
答：有27颗 。
【考点评析】此题考查的是图形排列的规律，熟练掌握有余数除法的实际运用是解答此
题的关键。
19 ． （ 6 分 ） （ 2014 春 • 淮 安 校 级 期 末 ） 有 一 些 图 形 按
的顺序排列．
（1）请你算一算第64个图形是什么图形？
（2）前78个图形中， 占总数的几分之几？
【思路引导】（1）观察图形可知，这组图形排列规律是：6个图形一个循环周期，分别
按照：3个正方形，2个圆形，1个三角形依次循环排列；计算出第64个图形是第几个
周期的第几个图形即可；
（2）每个周期都有2个圆形，计算出前78个图形经历了几个周期，即可求出有几个圆
形，再根据分数的意义即可解答．
【规范解答】解：（1）64÷6＝10…4，
答：第64个图形是第11周期的第4个图形，是圆形；
（2）78÷6×2＝26（个），
26÷78＝ ，
答：前78个图形中圆形占总数的 ．
【考点评析】根据题干得出图形的排列周期规律是解决此类问题的关键．
20．（6分）张教练把1至50号数字卡片依次发给甲、乙、丙、丁、戊、己6名足球队员，
那么第45号应发给谁？【思路引导】一共是6个人，那么6就是循环的周期，求出45里面有多少个这样的周期，还余几，再
根据余数判断45号给的运动员是谁．
【规范解答】解：45÷6＝7…3
余数是3，那么第45号就给丙．
答：第45号发给丙．
【考点评析】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规
律，再根据规律求解．
21．（6分）我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按
顺序轮流代表各年的属相．例如，第一年如果是鼠年，第二年就是牛年，第三年就是虎
年．如果公元1年是鸡年，公元2008年是什么年？
【思路引导】因为12年一循环，所以只要用2008÷12，如果有余数，就看此余数在以
鸡开始循环的第几种动物，由此即可得出要求的答案，如果没有余数，则要求的答案就
是以鸡为开始的循环的最后一种动物．
【规范解答】解：2008÷12＝167…4，
所以，以鸡开始循环的第4种动物是鼠，
由此得出，公元2008年是鼠年．
答：公元2008年是鼠年．
【考点评析】本题考查了事物的间隔排列规律．解答此题的关键是，根据每12年为一
个循环，只要求出2008除以12的余数，即可得出答案．
22．（7分）48减去4，加1，再减4，加1…这样连续几次，结果为0？
【思路引导】根据减去4，加1，再减4，加1，…这样连续几次，知道每次减4﹣1，用
48除以每次减去的数就是要求的答案．
【规范解答】解：48÷（4﹣1）
＝48÷3
＝16
答：这样连续16次，结果为0．
【考点评析】解答此题的关键是根据题意，找出每次减少的数，即可求出答案．
23．（7分）在△△△○○△△△○○△△△○○…中，请列式计算第102个是什么图形？
在这102个图形中△一共有多少个？○呢？
【思路引导】根据题干分析可得，图形的排列规律是：分别按照△△△○○的顺序依次循环排列，即
5个图形一个周期，据此计算得出第102个图形是第几个循环周期的第几个即可解答．
【规范解答】解：102÷5＝20…2，
所以102个图形是△；
△有：20×3+2＝62（个）；
○有：20×2＝40（个）；
答：第102个图形是△；在这102个图形中△一共有62个；○有40个．
【考点评析】根据题意得出给出图形的排列规律是解决本题的关键．
24．（7分）节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，
然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、…这样排下去．问：
（1）第100盏灯是 红 颜色；
（2）前150盏彩灯中有 4 9 盏蓝灯．
【思路引导】根据题干分析可得，这串彩灯的排列规律是：12盏彩灯一个循环周期，分
别按照5盏红灯，4盏蓝灯，3盏黄灯的顺序循环出现，据此求出第100盏和第150盏是
第几个循环周期的第几个即可解答．
【规范解答】解：5+4+3＝12（个），
100÷12＝8…4（盏），
所以第100盏彩灯是第8周期的第4个，是红灯；
150÷12＝12…6（盏），
12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），
最后的6盏灯中有1盏蓝灯，
所以前150盏彩灯中有红灯：12×4+1＝49（盏）；
故答案为：红，49．
【考点评析】根据题干，得出这串彩灯的排列规律是解决此类问题的关键．
25．（7分）数 手 指一位数学家突然被他的小女儿吸引住了．女孩子跪在地上，伸开左手，正在数手指呢！
她的数法是：大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小指为5，然后换向，无
名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换向，食指为10…数到50还没有停下，
数学家就去问她：“孩子，你数手指头干吗呢？你要数到多少才停下呢？”
女孩站起身说：“我要数到1981，看停在哪个手指上！”
【思路引导】根据题意，观察图片，可得小指所表示的数字的规律，及其计数的顺序，
先从大拇指开始，是5个数，后来从6开始每8个数字循环回到小指一次，根据（要求
数字﹣5）÷循环周期计算，根据余数进而可得答案．
【规范解答】解：（1981﹣5）÷8，
＝1976÷8
＝247，
没有余数，所以是在小指上．
答：1981停在小指上．
【考点评析】处理此类问题，要仔细观察、认真分析，发现规律，最后要注意验证所找
出的规律．
26．（7分）OOO△△△△△OOO△△△△△OOO……第100个是什么图形？第385个呢？
【思路引导】由图意可知：图形的间隔规律是3个圆和5个三角形组成8个的整体间隔
出现，求100中有几个这样的组合，看余数是几，从左向右数到几，即可求得答案．同
理可求得385是什么图形．
【规范解答】解：100÷8＝12…4，
从左向右数4，则是△．
385÷8＝48…1，
从左向右数1，则是O．
答：第100个图形是△，第385个是O．
【考点评析】解决此题的关键是明白3个圆和5个三角形组成8个的整体间隔出现，分别
看100和385中有多少个这样的组合，看余数是几，从左向右数到几，即可求得答案
