文档内容
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题10 商的变化规律
典例分析
【典例分析01】两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增
加12－8=4。
【典例分析02】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是
多少？余数是多少？
分析与解答：两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍
数。所以商是8，余数是20×10=200。
【典例分析03】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么
积是多少？
分析与解答：一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以
最后的积是48×2÷3=32。
【典例分析04】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一
个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？
分析与解答：根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加
了6；另一个加数十位上的 3写成 8，增加了 50。这样，所得的结果就比原来增加了
6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。
【典例分析01】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位
上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
分析与解答：根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因
此减少60。这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，
正确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247。
真题百分练
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•沈丘县期末）123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时
乘7时，余数（ ）
A．不变 B．除以7 C．乘7
【思路引导】根据商不变的性质“被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不
变”，所以，123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，商仍然是
24；但是余数变了，余数与被除数和除数一样，也乘7，据此解题即可。
【规范解答】解：3×7＝21
所以，123除以5的商是24，余数是3，当除数、被除数同时乘7时，余数也乘7，余数
21。
故选：C。
【考点评析】此题考查商不变的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大相同的倍数
（0除外）或缩小为原来的几分之一，商不变，要注意：余数与被除数和除数一样，也
扩大相同的倍数或缩小为原来的几分之一。
2．（2分）（2022秋•大城县期末）如果38÷16＝0.38÷a，那么a＝（ ）
A．16 B．0.16 C．1.6
【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
【规范解答】解：如果38÷16＝0.38÷a，那么a＝0.16。
故选：B。
【考点评析】解答此题应明确：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），
商才不变。
3．（2分）（2022秋•镇原县期末）560÷80＝7，560扩大到原来的10倍，80缩小到原来
的 ，商是（ ）
A．扩大100倍 B．缩小100倍 C．不变
【思路引导】在除法算式中，除数不变，被除数乘几，商也乘几；被除数不变，除数除
以几，商反而乘几；据此解答即可。
【规范解答】解：560÷80＝7，560扩大到原来的10倍，即被除数乘10，80缩小为原
来的 ，即除数除以10，则商扩大到原来的10×10＝100倍。
故选：A。
【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活运用。4．（2分）（2022秋•龙海市期末）已知a÷b＝5……2，那么（a×100）÷（b×100）＝
（ ）A．5……2 B．5……200 C．500……2 D．500……200
【思路引导】在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除
外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。据此解答即可。
【规范解答】解：已知a÷b＝5……2，那么（a×100）÷（b×100）＝5……200。
故选：B。
【考点评析】关键是理解商不变的性质：被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数
（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。
5．（2分）（2022秋•博罗县期末）在有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘 100，
商不变，余数应（ ）
A．不变 B．除以100 C．乘100
【思路引导】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商
不变，但是余数改变了，余数也同时乘或除以这个相同的数。
【规范解答】解：在有余数的除法算式里，被除数和除数同时乘100，商不变，余数应
乘100。
故选：C。
【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。
6．（2分）（2022秋•彭州市期末）根据90÷18＝5，判断下列运算错误的是（ ）
A．（90×9）÷（18×9）＝5 B．（90÷2）÷（18×2）＝5
C．（90÷6）÷（18÷6）＝5
【思路引导】被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），商不变；被除数除
以一个数（0除外），除数乘一个数，商除以这两个数的积。
【规范解答】解：选项A被除数和除数都乘9，商不变，计算正确；选项B被除数除以
2，除数乘2，商就是5÷（2×2），运算错误。
故选：B。
【考点评析】熟悉商的变化规律是解决本题的关键。
二．填空题（共8小题，满分21分）
7．（4分）（2022秋•雅安期末）找规律，填空。
（1）420÷60＝210÷ 3 0 。
（2）已知1×1＝1，11×11＝121，111×111＝12321，那么，1111×1111＝ 1234321
。
（3）已知A÷B＝200，如果A和B同时除以10，则商是 20 0 ；如果A不变，B扩大到原来的10倍，则商是 2 0 。
【思路引导】（1）在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时除以一个不为0的数，
商的大小不变。
（2）两个因数都是由数字1组成，并且因数的位数都相同，每个因数中有几个1，则积
的最中间的数就是几，然后将最中间的数分别向左、右两边依次减1，一直到积的最高
位和最低位上的数都是1为止，依此解答。
（3）在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时除以一个不为0的数，商的大小不
变；当被除数一定时，除数乘10，则商就除以10，依此填空。
【规范解答】解：（1）420÷60＝（420÷2）÷（60÷2）＝210÷30；
（2）根据分析可知，1111×1111＝1234321；
（3）已知A÷B＝200，如果A和B同时除以10，则商是200；
200÷10＝20，如果A不变，B扩大到原来的10倍，则商是20。
故答案为：30；1234321；200，20。
【考点评析】解答此题的关键是要熟练掌握商的变化规律，以及算式的规律。
8．（2分）（2022秋•方城县期末）要使商不变，被除数乘5时，除数应 乘 5 ；要使
商不变，除数除以8时，被除数应 除以 8 。
【思路引导】被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；据此解答即可。
【规范解答】解：根据分析可知：
要使商不变，被除数乘5时，除数应乘5；要使商不变，除数除以8时，被除数应除以
8。
故答案为：乘5，除以8。
【考点评析】正确理解商不变的规律，是解答此题的关键。
9．（2分）（2022秋•上杭县期末）★÷△＝40，则（★×3）÷（△×3）＝ 40 ，
（★÷4）÷△＝ 1 0 。
【思路引导】商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分
之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数
乘几则商除以几，除数除以几商就乘几。
【规范解答】解：★÷△＝40，则（★×3）÷（△×3）＝40，（★÷4）÷△＝10。
故答案为：40，10。
【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活应用。10．（3分）（2022秋•天元区期末）两数相除的商是30，被除数和除数同时乘3，商是
3 0 ；被除数乘3，除数不变，商是 9 0 ；被除数不变，除数乘3，商是 1 0 。
【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商也乘或除以几；被除数不变，除数乘或除
以几（0除外），商就除以或乘几，据此解答。
【规范解答】解：两数相除的商是30，被除数和除数同时乘3，商是30；被除数乘3，
除数不变，商是90；被除数不变，除数乘3，商是10。
故答案为：30，90，10。
【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解答本题的关键。
11．（3分）（2022秋•千山区期末）根据商的变化规律，直接由64÷4＝16，写出下面算
式的得数。
640÷40＝ 1 6 192÷4＝ 4 8 192÷12＝ 1 6
【思路引导】商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分
之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数
乘几则商除以几，除数除以几商就乘几。
【规范解答】解：
640÷40＝16 192÷4＝48 192÷12＝16
故答案为：16，48，16。
【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活应用。
12．（2分）（2022秋•曾都区期末）一个乘法算式的积是50，如果一个因数不变，另一
个因数乘13，则积是 65 0 ；两个数相除的商是16，如果被除数和除数同时乘4，则
商是 1 6 。
【思路引导】在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数乘几，
积就乘几；在商不为0的除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商
的大小不变；依此解答。
【规范解答】解：50×13＝650，即一个乘法算式的积是50，如果一个因数不变，另一
个因数乘13，则积是650。
两个数相除的商是16，如果被除数和除数同时乘4，则商是16。
故答案为：650，16。【考点评析】熟练掌握积和商的变化规律是解答此题的关键。
13．（3分）（2022秋•文县期末）A÷B＝30，如果A乘3，B不变，那么商是 9 0 ；如
果B乘3，A不变，那么商是 1 0 ；如果A和B同时都乘3，那么商是 3 0 。
【思路引导】除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商就乘几或除以几；被除数
不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；被除数和除数都乘或除以一
个相同的数（0除外），商不变。
【规范解答】解：A÷B＝30，如果A乘3，B不变，那么商是30×3＝90；如果B乘3，A
不变，那么商是30÷3＝10；如果A和B同时都乘3，那么商是30。
故答案为：90；10；30。
【考点评析】熟练掌握商的变化规律和商不变的规律是解题的关键。
14．（2分）（2022秋•宽城县期末）A÷B＝15……4，那么（A×10）÷（B×10）＝ 15
…… 4 0 。
【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时
乘或除以一个相同的数（0除外）。据此解答即可。
【规范解答】解：因为A÷B＝15……4
所以（A×10）÷（B×10）＝15……40
故答案为：15；40。
【考点评析】熟练掌握商不变的规律是解题的关键，注意：被除数和除数都乘或除以一
个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数（0除外）。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
15．（2分）（2022秋•曾都区期末）280÷80＝28÷8＝3……4。 × （判断对错）
【思路引导】三位数除以两位数，先用被除数的前两位的数去除，如果前两位的数大于
除数，商就在十位，如果小于，商就在个位，每次所得的余数一定要比除数小；两位数
除以一位数，先用被除数的十位上的数去除，如果十位上的数大于除数，商就在十位，
如果小于除数，商就在个位，每次所得的余数一定要比除数小，分别计算出它们的结果，
然后比较作出判断，据此解答。
【规范解答】解：280÷80＝3……40
28÷8＝3……4
280÷80和28÷8，它们的商相同，但是余数不相同，所以计算结果是不一样的；原题
计算错误。故答案为：×。
【考点评析】本题考查三位数除以两位数和两位数除以一位数的计算，熟练掌握并正确
计算。
16．（2分）（2022秋•兖州区期末）因为78÷6＝13，所以7800÷600＝13。 √ （判
断对错）
【思路引导】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。
【规范解答】解：因为78÷6＝13，当被除数78、除数6同时乘100时，商不变，所以
7800÷600＝13；原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。
17．（2分）（2022秋•临洮县期末）被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商不变。
√ （判断对错）
【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
【规范解答】解：被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商不变。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】解答此题应明确：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），
商才不变。
18．（2分）（2022秋•成县期末）一个非零的数除以3，除数不变，如果被除数减少3，
商就会减少。 √ （判断对错）
【思路引导】被除数减小，除数不变，商就减小。
【规范解答】解：一个非零的数除以3，除数不变，如果被除数减少3，商就会减少。
正确。
故答案为：√。
【考点评析】熟悉商的变化规律是解决本题的关键。
19．（2分）（2022秋•怀宁县期末）45÷5和4500÷50的商相等。 × （判断对错）
【思路引导】在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商的大小不
变。
【规范解答】解：45÷5中，被除数45乘100得4500，要使商不变，除数5也要乘100
得500，所以45÷5和4500÷50的商相等说法是错误的。故答案为：×。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握商的变化规律并灵活运用。
四．计算题（共4小题，满分20分）
20．（4分）（2021秋•忠县期末）根据每组第1个算式的得数，直接写出后面两个算式的
商或积。
（1）54÷3＝18 （2）15×27＝405
540÷30＝ 1 8 150×27＝ 405 0
5400÷300＝ 1 8 15×270＝ 405 0
【思路引导】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积
也乘几或除以几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个
数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩
大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一（0除外）；被除数不变，除数扩大则商反而
缩小，除数缩小商就扩大。
【规范解答】解：
（1）54÷3＝18 （2）15×27＝405
540÷30＝18 150×27＝4050
5400÷300＝18 15×270＝4050
故答案为：18，18，4050，4050。
【考点评析】此题主要考查的是积和商的变化规律的灵活应用。
21．（4分）（2022秋•萧山区期末）根据条件，写出下面两题的商或积。
111111÷3＝37037 555555÷15＝ 3703 7 666666÷18＝ 3703 7
28×42＝1176 （28×4）×（42÷4）＝ （28÷3）×42＝ 39 2
117 6
【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；如果一个因
数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），那么积不变；一个因数不变，另一个因
数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。
据此填空即可。
【规范解答】解：111111÷3＝37037 555555÷15＝37037 666666÷18＝37037
28×42＝1176 （28×4）×（42÷4）＝ （28÷3）×42＝392
1176
故答案为：37037；37037；1176；392。
【考点评析】熟练掌握商不变的规律和积的变化规律是解题的关键。
22．（4分）（2021秋•通辽期末）根据前面的算式，直接写出得数。
48÷8＝6
96÷16＝ 6 ；
192÷32＝ 6 。
800÷32＝25
800÷16＝ 5 0 ；
1600÷32＝ 5 0 。
【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；被除数不变，
除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，
商就乘几或除以几。
【规范解答】解：48÷8＝6
96÷16＝6；
192÷32＝6
800÷32＝25
800÷16＝50；
1600÷32＝50
故答案为：6；6；50；50。
【考点评析】本题考查了商不变的规律和商的变化规律，熟练掌握它们是解题的关键。
23．（8分）（2021秋•内乡县期末）根据54÷6＝9，快速计算。
540÷6＝ 540÷60＝ 108÷6＝ 216÷24＝
【思路引导】除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几；被除数和除数都乘
或除以一个相同的数（0除外），商不变。
【规范解答】解：
540÷6＝90 540÷60＝9 108÷6＝18 216÷24＝9
【考点评析】熟练掌握商的变化规律和商不变的规律是解题的关键。五．解答题（共6小题，满分36分，每小题6分）
24．（6分）（2022秋•中山市期末）下面是小林计算150÷25的过程，你认为小林的计算
对吗？请说明理由。
150÷25＝（150×2）÷（25×2）
＝300÷50
＝6
【思路引导】商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，
据此解答。
【规范解答】解：对；因为小林运用了除法中商不变的性质，将被除数和除数同时乘
2，这样将被除数变成整百数，除数变成整十数，商不变，计算更加方便。
【考点评析】熟练掌握商不变的性质是解决本题的关键。
25．（6分）（2022秋•渑池县期末）本学期我们学习了“商的变化规律”，积累了探索规
律的经验。如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商会怎样变化？
请你探索规律，并完成下面的问题。
如果：被除数÷除数＝100
那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝ 40 0
举例： 400÷ 4 ＝ 10 0
我发现： （ 400× 2 ） ÷ （ 4÷ 2 ）＝ 100×2× 2 ＝ 40 0
【思路引导】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；
如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（零除外），则商就连续乘相同的数；据
此解答即可。
【规范解答】解：根据商的变化规律可知，
如果：被除数÷除数＝100，那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝100×2×2＝400。
例如：400÷4＝100，那么：（400×2）÷（4÷2）＝100×2×2＝400（答案不唯一）
故答案为：400，400÷4＝100，（400×2）÷（4÷2）＝100×2×2＝400（答案不唯
一）。
【考点评析】此题考查了商的变化规律的灵活运用。
26．（6分）（2021秋•上虞区期末）小明说：“根据商不变性质，因为 13÷2＝6……1，
所以130÷20＝6……1”。你同意小明的说法吗？请写出你的理由。
【思路引导】在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，
但余数也随着乘或除以相同的数。据此解答即可。
【规范解答】解：不同意。13÷2＝6……1，如果将被除数和除数同时扩大到原来的10
倍，则商不变，仍是6，但余数也随之扩大到原来的10倍，是10。
【考点评析】关键是理解商不变的性质：被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数
（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。
27．（6分）（2020秋•柯桥区期末）根据商不变性质可知“9700÷300＝97÷3”，又因为
“97÷3＝32……1”所以聪聪认为“9700÷300＝32……1”。你认同聪聪的观点吗？请
在下面解释你的具体想法。
【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时
乘或除以一个相同的数（0除外）。据此判断即可。
【规范解答】解：不认同聪聪的观点。
9700÷300＝97÷3是正确的，符合商不变的规律；
97÷3＝32……1，所以9700÷300＝32……100，即被除数和除数都乘100，所以余数也
要乘100，聪聪再计算时，余数没有乘100，所以聪聪认为的余数是错误的。
【考点评析】熟练掌握商的变化规律是解题的关键。
28．（6分）（2022秋•官渡区期末）本学期我们通过观察、猜想、验证探究了商不变的规
律。
（1）小林是一个爱思考的学生，他想：“既然除法有商不变的规律，那么减法会有类
似的规律吗？”请观察下面这组算式，你有什么发现？
20﹣10＝10
25﹣15＝10
30﹣20＝10
我发现： 被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变 。
（2）请你举例验证这个规律是否正确。（至少写出三个算式）
答：通过探究，我认为这个规律是 正确 的。（填正确或不正确）
【思路引导】根据被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变。结合题意分析解
答即可。【规范解答】解：（1）
20﹣10＝10
25﹣15＝10
30﹣20＝10
我发现：被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变。
（2）举例验证：
40﹣20＝20
45﹣25＝20
50﹣30＝20（答案不唯一）
答：通过探究，我认为这个规律是正确的。
故答案为：被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变；正确。
【考点评析】本题考查了商的变化规律知识以及减法计算知识，根据被减数和减数同时
加上或者减去相同的数，差不变，分析解答即可。
29．（6分）（2021秋•徐州期末）下面是淘淘计算300÷25的过程：
300÷25
＝（300×4）÷（25×4）
＝1200÷100
＝12
请你利用淘淘的方法计算下题：200÷25
【思路引导】被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；据此解答。
【规范解答】解：200÷25
＝（200×4）÷（25×4）
＝800÷100
＝8
【考点评析】解答此题的关键是通过观察已知的算式，根据商不变的规律解题。
