文档内容
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题06 巧妙求和
知识精讲
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才
能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用
最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它
的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中
第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的
差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：
第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：
项数=（末项－首项）÷公差＋1
典例分析
【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？
分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可
根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的
和。分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相
加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的
两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以
2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求
和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
【典例分析04】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
【典例分析05】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出
它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ~ 100这100个数分成了奇数与偶数
两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对
应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
真题百分练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）1+2+3+4+5+6+7+97+98+99+100的结果是（ ）
A．100 B．500 C．1000 D．5050
2．（2分）李奶奶家有一个老式挂钟，这个挂钟几时就敲几下，半时敲一下，李奶奶家的挂钟一天一共敲（ ）下．
A．24 B．180 C．3603．（2分）德国数学家高斯在计算“1+2+3+……+98+99+100”时，他这样算。“1+100、
2+99、3+98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。以下式子可以用高斯的方法
计算的有（ ）个。
①1+11+111+1111
②2+4+6+8+…+44+46+48
③15+20+25+…80+85+90
④26+29+32+…+47+50+53
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2分）101+102+103+…+120+121的计算结果是（ ）。
A．2311 B．2321 C．2331
5．（2分）用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用
（ ）个杯子．
A．100 B．500 C．1000 D．5050
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
6．（2分）1+3+5+7+……+97＝ 。
7．（2分）在数学学习过程中，我们要不断培养自己敏锐的观察能力，请你仔细观察下列
算式后填空。
11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝ × 。
8．（2分）高斯10岁时，很快算出1+2+3+4…+98+99+100的和是 ．
9．（2分）1+3+5+…+99＝ ．
10．（2分）自然数1、2、3…14、15的和是 ，这15个自然数的平均数是 ．
11．（2分）72+74+76+78+80＝5× ＝ 。
12．（2分）1+2+3+4+…+16+17+18+19+20＝ ．
13．（2分）希望小学五年级合唱团庆祝元旦表演，排列的队伍有五排，第一排有4人，
以后每一排都比前一排多4人．这个合唱队一共有 人
14．（2分）一张大纸上有20个方格，第一个方格放1粒米，第二个方格放2粒，第三个
方格放3粒，第四个方格放4粒…这张大纸上总共放了 粒米．
三．计算题（共3小题，满分14分）
15．（4分）简算。1+2+3+…+47+48+49
16．（4分）计算。
1+2+3+4+5+……+100。（要求简便计算）
17．（6分）计算：
（1）51+52+53+…+67+68+69；
（2）1+2+3+…+47+48+49．
四．应用题（共4小题，满分16分，每小题4分）
18．（4分）一个报告厅的座位呈梯形排列，后一排比前一排依次多一个座位，第一排有
24个座位，最后一排有36个座位．这个报告厅能坐下400人吗？
19．（4分）玲玲用14天的时间读了一部长篇小说，已知她每一天都比前一天多读3页，
最后一天正好读了50页．这部长篇小说一共有多少页？
20．（4分）在六层塔上安装彩灯，共装666盒，每一层彩灯比上层多6盏，每一层各有多
少盏彩灯？21．（4分）思考题。
高斯是一位伟大的数学家。他十岁那年，老师出了一道数学题：
1+2+3+4++97+98+99+100＝？同学们开始认真地计算起来，只有高斯没有动笔。他思考
了一会儿后写出了答案：5050。老师和同学们都十分惊奇！
请你猜一猜高斯是怎样想的。
五．解答题（共8小题，满分42分）
22．（4分）一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10．它的末项是多少？
23．（5分）时钟中的数学问题．
火车站大楼的时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推；从1点到12
点这12个小时内时钟共敲了多少下？
24．（5分）2+4+6+8+…+998+1000．25．（5分）一堆木头，按下面的方式堆积起来，你能快速的算出一共有多少根木头吗？
26．（5分）同学们，你们听过数学家高斯小时候的故事吗？你能用简便方法算出下面的
这道题吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝
27．（6分）（附加题）小明读一本故事书，第一天读了8页，以后每天比前一天多读3页，
最后一天读了32页，正好读完，她一共读了多少天？（6分）小青每年都和家长一起参加植树节劳动．七岁那年，他种了第一棵树，以后每年
都比前一年多种一棵．现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树．请你算一算，这
九年中小青一共种了多少棵树？
29．（6分）小明读一本故事书，第一天读了8页，以后每天比前一天多读3页，最后一天
读了32页，正好读完，这本书一共有多少页？
