文档内容
2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义
专题06 巧妙求和
知识精讲
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才
能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用
最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它
的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中
第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的
差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：
第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：
项数=（末项－首项）÷公差＋1
典例分析
【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？
分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可
根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的
和。分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相
加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的
两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以
2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求
和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
【典例分析04】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
【典例分析05】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出
它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ~ 100这100个数分成了奇数与偶数
两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对
应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
真题百分练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）1+2+3+4+5+6+7+97+98+99+100的结果是（ ）
A．100 B．500 C．1000 D．5050
【思路引导】利用高斯求和的方法进行求解，即等差数列和＝（首项+尾项）×项数÷2．
【规范解答】解：1+2+3+4+5+…+100＝（1+100）×100÷2
＝101×50
＝5050
故选：D。
【考点评析】熟练掌握高斯求和的原理是解决本题的关键．
2．（2分）李奶奶家有一个老式挂钟，这个挂钟几时就敲几下，半时敲一下，李奶奶家的
挂钟一天一共敲（ ）下．
A．24 B．180 C．360
【思路引导】1到12点共有12个整点，12个半点，所以共敲的点数从1加到12，再加
上12，过中午12点后再重复一遍，所以乘以2即可．
【规范解答】解：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）×2+12×2
＝（1+12）×12÷2×2+12×2
＝156+24
＝180（下）
答：李奶奶家的挂钟一天一共敲180下．
故选：B．
【考点评析】根据题意明确从1时到12时构成一个等差数列是解题的关键，注意一昼
夜可以分成相等的两部分．
3．（2分）德国数学家高斯在计算“1+2+3+……+98+99+100”时，他这样算。“1+100、
2+99、3+98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。以下式子可以用高斯的方法
计算的有（ ）个。
①1+11+111+1111
②2+4+6+8+…+44+46+48
③15+20+25+…80+85+90
④26+29+32+…+47+50+53
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路引导】高斯求和是在等差数列中利用结合的方法，把数列中的数变成相同的数，
再用相同的数乘项数的一半。
【规范解答】解：②2+4+6+8+…+44+46+48
＝（2+48）×24÷2＝50×24÷2
＝600
③15+20+25+…80+85+90
＝（15+90）×16÷2
＝105×16÷2
＝840
④26+29+32+…+47+50+53
＝（26+53）×10÷2
＝790÷2
＝395
故选：B。
【考点评析】熟悉高斯求和原理是解决本题的关键。
4．（2分）101+102+103+…+120+121的计算结果是（ ）。
A．2311 B．2321 C．2331
【思路引导】101+102+103+…+120+121，是从101到121连续的21个自然数的和，是第
一个自然数加上最后一个自然数求出和，然后乘自然数的个数，再除以2即可。
【规范解答】解：101+102+103+…+120+121
＝（101+121）×21÷2
＝222×21÷2
＝4662÷2
＝2331
故选：C。
【考点评析】解决本题利用高斯求和的方法解决问题。
5．（2分）用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用
（ ）个杯子．
A．100 B．500 C．1000 D．5050
【思路引导】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以有
100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个盒
子里的杯子数分别为 1、2、3、4、5、6…100，由此可得出所需要的杯子数为：
1+2+3+4+5+…+100，利用高斯求和的方法即可解决问题．【规范解答】解：根据题干分析可得：每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…
100，
所以需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100，
＝（1+100）×（100÷2），
＝101×50，
＝5050（个），
故选：D。
【考点评析】此题考查了利用高斯求和的方法解决此类计算题目的灵活应用，这里要求
的是最少需要的杯子数，要考虑每个箱子可装的最少杯子数．
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
6．（2分）1+3+5+7+……+97＝ 240 1 。
【思路引导】根据高斯求和公式解答即可。
【规范解答】解：（1+97）×49÷2
＝98×49÷2
＝4802÷2
＝2401
故答案为：2401。
【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2。
7．（2分）在数学学习过程中，我们要不断培养自己敏锐的观察能力，请你仔细观察下列
算式后填空。
11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝ 20 0 × 5 。
【思路引导】相对应的前后两项的和都是200，所以就相当于求5个200是多少，用乘
法计算即可。
【规范解答】解：11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝200×5。
故答案为：200；5。
【考点评析】解答本题关键是找到规律，再解答。
8．（2分）高斯10岁时，很快算出1+2+3+4…+98+99+100的和是 505 0 ．
【思路引导】根据“等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2”解答即可．
【规范解答】解：1+2+3+4…+98+99+100
＝（1+100）×100÷2＝101×50
＝5050
故答案为：5050．
【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝首项
+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×
公差，高斯求和公式：和＝首项×项数+项数×（项数﹣1）×公差÷2．
9．（2分）1+3+5+…+99＝ 250 0 ．
【思路引导】通过分析式中数据可以发现，式中的加数为一个公差为2的等差数列，即
此算式是求一个等差数列和的运算．因此根据高斯求和公式计算即可：项数＝（末项﹣
首项）÷公差+1，等差数列和＝（首项+尾项）×项数÷2．
【规范解答】解：1+3+5+…+99
＝（1+99）×[（99﹣1）÷2+1]÷2，
＝100×[49+1]÷2，
＝100×50÷2，
＝2500．
故答案为：2500．
【考点评析】高斯求和的有关公式还有：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项
﹣（项数﹣1）×公差．
10．（2分）自然数1、2、3…14、15的和是 12 0 ，这15个自然数的平均数是 8 ．
【思路引导】根据高斯求和的方法：1+2+3+4+…+n＝（n+1）× ，代入数据即可求出
这15个连续自然数的和，再除以15，就是它们的平均数．
【规范解答】解：1+2+3+…+14+15，
＝（1+15）× ，
＝16× ，
＝120，
120÷15＝8，
答：这15个自然数的和是120，它们的平均数是8．
故答案为：120，8．
【考点评析】此题考查了高斯求和公式的计算方法以及平均数的意义．11．（2分）72+74+76+78+80＝5× 7 6 ＝ 38 0 。
【思路引导】算式72+74+76+78+80中的加数构成一个公差为“2”，首项为72，末项为
80，项数为5的等差数列。根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和＝（首项+末
项）×项数÷2。
【规范解答】解：72+74+76+78+80
＝（72+80）×5÷2
＝152×5÷2
＝152÷2×5
＝76×5
＝380
故答案为：76，380。
【考点评析】此题考查高斯求和。根据高斯求和公式解答即可。
12．（2分）1+2+3+4+…+16+17+18+19+20＝ 21 0 ．
【思路引导】算式1+2+3+4+…+16+17+18+19+20中的加数构成一个公差为“1”的等差
数列，首项为1，末项为20，项数为20．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等
差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．
【规范解答】解：1+2+3+4+…+16+17+18+19+20
＝（1+20）×20÷2
＝21×10
＝210．
故答案为：210．
【考点评析】高斯求和其它相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项
﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．
13．（2分）希望小学五年级合唱团庆祝元旦表演，排列的队伍有五排，第一排有4人，
以后每一排都比前一排多4人．这个合唱队一共有 6 0 人
【思路引导】以后每一排都比前一排多4人，构成一个公差为“4”的等差数列，首项
为4，末项为4+4×（5﹣1）＝20，项数为5．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：
等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．
【规范解答】解：4+4×（5﹣1）
＝4+16＝20
（4+20）×5÷2
＝24×5÷2
＝60（人）
答：这个合唱队一共有 60人．
故答案为：60．
【考点评析】高斯求和相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首
项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差，数列和＝（首项+末项）×项数
÷2．等差数列和＝na+n（n﹣1）d÷2．
1
14．（2分）一张大纸上有20个方格，第一个方格放1粒米，第二个方格放2粒，第三个
方格放3粒，第四个方格放4粒…这张大纸上总共放了 21 0 粒米．
【思路引导】根据题意可知，本题实际上是首项为1，末项为20，项数为20的公差为1
的等差数列，根据高斯求和公式进行计算即可，等差数列和＝（首项+末项）×项数
÷2．
【规范解答】解：（1+20）×20÷2
＝21×20÷2
＝210（粒）
答：这张大纸上总共放了210粒米．
故答案为：210．
【考点评析】考查了高斯求和，高斯求和公式就是等差求和公式．
三．计算题（共3小题，满分14分）
15．（4分）简算。
1+2+3+…+47+48+49
【思路引导】运用加法结合律进行简算即可。
【规范解答】解：1+2+3+……+49
＝（1+49）+（2+48）+…+（24+26）+25
＝24×50+25
＝1200+25
＝1225
【考点评析】此题主要考查了高斯求和的应用，要熟练掌握。16．（4分）计算。
1+2+3+4+5+……+100。（要求简便计算）
【思路引导】根据高斯求和的方法，首先用1加上100，求出它们的和是多少；然后用
所得的和乘所有的加数的个数，再除以2，求出算式的值是多少即可。
【规范解答】解：1+2+3+4…99+100
＝（1+100）×100÷2
＝101×100÷2
＝10100÷2
＝5050
【考点评析】高斯求和属于等差数列的求和，等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2。
17．（6分）计算：
（1）51+52+53+…+67+68+69；
（2）1+2+3+…+47+48+49．
【思路引导】（1）可以看成首项是51，末项是69，项数是69﹣51+1＝19，公差是1的
等差数列，根据等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2求解；
（2）根据（1）的方法进行求解即可．
【规范解答】解：（1）51+52+53+…+67+68+69
＝（51+69）×19÷2
＝120×19÷2
＝1140
（2）1+2+3+…+47+48+49
＝（1+49）×49÷2
＝50×49÷2
＝1225
【考点评析】本题考查了等差数列求和的方法，关键是熟记公式．
四．应用题（共4小题，满分16分，每小题4分）
18．（4分）一个报告厅的座位呈梯形排列，后一排比前一排依次多一个座位，第一排有
24个座位，最后一排有36个座位．这个报告厅能坐下400人吗？
【思路引导】把每排座位数可以看作是一个等差数列：前项是 24，末项是36，公差是1，项数是
20，根据（末项﹣首项）÷公差+1＝项数可得项数是：（36﹣24）÷1+1＝13，然后根
据高斯求和公式列式为：（24+36）×13÷2，然后解答即可求出总座位数，与400比较
得解．
【规范解答】解：（36﹣24）÷1+1
＝12÷1+1
＝12+1
＝13
（24+36）×13÷2
＝60×13÷2
＝390（个）
390＜400
答：这个报告厅不能坐下400人．
【考点评析】本题关键是求出项数，即排数，然后根据高斯求和公式：和＝（首项+末
项）×项数÷2代入数据解答即可．
19．（4分）玲玲用14天的时间读了一部长篇小说，已知她每一天都比前一天多读3页，
最后一天正好读了50页．这部长篇小说一共有多少页？
【思路引导】根据题意，可得玲玲每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的末项是
50，项数是14，首项是50﹣（14﹣1）×3，然后运用求和公式即可求出这本故事书共
多少页．
【规范解答】解：50﹣（14﹣1）×3
＝50﹣39
＝11（页）
（11+50）×14÷2
＝61×14÷2
＝427（页）
答：这部长篇小说一共有427页．
【考点评析】此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：末项
＝首项+（项数﹣1）×公差．
20．（4分）在六层塔上安装彩灯，共装666盒，每一层彩灯比上层多6盏，每一层各有多
少盏彩灯？【思路引导】根据题意可得，每层的盏数构成了一个等差数列，公差是 6，项数是6，
设首项x，然后根据“和＝首项×项数+项数×（项数﹣1）×公差÷2”列方程解答即可．
【规范解答】解：设第一层为x盏彩灯，
6x+6×（6﹣1）×6÷2＝666
6x+90＝666
6x＝576
x＝96
96+6＝102（盏）
102+6＝108（盏）
108+6＝114（盏）
114+6＝120（盏）
120+6＝126（盏）
答：从第一层到第六层分别有96、102、108、114、120、126盏彩灯．
【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝首项
+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×
公差，高斯求和公式：和＝首项×项数+项数×（项数﹣1）×公差÷2．
21．（4分）思考题。
高斯是一位伟大的数学家。他十岁那年，老师出了一道数学题：
1+2+3+4++97+98+99+100＝？同学们开始认真地计算起来，只有高斯没有动笔。他思考
了一会儿后写出了答案：5050。老师和同学们都十分惊奇！
请你猜一猜高斯是怎样想的。
【思路引导】1+2+3+4++97+98+99+100可以把1和100，2和99，3和98……48和53，
49和52，50和51，依次结合计算，它们的和都是101，这样就有50个101，用50乘
101即可求解。
【规范解答】解：1+2+3+4++97+98+99+100
＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（48+53）+（49+52）+（50+51）
＝101×50
＝5050
【考点评析】高斯求和其它相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项
﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差。五．解答题（共8小题，满分42分）
22．（4分）一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10．它的末项是多少？
【思路引导】由题意，根据“末项＝首项+（项数﹣1）×公差”解答即可．
【规范解答】解：3+（10﹣1）×2
＝3+9×2
＝3+18
＝21
答：它的末项是21．
【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝首项
+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×
公差．
23．（5分）时钟中的数学问题．
火车站大楼的时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推；从1点到12
点这12个小时内时钟共敲了多少下？
【思路引导】根据加法的意义可知，将每次时钟敲的次数相加即得从1点到12点这12
个小时内时钟共敲了多少下：1+2+3+…+12．此算式中的加数构成一个公差为1的等差
数列，然后根据高斯求和公式计算即可：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．
【规范解答】解：1+2+3+…+12
＝（1+12）×12÷2，
＝13×12÷2，
＝78（下）．
答：从1点到12点这12个小时内时钟共敲了78下．
【考点评析】高斯求和的其它相关公式为：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝
（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．
24．（5分）2+4+6+8+…+998+1000．
【思路引导】通过观察可知，式中的加数构成一个公差为2的等差数列，因此本题根据高斯求和公式
计算即可：等差数列的和＝（首项+末项）×项数÷2进行计算即可．
【规范解答】解：2+4+6+8+…+998+1000
＝（2+1000）×（1000÷2）÷2，
＝1002×500÷2，
＝250500．
【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2、末项＝首项
+（项数﹣1）×公差、项数＝（末项﹣首项）÷公差+1、首项＝末项﹣（项数﹣1）×
公差．
25．（5分）一堆木头，按下面的方式堆积起来，你能快速的算出一共有多少根木头吗？
【思路引导】根据题意，由图可知，此题就是求一个首项为1、公差为1、末项为13的
等差数列的和，根据等差数列通项公式：（首项+末项）×项数÷2＝和解答即可．
【规范解答】解：（1+13）×13÷2
＝14×13÷2
＝7×13
＝91（根）
答：一共有91根木头．
【考点评析】此题考查了等差数列通项公式：（首项+末项）×项数÷2＝和的运用．
26．（5分）同学们，你们听过数学家高斯小时候的故事吗？你能用简便方法算出下面的
这道题吗？
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝
【思路引导】观察这10个数，可以发现两两搭配相加在一起，可以加出几组相同的数，
然后再相加即可．【规范解答】解：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
＝（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）
＝11+11+11+11+11
＝11×5
＝55
【考点评析】认真观察，根据数字特点进行组合，从而达到巧算的目的．
27．（6分）（附加题）小明读一本故事书，第一天读了8页，以后每天比前一天多读3页，
最后一天读了32页，正好读完，她一共读了多少天？
【思路引导】每天读的页数构成一个等差数列，公差是3，首项是8，末项是32，求项
数，根据“项数＝（末项﹣首项）÷公差+1”解答即可．
【规范解答】解：（32﹣8）÷3+1
＝24÷3+1
＝8+1
＝9（天）
答：她一共读了9天．
【考点评析】高斯求和其它相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝
首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．
28．（6分）小青每年都和家长一起参加植树节劳动．七岁那年，他种了第一棵树，以后
每年都比前一年多种一棵．现在他已经长到 15岁了，连续地种了九年树．请你算一算，
这九年中小青一共种了多少棵树？
【思路引导】由题意可知，小青连续九年所种树的棵数就是一个首项为 1、公差为1的
等差数列，根据等差数列通项公式：（首项+末项）×项数÷2＝和解答即可．
【规范解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9
＝（1+9）×9÷2
＝10×9÷2＝90÷2
＝45（棵）
答：这九年中小青一共种了45棵树．
【考点评析】此题考查了等差数列通项公式：（首项+末项）×项数÷2＝和的运用．
29．（6分）小明读一本故事书，第一天读了8页，以后每天比前一天多读3页，最后一天
读了32页，正好读完，这本书一共有多少页？
【思路引导】由题意可知，每天读的页数组成一个等差数列，首项是 8，公差是3，末
项是32，先根据“项数＝（末项﹣首项）÷3+1”求得项数，即所读的天数，再根据等
差数列求和公式解答即可．
【规范解答】解：（32﹣8）÷3+1
＝24÷3+1
＝8+1
＝9（天）
（8+32）×9÷2
＝40×9÷2
＝360÷2
＝180（页）
答：这本书一共有180页．
【考点评析】解这道题的关键是找到最后一天和第一天相差多少页
