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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题24 牛吃草问题
知识精讲
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头
牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长
的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作
总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新
长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上
原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
典例分析
【典例分析01】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27头牛吃6周或23头
牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数
量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注
意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此
时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也
均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草
的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷
（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草
15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供 21 头牛吃72÷（21-
15）＝12（周）
【典例分析02】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛
吃10天？与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可
以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10
（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草
量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的
每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）×5=150（份），
由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10
头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。
【典例分析03】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已
知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩
用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，
“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度
男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了
100—90=10（级），多用了6—5=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟
到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）
×5=150（级）
【典例分析04】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些
水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想
2小时舀完，需要多少人？
已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1
小时才能舀完。已漏进的水，加上 10小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就
是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：
（5×10—12×3）÷（10—3）=2
已漏进的水：（12—2）×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：
30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）
【典例分析05】有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块
草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛
吃多少天？
前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。
为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即
[5，6，8]=120
这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天，120÷5=24，变为 120 公顷草地可供
11×24=264（头）牛吃10天
第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240
（头）牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛
齿及天？即
每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2021•泰安模拟）一片牧场，牧草每天生长的速度相同，已知这片牧草可供
10头羊吃20天，或可供15头羊吃10天．那么这片牧草可供30头羊吃（ ）天．
A．6 B．5 C．4 D．3
【思路点拨】根据题意，设每头羊每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求
出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供30头羊吃的天数．
【规范解答】解：设每头羊每天吃“1”份草，
每天新生草量为：
（10×20﹣15×10）÷（20﹣10），
＝（200﹣150）÷10，＝50÷10，＝5（份）；
原有草量为：
20×10﹣5×20＝100（份），
30头羊吃的天数：
100÷（30﹣5），
＝100÷25，
＝4（天）；
答：这片牧草可供30头羊吃4天，
故选：C．
【考点评析】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头羊每天吃
“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．
2．（2分）（2020•泰安）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太
慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级．
结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达．则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级
有（ ）
A．80级 B．100级 C．120级 D．140级
【思路点拨】上楼的速度可以分为两部分：一部分是两个孩子自己的速度，另一部分是
自动扶梯的速度．男孩40秒钟走了40×2＝80（级），女孩50秒钟走了3×（50÷2）
＝75（级），女孩比男孩少走了80﹣75＝5（级），多用了50﹣40＝10（秒），说明电
梯10秒钟走5级，即1秒钟走0.5级．由男孩40秒钟到达楼上，他上楼的速度是自己
的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（0.5+2）×40＝100（级），据此解答．
【规范解答】解：电梯每秒钟走的级数：
[40×2﹣3×（50÷2）]÷（50﹣40）
＝5÷10
＝0.5（级）
电梯的总级数：
（0.5+2）×40
＝2.5×40
＝100（级）
答：当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有100级．故选：B。
【考点评析】此题当作牛吃草问题来解决，上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、
女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．
3．（2分）（2009•广州校级自主招生）一片青草地，每天都匀速长出青草，这片草地可
供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃（ ）周．
A．6 B．9 C．12 D．15
【思路点拨】假设每头牛每周吃青草1份，先求出青草的生长速度：（23×9﹣27×6）
÷（9﹣6）＝15（份）；然后求出草地原有的草的份数27×6﹣15×6＝72（份）；再让
21头牛中的15头吃生长的草，剩下的6头牛吃草地原有的72份草，可吃：72÷6＝12
（周）．
【规范解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草的生长速度：
（23×9﹣27×6）÷（9﹣6），
＝45÷3，
＝15（份）；
草地原有的草的份数：
27×6﹣15×6，
＝162﹣90，
＝72（份）；
每周生长的15份草可供15头牛去吃，那么剩下的21﹣15＝6头牛吃72份草：
72÷（21﹣15），
＝72÷6，
＝12（周）；
答：这片草地可供21头牛吃12周．
故选：C．
【考点评析】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．
4．（2分）（2018•东莞市）有一满水池，池底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等，
用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部抽水机10小时可以把水抽干，那么用25
部同样的抽水机（ ）小时可以把水抽干．
A．5 B．6 C．7 D．8【思路点拨】设每部抽水机每小时能抽泉水1份，每小时涌出的泉水量为：（20×10﹣
15×10）÷（20﹣10）＝5（份）；泉中原有的水量为：20×10﹣20×5＝100（份）；
25部抽水机拿出5部抽每小时涌出的5份的泉水，剩下的20台抽泉中原有的水量，所
需时间为：100÷20＝5（小时），即为所求问题．
【规范解答】解：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）
＝50÷10
＝5（份）
20×10﹣20×5
＝200﹣100
＝100（份）
100÷（25﹣5）
＝100÷20
＝5（小时）
答：用25台这样的抽水机5小时可以把水抽干．
故选：A。
【考点评析】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时
涌出水的水量）和草地原有的份数（本题相当于泉中原有的水量）．
5．（2分）（2017•长沙）有20个玩具被丢在地板上，小红妈妈每30秒把3个玩具从地板
上放到玩具盒里，但30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，那么小红和她妈妈需
要（ ）秒才能把20个玩具都放到玩具盒中．
A．510 B．540 C．570 D．600
【思路点拨】由于30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，相当于妈妈每个 30秒只
放到筐里3﹣2＝1个玩具，由于第一次小红不再从玩具盒拿出两个玩具，所以前 20﹣3
＝17个玩具，需要17÷1＝17个30秒，然后再加上最后一个30秒即可．
【规范解答】解：（20﹣3）÷（3﹣2）×30+30
＝17÷1×30+30
＝510+30
＝540（秒）
答：小红和她妈妈需要540秒才能把20个玩具都放到玩具盒中．
故选：B。【考点评析】本题类似于牛吃草问题，关键是求出前20﹣3＝17个玩具需要的时间．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2018•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供 9头牛吃12天；可供8头
牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所
用的草，问增加了 1 0 头牛．
【思路点拨】设每头牛每天吃一份的草，根据“可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16
天”，草的生长速度为：（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）＝5份，原有草的份数为：
12×9﹣5×12＝48份，4头牛前6天一共吃了：4×6＝24份，还剩下48+5×6﹣24＝54
份，后六天一共吃的草的份数为：54+5×6＝84份，6天吃完所有草需要牛的头数是：
84÷6＝14头，增加了14﹣4＝10头牛．据此解答即可．
【规范解答】解：设每头牛每天吃一份的草，
草的生长速度为：
（16×8﹣12×9）÷（16﹣12）
＝20÷4
＝5（份）
原有草的份数为：
12×9﹣5×12
＝108﹣60
＝48（份）
4头牛前6一共吃了：4×6＝24（份）
还剩下：48+5×6﹣24＝54（份）
后六天一共吃的草的份数为：54+5×6＝84（份）
增加牛的头数是：84÷6﹣4＝10（头）．
答：增加了10头牛．
故答案为：10．
【考点评析】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数．7．（2分）（2022•郑州）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后
平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果
只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开
始检票 3 分钟后就暂时无人排队了。
【思路点拨】牛吃草问题公式：原有草量＝（牛数﹣每天长草量）×天数，在本题中，
总人数是（25﹣10）×8，进而求出开两个检票口需要的检票时间即可。
【规范解答】解：（25﹣10）×8
＝15×8
＝120（人）
120÷（2×25﹣10）
＝120÷40
＝3（分钟）
答：开始检票3分钟后就暂时无人排队了。
故答案为：3。
【考点评析】此题主要考查了牛吃草问题，要熟练掌握。
8．（2分）（2019•邯郸）草场上有一片均匀生长的草，可供27头牛吃6周，或供23头牛
吃9周，则可供21头牛吃 1 2 周。
【思路点拨】假设每头牛每周吃青草1份，根据“可供27头牛吃6周，或供23头牛吃
9周”先求出青草的增加的速度；然后求出草地原有的草的份数；然后进一步解答即可。
【规范解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）
＝45÷3
＝15（份）
原有的草的份数：27×6﹣6×15
＝162﹣90
＝72（份）
可供21头牛吃：72÷（21﹣15）
＝72÷6
＝12（周）
答：这个草场的草可供21头牛吃12周。
故答案为：12周。
【考点评析】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每周增加的速度（份数）和草地原有的草的份数。9．（2分）（2019•长沙）青青草原上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供
10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10天，那么这片牧草可供7只羊吃 5 0 天．
【思路点拨】总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的
草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草
的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：
（1）根据牧草可供10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10天，计算出每天新长出的草
量够一只羊吃的天数：（10×20﹣15×10）÷（20﹣10）＝5（天），也可以说是5只
羊吃1天．
（2）假定其中5只羊专吃新长出的草，由剩下的羊吃原有的草，根据吃的天数可以计
算出原有的草量．原有的草够1头羊吃的天数：
10×20﹣5×20＝100（天）
（3）让5只羊专吃新长出的草，其余的羊吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能
吃几天．
【规范解答】解：设1只羊1天吃的草为单位“1“，由条件可知，
每天生长的草够1头羊吃的天数：
（10×20﹣15×10）÷（20﹣10）
＝50÷10
＝5（只）
原有的草够1头羊吃的天数：
10×20﹣5×20
＝200﹣100
＝100（天）
7只羊分成分成两部分，5只吃新草，2只吃原来的草，可吃天数：
100÷（7﹣5）
＝100÷2
＝50（天）
答：这些草可供7只羊吃50天．
故答案为：50．
【考点评析】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，
再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题．10．（2分）（2022•龙岗区）乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电
池可维持24小时：如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充
满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60分钟。如果她
不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机 8 个小时。
【思路点拨】”手机只要是开着，无论是否通话都要耗电“。所以设手机每小时耗电1
份，电池存电量为24×1＝24份，纯通话1小时的耗电量为（24﹣1×3）÷3＝7份，当
然这段时间，即1小时手机耗电1份；故9小时里面就包括了通话1小时手机耗电的那
1份了。综上可知：她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她已经用了60分钟来
通话，电池还储存的电量为24﹣7﹣9＝8份，这样便可求出手机还能维持的时间为8÷1
＝8小时。
【规范解答】解：设手机每小时耗电为1份，则
24×1﹣3×1＝21（份）
21÷3＝7（份）
24﹣7﹣9＝8（份）
8÷1＝8（小时）
答：该手机还能再持续待机8个小时。
故答案为：8。
【考点评析】此题解答的关键就是要明白：1：通话时的耗电量由2部分组成；2：9小
时的耗电量中包括了通话1小时的耗电量。
11．（2分）（2021秋•高阳县期末）某种细胞每30分钟就能由1个分裂成3个，经过2小
时这种细胞由1个分裂成 8 1 个。
【思路点拨】每过30分钟便由1个细胞分裂成3个细胞，经过2个小时，也就是4个30
分钟，那么细胞可以分成的个数是34个。
【规范解答】解：2小时＝120分钟
某种细胞每过30分钟便由1个细胞分裂成3个细胞，
30分钟后有细胞3个；
60分钟后有细胞32＝9（个）；
90分钟后有细胞33＝27（个）；
120分钟后有细胞34＝81（个）
答：经过2小时这种细胞由1个分裂成81个。故答案为：81。
【考点评析】解决本题找出细胞分裂的规律是关键，结合乘方的意义求解。
12．（2分）（2019•长沙）某岛国的一家银行每天9：00﹣17：00营业，正常情况下，每
天9：00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，
到17：00下班时有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不
变的话，14：00银行就没有现金了．如果每小时提款量是正常情况的 10倍，而存款量
减少到正常情况一半的话，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开始
营业时需要准备现金 33 0 万
【思路点拨】从9：00到17：00共计8个小时，现金从50万元增加到60万元，增加了
10万元，所以每小时存款量比取款量多10÷8＝1.25（万元）；从9：00到14：00共计
5个小时，每个小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不变，这5个小时中每小时
提款量比存款量多 50÷5＝10（万元）．所以正常情况下每小时的提款量为：
（10+1.25）÷（4﹣1）＝3.75（万元），存款量为3.75+1.25＝5（万元）．如果每小
时提款量是正常情况的10倍，即每小时提款3.75×10＝37.5（万元），存款量减少到
正常情况一半，即每小时存款5÷2＝2.5（万元），则银行每小时减少存款37.5﹣2.5
＝35（万元），8个小时共减少35×8＝280（万元）开始时要准备现金50+280＝330
（万元）．
【规范解答】解：9：00﹣17：00是8个小时，9：00﹣14：00是5个小时
（60﹣50）÷8
＝10÷8
＝1.25（万元/时）
50÷5＝10（万元/时）
提款速度为：
（10+1.25）÷（4﹣1）
＝11.25÷3
＝3.75（万元/时）
需要准备现金：
（3.75×10﹣5÷2）×8+50
＝（37.5﹣2.5）×8+50
＝35×8+50
＝280+50＝330（万元）
答：开始营业时需要准备现金330万．
【考点评析】根据条件求出正常情况下的存款速度和提款速度是解决本题的关键．
13．（2分）（2017•中山区）有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将
草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．
那么17头牛和20只羊 1 0 天可将草吃完．
【思路点拨】先转化，都转化成牛或羊，有一片草地，草每天的生长速度相同，若56
只羊30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完那么，88只羊多少天可将草吃完？根
据牛吃草问题的基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛
头数）÷（长时间﹣短时间）；总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量，
再解答即可．
【规范解答】解：
（56×30﹣70×16）÷（30﹣16）
＝（1680﹣1120）÷14
＝560÷14
＝40
（56﹣40）×30÷（88﹣40）
＝16×30÷48
＝480÷48
＝10（天）
故答案为：10．
【考点评析】解答这类问题，一定要理清题里存在的数量关系，灵活选用合适的方法进
行计算即可．
三．应用题（共7小题，满分35分，每小题5分）
14．（5分）（2021•江北区校级开学）两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在 15
秒钟里，男孩可走12级梯级，女孩可走10级梯级，结果男孩走了3分钟到达另一端，
女孩走了4分钟到达另一端，该扶梯共多少级？
【思路点拨】由题意可知，男孩3分钟即180秒走了（180÷15）×12＝144（级），女孩4分钟即
240秒走了（240÷15）×10＝160（级），女孩比男孩多走了160﹣144＝16（级），多
用了1分钟，说明扶梯每分钟自动下降16级。男孩共走了144级，这144级包含扶梯的
级数和3分钟扶梯自动降下的级数。女孩共走了160级，这160级包含扶梯的级数和4
分钟扶梯自动降下的级数．扶梯的级数是：144﹣16×3＝96（级）。
【规范解答】解：4分钟＝240秒
3分钟＝180秒
电动扶梯每分钟走：
[（240÷15）×10﹣（180÷15）×12]÷（4﹣3）
＝160﹣144
＝16（级）
电动扶梯共有：
（180÷15）×12﹣16×3
＝144﹣48
＝96（级）
答：该扶梯共96级。
【考点评析】根据两人所走的级数及所用时间，求出扶梯每秒自动下降的级数是完成本
题的关键。
15．（5分）（2022•江津区模拟）春运高峰，售票窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀
的来购票，假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，如果开设6个售票窗口，
那么20分钟才能缓解排队现象。现在要求1分钟缓解排队现象。问：应该开设几个售
票窗口？
【思路点拨】设每个窗口每分钟购票的人数为1份，根据开设5个售票窗口，30分钟可
缓解排队现象，用乘法求出30分钟售票份数，根据开设6个售票窗口，20分钟才能缓
解排队现象，用乘法求出20分钟售票份数，再利用份数差除以时间差求出每分钟增加
的购票人份数；然后用5个窗口30分钟售票份数减30分钟增加的购票人份数就是原有
购票人份数，最后用（原有购票人份数+1分钟增加的购票人份数）÷1分钟，可以求出
1分钟缓解排队现象需要同时开设的窗口数。
【规范解答】解：30×5＝150
20×6＝120
30﹣20＝10（分钟）（150﹣120）÷10＝3
150﹣30×3＝60（60+3×1）÷1＝63（个）
答：1分钟缓解排队现象，应该开设63个窗口。
【考点评析】解答本题的关键是利用两种情况的份数差除以时间差求出每分钟增加的份
数。
16．（5分）（2019•长沙县）牧场上有一片青草地，每天匀速生长，这片草地可供 24头
牛吃6周，或可供18头牛吃10周，问可供19头牛吃多少周？
【思路点拨】假设每头牛每周吃草1份，牧场原有草量和每天增加的草量是不变的，根
据公式：增加量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间
﹣短时间）求出每周增加的量，然后求出草地原有的草的份数，再根据牛的数量算出每
周增加的草量即可求出可以吃多少周。
【规范解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草增加的速度：
（18×10﹣24×6）÷（10﹣6）
＝36÷4
＝9（份/周）
草地原有的草的份数：
24×6﹣9×6
＝144﹣54
＝90（份）
19头牛每周吃19份，每周青草自然增加9份，则：
90÷（19﹣9）
＝90÷10
＝9（周）
答：可供19头牛吃9周。
【考点评析】本题主要考查了牛吃草问题，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，
从而求出每周增加草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题。
17．（5分）（2019•长沙）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三
个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草
吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．
如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？【思路点拨】15头牛，2天吃完1号牧场也就是3公顷，15头牛，5天吃完2号牧场也
就是5公顷；因为要计算草的生长速度，所以，设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公
顷草的生长速度为每天Y公顷，可得方程：2（15X）＝2（3Y）+3，5（15X）＝7（5Y）
+5
求解得，X＝0.125，Y＝0.125；所以列第2群牛的方程，就是要设这群牛有n头，则方
程为：7（0.125n）＝7（7×0.125）+7
求解，n＝15 所以第2群也是15头牛．据此解答即可．
【规范解答】设每头牛吃草速度为每天X公顷，每公顷草的生长速度为每天Y公顷
可得方程：
2×15X＝2×3Y+3，
30X＝6Y+3
30X÷3＝（6Y+3）÷3
10X＝2Y+1①
5×15X＝7×5Y+5
75X＝35Y+5
75X÷5＝（35Y+5）÷5
15X＝7Y+1②
由①得：10X×1.5＝（2Y+1）×1.5
即为：15X＝3Y+1.5代入②得：
3Y+1.5＝7Y+1
3Y+1.5﹣3Y﹣1＝7Y+1﹣1﹣3Y
0.5＝4Y
4Y÷4＝0.5÷4
Y＝0.125
把Y＝0.125代入①得：
10X＝2×0.125+1
10X÷10＝1.25÷10
X＝0.125
设第2群牛有n头，可得方程
7×0.125n＝7×7×0.125+7
7×0.125n÷7÷0.125＝（7×7×0.125+7）÷7÷0.125n＝15
答：第二群牛有15头．
【考点评析】本题属于典型的牛吃草问题，解答时认真分析所给的条件，根据条件列方
程解答即可解决．
18．（5分）（2022•中原区）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始
后平均每分钟有10人来排队等候检票．一个检票口平均每分钟能让25人检票进站．如
果只开一个检票口，那么检票开始后8分钟就暂时无人排队了．如果开两个检票口，那
么检票开始后多少分钟就暂时无人排队了？
【思路点拨】因为每分钟有10人前来排队，所以从开始检票到没人排队的8分钟内来
了10×8＝80人，8分钟一共检票人数是25×8＝200人，所以原来有200﹣80＝120人
排队，两个窗口同时检票，每分钟可检票50人，除去每分钟来的10人，还可以检已经
在排队的50﹣10＝40人，120÷40＝3分钟，所以3分钟就没人排队了．
【规范解答】解：（25×8﹣10×8）÷（50﹣10）
＝（200﹣80）÷40
＝120÷40
＝3（分钟）
答：检票开始后，3分钟就没有人排队了．
【考点评析】对于这类题目，一定要认真审题，理清题里数量间的关系，找到解决问题
的中间问题就简单了．
19．（5分）（2017•长沙）一个牧场上的青草每天都匀速生长，这边青草可供15头吃24
天，或共20头牛吃14天．现在有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将
草吃完，这群牛原有多少头？
【思路点拨】设每头牛每天吃“1”份草，则15头牛24天吃：15×24＝360份，或供20
头牛吃14天，则吃：20×14＝280份，每天增加的份数是（360﹣280）÷（24﹣14）＝
8份，原有草量是280﹣8×14＝168份；卖掉的4头2天能吃了：4×2＝8份，则原有的
草相当于168+8＝176份，有176÷（6+2）＝22头，然后再加上8头（即每天增加的8
份草，正好需要8头牛吃）；据此解答即可．
【规范解答】解：设每头牛每天吃“1”份草．
则15头牛24天吃：15×24＝360份，
20头牛吃14天吃：20×14＝280份每天增加的份数是：（360﹣280）÷（24﹣14）
＝80÷10
＝8份
原有草量：280﹣8×14＝168份
（168+2×4）÷（6+2）
＝176÷8
＝22（头）
22+8＝30（头）
答：这群牛原有30头．
【考点评析】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来
草的份数为本题解答的突破口．
20．（5分）（2019•长沙）牧场上有一片青草，每天匀速减少，这片草地可供 12头牛吃
10周，或可供8头牛吃12周。问：可供18头牛吃多少周？
【思路点拨】假设每头牛每周吃草1份，牧场原有草量和每天减少的草量是不变的，根
据公式：减少量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间
﹣短时间）求出每天减少的量，然后求出草地原有的草的份数，再根据牛的数量算出每
周减少的草量即可求出可以吃多少草。
【规范解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草减少的速度：
（12×10﹣8×12）÷（12﹣10）
＝（120﹣96）÷2
＝24÷2
＝12（份/周）
草地原有的草的份数：
12×10+12×10
＝120+120
＝240（份）
18头牛每周吃18份，每周青草自然减少12份，则：
240÷（18+12）
＝240÷30＝8（周）
答：可供18头牛吃8周。
【考点评析】本题主要考查了牛吃草问题，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，
从而求出每周减少草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题。
四．解答题（共7小题，满分39分）
21．（5分）（2022春•定南县期中）因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知
牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少
头牛吃10天？
【思路点拨】用33乘5减去24乘6，算出5天比6天多出多少份草；再用多出草的份数
除以（6﹣5），算出青草每天减少多少份；用33乘5加上每天减少的份数乘5，算出牛
吃草前牧场共有草份数；用共有草的份数除以10天，再减去每天青草减少份数，即可
求出这个牧场可供多少头牛吃10天。
【规范解答】解：根据分析可得：
青草每天减少：
（33×5﹣24×6）÷（6﹣5）
＝（165﹣144）÷1
＝21（份）
牛吃草前牧场有草：
165+21×5
＝165+105
＝270（份）
③270÷10﹣21
＝27﹣21
＝6（头）
答：可供6头牛吃10天。
【考点评析】本题关键在于计算出每天减少的草量和原有草量，进而解答。
22．（5分）（2019•青岛模拟）一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，
此时已漏进水600桶．一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟
把水抽完．每分钟漏进的水有多少桶？
【思路点拨】2部抽水机1分钟可以抽出18+14＝32桶水，那么50分钟就抽出去1600桶水，船体本
来有600桶水，那么50分钟内，漏进船体的水为1600﹣600＝1000桶水，所以每分钟漏
进：1000÷50＝20（桶）．
【规范解答】解：[（18+14）×50﹣600]÷50
＝[32×50﹣600]÷50
＝[1600﹣600]÷50
＝1000÷50
＝20（桶）
答：每分钟漏进的水有20桶．
【考点评析】此题属于“牛吃草”问题，求出50分钟内漏进船体的水量，是解答此题
的关键．
23．（5分）（2018•长沙）有三块草地，面积分别是5、15、20亩，草地上的草一样厚，
而且长得一样快，第一块草地可供 10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，
问第三块草地可供多少头牛吃80天？
【思路点拨】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第
一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草＝10×30＝300份，所以每亩面积原有
草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15
亩面积45天长的草＝28×45＝1260份，所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草
是1260÷15＝84份，所以45﹣30＝15天，每亩面积长84﹣60＝24份；则每亩面积每天
长24÷15＝1.6份．所以，每亩原有草量60﹣30×1.6＝12份，第三块地面积是20亩，
所以每天要长1.6×20＝32份，原有草就有20×12＝240份，新生长的每天就要用32头
牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此240÷80＝3
头牛所以，一共需要32+3＝35头牛来吃．
【规范解答】解：设每头牛每天的吃草量为1份，则每亩30天的总草量为：10×30÷5
＝60（份）；
每亩45天的总草量为：28×45÷15＝84（份）；
那么每亩每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）＝1.6（份）；
每亩原有草量为：60﹣1.6×30＝12（份）；
那么20亩原有草量为：12×20＝240（份）；
20亩80天新长草量为20×1.6×80＝2560（份）；
20亩80天共有草量240+2560＝2800（份）；所以有2800÷80＝35（头）．
答：第三块地可供35头牛吃80天．
【考点评析】本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量＝消耗原有
草量”这个关系式认真分析解决．
24．（6分）（2019•湖南）有一牧区长满牧草，牧草每天匀速生长．这个牧区的草可供 27
头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么可供21头牛吃多少天？
【思路点拨】假设每头牛每周吃牧草 1份，先求出牧草的增加的速度：（23×9﹣
27×6）÷（9﹣6）＝15（份）；然后求出草地原有的草的份数：27×6﹣6×15＝72
（份）；那么21头牛每周吃牧草21份，牧草每周增加15份，可以看作每周有（21﹣
15）头牛在吃草，草地原有的72份的草，可吃：72÷6＝12（周）．
【规范解答】解：假设每头牛每周吃牧草1份，
牧草增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）
＝45÷3
＝15（份）
原有的草的份数：27×6﹣6×15
＝162﹣90
＝72（份）
可供21头牛吃：72÷（21﹣15）
＝72÷6
＝12（周）
12×7＝84（天）
答：这个草场的草可供21头牛吃84天．
【考点评析】解决这类问题的关键是利用牛吃的草量，最终求出草地每天新生草的草量，
由于此类题不给出草量的单位，为此我们总设每头牛每天吃1份草，根据数量关系，列
式解答即可．
25．（6分）（2018•广州）由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，
现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几
天？
【思路点拨】假设每头牛每天吃青草1份，20头牛5天吃草：20×5＝100（份），16头牛6天吃草：
16×6＝96（份）；青草每天减少：（100﹣96）÷（6﹣5）＝4（份）；牛吃草前牧场
有草：100+4×5＝120（份）；那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以
看作每天有（11+4）头牛吃草，草地原有的120份草，可吃：120÷15＝8（天）．
【规范解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的减少速度为：
（20×5﹣16×6）÷（6﹣5）
＝4÷1
＝4（份）；
草地原有的草的份数：
20×5+4×5
＝100+20
＝120（份）；
那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有11+4＝15（头）牛
吃草，草地原有的120份草，可吃：
120÷15＝8（天）
答：可供11头牛吃8天．
【考点评析】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天减少的速
度（份数）和草地原有的草的份数．
26．（6分）（2021•重庆）某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，
如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，
现在派120个工人砌10天后，又增加5个工人一起砌还需要再砌几天可以把砖用完？
【思路点拨】先要确定每天运进多少份砖；再计算原有多少份砖；再计算120个工人砌
10天后，砖还有多少份；最后计算再增加5个工人一起砌还需要再砌几天可以把砖用完？
【规范解答】解：（1）（160×10﹣250×6）÷（10﹣6）
＝（1600﹣1500）÷4
＝100÷4
＝25（份）
（2）1500﹣25×6＝1500﹣150
＝1350（份）
（3）1350﹣（120﹣25）×10
＝1350﹣95××10
＝1350﹣950
＝400（份）
（4）400÷（120+5﹣25）
＝400÷（125﹣25）
＝400÷100
＝4（天）
答：还需要再砌4天可以把砖用完。
【考点评析】第一个思路是每人每天砌砖1份；第二个思路是每天减少多少份，就是人
数减去每天运进的份数。
27．（6分）（2019•长沙）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数
是固定的．一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口．20分钟就没
有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟后就没有人排队？
【思路点拨】此题里有两个不变的量：一是开门前排队人数是固定数，即400人；二是
开门后每分钟来的人数是固定的．按开4个入场口的已知条件，可求出开门后每分钟来
的人数．然后设开放6个入场口开门后x分钟后没有人排队，可按以下两种方式求出开
门后x分钟总进场人数：一是根据每分钟1个入场口进客人数可得开6个入场口x分钟
的进场人数；二是根据开门后x每分钟来的固定人数加开门前排队的400人，根据这个
等量关系即可列出方程．
【规范解答】解：4个入场口20分钟进入的人数是：
10×4×20＝800（人），
开门后20分钟来的人数是：800﹣400＝400（人），
开门后每分钟来的人数是：400÷20＝20（人），
设开6个入场口x分钟后没有人排队，由题意列方程得
10×6×x＝400+20x，
40x＝400，
x＝10，答：开放6个入场口10分钟后就没有人排队．
【考点评析】关键点：一是由已知条件求出开门后每分钟来的人数；二是根据一个入场
口每分钟进客量和开门后每分钟来的人数两种方式求开门后设定时间内进客总量这个等
量关系
