文档内容
2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题24 牛吃草问题
知识精讲
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头
牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长
的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作
总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新
长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上
原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
典例分析
【典例分析01】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27头牛吃6周或23头
牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数
量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注
意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此
时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也
均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草
的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷
（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草
15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供 21 头牛吃72÷（21-
15）＝12（周）
【典例分析02】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛
吃10天？与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可
以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10
（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草
量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的
每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）×5=150（份），
由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10
头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。
【典例分析03】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已
知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩
用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，
“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度
男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了
100—90=10（级），多用了6—5=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟
到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）
×5=150（级）
【典例分析04】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些
水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想
2小时舀完，需要多少人？
已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1
小时才能舀完。已漏进的水，加上 10小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就
是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：
（5×10—12×3）÷（10—3）=2
已漏进的水：（12—2）×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：
30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）
【典例分析05】有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块
草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛
吃多少天？
前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。
为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即
[5，6，8]=120
这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛吃 10 天，120÷5=24，变为 120 公顷草地可供
11×24=264（头）牛吃10天
第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240
（头）牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛
齿及天？即
每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2021•泰安模拟）一片牧场，牧草每天生长的速度相同，已知这片牧草可供
10头羊吃20天，或可供15头羊吃10天．那么这片牧草可供30头羊吃（ ）天．
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2分）（2020•泰安）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太
慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级．
结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达．则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级
有（ ）
A．80级 B．100级 C．120级 D．140级
3．（2分）（2009•广州校级自主招生）一片青草地，每天都匀速长出青草，这片草地可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃（ ）周．A．6 B．9 C．12 D．15
4．（2分）（2018•东莞市）有一满水池，池底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等，
用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部抽水机10小时可以把水抽干，那么用25
部同样的抽水机（ ）小时可以把水抽干．
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2分）（2017•长沙）有20个玩具被丢在地板上，小红妈妈每30秒把3个玩具从地板
上放到玩具盒里，但30秒一过，小红就从玩具盒拿出两个玩具，那么小红和她妈妈需
要（ ）秒才能把20个玩具都放到玩具盒中．
A．510 B．540 C．570 D．600
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2018•长沙）有一牧场，牧草每天匀速生长，可供 9头牛吃12天；可供8头
牛吃16天．现在开始只有4头牛吃，从第7天开始又增加了若干头牛，再用6天吃光所
用的草，问增加了 头牛．
7．（2分）（2022•郑州）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后
平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果
只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开
始检票 分钟后就暂时无人排队了。
8．（2分）（2019•邯郸）草场上有一片均匀生长的草，可供27头牛吃6周，或供23头牛
吃9周，则可供21头牛吃 周。
9．（2分）（2019•长沙）青青草原上有一片青草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供
10只羊吃20天，或者可供15只羊吃10天，那么这片牧草可供7只羊吃 天．
10．（2分）（2022•龙岗区）乐乐妈妈手机通常一直开着。如果她手机开着而不通话，电
池可维持24小时：如果她连续使用手机通话，电池只能持续3小时，从她最后一次充
满电算起，她手机已经持续开机9小时，在这段期间内，她通话用了60分钟。如果她
不再使用手机通话，而让手机持续开着，该手机还能再持续待机 个小时。
11．（2分）（2021秋•高阳县期末）某种细胞每30分钟就能由1个分裂成3个，经过2小
时这种细胞由1个分裂成 个。12．（2分）（2019•长沙）某岛国的一家银行每天9：00﹣17：00营业，正常情况下，每
天9：00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，
到17：00下班时有现金60万元．如果每小时的提款量是正常情况的4倍，而存款量不
变的话，14：00银行就没有现金了．如果每小时提款量是正常情况的 10倍，而存款量
减少到正常情况一半的话，要使17：00下班时银行还有现金50万元，那么9：00开始
营业时需要准备现金 万
13．（2分）（2017•中山区）有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将
草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．
那么17头牛和20只羊 天可将草吃完．
三．应用题（共14小题，满分74分）
14．（5分）（2021•江北区校级开学）两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，在 15
秒钟里，男孩可走12级梯级，女孩可走10级梯级，结果男孩走了3分钟到达另一端，
女孩走了4分钟到达另一端，该扶梯共多少级？
15．（5分）（2022•江津区模拟）春运高峰，售票窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀
的来购票，假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象，如果开设6个售票窗口，
那么20分钟才能缓解排队现象。现在要求1分钟缓解排队现象。问：应该开设几个售
票窗口？
16．（5分）（2019•长沙县）牧场上有一片青草地，每天匀速生长，这片草地可供 24头
牛吃6周，或可供18头牛吃10周，问可供19头牛吃多少周？17．（5分）（2019•长沙）第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三
个牧场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草
吃完，又用5天将二号牧场的草吃完，在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．
如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
18．（5分）（2022•中原区）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始
后平均每分钟有10人来排队等候检票．一个检票口平均每分钟能让25人检票进站．如
果只开一个检票口，那么检票开始后8分钟就暂时无人排队了．如果开两个检票口，那
么检票开始后多少分钟就暂时无人排队了？
19．（5分）（2017•长沙）一个牧场上的青草每天都匀速生长，这边青草可供15头吃24
天，或共20头牛吃14天．现在有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将
草吃完，这群牛原有多少头？
20．（5分）（2019•长沙）牧场上有一片青草，每天匀速减少，这片草地可供 12头牛吃
10周，或可供8头牛吃12周。问：可供18头牛吃多少周？
21．（5分）（2022春•定南县期中）因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知
牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？22．（5分）（2019•青岛模拟）一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，
此时已漏进水600桶．一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟
把水抽完．每分钟漏进的水有多少桶？
23．（5分）（2018•长沙）有三块草地，面积分别是5、15、20亩，草地上的草一样厚，
而且长得一样快，第一块草地可供 10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，
问第三块草地可供多少头牛吃80天？
24．（6分）（2019•湖南）有一牧区长满牧草，牧草每天匀速生长．这个牧区的草可供 27
头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么可供21头牛吃多少天？
25．（6分）（2018•广州）由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经过计算，
现有牧场上的草可以供20头牛吃5天，或可以供16头牛吃6天．那么11头牛可以吃几
天？26．（6分）（2021•重庆）某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，
如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，
现在派120个工人砌10天后，又增加5个工人一起砌还需要再砌几天可以把砖用完？
27．（6分）（2019•长沙）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数
是固定的．一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口．20分钟就没
有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟后就没有人排队？
