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益阳市 2024 届高三 4 月教学质量检测
数学
（时量：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 是方程 的解的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．顶角为36°的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知 ，则“最美三角形”的底边长
与腰长的比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 满足 且 ，则 （ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
5．已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．
在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出
现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒 1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，
并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在 远小于365时，近似地
， ，其中 ．如果要保证直播间至少两个人
学科网（北京）股份有限公司的生日在同一天的概率不小于 ，那么来到直播间的人数最少应该为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
7．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球
之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中 4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个
另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为 ，
另一种金属晶体的原子半径为 ，则 和 的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 的定义域为 是 的导函数，且 ， ，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．函数 与 表示同一函数
B．函数 与 是同一函数
C．函数 的图象与直线 的图象至多有一个交点
学科网（北京）股份有限公司D．函数 ，则 0
10．如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆 与
横杆 组成， 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆 始终保持水平．如图2所示，以点
为原点，水平方向为 轴正方向建立平面直角坐标系．若点 距水平地面的高度为1米，转动杆 的长
度为1.6米，横杆 的长度为2米， 绕点 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角
（ ）
图1 图2
A．则点 运动的轨迹方程为 （其中 ）
B．则点 运动的轨迹方程为 （其中 ）
C．若 绕点 从与水平方向成 角匀速转动到与水平方向成 角，则横杆 距水平地面的高度为
米
D．若 绕点 从与水平方向成 角匀速转动到与水平方向成 角，则点 运动轨迹的长度为 米
11．在 中，角 所对的边依次为 ，已知 ，则下列结论中正确
的是（ ）
A． ：
B． 为钝角三角形
学科网（北京）股份有限公司C．若 ．则 的面积是
D．若 的外接圆半径是 ，内切圆半径为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系中，已知点 ，若 为平面上的一个动点且 ，则点
运动所形成的曲线的方程为______．
13 ． 已 知 ， 且 ， 则 满 足
且 的 的最大值为______．
14 ． 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ． 对 任 意 的 恒 有
， 且 ． 则
______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知 为正实数，构造函数 ．若曲线 在点 处的切线方程为
．
（1）求 的值；
（2）求证： ．
16．（本小题满分15分）
新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果
如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种
水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更
换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理
记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示：
2
日销售量x（单位：箱） 22 23 24 26
5
学科网（北京）股份有限公司天数y（单位：天） 10 10 15 9 6
（1）为能减少打折销售份额，决定70%地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．
请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量t的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）
（2）以这 50 天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（ 1）中所求 的值满足
，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是 箱划算还是
箱划算？
17．（本小题满分15分）
如图所示，四边形 为梯形， ，以 为一条边作矩形 ，
且 ，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为 ，其中一个平
面内的图形 在另一个平面上的正投影为 ，它们的面积分别记为 和 ，则 ．乙同学
利用甲的这个结论，发现在线段 上存在点 ，使得 ．请你对乙同学发现的结论进行证明．
18．（本小题满分17分）
已知直线 与椭圆 相交于点 ，点 在第一象限内， 分别为椭圆的左、
右焦点．
（1）设点 到直线 的距离分别为 ，求 的取值范围；
（2）已知椭圆 在点 处的切线为 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：切线 的方程为 ；
（2）设射线 交 于点 ，求证： 为等腰三角形．
19．（本小题满分17分）
我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组 表示；三维空间向盘可用三元有序数组
表示．一般地， 维空间向量用 元有序数组 表示，其中 称为空
间向量的第 个分量， 为这个分量的下标．对于 维空间向量 ，定义集合
．记 的元素的个数为 （约定空集的元素个数为0）．
（1）若空间向量 ，求 及 ；
（2）对于空间向量 ．若 ，求证： ，若
，则 ；
（3）若空间向量 的坐标满足 ，当 时，求证：
．
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