文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷03（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：C
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先求出 ，然后再求 .
【详解】由 ，得： ，
所以： ，即： ，故C项正确.
故选：C.
3．设有n个样本 ， ，…， ，其标准差是 ，另有n个样本 ， ，…， ，且
，其标准差为 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据标准差的计算公式分别表示 ，由此判断两者关系.
【详解】设样本 ， ，…， 的平均数为 ，样本 ， ，…， 的平均数为 ，则
，
，
，
，
所以 ，故 ，
故选：B.
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算 ， ， ，得到大小关系.
【详解】 ， ， ，故 .
故选：B.
5．已知某品牌手机电池充满电量为 毫安，每经过 小时，电量消耗 ，若电池电量不超过 毫安
时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．（待机小时取整数，参考数据： ， ）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知 小时后，该手机剩余的电量为 毫安，解不等式 可
得结论.【详解】由题意可知， 小时后，该手机剩余的电量为 毫安，
小时后，该手机剩余的电量为 毫安， ，
以此类推可知， 小时后，该手机剩余的电量为 毫安，
由 ，即 ，
所以， ，
因此，该手机至少可以待机 小时.
故选：A.
6．已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.
【详解】 .
故选：D
7．（ 2023·浙江宁波·统考一模）若 是夹角为 的两个单位向量， 与 垂直，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由题意先分别算出 的值，然后将“ 与 垂直”等价转换为
，从而即可求解.
【详解】由题意有 ，
又因为 与 垂直，
所以 ，
整理得 ，解得 .
故选：B.
8．求圆心在直线 上，且与直线 相切于点 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出圆心坐标，根据圆心到直线 的距离等于圆心到 的距离求解出圆心坐标，从
而半径可求，则圆的方程可知.
【详解】因为圆心在直线 上，所以设圆心 ，
因为圆与直线 相切于点 ，
所以 ，解得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
所以圆的方程为 ，
故选：A.
9．某几何体的三视图如图所示，正视图中的圆弧所对的圆心角为直角，则该几何体的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图可还原几何体的直观图，从而可通过运算得出结论.
【详解】根据题意可知，
该几何体为一个正方体截掉四分之一圆柱（圆柱的上、下底面圆心的连线为正方体的一条棱，圆柱底面圆
的半径为正方体棱长的一半）所剩几何体，
所以该几何体的表面积为 ，
故选：A．
10．在 ，角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】已知 ，由正弦定理边化角，化简可得 ，设 ，在
和 中，由余弦定理可得 ，可求 的最小值.
【详解】由 及正弦定理可得 ，由 ， 可得 ，故 ．
通解 设 ，由 可得 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，得 ．
在 和 中，由余弦定理得 ， ，
由 可得 ，
故 ，
当 时， 取得最小值12，即 ，得 ，故 的最小值为2．
优解 由题意知 ，
两边同时平方得 ，
又 ，所以当且仅当 ，即 时取等号，
则 ，故 的最小值为2．
故选：B
11．数列 ， 满足： ， ， ，则数列 的最大项是第
（ ）项．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据累加法求出 ， .设数列 的最大项是第 项，由得出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
，
，
，
两边分别相加可得，
，
所以有 .
因为 ，
所以， .
设数列 的最大项是第 项，
则有 ，即 ，
整理可得， ，解得 .
又 ，所以 .
故选：A.12．已知 在 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】确定 在 上恒成立，根据 得到 ，再证明充分性，
，设 ，求导得到单调区间，计算最值得到证明.
【详解】 ， 在 上恒成立，
设 ， ， ，
①必要性：
， 恒成立，故 ，
故 ，
若 ，则存在 ，使 时， ， 单调递增，
，不满足条件；
②充分性：
， ，
设 ， 在 恒成立，故 单调递减， ，故 恒成
立，
综上所述： .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数单调性问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，其中利用必要性探路得到 ，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的
关键.第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．若实数x，y满足约束条件 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】先作出平面区域，可知 表示斜率为 ，纵截距为 的直线 ，数形结合处理问题.
【详解】如图，作出约束条件的平面区域，
联立方程 ，解得 ，即点 ，
因为 ，即 ，表示斜率为 ，纵截距为 的直线 ，
可知：当直线 过点 时，目标函数 取到最小值 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
14．已知双曲线的渐近线方程为 ，且右顶点与椭圆 的右焦点重合，则这个双曲线的标准
方程是 .
【答案】【分析】根据渐近线可得 ，然后根据椭圆的焦点即可求出双曲线的顶点，即可求出结果．
【详解】设双曲线的方程是 ，
双曲线的渐近线方程是 ， ①．
由椭圆 的方程知右焦点 ,则双曲线的右顶点坐标为
双曲线方程中的 ②．
解①②得： ， ， 所求双曲线的标准方程为 ．
故答案为： .
15．已知函数 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，求得 ，设 ，求得 ，得到函数
的单调性，进而求得 在 上单调递减，进而求得 的最小值，得到答案.
【详解】因为 ，可得 ，
设 ，则 ，
令 ，可得 ，令 ，得 ，
所以函数 ，即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 ，所以 在 上单调递减，则 ．
故答案为： .16．如图，在三棱锥 中， 平面 为 外接圆的圆心，
为三棱锥 外接球的球心， ，则三棱锥 的外接球 的表面积为 ．
【答案】
【分析】依题意由正弦定理可求得 外接圆的半径为 ，再利用线面垂直关系确定球心位置在
的正上方，由勾股定理可求出外接球的半径为 ，即可得出求的表面积.
【详解】根据题意可知，设 外接圆的半径为 ，
在 中由正弦定理可知 ，解得 ，即 ；
易知三棱锥 外接球的球心在 的正上方，且 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
因为 平面 ，可得 ，又 ，
所以可得四边形 是矩形，即 ；
设 ，三棱锥 外接球的半径为 ，
由勾股定理可得 ，解得 ；
所以可得三棱锥 的外接球 的表面积为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题突破口在于利用正弦定理将 外接圆的半径为 求出，并根据线面垂直关
系再确定其位置，由勾股定理求出外接球半径大小即可得球的表面积.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等比数列 的公比 ，若 ，且 分别是等差数列 的第
1，3，5项.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【详解】（1）由题意得 ， ，
， ，解得 （ 舍去）.........................2分
则 ，解得 ，所以 .
则 ，...................................................................................4分
设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ...........................................................................................................6分
（2） .
所以 ，.............................................................................................................8分
两式相减得 ，..............................................................................10分
...........................................12分
18．（12分）2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所
示.
x 3 3 4 5 5 6 6 8
1
y 10 12 13 18 21 24 27
9
(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.
(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性
回归方程，预计可以带动多少消费？
（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复
苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的
消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式： ， ， .当 时，两个变量之间具
有很强的线性相关关系.
参考数据： .
【详解】（1） ，
......................................................................................1分
，
，
，.....................................................................3分代入公式可得相关系数 ...................4分
由于 且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.
经计算可得 ，
..........................................................................................................6分
所以所求线性回归方程为 ......................................................................................7分
（2）（ⅰ）当 时， ，所以预计能带动的消费达35.25百万元. 9分
（ⅱ）因为 ％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的................11分
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，
比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；
A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.
（只要写出一个原因即可）............................................................................................................12分
19．（12分）如图所示，在直四棱柱 中， ， ，且 ， ，
，M是 的中点．
(1)证明 ；(2)求点B到平面 的距离．
【详解】（1）如图、连接BD，........................................................................................................1分
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．..................................................................................................2分
∵ 平面ABCD，∴ ，.................................................................................................3分
又 ，∴ 平面 ，........................................................................................5分
∵ 平面 ，∴ ．...........................................................................................6分
（2）解：连接BM， ．.................................................................................................................7分
由已知可得 ， ，
，..................................................................................................................8分
∴ ，∴ ．...........................................................................................9分
设点B到平面 的距离为h，
由（1）知BC⊥平面 ，
∴三棱锥 的体积 ，.................................................................10分
即 ，解得 ，即点B到平面 的距离为 ．......................................................................12分
20．（12分）已知函数 .
(1)当 时，求函数的单调区间和极值
(2)若 在区间 内恰好有两个零点，求 的取值范围.
【详解】（1）由 得 ，且定义域为 .......................1分
∵ ，令 ，即 ，解得 ，
令 ，解得 ，..........................................................................................................3分
则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；..................................................4分
在 处的极小值为 ，无极大值.........................................................6分
（2）当 ， 恒成立， 在 上单调递增，.................................................7分
故 在区间 内至多只有一个零点；.....................................................................................8分
当 时，由（1）得 在 上最小值为 ，......................................10分
若 在区间 内恰有两个零点，则需满足 ，整理得 ......................12分
21．（12分）已知椭圆 ： 的焦点为 ，离心率为 ，点 为其上动点，且三角
形 的面积最大值为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆的 的方程；（2）若点 为 上的两个动点，求常数 ，使 时，点 到直线 的距离为定值，求这
个定值.
【详解】（1）依题意知： .........................................................................................2分
解得 ，.....................................................................................................................................3分
所以椭圆的方程为 .............................................................................................................4分
（2）设 ，则 （*）....................................................................5分
当直线 的斜率存在时设其方程为 ，
则点 到直线 的距离 ，............................................................................7分
消 ，得 ， 得 ，.................8分
则 ， ，代入（*）式：.....................................................................9分
，整理得 为常数，
则 ，此时 满足 ...................................................................10分
当 轴时，由 得 ， 消 ： ， 亦成立，
综上： ， .....................................................................................................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）已知曲线 的参数方程分别为 （ 为参数）， （ 为参
数）．
(1)将 的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点 为极点，以 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线 与曲线 分别
交于 两点（异于极点），点 ，求 的面积．
【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （t为参数），
则 ， ，.....................................................................................................2分
两式相减，得 的普通方程为： ；
曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以 的普通方程为： ............................................................................................4分
（2）因为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，.................5分
联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于A ，.........................................................................6分而 的普通方程 ，可化为 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ，即 ，............................................................7分
联立 ，得 ，
所以射线 与曲线 交于B ，.........................................................................8分
又点 ，所以 ，
则 ．.......................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知a、b均为正数，设 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为6，求 的值，并求 的最小值.
【详解】（1）由已知不等式 为 ，
时，不等式为 ， ，所以 ；..........................................................1分
时，不等式为 ， ，不成立；.........................................................2分
时，不等式为 ， ，所以 ，............................................3分
综上，不等式的解集为 ；......................................................................................4分
（2） ，即 的最小值是 ，..6分
所以 ，又 ，所以 ，.........................................................................7分
所以 ，当且仅当 时等号成立. 9分所以所求最小值为1..............................................................................................................................10分
