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六安一中 2025 届高三年级第四次月考
数学试卷
命题人：王跃审 题人：王惠 肖诚诚
时间：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ）
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
2.如图所示，在四棱锥 中，底面 是正方形， 为 中点，若 ，
则 （ ）
A. B.
C. D.
3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采
用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A.8 B.12 C.16 D.6
4.已知数列 的首项 ，则 （ ）
A.48 B.80 C.63 D.65
5.已知等差数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，则与 最接近的整数
是（ ）
A.5 B.4 C.2 D.1
学科网（北京）股份有限公司6.已知数列 满足 ，若对于任意 都有 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.在棱长为2的正方体 中， 是线段 上一个动点，则下列结论正确的有（ ）
A.不存在 点使得异面直线 与 所成角为
B.存在 点使得异面直线 与 所成角为
C.存在 点使得二面角 的平面角为
D.当 时，平面 截正方体所得的截面面积为
8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为 ，在该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面
体在该圆柱内可以任意转动，则 的最大值为（ ）
A.1 B.2 C. D.4
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法∙商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最
上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， ，设第 层有 个球，从上往下 层球的总数为
，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
10.在边长为6的菱形 中， ，现将 沿 折起到 的位置，使得二面角
是锐角，则三棱锥 的外接球的表面积可以是（ ）
A. B. C. D.
11.对于棱长为1（单位： ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）
A.底面半径为 高为 的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体
B.以该正方体同一顶点出发的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为
C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为 高为 的圆锥
D.该正方体内能整体放入一个体积为 的圆锥
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知一组数据 的平均数是1，则这组数据的中位数为__________.
13.已知四棱锥 平面 ，底面 是 为直角， 的直角梯形，如
图所示，且 ，点 为 的中点，则 到直线 的距离为
__________.
学科网（北京）股份有限公司14.若在长方体 中， .则四面体 与四面体 公共
部分的体积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设三角形 的内角 的对边分别为 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 边上的高为 ，求三角形 的周长.
16.（本小题满分15分）
已知无穷等比数列 的前 项和为
（1）求 的值；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
17.（本小题满分15分）
如图所示，在三棱柱 中， 平面 ， 点是
的中点
（1）证明： ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
学科网（北京）股份有限公司如图1，在等腰梯形 中， ，点 在以 为直径的半
圆上，且 ，将半圆沿 翻折如图2.
（1）求证： 平面 ；
（2）当多面体 的体积为32时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
若存在非零常数 ，使得数列 满足 ，则称数列 为“ 数
列”.
（1）判断数列： 是否为“ 数列”，并说明理由；
（2）若数列 是首项为1的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
（3）若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ，证明：
学科网（北京）股份有限公司六安一中 2025 届高三年级第四次月考数学试卷
参考答案
1.D
2.C
3.A 【分析】根据分层抽样的定义列出式子，进行求解.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得，史地政“组合中选出的同学人数为 .故选：A
4.C 【解答】解：数列 的首项 ，则： ，
整理得： ，所以： ，即： （常
数），
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.则： ，整理得：
（首项符合通项），则： ，所以： .故选： .
5.C 【解答】解： ，
则 ，
则与 最接近的整数是2.故选：C.
6.C
7.【答案】D
【解析】异面直线 与 所成的角可转化为直线 与 所成角，
当 为 的中点时， ，此时 与 所成的角为 ，所以A错误；
当 与 或 重合时，直线 与 所成的角最小，为 ，所以B错误；
当 与 重合时，二面角 的平面角最小， ，所以 ，
所以C错误；对于D，过 作 ，交 于 ，交 于 点，因为 ，所以
分别是 的中点，又 ，所以 ，四边形 即为平面 截正方
学科网（北京）股份有限公司体所得的截面，因为 ，且 ，所以四边形 是等
腰梯形，作 交 于 点，所以 ，
所以梯形的面积为 ，所以D正确.
8.【答案】D 【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，母线长为 ，所以圆柱的底面圆直径和高都是
，所以该圆柱的内切球的半径为 ，如图球 即为该圆柱的内切球，
若该圆柱内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，
则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，棱长 最大，如图该正四面体 的棱长为 ，
设点 在面 内的射影为 ，即 面 ，则球心 在 上，
且 ，
，所以 ，
所以 ，在 中， ，即
，
整理可得： ，解得 或 （舍），所以 的最大值为4，故选：D
9.ACD
10.AD
11.【答案】BD 【详解】对于A，圆锥体积小于正方体体积，显然不对；
学科网（北京）股份有限公司对于B，如图，以 三条棱作为圆锥母线，底面所在平面为平面 ，
等价于求 与平面 所成角的正切值，因为
所以 ，所以点A到平面 的距离为 ，
则此圆锥的母线 与底面 所成角的正切值为 ，B正确；
对于C，如图，以矩形 的中心为圆锥底面圆圆心，半径为0.5，
分别以 的中点 为两个圆锥的顶点，每个圆锥高的最大值为 错误；
对于D，如图， 的中点 作垂线 ，分别交 于点 ，
则 ，
以正方体的体对角线 作为圆锥的轴， 为圆锥顶点， 为圆锥底面圆的直径时，
该圆锥的体积为 ，D正确.
事实上，以正方体的体对角线 作为轴， 为顶点的圆锥的体积最大值，
显然底面圆心在线段 上（不含 点），设 ，
当 与 （ 为 的四等分点）重合时， ，
因此 ，因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，圆锥体积
在
上恒成立，所以 在 上单调递增，体积的最大值为 ，D正确.故选：
BCD.
12.【答案】1 【详解】这组数据的平均数为1，有 ，可求得 .
将这组数据从小到大重新排列后，观察数据可知最中间的两个数是1与1，其平均数即中位数是
.故答案为：1.
13. 【解答过程】由题意知， 平面 平面 ，
所以 ，又 ，故以 为原点， 所在的直线分别为 轴，建
立如图空间直角坐标系，则 ，得
所以 ，记 ，
则 ，
所以 到直线 的距离为
14. 【解析】解：记 ，则 为 的第一个三等分点
（靠近 ），连 ，则公共部分是三棱锥
，
学科网（北京）股份有限公司又 作 ，则 面
，故 .
15.【解析】（1）因为 为 的内角，所以 ，
因为 ，所以
可化为： ，
即 ，即
解得： ，即 .
（另解：由 ；得 .）
（2）由三角形面积公式得 代入得： ，
所以 ，故 为正三角形， ，周长等于
16.（1）当 时， ，因为 是等比数列，所以 ，
又因为 ，所以
（2）由（1）知 ，
因为 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 是以6为首项，9为公比的等比数列，
.
17.解析：（1）由题意， 平面 平面 ，所以 ，
又 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）法一（坐标法）：由（1）知 ，
又 ，所以 ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
从而 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
法二（几何法）：取 中点 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司记 与面 所成角为 ，
则
由 知
解得 ，又 ，
所以
18.（1）连 由等边三角形可知 分布在同一个圆周上，
且 ，
则六边形 为正六边形，
面 面
（2）在图1中连 交 于 ，则 ，连 交 于 ，则 ，
故在图2中 面 面
记面 与面 所成角为 ，则
故 ，即面 面
法一（几何法）：延长 交于 延长 交于
则 为面 与面 交线且 取 中点 ，连接 ，
则 即为面 与面 所成角
在 中， ，故 ，
学科网（北京）股份有限公司故面 与面 所成角的余弦值为
法二（坐标法）：以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，则
，
，有 令 得
同理可得面 法向量 ，设面 与面 所成角为 ，故
19.【详解】（1）根据” 数列“的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立， 不成立，
所以 不是” 数列“.
（2）由 是首项为2的” 数列“，则 ，
由 是等比数列，设公比为 ，
由 ，则 .
两式作差可得 ，
即 ，
由 是” 数列“，则 ，对于 恒成立，
所以 ，
即 对于 恒成立，
则 ，即 ，因为 解得， ，
学科网（北京）股份有限公司又由 ，则 ，即 ，
故所求的 ，数列 的通项公式 .
（3）设函数 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ，则 在区间 单调递减，
且 ，又由 是” 数列"，
即 ，对于 恒成立，
因为 ，则 ，再结合 ，
反复利用 ，可得对于任意的 ，
则 ，即 ，则 ，
即 ，
相加可得 ，则 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，故 .
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