文档内容
2024 届新高考教学教研联盟高三第一次联考
数学试卷
注意专项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如简改动，
用橡皮擦干静后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．设复数 ，则复数 （其中 表示 的共轭复数）表示的点在（ ）上
A．x轴 B．y轴 C． D．
2．已知角 和 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知圆锥的底面圆半径为 ，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为
（ ）
A． B．2 C． D．
5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
6．已知递增的等比数列 ， ，公比为q，且 ， ， 成等差数列，则q的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面内的三个单位向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A．0 B． C． D． 或0
8．设方程 的两根为 ， ，则（ ）
A． ， B．
C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若事件A和事件B互斥，
B．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
C．若随机变量 服从 ， ，则
D．已知y关于x的回归直线方程为 ，则样本点 的残差为
10．设函数 ， 的定义域都为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A． 是奇函数
B． 是偶函数
C．若 ，则
D．若函数 在 上单调递减且 ，则满足 的x的取值范围是
11．已知体积为2的四棱锥 ，底面 是菱形， ， ，则下列说法正确的是（
）
学科网（北京）股份有限公司A．若 平面 ，则 为
B．过点P作 平面 ，若 ，则
C． 与底面 所成角的最小值为
D．若点P仅在平面 的一侧，且 ，则P点轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．已知关于x的不等式 的解集为M， 且 ，则实数a的取值范围是______．
13．已知抛物线 的弦 的中点的横坐标为2，则弦 的最大值为______．
14．已知 ， ，则 ______， ______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
在如图所示的 中，有 ．
（1）求 的大小；
（2）直线 绕点C顺时针旋转 与 的延长线交于点D，若 为锐角三角形， ，求
长度的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知椭圆 的右顶点为A，左焦点为F，椭圆W上的点到F的最大距离是短半轴长
的 倍，且椭圆W过点 ．记坐标原点为O，圆E过O、A两点且与直线 相交于两个不同的点
学科网（北京）股份有限公司P，Q（P，Q在第一象限，且P在Q的上方）， ，直线 与椭圆W相交于另一个点B．
（1）求椭圆W的方程；
（2）求 的面积．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，平面
平面 ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点Q是线段 的中点，M是直线 上的一点，N是直线 上的一点，是否存在点M，N使得
?请说明理由．
18．（本小题满分17分）
已知函数 的导数为 ．
（1）若 恒成立，求实数k的取值范围；
（2）函数 的图象上是否存在三个不同的点 ， ， （其中 且 ，
， 成等比数列），使直线 的斜率等于 ?请说明理由．
19．（本小题满分17分）
2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，
求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于
0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是
基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与
下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为
叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子
的自旋状态有p的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X．
学科网（北京）股份有限公司（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 ，求两个粒子通过第一道逻辑门后
上旋粒子个数为2的概率；
（2）若一条信息有 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 ， ，
…， ，则称 （其中 ）为这条信息的信息熵．试求两
个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；
（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻
辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y（ ，2，3，⋯，
n，⋯）．证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数．
参考公式： 时， ， ．
2024 届新高考教学教研联盟高三第一次联考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C A B A D C BCD ACD BCD
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
1．C 【解析】 ，所以对应的点 在直线 上．
2．D 【解析】当 时， ， 没有意义，所以由 推不出 ，
当 时， ，所以由 推不出 ，
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
3．C【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，
由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则 ，
所以 ，
所以圆锥的高 ，
学科网（北京）股份有限公司圆锥的体积为 ．
4．A 【解析】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ， ，
所以该渐近线的方程为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
此双曲线的右焦点坐标为 ，
到一条渐近线 的距离为 ．
5．B 【解析】 ．
6．A 【解析】由题意知 ，即 ，又数列 递增， ，所以 ，且
，解得 ．
7．D 【解析】如图， ， ， （或 ），
由 得 ，又 ，所以 ，
由 得 ，又 ，所以 ，
（或 ，又 ，所以 ）
所以 ， 夹角为 或 ，所以 或0．
学科网（北京）股份有限公司8．C 【解析】由题意得， ，由 得 ，
令 ，则 ， ， ，
由 ， 得 ， ，故A错；
由 得 ，
由 ， 得 ，所以 ，故C对，B错，
由 ， ，所以 ，D错误．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）
9．BCD 【解析】对于A，若事件A和事件B互斥， ，未必有 ，A错；
对于B，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字，
由 ，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B正确；
对于C，因为变量 服从 ，且 ，则
学科网（北京）股份有限公司，故C正确；
对于D，由 ，得样本点 的残差为 ，故D正确；故选BCD．
10．ACD 【解析】令 ，则 ，因为 是奇函数， 是偶
函数，所以 ， ，所以 ，所以
是奇函数，A正确；
同样，令 ，则 ，所以 是奇函
数，B错误；
令 代入 ，则 ，又 ，
，所以 ，C正确；
因为 为奇函数，又 ，所以 ，
由于 在 上单调递减，要使 成立，则 ，所以 ，D正
确．
11．BCD 【解析】 ，则当 平面
时， ，则 ，即 为 或 ，A错误；
如图1，若 平面 ，则 ，又 ，
则 平面 ，有 ，又 ，
所以 平面 ， ，B正确；
设 与底面 所成角为 ，又 ，
则 ，因为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司则 与底面 所成角的最小值为 ，C正确；
如图2，当 ，根据 ，得 ，即P点到底面 的距离为 ，过A
点作底面 的垂线为l，过点P作 交l于点O，则 ，点
P的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，轨迹长度为 ，D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12． 【解析】 且 ，所以 所以 ．
13．5 【解析】方法一：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，代入 得 或
，所以 ；
当直线 的斜率存在时，显然不为零，设直线 的方程为 ，
代入 消y并整理得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，判别式 时有
因为弦 的中点的横坐标为2，所以 ，所以 ，
，
所以 ，
当且仅当 即 时取到等号，
故弦 的最大值为5．
方法二：设抛物线的焦点为F，则 ，
又 ，
当弦 的中点的横坐标为2时，有 ，所以 ，
当直线过焦点F时取到等号，故弦 的最大值为5．
14． （任意填对一空给3分）
【解析】由 得 ，则 ，
由 得 ，则 ，
所以 ，
．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
学科网（北京）股份有限公司15．【解析】（1）方法一：由 得 ，两边同时平方可得：
，由 整理得 ，解得 或 ，
又 ，则 ．
方法二： ，则 ，
得 或 ，又 ，则 ， ．
（2）由（1）得 ，则 ，由题可知 ，则 ，
设 ，则 ，
由余弦定理有 ，所以 ，
由正弦定理有 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，则 得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
即 的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司16．【解析】（1）依题有 ，又 ，所以 ，
所以椭圆W的方程为 ，
又点 在椭圆W上，所以 ，
解得 ，
所以椭圆W的方程为 ．
（2）设 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，①
圆E过点O与A且与直线 相交于两个不同的点P，Q，则圆心E的坐标为 ，
又 ，所以 ，
解得 ，②
（另法一：设直线 与x轴交于点G，则有 ，
又 ， ，所以 ，②
另法二：由 知， ， ，②）
由①②解得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立消去y得 ，
解得B点的横坐标 ，
所以 ，
又O到直线 的距离 ，
所以 的面积 ．
17．【解析】（1）如图，取 的中点O，因为 ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ，O为 的中点， ，所以 ，
过点O作 交 于点E，则由 平面 可得 ，则以O为原点， ， ，
分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设与 ， 都重直的向量为 ，则 得
令 ，则 ，
设直线 与直线 的距离为d，
则 ，
则不存在点M和N使得 ．
18．【解析】（1） 恒成立即 恒成立，
又 ，所以 恒成立，
学科网（北京）股份有限公司今 ，所以 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以当 时， 取到极小值也是最小值，且 ，
所以 ，
故实数k的取值范围为 ．
（2） ， ， 成等比数列且 ，设公比为 ，则 ， ，
求导得 ，所以 ，
直线 的斜率为 ，
若存在不同的三点A，B，C，使直线 的斜率等于 ，
则有 ，
整理成 ．
令 ，则 ，
所以 在 时单调递增，而 ，
故方程 在 时无实数解，
所以不存在不同的三点A，B，C，使直线 的斜率等于 ．
19．【解析】（1）设 “两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i个”， ，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
， ， ，
则 ，
故 ．
（2）由题知 ，1，2，
由（1）知 ，
同理可得 ，
则 ，
故X的信息熵 ．
（3）由题知 ，其中 ，2，3，…，
则 ，
又 ，
则 ，①
，②
得：
学科网（北京）股份有限公司，
由题知，当n无限增大时， 趋近于零， 趋近于零，则 趋近于 ．
所以当n无限增大时，Y的数学期望䞨近于一个常数．
学科网（北京）股份有限公司
