文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C B A A B D A A A A C
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．1010 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.【详解】（1）如图所示：
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，...................1分
在 中，由余弦定理的推论得： ，
在 中，由余弦定理的推论得： ，........................................3分
所以 ，..............................................................................4分
因为 是边 的中点，所以 ，代入上式整理得 ，因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ；.................................................................6分
（2）在 中，由正弦定理得： ，
又 ， ， ，..........................................................................8分
所以 ，即 ，.............................................................................9分
在 中，由正弦定理得： ， ， ，
所以 .................................................................................................12分
18.【详解】（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件 ，即4人均不超过30分钟，
则 .
答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是 ...........................................................2分
（2）由题意，甲乙丙丁在 分钟以上且不超过 分钟还车的概率分别为 ，
设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件 ，
则
答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是 ． ...........................................5分
（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量 的值为25，即为事件 ，由（1）所以 .6分
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件 ，事件 又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙
中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为
事件 和 .
i.事件 对应的 的值为30，此时 ；ii.事件 对应的 的值为35，此时 ............................................................7分
③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件 ，事件 又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中
的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件 和 .
i.事件 对应的 的值为35，此时 ；
i.事件 对应的 的值为40，此时 ..................8分
④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件 ，事件 又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”
和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件 和 .
i.事件 对应的 的值为40，此时 ；
i.事件 对应的 的值为45，此时 .................9分
⑤记“4人均超过30分钟”为事件 ，则随机变量 的值为50，
此时 ；....................................................10分
所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为
25 30 35 40 45 50
.................................................................................................................................................................11分
所以 .
答：甲乙丙丁四人所付费用之和 的数学期望为 ...................................................................12分
19.【详解】（1）连接 ，交 于点 ，....................................................................................1分
四边形 为正方形， ；.........................................................................................2分
平面 ， 平面 ， ，................................................................3分
又 ， 平面 ， 平面 ...........................................................5分（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
......................................................................................................................6分
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，.........................................7分
假设在线段 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
设 ，则 ， ，......................8分
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
由（1）知： 平面 ， 平面 的一个法向量为 ；.............................10分
，解得： ，...................................11分
当 ，即 时，二面角 的余弦值为 ...........................................12分
20.【详解】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，
可得 ，......................................................................................................................2分
化简得 ，即 ，故点P的轨迹C的方程为 ；.............................................................................................4分
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .....................5分
与双曲线方程联立得： ，
由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，............................................................................................7分
由 ， 得： ，
，
即 ， ，.................................................................................................9分
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，化简得 ，由已知 ，...............................11分
故存在定直线l： 满足条件....................................................................................................12分21.【详解】（1）由 ，可得 ，............................1分
由条件可得 ，即 .............................................................................................2分
则 ，
令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，................................................................4分
的极大值为 ，无极小值...........................................................5分
（2） ，即 对任意的 恒成立，
即 ，其中 ，...............................................................................................6分
令 ，则 ，即 ，........................................................................7分
构造函数 ，则 ，令 ，得 ，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，所以， ，....................................................................................................9分
即 时， 恒成立，
取 ，则 对任意的 恒成立，............................................................10分
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ....................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.【详解】（1）将 ， 代入 得： ，
，即 ，
直线 的极坐标方程为 ；......................................................................................2分
，
，即 ， 曲线 的直角坐标方程为 ........................................4分
（2）由 得： ；
由 得： ；；.........................................................................................................6分
由 知：射线 所在直线方程为： ，即 ，...........................................7分
设 ，
点 到直线 的距离 ，其中 ，..9分
面积的最大值为 ....................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23. 【详解】（1）当 时，不等式化为 ，解得 ；.....................................1分
当 时，不等式化为 ，恒成立；................................................................................2分
当 时，不等式化为 ，解得 ，.........................................................3分
综上所述，原不等式的解集为 ．..........................................................................................5分
（2）因为 ，....................................................7分
所以 恒成立等价于 ，解得 或 ，...................................9分
故 的取值范围为 ．.................................................................................................10分
