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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题13 最大最小
知识精讲
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学
阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用
所学的各种知识。
典例分析
【典例分析01】a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分
子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位
尽可能小，因此a=99
的最大值是=
答：的最大值是。
【典例分析02】有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？
甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最
大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56
【典例分析03】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：
这样的数对共有多少个？
在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术
同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以
减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。
答：这样的数对共有79个。
【典例分析04】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。这三个
数中最小的是多少？
因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝
114而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57
－1＝56
答：最小数是56。
【典例分析05】 三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有
这样的6个三位数中的最小的三位数。
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数
字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为
abc+acb+bac+bca+cab+cba
＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2
＝（a+b+c）×222
＝2886
即a+b+c＝2886÷222＝13
答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2 分）把 2、3、4、5 四个数字分别填入□□□×□里，要使积最大，应该是
（ ）
A．432×5 B．532×4 C．543×2
2．（2分）舞蹈演员在舞台上排成5条直线，每条直线上有4名演员，则最少需要舞蹈演
员（ ）
A．10名 B．12名 C．16名 D．20名
3．（2分）试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试结果对于其
中任何三人都有一道题目的答案互不相同，参加考试的学生最多有（ ）人．
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2分）从1、2、3、4、5、6…1997这些自然数中，最多可以取出（ ）个数，能
使这些数中任意两个数的差都不等于8．
A．500 B．600 C．900 D．10005．（2分）现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的
人至少分（ ）朵鲜花。
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）用1、2、3、4、5五个数字，分别组成一个最大的三位数，与一个最小的两位
数，它们的乘积是 。
7．（2分）用2，0，5三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的是 ，最小的
是 ．
8．（2分）把1993分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是
．
9．（2分）A、B都是整数，A大于B，且A×B＝2009，那么A﹣B的最大值为 ，最
小值为 。
10．（2分）在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出六个不同的数字填在
下面的方框中，使算式成立并且得数最大，最大是 。
11．（2分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都
放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放 元？
12．（2分）2013乘上一个整数，积的末4位是2012，那么乘上的这个整数最小是
。
13．（2分）某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的
4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的男孩
是 岁。
三．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）
14．（5分）一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6
位同学的得分互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排在第三名的同学至少
得多少分？15．（5分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大
圣》四部动漫电影，票价分别是50元，55元，60元，65元，来影院的观众至少看一场，
最多看两场，因时间关系《冰河世纪》和《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有100
人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？
16．（5分）一场晚会的入场券分成两种，一种价格是 48元，另一种价格是80元，48元
的入场券共有180张，80元的入场券有120张．这场晚会一共售出250张入场券．票房
收入最多可能是多少元？
17．（5分）欢欢在一张大纸上建“长方形螺旋”，其方法是以厘米为单位画长度为1，
1，2，2，3，3，4，4…的线段，如图所示．在总长度为3000厘米时，他的钢笔墨水用
完了．问欢欢画的最长的线段是多少厘米？
18．（5分）一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地 300千米以外的
指挥部．每辆摩托车装满油最多能行驶300千米，途中无加油站．队长要安排三辆摩托
车共同完成这项任务，并要求其中两辆要返回驻地，另一辆把文件送到指挥部，指挥部
最远离小分队驻地多少千米？
四．解答题（共9小题，满分49分）19．（5分）用3、4、5、7四个数组成两个分数，再进行运算，结果最大是多少？请列式
计算。
20．（5分）有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这5
个数中最小数的最小值为多少？
21．（5分）用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和
最小是多少？
22．（5分）如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发．沿着AB、
BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．
（1）四边形PQEF的形状是 ；
（2）PE是否总是经过某一定点，如果经过某一定点，请通过作图标出来；如果不经过
某一定点，请说明理由；
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？
23．（5分）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C，区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠
点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在 区．
24．（6分）a和b是小于100的两个不同的自然数，则 的最大值是 ．a和b是小
于100的两个不同的自然数，求 的最大值．
25．（6分）两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带
24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进 60公里，两车都必须返回出发
地点．但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远
离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆
车一共行驶了多少公里？
26．（6分）商店里有大、中、小规格的弹子盒子，分别装有同样规格的弹子13、11、7
粒．如果有人要买20粒，那么不必拆盒（一大盒加一小盒即可），如果要买23粒，就
必须拆盒卖，你能不能找出一个最小数，凡是来买弹子的数目超过这个数，肯定不必拆
开盒子卖，请说明理由？
27．（6分）如图是单车齿轮．大轮是主动轮，半径为 24cm；小轮是从动轮，半径为10cm．大轮转了n（n为整数） 个圈后，标志在同一条直线上，求n的最小值．（起始状态为两轮标志在同一水平线上）
