文档内容
2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题13 最大最小
知识精讲
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学
阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用
所学的各种知识。
典例分析
【典例分析01】a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分
子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位
尽可能小，因此a=99
的最大值是=
答：的最大值是。
【典例分析02】有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？
甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最
大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56
【典例分析03】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。问：
这样的数对共有多少个？
在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术
同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数，最多可以
减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。
答：这样的数对共有79个。
【典例分析04】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。这三个
数中最小的是多少？
因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝
114而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57
－1＝56
答：最小数是56。
【典例分析05】 三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有
这样的6个三位数中的最小的三位数。
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数
字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为
abc+acb+bac+bca+cab+cba
＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2
＝（a+b+c）×222
＝2886
即a+b+c＝2886÷222＝13
答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2 分）把 2、3、4、5 四个数字分别填入□□□×□里，要使积最大，应该是
（ ）
A．432×5 B．532×4 C．543×2
【思路点拨】根据一位数乘三位数的计算法则，一位数最大是 5，三位数最高位是4，
百位是3，个位是2.据此解答。
【规范解答】解：积最大：
432×5＝2160
故选：A。
【考点评析】本题主要考查三位数乘一位数的计算。
2．（2分）舞蹈演员在舞台上排成5条直线，每条直线上有4名演员，则最少需要舞蹈演
员（ ）
A．10名 B．12名 C．16名 D．20名
【思路点拨】利用直线两两相交图形，数一数交点的个数即是最少需要舞蹈演员人数，据此解答即可。
【规范解答】解：如图： ，
当5条直线两两相交时，需要的舞蹈演员最少，此时5条直线有10个交点，每一条直线
上有4个交点，正好是每排4名演员的位置，所以最少需要舞蹈演员10名。
故选：A。
【考点评析】本题主要考查了最少问题，解题的关键是理解直线两两相交时需要的舞蹈
演员最少，利用图形更易理解。
3．（2分）试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试结果对于其
中任何三人都有一道题目的答案互不相同，参加考试的学生最多有（ ）人．
A．7 B．8 C．9 D．10
【思路点拨】根据乘法原理可得，共有4×3＝12种选择，要使一个题目的答案互不相
同的情况尽量多，就要使他们每人做的另外 3题都一样，那么不一样的就有12﹣3＝9
种可供选择，所以最多有9人．
【规范解答】解：根据分析可得，
4×3＝12（种）
12﹣3＝9（人）
答：参加考试的学生最多有9人．
故选：C．
【考点评析】本题考查了排列组合知识和抽屉原理的综合应用，关键是从最不利的情况
考虑．
4．（2分）从1、2、3、4、5、6…1997这些自然数中，最多可以取出（ ）个数，能
使这些数中任意两个数的差都不等于8．
A．500 B．600 C．900 D．1000
【思路点拨】根据题意：把1﹣﹣1997这些自然数分组：1，9，17，25，3…1993﹣﹣有250个数；
2，10，18，26，34…1994﹣﹣有250个数；
3，11，19，27，35…1995﹣有250个数；
4，12，20，28，3…1996﹣﹣有250个数；
5，13，21，29，37…1997﹣有250个数；
6，14，22，30，38…1990﹣﹣有249个数；
7，15，23，31，39…1991﹣有249个数；
8，16，24，32，40…1992﹣有249个数；
前五行，每行的数每隔一个数取一个数，共可取250÷2＝125个符合条件的数；
后三行，每行的数每隔一个数取一个数，最多可也取125个（124+125＝249）符合条件
的数；
这样，从1～1997这些自然数中，最多可取125×8＝1000个符合条件的数．
【规范解答】解：由分析得：
前五行，每行的数每隔一个数取一个数，共可取250÷2＝125个符合条件的数；
后三行，每行的数每隔一个数取一个数，最多可也取125个（124+125＝249）符合条件
的数；
最多可取：125×8＝1000（个）；
故选：D。
【考点评析】解决此题的关键是任意两个数的差都不等于 8，根据8的倍数分组，再取
出符合条件的数．
5．（2分）现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的
人至少分（ ）朵鲜花。
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拨】因为每个人分得的鲜花数各不相同，第一次先分给这5个人的鲜花数依次
为：1、2、3、4、5，从这里可以看出最后那个人是分得鲜花最多的人；那么还剩下 6
朵，如果这6朵全给最后这个人，那么他最多可分得5+6＝11朵，要想让他分得的鲜花
数少，那么剩下的6朵，可以再分给每个人1朵，由此可得出这时每个人的鲜花数为：
2、3、4、5、6，此时还剩下1朵，只能给最后那个人，由此即可得出他至少得几朵。
【规范解答】解：因为每个人分得的鲜花数各不相同，第一次先分给这 5个人的鲜花数依次为：1、
2、3、4、5，那么还剩下6朵，为了使最后那个人分得的鲜花数最少，并且保证没人分
得的鲜花数各不相同，所以，剩下的6朵再依次分给5个人每人一朵，这时，每人分得
的鲜花数分别为：2、3、4、5、6，此时只剩下一朵，给前四个人中任意一个人，都会
出现鲜花数量相同，所以最后一朵只能给最后那个人鲜花数最多的人，此时，他的鲜花
数为7。
答：分得鲜花最多的人至少分得7朵鲜花。
故选：C。
【考点评析】本题主要考查了最大与最小问题，解题的关键是要抓住分得的鲜花数各不
相同，得出分配鲜花的方法是解决这个问题的关键。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）用1、2、3、4、5五个数字，分别组成一个最大的三位数，与一个最小的两位
数，它们的乘积是 651 6 。
【思路点拨】要使三位数最大，百位上数字最大，十位是较大，个位上的数字较小；要
使两位数最小，最高位上的数字要最小，个位上的数字较小。它们的乘积即可得。
【规范解答】解：543×12＝6516。
故答案为：6516。
【考点评析】理解数位的意义是解决本题的关键。
7．（2分）用2，0，5三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的是 5.2 0 ，最小的
是 0.2 5 ．
【思路点拨】要使三个数字组成的两位小数最大，5要放在个位上，2要放在十分位上，
0要放在百分位上；要使三个数字组成的两位小数最小，0要放在个位上，2要放在十分
位上，7要放在百分位上；据此解答．
【规范解答】解：根据分析可得，
最大两位小数是：5.20，
最小两位小数是：0.25．
故答案为：5.20，0.25．
【考点评析】本题考查了简单的排列知识，要使三个数字组成的两位小数最大较大数字
应放在较高位，反之放在较低位，注意要按顺序写出，防止遗漏．
8．（2分）把 1993分成若干个自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是
3 66 3 × 2 2 ． ．【思路点拨】因为1993＝3×663+2×2，故将它分成 +2+2时，这些加数之积
最大．
【规范解答】解：因1993＝3×663+2×2，故将它分成 +2+2时，这些加数之
积最大．
即乘积最大是：3663×22．
故答案为：3663×22．
【考点评析】关键是明白：把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆
数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大．
9．（2分）A、B都是整数，A大于B，且A×B＝2009，那么A﹣B的最大值为 200 8 ，最
小值为 8 。
【思路点拨】求最小值的时候，把 2009分解质因数成2009＝7×7×41，所以当A＝
49，B＝41，A﹣B有最小值为8；A和B的乘积等于2009又两者都是整数，所以A＝
2009，B＝1时A﹣B有最大值为2008。
【规范解答】解：2009＝7×7×41
所以A＝2009，B＝1时，A﹣B有最大值为2008。
所以当A＝49，B＝41时，A﹣B的最小值为8。
故答案为：2008，8。
【考点评析】此题的关键在于通过分解质因数，求得A与B的值，进而求出最大值与最
小值。
10．（2分）在0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中，选出六个不同的数字填在
下面的方框中，使算式成立并且得数最大，最大是 10 5 。
【思路点拨】两位数加一位数的数为三位数，说明个位上有进位，十位上的数字是9，
要是最终的数最大，只需要一位数和两位数的个位的和最大即可。
【规范解答】解：两位数的十位上一定是9，三位数的个位上一定1，十位上是0，
除了9外，8+7最大，
所以：
答：最大是105。故答案为：105。
【考点评析】本题主要考查了最大与最小，根据一位数加两位数的计算法则，判断出两
位的十位是多少，再求最大值是本题解题的关键。
11．（2分）妈妈准备了7只信封，在每只信封里都放了钱共100元，要求每一只信封里都
放整元数，而且都不相同，那么钱放得最多的一只信封里至少放 1 8 元？
【思路点拨】根据抽屉原理，如果把n个物体放入m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一
个抽屉至少有：①当n不能整除m时，k＝n÷m+1个物体；②当n能整除m时，k＝n÷m
个物体．本题中，就是把100放入7个抽屉，结合前面的原理解答即可．
【规范解答】解：这题有多种解法，只要每一袋的数不同就可以了，
但题中要求“最多的一袋至少放多少”，
那么这7袋的数是非常接近的，
把100分成7个接近的数，每个信封里就是十几元，
根据个位数的和是30元，
结果是：11+12+13+14+15+17+18＝100（元）
所以：最多的一只信封里至少放18元．
故答案为：18．
【考点评析】本题主要考查了抽屉原理的应用，难度较大．
12．（2分）2013乘上一个整数，积的末4位是2012，那么乘上的这个整数最小是 492 4
。
【思路点拨】积的个位数是2，2013的个位是3，3×（4）＝12，所以乘上的这个整数
个位是4；2013×4＝8052，十位是5，5+（6）＝11，这个整数的十位上的数与2013个
位上3的积末位是6，6÷3＝2，所以乘上这个整数的十位是2；2013×24＝48312，百
位是3，3+（7）＝10，这个整数的百位上的数与2013个位上3的积是末位是7，3×
（9）＝27，所以乘上这个整数的百位是9；2013×924＝1860012，千位是0，0+（2）
＝2，这个整数的千位上的数与2013个位上3的积是末位是2，3×（4）＝12，所以乘
上这个整数的千位4；据此解答即可。
【规范解答】解：2013×4924＝9912012
答：乘上这个整数最小是4924。
故答案为：4924。
【考点评析】本题主要考查整数乘法计算法则，熟悉掌握整数乘法计算法则，灵活计算。13．（2分）某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的
4岁，最大的女孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的男孩
是 8 岁。
【思路点拨】4～10中，差为4的算式有：10﹣6＝4，9﹣5＝4，8﹣4＝4，据此讨论即
可。
【规范解答】解：4～10中，差为4的算式有：
10﹣6＝4，9﹣5＝4，8﹣4＝4，
因为一定有人是10岁和4岁，
所以取算式：10﹣6＝4和8﹣4＝4，
若最大的男孩10岁，最大的女孩8岁，
则最小的女孩为6岁，最小的男孩为4岁，
此时，其他女孩分别为7、8、9岁，
与最大的女孩是8岁矛盾，
所以，最大的男孩是8岁，最大的女孩是10岁，最小的男孩是6岁，最小的女孩是4岁。
故答案为：8。
【考点评析】本题主要考查了最大与最小，确定计算年龄差的算式后，需要验证结论是
否符合题意。
三．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）
14．（5分）一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6
位同学的得分互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排在第三名的同学至少
得多少分？
【思路点拨】要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，
令第一名是100分，第二名是99分，第六名是65分；然后求出六位同学的总分91乘
6，减去100、99、65，最后除以3得94，让第四位、第五位同学分数尽量大94、93，
则第三名同学至少得95分，即可得解。
【规范解答】解：91×6＝546（分）
546﹣100﹣99﹣65＝282（分）
282÷3＝94（分）
答：得分排在第三名的同学至少得95分。
【考点评析】明白要使第三名分数最小，则其他五人的分数必须最大是解决此题的关键。15．（5分）影院正在放映《玩具总动员》、《冰河世纪》、《怪物史莱克》、《齐天大
圣》四部动漫电影，票价分别是50元，55元，60元，65元，来影院的观众至少看一场，
最多看两场，因时间关系《冰河世纪》和《怪物史莱克》不能都观看，若今天必有100
人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？
【思路点拨】每次看一场或两场且《冰河世纪》和《怪物史莱克》不能都观看，则共有
9种不同票价，看一场有4种，两场有5种，然后最不利思考，最不利时这 9种票价都
有99人，则第100人无论怎么选择，必为9种中的一种，所以至少有 99×9+1＝892
（人），也就是抽屉原理的应用，即有m个抽屉，要使一个抽屉中放n个，最少要[（n
﹣1）×m+1]个，
【规范解答】解：一场或两场且符合题目要求的不同票价有：
只看一场，共4种：50元，55元，60元，65元，
看2场，共5种：105元，110元，115元，120元，125元，
则总共有4+5＝9（种）可能
最不利时，至少接待观众：（100﹣1）×9+1＝892（人）
答：影院今天至少接待观众892人．
【考点评析】本题考查了最大与最小，利用的是抽屉原理，即有m个抽屉，要使一个抽
屉中放n个，最少要[（n﹣1）×m+1]个，解答的关键是先求出总共有几种票价．
16．（5分）一场晚会的入场券分成两种，一种价格是 48元，另一种价格是80元，48元
的入场券共有180张，80元的入场券有120张．这场晚会一共售出250张入场券．票房
收入最多可能是多少元？
【思路点拨】收入最多的可能是：80元的票全部卖完，48元的卖了（250﹣120）张；
据此根据“单价×数量＝总价”即可求解．
【规范解答】解：80×120+48×（250﹣120）
＝9600+48×130
＝9600+6240
＝15840（元）
答：票房收入最多可能是15840元．
【考点评析】解答此题的关键是：弄清楚最多和最少是卖的两种票的数量情况，从而问
题的解．
17．（5分）欢欢在一张大纸上建“长方形螺旋”，其方法是以厘米为单位画长度为1，
1，2，2，3，3，4，4…的线段，如图所示．在总长度为3000厘米时，他的钢笔墨水用完了．问欢欢画的最长的线段是多少厘米？【思路点拨】线段从小到大出现的规律是1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6……如
果把相同的两个数看成一组，分析最后一个数是第几组即可．
【规范解答】解：
3000÷2＝1500（厘米）
1+2+3+……+50＝1275（厘米）
1+2+3+……+50+51+52+53+54＝1485（厘米）
3000﹣1485×2＝30（厘米）
答：欢欢画的最长的线段是54厘米．
【考点评析】此题主要运用等差数列知识，采用逼近法解题．
18．（5分）一支摩托车小分队奉命把一份重要的文件送到距小分队驻地300千米以外的
指挥部．每辆摩托车装满油最多能行驶300千米，途中无加油站．队长要安排三辆摩托
车共同完成这项任务，并要求其中两辆要返回驻地，另一辆把文件送到指挥部，指挥部
最远离小分队驻地多少千米？
【思路点拨】画出线段图分析，三辆摩托车编号1、2、3，1号车到达指挥部，2号车第
一个返回，3号车第二个返回；
情况一：设2号车行驶了a千米返回，此时，2号车预留出返回的油量，剩下的油加满1
号车的油箱；3号车再行驶b千米后返回，预留出返回的油量，剩下的油加满1号车的
油箱．此时1号车油箱是满的，所以可以继续行驶300千米．
情况二：设2号车行驶了a千米返回，此时，2号车预留出返回的油量，剩下的油加满1
和3号车的油箱；3号车再行驶b千米后返回，预留出返回的油量，剩下的油加满 1号
车的油箱．此时1号车油箱是满的，所以可以继续行驶300千米．
根据线段图列出方程，求解即可；
【规范解答】解：三辆摩托车编号1、2、3，1号车到达指挥部，2号车第一个返回，3
号车第二个返回；
情况一：设2号车行驶了a千米返回，3号车在2号车返回后，再行驶b千米后返回．由线段图可知，2号车共行驶了：a+a＝2a（千米），
加给1号车的油量能行驶（300﹣2a）千米，
1号车此时消耗的油量能行驶a千米，
有：300﹣2a＝a
解得：a＝100
3号车共行驶了a+b+a+b＝2（a+b）（千米），
3号车加给1号车的油量能行驶[300﹣2（a+b）]（千米），
此时，1号车从2号车返回到3号车返回共消耗的油量能行驶b千米，
有：300﹣2（a+b）＝b
将a＝100代入，得：300﹣2（100+b）＝b
解得：b＝
所以，1号车行驶的总路程为：
a+b+300
＝100+ +300
＝433 （千米）
情况二：设2号车行驶了a千米返回，3号车在2号车返回后，再行驶b千米后返回．
由线段图可知，2号车共行驶了：a+a＝2a（千米），
加给1号和3号车的油量能行驶（300﹣2a）千米，
1号和3号车此时消耗的油量能行驶（a+a）千米，
300﹣2a＝a+a
解得：a＝75，
3号车共行驶了a+b+a+b＝2（a+b）（千米），
2号车给3号车加过能行驶a千米的油量，则3号车加给1号车的油量能行驶[300+a﹣2
（a+b）]（千米），
此时，1号车从2号车返回到3号车返回共消耗的油量能行驶b千米，
有：300+a﹣2（a+b）＝b
将a＝75代入，得：300+75﹣2（75+b）＝b
解得：b＝75
所以，1号车行驶的总路程为：a+b+300
＝75+75+300
＝450（千米）
450＞443
答：指挥部最远离小分队驻地450千米．
【考点评析】本题主要考查了最大与最小问题以及综合行程问题，需要学生能够画出线
段图，并发现其中的数量关系，使得到达指挥部的那辆摩托车行驶距离最远．
四．解答题（共9小题，满分49分）
19．（5分）用3、4、5、7四个数组成两个分数，再进行运算，结果最大是多少？请列式
计算。
【思路点拨】用3、4、5、7四个数组成两个分数，再进行运算，要使结果最大，则需
满足分母越小，分子越大即可。
【规范解答】解：结果最大是： + ＝
【考点评析】解答本题关键是明确分数的大小比较法。
20．（5分）有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这5
个数中最小数的最小值为多少？
【思路点拨】设中间数是a，则它们的和为5a，中间三数的和为3a．因为5a是平方数，
所以平方数的尾数一定是5或者0；再由中间三数为立方数，所以a﹣1+a+a+1＝3a，所
以立方数一定是3的倍数．中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为
1123．
【规范解答】解：设中间数是a，五个数分别是a﹣2，a﹣1，a，a+1，a+2；
明显可以得到a﹣2+a﹣1+a+a+1+a+2＝5a，
由于5a是平方数，所以平方数的尾数一定是5或者0，
再由3a是立方数，所以a﹣1+a+a+1＝3a，所以立方数一定是3的倍数．
所以这个数a一定是32×53＝1125，
所以最小数是1125﹣2＝1123．答：这5个数中最小数的最小值为1123．【考点评析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，
设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．
21．（5分）用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和
最小是多少？
【思路点拨】由于要求和最小，则就要使加数尽量小且尽量少，其中偶数不能放在个位，
0不能放在个位和首位，据此分析完成。
【规范解答】解：可以这样组：
2+3+5+67+89+401＝567
即和最小是567。
答：这些质数的和最小是567。
【考点评析】明确使加数尽量小且尽量少，然后根据质数的意义及数位知识分析是完成
本题的关键。
22．（5分）如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发．沿着AB、
BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．
（1）四边形PQEF的形状是 正方形 ；
（2）PE是否总是经过某一定点，如果经过某一定点，请通过作图标出来；如果不经过
某一定点，请说明理由；
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？
【思路点拨】（1）因为速度相同，所以四边形PQEF外面的四个三角形是相同的，从而
四边形PQEF的四条边相等，同时也可以求得这个四边形的四个角都是直角，所以这个
四边形是正方形．
（2）大正方形对角线相交于中心点，小正方形的对角线也相交于中心点，这两个中心
点重合．
（3）小正方形与大正方形重合的时候面积最大，PE与AB垂直的时候面积最小．
【规范解答】解：（1）正方形。故答案为：正方形；
（2）连接A额，CP，连接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四边形APCE为平行四边形．
∵O为对角线AC的中点，
∴对角线PE总过AC的中点．
（3）正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，
当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，此时S正方形PFEQ＝
S正方形ABCD．
当P与顶点B重合时，面积最大，S正方形PQEF＝S正方形ABCD．
【考点评析】本题考查了四边形的综合题，在证明过程中，应用了正方形的性质和平行
四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线，此题难度一
般．
23．（5分）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C，区有
10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，
为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在 A 区．
【思路点拨】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、C各点时员工步行的路程和，选择
最小的即可求解．
【规范解答】解：因为当停靠点在 A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：
15×100+10×300＝4500m，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200＝5000m，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200＝12000m，
所以当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．
故答案为：A．
【考点评析】本题主要考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，要能把线
段的概念在现实中进行应用，比较简单
24．（6分）a和b是小于100的两个不同的自然数，则 的最大值是 ．a和b是小
于100的两个不同的自然数，求 的最大值．
【思路点拨】根据题意，要求 的最大值，应使分子尽可能大，使分母尽可能小．
所以b＝1；由b＝1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位
就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a＝99
所以 的最大值是 ＝ ．据此解答即可．
【规范解答】解：要求 的最大值，应使分子尽可能大，使分母尽可能小．所以b
＝1；
由b＝1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，
可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a＝99
＝
＝ ．
【考点评析】根据分数的意义确定分母分子的取值范围是完成本题的关键．
25．（6分）两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带
24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进 60公里，两车都必须返回出发
地点．但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远
离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆
车一共行驶了多少公里？
【思路点拨】把第一辆车的24桶油分成4份，两份供第一辆往返：24÷4×60＝360
（公里），另外两份分别在360公里处给第二辆车来回行前360公里的路程．此时，第二辆车在360公里处加满油，可再往返：24÷2×60＝720（公里）．据此解答．
【规范解答】解：24÷4＝6（桶）6×60＝360（公里）
24÷2×60＝720（公里）
360+720＝1080（公里）
1080×2＝2160（公里）
答：为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点360公里的
地方返回，离出发地点最远的那辆车一共行驶了2160公里．
【考点评析】此题的第二问与第一问不同，很容易错算成单向行驶的路程．
26．（6分）商店里有大、中、小规格的弹子盒子，分别装有同样规格的弹子13、11、7
粒．如果有人要买20粒，那么不必拆盒（一大盒加一小盒即可），如果要买23粒，就
必须拆盒卖，你能不能找出一个最小数，凡是来买弹子的数目超过这个数，肯定不必拆
开盒子卖，请说明理由？
【思路点拨】根据题意，要找出一个最小数，凡是来买弹子的数目超过这个数，肯定不
必拆开盒子卖，那购买的数量必须有7、11、13，为了使这个数尽量的小，那再多买的
数量可以为7的若干倍，由此得出答案．
【规范解答】解：因为31＝7+11+13，32＝7×3+11，33＝7+13×2，34＝7×3+13，35＝
11×2+13，36＝11×2+7×2，37＝11+13×2．
这七个连续整数均不须拆开盒子卖，故以后可在每个数的基础上，加上7的若干倍就可
以了．
所以最小数为30．
【考点评析】解答本题的关键是，根据题意利用裂项的方法求出购买比 30大的7个连
续的自然数能够不必拆开盒子卖，由此得出答案．
27．（6分）如图是单车齿轮．大轮是主动轮，半径为 24cm；小轮是从动轮，半径为
10cm．大轮转了n（n为整数） 个圈后，标志在同一条直线上，求n的最小值．（起始
状态为两轮标志在同一水平线上）
【思路点拨】先求出24和10 的最小公倍数是120，然后用120÷24＝5，就是5个半圈，
不合题意，所以进一步扩大2倍即可解决问题．
【规范解答】解：24＝2×2×2×3，10＝2×5，
所以24和10的最小公倍数是120，
120÷24＝5，
所以大轮转了5个半圈，即转了2.5圈，
因为要求n为整数，所以转了2.5×2＝5圈．
【考点评析】此题主要是应用最小公倍数的知识解决生活中的实际问题
