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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题22 最佳对策问题
知识精讲
熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬长避
短”的策略，取得了胜利。
生活中的许多事物都蕴含着数学道理，人们在竞赛和争斗中总是玩游戏，大至体育比
赛、军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参
与竞争的双方都要制定出自己的策略，这就是所谓“知己知彼，百战不殆”。哪一方的策
略更胜一筹，哪一方就会取得最终的胜利。
解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。
典例分析
【典例分析01】两个人做一个移火柴的游戏，比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移
走1至7根火柴，直到移尽为止。挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。如果开始时有 1000
根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。
先移火柴的人要取胜，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。
设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第 999根火柴。因此，只要取到
第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次类推，甲取的与
乙取的之和为8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根
就能保证获胜。
所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走7根火柴。
【典例分析02】有1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取
4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的
能胜，还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。
如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒
棋子就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取 2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要
使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的
倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。
【典例分析03】在黑板上写有999个数：2，3，4，……，1000。甲、乙两人轮流擦去黑
板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁
必胜？必胜的策略是什么？
甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：（2，3），（4，5），（6，
7），……（998，999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲
则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下
的一对数必互质。所以，甲必胜。
【典例分析04】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写
已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写，谁一定获胜？写出一种
获胜的方法。
这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。
甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；甲
不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜。因此，甲先写6或8，才有可能获胜。
甲可以获胜。如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这
六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的
一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。
【典例分析05】有一个3×3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图所示，9张卡片分
别写有：1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡
片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和；小强计算左、右两列6个数的和，
和数大的一方取胜。小兵一定能取胜吗？由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在A，B，C，D
这4个格中的数有关。
小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能将小数填入B
格或D格。由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵应先将1放在B格，如小强把10放进D格，小兵
再把9放进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获胜。
如小强把3放进A格，小兵只需将9放到C格，小兵也一定获胜。
真题演练
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）在抢“32”的游戏中，规则是第一个人先说1或1、2，第二个人要接着往下说
一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，
每人每次说一个或两个数，但不可以连续说三个数，谁先抢到“32”谁就胜，那么取适
当的策略后其后果是（ ）
A．先报数者胜 B．后报数者胜
C．两者都有可能 D．很难预料
2．（2分）一把钥匙只能开一把锁，现有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，问
最多试（ ）次能将所有的锁都找到相对应的钥匙．
A．4 B．6 C．16
3．（2分）两个人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，
硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜．那么先放着在（
）处就必胜．
A．周长上 B．直径上 C．半径上 D．圆心上
4．（2分）一种电脑小游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩。明明和爸爸、
妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要（ ）分钟。
A．10 B．15 C．20
5．（2分）一把钥匙只能打开一把锁，现在有6把钥匙．但不知哪把钥匙开哪把锁．最多
要（ ）次才能打开所有的锁．
A．25 B．21 C．5
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）有240人去春游，想准备一些饮料，商店“优惠告示”写着本店饮料，6只空
瓶可换一瓶饮料，240人至少买 瓶饮料，就能保证每人都喝一瓶．
7．（2分）两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁报数后和是
20，谁就获胜。如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报；接下来应该报前面数与 的差。
8．（2分）两个人做移火柴棍游戏．比赛规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至5根
火柴，但不可以不取，直到移完为止，谁最后移走火柴就算谁赢．如果开始有55根火
柴，首先移火柴的人在第一次移走 根时才能在游戏中保证获胜．
9．（2分）桌上有8根木棒，现小明和小刚玩一个游戏，每个人只能抽取 1或2根木棒，
最后抽完的人胜利，小明先抽，为了让自己一定取得胜利，则小明第一次先抽取
根。
10．（2分）甲、乙二人做报数游戏，规定：A，按顺序从1开始报数，每次最少报一个数，
最多报两个数；B，后一人接着前一个人的数往后报；C，谁先报出25谁赢；D，甲先乙
后，甲乙都很聪明，结果是 ．
11．（2分）小军和小红做游戏，桌上放着14枚棋子，两人轮流取走1枚或2枚，谁拿到
最后一枚谁就获胜．如果小军先取 枚有必胜的策略．
12．（2分）有26个不同国家的集邮爱好者，想通过互相通信的方法交换各国最新发行的
纪念邮票，为了使这26人每人都拥有这26个国家的一套最新纪念邮票，他们至少要通
封信。
13．（2分）两人做一种游戏：轮流报数，报出的数只能是1，2，3，4，5，6，7，8．把
两人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是123，谁就获胜，让你先报，就一定
会赢，那么你第一个数报 ．
三．应用题（共15小题，满分74分）
14．（4分）水果店有苹果90千克，如果大小分开卖，大苹果每千克4元，小苹果每千克
的售价是大苹果的 ，如果混合着卖每千克 元．如果你是店主，你打算怎么卖？
15．（5分）小猿和车甫正在玩一个卡片游戏。桌上一共有21张卡片，上面分别写着1～
21，并且按顺序排成了一行。从小猿开始，每人轮流拿走3张卡片，要求拿走的3张卡
片上的数必须是连续的3个数，谁先无法按照规则拿走卡片或无卡片可以拿谁输。请你
帮小猿想一个必胜的方法。（卡片不能旋转）
16．（5分）前面有一条河，假设人只能骑牛过河，共有A、B、C、D头牛，A牛过河要2分钟，B牛过河要3分钟，C牛过河要4分钟，D牛过河要7分钟，每次只能赶
两头牛过河，人要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
17．（5分）在一堆棋子（22枚）中，两个人轮流取，一次可以取 2枚或3枚棋子，不能
不取，或多取，取到最后一枚棋子的为胜利者．第一个取的人应采取怎样的策略，才能
保证自己胜利？
18．（5分）两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的数加起来．
（1）谁报数后和是33，谁就获胜．想一想：为了确保获胜，你应该先报还是后报？应
该怎样报？
（2）谁报数后和是44，谁就获胜，如果让你先报，你能保证一定获胜吗？为什么？
19．（5分）有一个3×3的棋盘方格和9张大小与一个小方格相同的卡片，在每一张卡片
上写着1～9中的一个数。甲、乙两人做游戏，轮流选取一张卡片放到9格中的一格，
对甲计算上、下两行6个数字的和，对乙计算左、右两列（竖行）6个数字的和，和数
大者为胜。试说明若甲先选卡片放，则甲有必胜的策略。20．（5分）有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取 1枚，最多取3枚，以取
走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者
为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略？
21．（5分）羊羊运动会上，绵羊家族和山羊家族各派3名乒乓球选手进行比赛，共打三
场，3场2胜即为赢．如果你是绵羊家族的领队，你将怎么安排本队的3名选手与对方
对阵，才有可能赢得比赛？
22．（5分）有四个人夜间过一座独木桥，他们只有一只手电筒．而这座独木桥一次最多
允许两人同时通过，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去．
两人同行时以较慢者的速度为准，四人过桥时间分别是1分、2分、5分和10分．他们
四人过完桥最少需要 分钟．
23．（5分）有分别装7根和10根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能
同时在两盒中都取，也不能不取，规定取到最后火柴者为胜．问甲先取时是否有必胜的
策略？（请你写出取胜的策略）
24．（5分）甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图的3×3的方格中放
棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线（横、竖、斜均可），谁就获胜．如果甲首先占据了中间位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里？25．（5分）一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数 2，3，4，…，2007，
2008，一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数
（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，
则判小聪胜；否则判小明胜．问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由．
26．（5分）120名小六学生选举学生代表，每人可投一票，候选人只有甲、乙两人．在已
点选的100票中，甲得45票，乙得35票，其余弃权．甲最少还需要多少张选票才确保
他一定当选﹖
27．（5分）桌子上有8枚棋子，甲乙二人轮流拿棋子．规定先拿的只要不都拿走，拿几
枚都成，后拿者不能多于先拿的2倍，如此进行下去，谁拿最后一枚棋子谁就算胜利．
请你回答，怎样拿必然取胜，为什么？28．（5分）向阳玩具厂有女工50名，平均每人每天做玩具20件；有男工20名，平均每
人每天做玩具25件．该厂接到订货6000件的单，并要求三天之内交货．可是厂里没有
现货，按照这样的情况，你能给厂长出点主意吗？
