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2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题16 规则立体图形的体积
知识精讲
解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，
水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不
全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。
典例分析
【典例分析01】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6厘米和4厘米。如果
将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？
中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水
面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立
方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是 0.7立方米，再除以它的底
面积就能求得升高了多少厘米。
3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）
0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）
答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。
【典例分析02】一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长
和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部
沉入水中，排开水的体积是8×8×15=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是 8厘米，
要淹没 15 厘米高的铁块，水面就要上升 15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是 3.14×10×10—8×8=250（平方
厘米）。水的形状变了，但体积还是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度
是2512÷250=10.048（厘米），上升10.048—8=2.048（厘米）
3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8
=2512÷250—8
=10.048—8
=2.048（厘米）
答：水面上升了2.048厘米。
【典例分析03】某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2
倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积
（如图28-1所示）。
设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是r，长是2r。长方体的容积是
2r×r×r=24 ， 即 r 的 立 方 =12 。 这 个 半 圆 锥 体 的 体 积 是 1/3×∏ r 的 平 方
×r÷2=1/6∏r的立方，将r的立方=12代入，就可以求得面粉的体积。
设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是2r×r×r=24，r的立方=12。
1/3×3.14×r的平方×r÷2
=1/6×3.14×r的立方
=1/6×3.14×12
=6.28（立方米）
答：这堆面粉的体积是6.28立方米。
【典例分析04】如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包
装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？a
c
b
图28—4
图28—5
图28—6
设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c，并且 a＞b＞c（入土 28-4）。比较
“3×4”和“2×6”两种包法。图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc①，图28-
6中大长方体的表面
积为4ab+12ac+24bc②，两个式子中都曲调相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式与
②式的大小要看 2ab与4ac的大小。（1）当b=2c时，2ab=￥ac，两种包法相同。
（2）当b＜2c时，“3×4”的包法表面积最小。（3）当b＞2c时，“2×6”的包法
表面积最小。
【典例分析05】一只集装箱，它的内尺寸是18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸
是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？
因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在18×16×18的空间
放货箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还有18×2×18的空间，但
只能在18×2×16的空间放货箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160（只）。
18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）=144+16
=160（只）
答：这只集装箱能装160只货箱。
真题演练
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如图是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（ ）立方厘米．
A．9 B．10 C．11 D．12
【思路点拨】根据题干，这个几何体的体积就是这些小正方体的体积之和，棱长1厘米
的正方体的体积是1立方厘米，由此只要数出有几个小正方体就能求得这个几何体的体
积．
【规范解答】解：这个几何体共有2层组成，
所以共有小正方体的个数为：8+2＝10（个）
所以这个几何体的体积为：1×10＝10（立方厘米）
答：它的体积是10立方厘米．
故选：B．
【考点评析】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；抓住这个几何体的体积等于这
些小正方体的体积之和．
2．（2分）如图是由1cm3的小正方体搭成的，它的体积是（ ）cm3．
A．10 B．9 C．6
【思路点拨】观察图形，先数出这个图形是由几个小正方体组成的，因为每个小正方体
的体积是1立方厘米，据此即可解答．
【规范解答】解：（6+3+1）×1
＝10×1＝10（立方厘米）
答：它的体积是10立方厘米．
故选：A．
【考点评析】此题考查了不规则图形的体积的计算方法的灵活应用．
3．（2分）如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的
水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢
出）后，甲乙两个容器水面高度是（ ）
A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断
【思路点拨】由题意可知，两个圆柱形容量中的水深都是 6厘米，即原来水面高度相同，
要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度
即可；由于是分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），
所以两个圆柱形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形
容器中上升部分水的体积是相等的，又因为圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时则底
面积与高成反比例，已知甲底面直径8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于
乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙升高的高度，所以后来甲容器中的水面高；据此
解答．
【规范解答】解：由于原来水面高度相同，要比较后来甲乙两个容器中的水面高度，只
要比较两个圆柱形容器中上升部分水的高度即可；
分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢出），所以两个圆柱
形容器中上升部分水的体积都等于体积相同的铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部
分水的体积是相等的；
又因为圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时则底面积与高成反比例，已知甲底面直径
8厘米，乙底面直径10厘米，即甲的底面积小于乙的底面积，则甲升高的高度要大于乙
升高的高度；所以后来甲容器中的水面高；
故选：A．
【考点评析】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个圆柱形容器中上升部分水的
体积都等于铁球的体积，即两个圆柱形容器中上升部分水的体积是相等的．
4．（2分）一个长方体、一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等，那么长方体和圆
柱和圆锥的高之比是（ ）
A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：1：3 D．1：2：3
【思路点拨】由题意可得等量关系：长方体的底面积×高＝圆柱的底面积×高＝圆锥的
底面积×高× ，已知它们的底面积相等，由此可求得圆柱的高等于长方体的高，圆柱
的高是圆锥的高的 ，圆锥的高是长方体高的3倍，解答即可。
【规范解答】解：由题意得：长方体的底面积×高＝圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积
×高×
已知它们的底面积相等，
所以，长方体的高＝圆柱的高；圆柱的高＝圆锥的高× ，即圆柱的高：圆锥的高＝
1：3
所以长方体和圆柱和圆锥的高之比是1：1：3。
故选：C。
【考点评析】此题是考查长方体、圆柱、圆锥的关系，在等底等体积的情况下，圆柱的
高是圆锥高的 ，长方体的高等于圆柱体的高。
5．（2分）下面的立体图形体积最大的是（ ）
A．B．
C．
【思路点拨】根据长方体的体积V＝abh、圆柱的体积公式V＝Sh和圆锥的体积公式V＝
Sh分别计算出各自的体积，再比较得解。
【规范解答】解：长方体的体积：
12.56×5×4
＝62.8×4
＝251.2（立方分米）
圆柱的体积：
3.14×（4÷2）2×18
＝3.14×4×18
＝3.14×72
＝226.08（立方分米）
圆锥的体积：
×3.14×（6÷2）2×18
＝3.14×9×6
＝3.14×54
＝169.56（立方分米）
所以，体积最大的是长方体。故选：A。【考点评析】此题考查了长方体、圆柱和圆锥的体积公式的运用。
6．（2分）如图，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的
部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为（ ）
A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2
【思路点拨】首先根据正方形的面积的求法，求出棱长为a的小正方体每个面的面积是
多少；然后判断出一共有多少个面露在外面，再用棱长为a的小正方体每个面的面积乘
以露在外面的面的数量，求出涂上涂料部分的总面积为多少即可．
【规范解答】解：从正面看，有10个面露在外面，
从左面看，有10个面露在外面，
从右面看，有10个面露在外面，
从后面看，有10个面露在外面，
从上面看，有10个面露在外面，
所以涂上涂料部分的总面积为：
a2×（10+10+10+10+10）＝50a2．
答：涂上涂料部分的总面积为50a2．
故选：D．
【考点评析】此题主要考查了不规则立体图形的表面积的求法，要熟练掌握，解答此题
的关键是判断出一共有多少个面露在外面．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
7．（2分）一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在
水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆
柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是 3：2，高的比是 2：3，现在水面的高度是
10. 4 分米．
【思路点拨】根据题意，设圆柱的底面半径为3，高为2，则圆锥的底面半径为2，高为
3，根据圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥的体积计算公式“V＝ πr2h”、即可求出圆柱铁块与圆锥铁块的体积之比，再用水面升高的高度（9.6﹣6）分米，
除以圆柱体铁块的份数乘圆锥体铁块的份数就是此时水面上升的高度，再加上9.6分米
即为现在的水面高度．
【规范解答】解：圆柱铁块的体积：圆锥铁块的体积＝（3.14×32×2）：（
×3.14×22×3）＝9：2
（9.6﹣6）÷9×2
＝3.6÷9×2
＝0.4×2
＝0.8（分米）
9.6+0.8＝10.4（分米）
答：现在水面高度是10.4分米．
故答案为：10.4．
【考点评析】解答此题的关键是根据圆柱体积公式、圆锥体积公式及已知条件求出圆柱
铁块与圆锥铁块的体积之比，再根据分析或列比例求出放入圆锥铁块后水面上升的高度．
8．（2分）如图是棱长为3cm的小正方体拼成的立体图形，它的体积是 13 5 立方厘米，
它的面积是 19 8 平方厘米。
【思路点拨】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出小正方体的体积，再用小正
方体的体积乘小正方体的个数，即可求得该立体图形的体积；
从上面看可以看到4个小正方形，从前面看可以看到4个小正方形，从左面看可以看到
3个小正方形；因此该立体图形的面积＝（4个正方形的面积+4个正方形的面积+3个正
方形的面积）×2。
【规范解答】解：3×3×3×5
＝27×5
＝135（立方厘米）
3×3＝9（平方厘米）
（9×4+9×4+9×3）×2
＝（36+36+27）×2
＝198（平方厘米）答：它的体积是135立方厘米，它的面积是198平方厘米。
故答案为：135，198。
【考点评析】本题考查正方体的体积和表面积的计算。
9．（2分）有一个密封的容器，它是由一个圆柱的一个圆锥组成的．圆柱和圆锥等底等高，
高都是9厘米，圆柱在下，圆锥在上．容器内有一部分水，水的高度是 4厘米，把容器
倒过来，圆锥在下，圆柱在上，现在水面的高度是 1 0 厘米．
【思路点拨】根据题意可知，水的体积是相等的，把容器倒过来后，原来装在圆柱中的
水首先装入圆锥容器，通过计算可知：在圆柱中高3厘米的水正好可以装满9厘米高的
圆锥，剩余的水仍在圆柱中高1厘米，所以，现在水柱高：9+1＝10（厘米）．
【规范解答】解：根据圆锥和圆柱的体积的关系可知，底面积相等的情况下，
9厘米高的圆锥的体积和3厘米高的圆柱的体积相等，
所以，原来的容器倒过来后，水可以装满圆锥后，还剩1厘米在圆柱中．
所以，水的高度为：
9+1＝10（厘米）
答：现在水面的高度为10厘米．
故答案为：10．
【考点评析】本题主要考查规则立体图形的体积，关键根据“底面积和体积都相等的圆
柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的3倍”，这一规律做题．
10．（2分）如图立体图形的体积为 11.1 4 ．
【思路点拨】这个立体图形的上部是圆锥，下部是正方体，正方体的棱长是2，圆锥的
高是3，底面半径是2÷2＝1，利用正方体的体积公式v＝a3和圆锥的体积公式v＝
sh，分别求出它们的体积合并起来即可．
【规范解答】解：2×2×2+ ×3.14×（2÷2）2×3，
＝8+3.14，
＝11.14；答：这个立体图形的体积是11.14．
故答案为：11.14．
【考点评析】此题主要考查正方体和圆锥体的体积计算，直接根据体积公式解答即可．
11．（2分）一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方
体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内，已知原来容器
内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为 2 7 cm．
【思路点拨】根据正方体的体积公式先求出大正方体的体积和8个小正方体的体积，然
后相减可得剩下的体积，然后设放入铁块后水面高度变为xcm，根据原来水的体积+铁块
的体积露出水面的铁块的体积，列方程解答即可。
【规范解答】解：设放入铁块后水面高度变为xcm
30×30×30﹣10×10×10×8
＝27000﹣8000
＝19000（立方厘米）
2500x＝2500×20+19000﹣10×10×（30﹣x）×5
2000x＝54000
答：放入铁块后水面高度变为27cm
故答案为：27。
【考点评析】本题考查了体积的等积变形，要注意水没有完全浸没铁块，还有露出来的
部分。
12．（2分）两个大小相同的量杯中都盛有480mL水。将等底等高的圆柱和圆锥零件分别
放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱的体积是 12 0 cm3，乙量杯中
水面刻度应是 52 0 mL。【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，甲量杯中水和放入的圆柱
形零件的体积和是600毫升，根据减法的意义，用减法求出圆柱形零件的体积是：600
﹣480＝120（立方厘米），则圆锥形零件的体积是120÷3＝40（立方厘米），因为乙量
杯中原来有水480毫升，现在放入体积为40立方厘米的圆锥，则圆锥和水的体积是：
480+40＝520ml，即可求得量杯中水面刻度。
【规范解答】解：600﹣480＝120（立方厘米）
120÷3＝40（立方厘米）
40+480＝520（毫升）
答：圆柱的体积是120cm3，乙量杯中水面刻度应是520mL。
故答案为：120，520。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，
注意：体积单位与容积之间的换算。
13．（2分）用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的所有对
角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的联机）穿过的小正方体都是黑色的，其
余小正方体都是白色的，并且大正方体每条边上有偶数个小正方体，当堆积完成后，白
色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了 3 2 个黑色的小正方体．
【思路点拨】黑色小正方体的体积占总体积的 ，那么大正方体的每个面上都有4个
黑色正方体，由此可以求得大正方体每个面上的小正方体共有：4÷ ＝64（个），则
每条边上有8个小正方体；令小正方体的体积为 1，则大正方体的体积就是8×8×8＝
512，那么黑色小正方体就是：512× ＝32（个）．
【规范解答】解：根据题干可得：
黑色的正方体占：1﹣93.75%＝6.25%＝ ，
每个面上有：4÷ ＝64个，所以每条棱长上就是8个，
令小正方体的体积为1，
则大正方体的体积就是8×8×8＝512，
那么黑色小正方体就是：512× ＝32（个）；答：一共用了32个黑色的小正方体．
故答案为：32．【考点评析】抓住黑色正方体的排列规律，得出大正方体的棱长，利用大正方体的体积
与黑色小正方体的体积的百分比，即可解决问题．
14．（2分）把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和
比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是 12 5 立方厘米．
【思路点拨】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加 2个面，增加了8
条棱，因为分成后的两个正方体的棱长之和比原长方体增加 40厘米，即增加的8条棱
的长度和是40厘米，进而用40÷8得出一条棱的长度，然后根据正方体的体积计算公
式“正方体的体积＝棱长3”，代入数值，进行解答即可．
【规范解答】解：[40÷（4×2）]3，
＝125（立方厘米）；
答：每个正方体的体积是125立方厘米．
故答案为：125．
【考点评析】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了8条棱，然后根据题
中给出的条件，求出一条棱的长度，进而根据正方体的体积计算公式进行解答．
三．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）
15．（5分）如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重
7.8克，这段钢材重多少克？
【思路点拨】如果这个图再增加一半，可以拼成一个底面直径是4厘米，高（10+8）厘
米的圆柱体，根据圆柱的体积V＝πr2h，求出这个圆柱的体积，再除以2求出图形的体积，然后再乘7.8克，即可求出这段钢材重多少克．
【规范解答】解：3.14×（4÷2）2×（10+8）＝3.14×4×18
＝12.56×18
＝226.08（立方厘米）
226.08÷2×7.8
＝113.04×7.8
＝881.712（克）
答：这段钢材重881.712克．
【考点评析】此题是考查圆柱的体积计算公式的灵活运用，关键是利用拼组的方法把图
形变成一个圆柱．
16．（5分）如图是用棱长1厘米的小正方体搭成的立体图形，求立体图形的体积．
【思路点拨】根据图示可知，这个图形是由三层：最下层9个；中间层7个；最上层2
个，共18个小正方体组成的立体图形．利用正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱
长×棱长，其体积为：1×1×1×18＝18（立方厘米）．
【规范解答】解：1×1×1×18
＝1×18
＝18（立方厘米）
答：立体图形的体积是18立方厘米．
【考点评析】本题主要利用正方体体积公式做题．
17．（5分）求下面图形的体积。（π取3.14）
【思路点拨】观察图形可知，这个组合图形的体积等于这个长38、宽32、高12的长方体的体积与底
面半径是（32﹣10﹣10）÷2＝6，长为38的半圆柱的体积之差，据此利用长方体的体
积＝长×宽×高，半圆柱的体积＝底面积×高÷2，代入数据计算即可解答问题。
【规范解答】解：（32﹣10﹣10）÷2
＝12÷2
＝6
38×32×12﹣3.14×62×38×
＝14592﹣3.14×36×19
＝14592﹣2147.76
＝12444.24
答：这个图形的体积是12444.24。
【考点评析】此题主要考查了组合图形的体积的计算方法，一般都是转换到规则图形中
利用体积公式进行计算解答。
四．应用题（共11小题，满分57分）
18．（5分）古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20
枚相同的古代钢钱叠在起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？（π取值
3.14）
【思路点拨】根据图示可知，20枚相同的古代钢钱叠在起的形状的体积等于圆柱的体积
减去长方体的体积。利用圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体体积公式：V＝abh，计算
体积，再除以20即可即可。
【规范解答】解：3.14×（2÷2）2×4﹣0.5×0.5×4
＝12.25﹣1
＝11.25（立方厘米）
11.25÷20＝0.5625（立方厘米）
答：每枚铜钱的体积是0.5625立方厘米。【考点评析】本题主要考查组合图形的体积，关键利用圆柱、长方体的体积公式计算。19．（5分）有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水
槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、
宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？
【思路点拨】首先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来水槽中水的体积是多少；
然后根据长方形的面积＝长×宽，可得水槽的底面积是192（16×12＝192）平方厘米，
铁块的底面积是64（8×8＝64）平方厘米，用水槽的底面积减去铁块的底面积，求出放
入铁块后水所占的底面积是128（192﹣64＝128）平方厘米，再用原来水槽中水的体积
除以放入铁块后水所占的底面积，求出现在水的高度为 9厘米，所以仍然有3（12﹣9＝
3）厘米高的铁块在油里，求出这3厘米高的铁块的体积为多少，再除以水槽的底面积
就是油层增加的高度，再加上原来的高度6厘米就是此时油层的层高；据此解答．
【规范解答】解：（16×12×6）÷（16×12﹣8×8）
＝1152÷（192﹣64）
＝1152÷128
＝9（厘米）
8×8×（12﹣9）÷（16×12）+6
＝8×8×3÷192+6
＝192÷192+6
＝1+6
＝7（厘米）
答：此时油层的层高是7厘米．
【考点评析】此题主要考查了长方体的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判
断出在油里的铁块的高度是多少．
20．（5分）在一个正方体的前、后以及左、右两侧面的中心各打通一个长方体的洞，并
在上、下面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体棱长为10厘米，前、后以及左、
右两侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下面的洞口是直径为4厘米的圆，求
这个立体图形的体积．
【思路点拨】根据题意，先求出前后、左右打通的长方体的体积，再求出上下圆柱的体
积，最后用正方体的体积减去即可．【规范解答】解：4×4×10×2一4×4×4
＝320﹣64
＝256（立方厘米）
10﹣4＝6（厘米）
4÷2＝2（厘米）
2×2×3.14×6+256
＝75.36+256
＝331.36（立方厘米）
10×10×10一331.36
＝1000﹣331.36
＝668.64（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是668.64立方厘米．
【考点评析】此题考查立体图形的相关知识，注意立体图形之间的联系．
21．（5分）有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是18厘米、12厘米，杯中盛有适
量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将
铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
【思路点拨】由题意可知：当甲杯中取出铁块后，水面下降部分水的体积就等于铁块的
体积，即底面直径18厘米、高是2厘米的圆柱的体积；然后再除以乙杯的底面积，就
是水位上升的高度．
【规范解答】解：3.14×（18÷2）2×2÷3.14÷（12÷2）2
＝81×2÷36
＝4.5（厘米）
答：这时乙杯中的水位上升了4.5厘米．
【考点评析】体积的等积变形主要是用排水法，当物体浸没于容器中时，要根据物体的
体积等于容器内下降（升高）部分水的体积这一隐含条件来解题．
22．（5分）生活情景应用题：（解决问题时请仔细梳理题中的信息，正确找寻相关联的
信息）
春节期间，珍珍一家三口去横店影视城游玩，打算玩3天，买的是秦王宫、明清宫苑、
清明上河园以及梦幻谷的网上套票，比景点买散客票便宜20%；去时乘大巴车前往，平
均时速为40千米，返回时乘动车回家，平均时速提高了200%．问题一：若返回时乘动车花了2小时，那么珍珍家去时乘大巴花了多少时间？（用比例
解）
问题二：珍珍家第一天用去了计划总钱数的 ，第二天用去了计划总钱数的 ，这时比
计划总钱数的一半多300元，珍珍家计划一共用多少钱？
问题三：在秦王宫中，珍珍发现了一个游戏道具，如图，外形是棱长为12分米的正方
体，在正方体每个面正中间由上到下、由左到右、由前到后打边长为4分米的正方形对
穿孔，求该游戏道具的体积．
问题四：珍珍可以买半票，而网上套票没有半票，所以珍珍是在景点购买的散客票（半
票），于是一家三口购买门票的实际花费比全部购买散客票便宜了200元，珍珍家购买
门票一共花了多少元？
【思路点拨】问题一：根据路程不变，速度与时间成反比例关系，设珍家去时乘大巴花
了x小时，则：40x＝2×40×（1+200%），解比例即可．
问题二：把珍珍家出游计划总钱数看作单位“1”，则有关系式：前两天的花费＝总钱
数× +300，设出游计划花费x元，有： x+ x＝ x+300，解方程即可求出结果．
问题三：由图可知，这个正方体的体积等于原大正方体的体积，减掉7个小正方体的体
积，把数代入计算即可．
问题四：根据题意可知，设景区散票是x元一张，则珍珍花费 x元买了散票，而爸爸、
妈妈买的网上套餐为2（1﹣20%）x元，如果一家三口全买散票需要钱数是 x，根据：
一家三口购买门票的实际花费比全部购买散客票便宜了200元，列方程求解即可求出散
票价格，再求实际花费即可．
【规范解答】解：问题一：设珍家去时乘大巴花了x小时，则：
40x＝2×40×（1+200%）40x＝2×40×3
x＝6
答：珍珍家去时乘大巴花了6小时．问题二：设出游计划花费x元，有：
x+ x＝ x+300
（ ）x＝300
x＝3600
答：珍珍家计划一共用3600元．
问题三：12×12×12﹣4×4×4×7
＝1728﹣448
＝1280（立方分米）
答：该游戏道具的体积是1280立方分米．
问题四：设景区散票是x元一张，
x﹣[2（1﹣20%）x+ x]＝200
2.5x﹣1.6x﹣0.5x＝200
x＝500
500× +500×2×（1﹣20%）
＝250+800
＝1050（元）
答：珍珍家购买门票一共花了1050元．
【考点评析】本题主要考查立体图形的体积及分数的四则运算的应用，关键利用正方体
体积公式等，列关系式解决问题．
23．（5分）在一个高为8cm，容积为50ml的圆柱体容器A，里面装满水，现在把长16cm
的圆柱体B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把
B从A中拿起后，A中的水高度为6cm，求圆柱体B的体积．
【思路点拨】当把长16厘米的圆柱B垂直放入容器A时，从容器中溢出的水的体积，就是放入容器A的高为8厘米的圆柱B的体积，然后再
求出整个圆柱体B的体积．
【规范解答】解：圆形容器A的底面积：
50÷8＝6.25（平方厘米）
溢出水的体积，即放入容器A的圆柱B的体积：
6.25×（8﹣6）
＝6.25×2
＝12.5（毫升）
圆柱体B的体积是：
12.5÷8×16
＝1.5625×16
＝25（立方厘米）
答：圆柱体B的体积是25立方厘米．
【考点评析】此题考查了学生对圆柱体体积公式的掌握与运用，以及空间想象力．
24．（5分）一个容器中已注满水，有大、中、小三个球．第一次把小球沉入水中，第二
次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，现
知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的 ，第三次是第二次的1.5倍．
求三个球的体积之比．
【思路点拨】根据题意，先设小球的体积是1，由此即可表示出每次溢出的水，再根据
溢出的水与小球的关系，即可求出答案．
【规范解答】解：第一次溢出的水是小球的体积，假设为1，
第二次溢出的水是中球的体积﹣小球的体积，
第三次溢出的水是大球的体积+小球的体积﹣中球的体积，
第一次是第二次的 ，所以中球的体积为1+2＝3，
第三次是第二次的1.5倍，第二次是2；
V ：V ：V ＝1：3：5，
小球 中球 大球
答：三个球的体积之比是：1：3：5．
【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，找出对应量，即可解答．解答此题的主要
依据是：排出的水的体积就等于放入水中的物体的体积．25．（5分）有甲、乙、丙三个圆柱形水杯，如图，顶部用管道相连（甲杯与乙杯相连，
乙杯与丙杯相连），排成一排，甲杯中有1厘米高的水，乙、丙杯空．
已知甲、乙、丙三个水杯的底面半径之比为1：2：1，高度均为5厘米．现在向丙杯中
注水，注水速度恒定，1钟能注 厘米高的水．问：开始倒水后的多久，甲、乙两杯中
的水面高度相差0.5厘米？
【思路点拨】甲乙两杯相差0.5厘米，应该分三种情况，①是甲比乙高0.5厘米；②是
乙刚刚超过甲0.5厘米；③是乙已经注满甲还差0.5厘米注满．
①甲、乙两杯中的水面高度相差0.5厘米，即只要乙杯中有1﹣0.5＝0.5（厘米）的水
深即可，又因为乙、丙两个水杯的底面半径之比为2：1，即相当于丙杯向其倒水高度
0.5×（22）＝2（厘米）；注水5+2＝7（厘米），然后除以 厘米就是需要的时间．
同理，解决②③两种情况即可．
【规范解答】解：①甲比乙高0.5厘米：
1﹣0.5＝0.5（厘米）
0.5×（22）＝2（厘米）
5+2＝7（厘米）
7÷ ＝4.2（分钟）
②乙刚刚超过甲0.5厘米：
1+0.5＝1.5（厘米）
1.5×（22）＝6（厘米）
5+6＝11（厘米）
11÷ ＝6.6（分钟）
③乙已经注满甲还差0.5厘米注满：
5﹣0.5﹣1＝3.5（厘米）5×（22）＝20（厘米）
3.5+5+20＝28.5（厘米）28.5÷ ＝17.1（分钟）
答：开始倒水后的4.2分钟、或6.6分钟、或17.1分钟，甲、乙两杯中的水面高度相差
0.5厘米．
【考点评析】本题考查了等积变形问题，关键是求出倒入乙杯中水的高度，相当于丙杯
中水的高度．
26．（5分）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱．量得圆柱的底面周长是
62.8m，高4m，圆锥的高是1.5m．这个粮围能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重
750千克，这个粮囤能装稻谷多少吨？（得数保留一位小数）
【思路点拨】（1）第一问是求这个粮囤的体积，根据圆锥与圆柱的体积公式，计算即
可；
（2）要求这个粮囤最多能装稻谷多少吨，用求得的粮囤的体积，乘单位体积的稻谷的
重量即可．
【规范解答】解：（1）圆柱的底面积为：
3.14×（62.8÷3.14÷2）2
＝3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方米）
这个粮囤的体积：
×314×1.5+314×4
＝157+1256
＝1413（立方米）
（2）750千克＝0.75吨
1413×0.75≈1059.8（吨）
答：这个粮囤能装稻谷1413立方米，这个粮囤大约能装稻谷1059.8吨
【考点评析】此题主要考查学生对圆锥与圆柱的体积公式的掌握与运用．
27．（6分）一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图）。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为 600平方分米。求这个大长方体的体
积。【思路点拨】设这个大长方体左（右）面面积为x平方分米，则大长方体前面面积是2x
平方分米；同样道理，后面、上面和下面的面积都是 2x平方分米；切成12个小长方体
后，新增加的表面积是2x×4+x×6＝14x平方分米，由题意得：2x×4+2x+14x＝600，
解这个方程得出大长方体左（右）面面积，进而得出长方体的宽和高，从而得出长，根
据“长方体的体积＝长×宽×高”，代入数值即可得出结论。
【规范解答】解：设这个大长方体左（右）面的面积为x平方分米，则大长方体表面积
为10x平方分米。
切成12个小长方体后，新增加的表面积为6x+8x＝14x（平方分米），
12个小长方体表面积之和为
10x+14x＝600
24x＝600
x＝25
则大长方体的体积V＝25×10＝250
答：这个大长方体的体积是250立方分米。
【考点评析】此题属于复杂的图形切拼问题，解答此类题的关键是设出其中的一个量为
未知数，其它的数用未知数表示，根据题意列出算式进行解答即可。
28．（6分）如下面图1那样，在用塑料制的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如
下面图2．
现在，如图1那样，把这个筒的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．
按上面讲的条件回答下列问题：（1）把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？
（2）把C面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？【思路点拨】本题要借助画图来帮助分析，先标出各顶点的字母，借助直角三角形及体
积知识求出水的体积（1.5+3）×2÷2×12＝54（cm3）；当把B面作为底面时，因为
△YZM与△XYP完全一样．故水深1.5cm；当把C面作为底面时，用体积除以底面积即可．
【规范解答】解：在图中标上字母如图所示，
因X是MN的中点，故Y也是MP的中点，△MXY，△MNP都是直角三角形；
利用勾股定理，可求出XY＝1.5cm，水的体积为：
（1.5+3）×2÷2×12＝54（cm3）；
当YZ与PN垂直，交NP于Z时，XY＝NZ＝ZP＝1.5cm，XN＝YZ＝2cm；
故三角形XYM与三角形YZP完全一样．
（1）当B作底面时，侧面PMN如图所示，
因为△YZM与△XYP完全一样．故水深1.5cm．
（2）因高＝体积÷底面积，
所以△NMP面积：3×4÷2＝6（cm2）；
高为：54÷6＝9（cm）．
答：把B面作为底面，水面高1.5厘米；把C面作为底面，水面高是9厘米．
【考点评析】解答此类题目要画出几何图形帮助分析，找出其中的相关数据
