文档内容
2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义
专题16 规则立体图形的体积
知识精讲
解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，
水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不
全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。
典例分析
【典例分析01】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了 6厘米和4厘米。如果
将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？
中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水
面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立
方米）。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是 0.7立方米，再除以它的底
面积就能求得升高了多少厘米。
3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）
0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）
答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。
【典例分析02】一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长
和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？
在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部
沉入水中，排开水的体积是8×8×15=960（立方厘米）。而现在瓶中水深是 8厘米，
要淹没 15 厘米高的铁块，水面就要上升 15—8=7（厘米），需要排开水的体积是（3.14×10×10—8×8）×7=1750（立方厘米），可知铁块是部分在水中。当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是 3.14×10×10—8×8=250（平方
厘米）。水的形状变了，但体积还是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。水的高度
是2512÷250=10.048（厘米），上升10.048—8=2.048（厘米）
3.14×10×10×8÷（3.14×10×10—8×8）—8
=2512÷250—8
=10.048—8
=2.048（厘米）
答：水面上升了2.048厘米。
【典例分析03】某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的 2
倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积
（如图28-1所示）。
设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是r，长是2r。长方体的容积是
2r×r×r=24 ， 即 r 的 立 方 =12 。 这 个 半 圆 锥 体 的 体 积 是 1/3×∏ r 的 平 方
×r÷2=1/6∏r的立方，将r的立方=12代入，就可以求得面粉的体积。
设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是2r×r×r=24，r的立方=12。
1/3×3.14×r的平方×r÷2
=1/6×3.14×r的立方
=1/6×3.14×12
=6.28（立方米）
答：这堆面粉的体积是6.28立方米。
【典例分析04】如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包
装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？a
c
b
图28—4
图28—5
图28—6
设长方体物品的长、宽、高分别是 a、b、c，并且 a＞b＞c（入土 28-4）。比较
“3×4”和“2×6”两种包法。图28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc①，图28-
6中大长方体的表面
积为4ab+12ac+24bc②，两个式子中都曲调相同的部分4ab+8ac+24bc后，①式与
②式的大小要看 2ab与4ac的大小。（1）当b=2c时，2ab=￥ac，两种包法相同。
（2）当b＜2c时，“3×4”的包法表面积最小。（3）当b＞2c时，“2×6”的包法
表面积最小。
【典例分析05】一只集装箱，它的内尺寸是18×18×18。现在有批货箱，它的外尺寸
是1×4×9。问这只集装箱能装多少只货箱？
因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在18×16×18的空间
放货箱，可放18×16×18÷（1×4×9）=144（只）。这时还有18×2×18的空间，但
只能在18×2×16的空间放货箱，可放18×2×16÷（1×4×9）=16（只）。最后剩下18×2×2的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160（只）。
18×16×18÷（1×4×9）+18×2×16÷（1×4×9）=144+16
=160（只）
答：这只集装箱能装160只货箱。
真题演练
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）如图是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（ ）立方厘米．
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2分）如图是由1cm3的小正方体搭成的，它的体积是（ ）cm3．
A．10 B．9 C．6
3．（2分）如图，甲（底面直径8厘米），乙（底面直径10厘米），两个圆柱形容量中的
水深都是6厘米，分别往两个容器中放入一个体积相同的铁球（全部淹没，水没有溢
出）后，甲乙两个容器水面高度是（ ）
A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法判断
4．（2分）一个长方体、一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等，那么长方体和圆
柱和圆锥的高之比是（ ）
A．1：1：1 B．1：1：2 C．1：1：3 D．1：2：3
5．（2分）下面的立体图形体积最大的是（ ）A． B． C．
6．（2分）如图，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的
部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为（ ）
A．20a2 B．30a2 C．40a2 D．50a2
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
7．（2分）一个长方体水箱，高15分米，里面水深6分米，把一个圆柱体铁块完全浸没在
水中后，这时水面高度是9.6分米，接着又把一个圆锥体铁块完全浸没在水中．已知圆
柱体铁块与圆锥体铁块底面半径的比是 3：2，高的比是2：3，现在水面的高度是
分米．
8．（2分）如图是棱长为3cm的小正方体拼成的立体图形，它的体积是 立方厘米，
它的面积是 平方厘米。
9．（2分）有一个密封的容器，它是由一个圆柱的一个圆锥组成的．圆柱和圆锥等底等高，
高都是9厘米，圆柱在下，圆锥在上．容器内有一部分水，水的高度是 4厘米，把容器
倒过来，圆锥在下，圆柱在上，现在水面的高度是 厘米．
10．（2分）如图立体图形的体积为 ．11．（2分）一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内，已知原
来容器内水面高度为20cm，那么，放入铁块后水面高度变为 cm．
12．（2分）两个大小相同的量杯中都盛有480mL水。将等底等高的圆柱和圆锥零件分别
放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱的体积是 cm3，乙量杯中
水面刻度应是 mL。
13．（2分）用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的所有对
角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的联机）穿过的小正方体都是黑色的，其
余小正方体都是白色的，并且大正方体每条边上有偶数个小正方体，当堆积完成后，白
色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了 个黑色的小正方体．
14．（2分）把一个长方体木块，截成两段完全一样的正方体，这两个正方体的棱长之和
比原长方体增加40厘米，每个正方体的体积是 立方厘米．
三．计算题（共3小题，满分15分，每小题5分）
15．（5分）如图是从一段钢材上截下的一段（单位：厘米），如果每立方厘米的钢材重
7.8克，这段钢材重多少克？16．（5分）如图是用棱长1厘米的小正方体搭成的立体图形，求立体图形的体积．
17．（5分）求下面图形的体积。（π取3.14）
四．应用题（共11小题，满分57分）
18．（5分）古代的铜钱都是“外圆内方”，铜钱内正方形的边长是0.5厘米。小明把20
枚相同的古代钢钱叠在起的形状如图，每枚铜钱的体积是多少立方厘米？（π取值
3.14）
19．（5分）有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水
槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．如果在水槽中放入一个长、
宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是多少厘米？20．（5分）在一个正方体的前、后以及左、右两侧面的中心各打通一个长方体的洞，并
在上、下面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体棱长为10厘米，前、后以及左、
右两侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下面的洞口是直径为4厘米的圆，求
这个立体图形的体积．
21．（5分）有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是18厘米、12厘米，杯中盛有适
量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将
铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
22．（5分）生活情景应用题：（解决问题时请仔细梳理题中的信息，正确找寻相关联的
信息）春节期间，珍珍一家三口去横店影视城游玩，打算玩3天，买的是秦王宫、明清宫苑、
清明上河园以及梦幻谷的网上套票，比景点买散客票便宜20%；去时乘大巴车前往，平
均时速为40千米，返回时乘动车回家，平均时速提高了200%．
问题一：若返回时乘动车花了2小时，那么珍珍家去时乘大巴花了多少时间？（用比例
解）
问题二：珍珍家第一天用去了计划总钱数的 ，第二天用去了计划总钱数的 ，这时比
计划总钱数的一半多300元，珍珍家计划一共用多少钱？
问题三：在秦王宫中，珍珍发现了一个游戏道具，如图，外形是棱长为12分米的正方
体，在正方体每个面正中间由上到下、由左到右、由前到后打边长为4分米的正方形对
穿孔，求该游戏道具的体积．
问题四：珍珍可以买半票，而网上套票没有半票，所以珍珍是在景点购买的散客票（半
票），于是一家三口购买门票的实际花费比全部购买散客票便宜了200元，珍珍家购买
门票一共花了多少元？
23．（5分）在一个高为8cm，容积为50ml的圆柱体容器A，里面装满水，现在把长16cm
的圆柱体B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把
B从A中拿起后，A中的水高度为6cm，求圆柱体B的体积．
24．（5分）一个容器中已注满水，有大、中、小三个球．第一次把小球沉入水中，第二次把小球取出，把中球沉入水中，第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，现
知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次的，第三次是第二次的1.5倍．求三个球的体积之比．
25．（5分）有甲、乙、丙三个圆柱形水杯，如图，顶部用管道相连（甲杯与乙杯相连，
乙杯与丙杯相连），排成一排，甲杯中有1厘米高的水，乙、丙杯空．
已知甲、乙、丙三个水杯的底面半径之比为1：2：1，高度均为5厘米．现在向丙杯中
注水，注水速度恒定，1钟能注 厘米高的水．问：开始倒水后的多久，甲、乙两杯中
的水面高度相差0.5厘米？
26．（5分）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱．量得圆柱的底面周长是
62.8m，高4m，圆锥的高是1.5m．这个粮围能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重
750千克，这个粮囤能装稻谷多少吨？（得数保留一位小数）
27．（6分）一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图）。将这个长方体切
成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为 600平方分米。求这个大长方体的体
积。28．（6分）如下面图1那样，在用塑料制的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如
下面图2．
现在，如图1那样，把这个筒的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm．
按上面讲的条件回答下列问题：
（1）把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米？
（2）把C面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米？
