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第 23 讲 概率初步
典型问题
◇ 兴趣篇 ◇ ◇
1. 在多家商店中调查某商品的价格，所得的数据如下（单位：元）
25 21 23 25 27 29 25 28 30 29
26 24 25 27 26 22 24 25 26 28
请填出表，并根据此表画出扇形统计图。
价格范围 商店数 所占百分数
20.5～22.5
22.5～24.5
24.5～26.5
26.5～28.5
28.5～30.5
合计
答案：略
【分析】
价格范围 商店数 所占百分数
20.5～22.5 2 10%
22.5～24.5 3 15%
24.5～26.5 8 40%
26.5～28.5 4 20%
28.5～30.5 3 15%
合计 20 100%
2. 在一只口袋里装着2个红球，3个黄球和4个黑球。从口袋中任取一个球，请问：
（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？
（3）这个球是绿球的概率有多少？不是绿球的概率又有多少？
答案：（1） ；（2） ；（3）0，1
【分析】（1）红球概率：2÷（2+3+4）= ；
（2）即非红球的概率1- = ；
（3）没有绿球，故是绿球的概率为0，
不是绿球的概率为1。
3. 一只普通的骰子有6个面，分别写有1、2、3、4、5、6。掷出这个骰子，它的任何一面
朝上的概率都是 。假设你将某一个骰子连续投掷了9次，每次的结果都是1点朝上。
那么第十次投掷后，朝上的面上的点数恰好是奇数的概率是多少？
答案：
【分析】共有6种可能，每种概率都是 ，
其中是奇数的有3种，概率为 。
4. 冬冬与阿奇做游戏：由冬冬抛出3枚硬币，如果抛出的结果中，有2枚或2枚以上的硬
币正面朝上，冬冬就获胜；否则阿奇获胜。请问：这个游戏公平吗？
答案：公平
【分析】3枚硬币中，必有2枚同正或同反（抽屉原理），即冬冬获胜或失败的机率是一
样的，因此游戏公平。
5. 有黑桃、红桃、方块、草花这4种花色的扑克牌各2张，从这8张牌中任意取出2张。
请问：这2张扑克牌花色相同的概率是多少？
答案：
【分析】
6. 小悦从1、2、3、4、5这5个自然数中任选一个数，冬冬从2、3、4、5、6、7这6个自
然数中任选一个数。选出的两个数中，恰好有一个数是另一个数的倍数的概率是多少？
答案：
【分析】满足条件的有：
悦 冬
1 → 2，3，4，5，6，7
2 → 2，4，6
3 → 3，64 → 2，4
5 → 5
共14种可能
故共有 的概率
7. 一个口袋里装有5个黑球和3个白球，另一个口袋里装有4个黑球和4个白球。从两只
口袋里各取出一个球。请问：取出的两个球颜色相同的概率是多少？
答案：
【分析】不管第1个口袋中取出什么颜色的球，另一口袋里都有一半的球和它颜色相同
故同色球概率为
8. 阿奇一次掷出了8枚硬币，结果恰有4枚硬币正面朝上的概率是多少？有超过4枚的硬
币正面朝上的概率是多少？
答案： ，
【分析】恰有4枚：
超过4枚的概率和低于4枚的概率相同，为：
9. 在一次军事演习中，进攻方决定对目标进行两次炮击。第一炮击中的概率是0.6，第二
炮命中的概率是0.8。请问：两炮都击中目标的概率是多少？恰好有一炮击中目标的概
率是多少？两炮都未击中目标的概率是多少？
答案：0.48，0.44，0.08
【分析】都命中：0.6×0.8=0.48
恰有一炮击中：0.6×（1-0.8）+（1-0.6）×0.8=0.44
都未命中：（1-0.6）×（1-0.8）=0.8
10. 张先生每天早晨上班时有 的概率碰上堵车。在不堵车的时候，张先生按时到达单位
的概率为0.9，迟到的概率为0.1；而堵车的时候，张先生上班迟到的概率高达0.8，按
时到达的概率只有0.2。请问：张先生上班迟到的概率是多少？
答案：
【分析】
◇ ◇ 拓展篇 ◇ ◇
1. 下面是育才小学六年级二班48名同学的身高测量记录（单位：厘米）
143.8 149.8 142.0 146.9 145.4 145.4 138.8 153.1
154.6 140.0 146.8 142.6 147.4 141.6 133.4 144.7
143.6 137.6 149.1 144.9 148.1 145.9 146.8 140.9
147.3 149.0 150.8 137.2 133.0 145.0 149.6 142.2
144.2 140.9 140.6 149.6 141.1 143.2 149.4 138.2
148.0 149.6 146.8 141.4 148.9 153.1 136.1 146.4
请根据上面数据，填出表，并根据此表画出扇形统计图。
身高 人数 所占百分数
132～135
135～138
138～141
141～144
144～147
147～150
150～153
153～156
答案：略
【分析】
身高 人数 所占百分数
132～135 2 4.2%
135～138 3 6.3%
138～141 6 12.5%
141～144 9 18.8%
144～147 12 25%
147～150 12 25%
150～153 1 2.1%
153～156 3 6.3%
2. 口袋里装有100张卡片，分别写着1，2，3，…，100。从中任意抽出一张。请问：
（1）抽出的卡片上的数正好是37的概率是多少？
（2）抽出的卡片上的是是偶数的概率是多少？
（3）抽出的卡片上的数是质数的概率是多少？
（4）抽出的卡片上的数正好是101的概率是多少？
（5）抽出的卡片上的数小于200的概率是多少？
答案：（1）0.01；（2）0.5；（3）0.25；（4）0；（5）1
【分析】（1）（2）
（3）
（4）0
（5）1
3. 在标准英文字典中，由2个不同字母组成的单词一共有55个。如果从26个字母中任取
2个不同的排列起来，那么恰好能排成一个单词的概率是多少？
答案：
【分析】
4. 妈妈去家乐福购物，正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4种
水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和
梨出售。他也决定任选一种买回家。请问：他们买了不同的水果的概率是多少？
答案：
【分析】如果爸爸妈妈买了相同水果，那么只可能是橘子、香蕉、葡萄3种情况，概率是
那么不同水果的概率为
5. 小悦掷出了2枚骰子，掷出的2个数字之和恰好等于10的概率是多少？
答案：
【分析】2个骰子和为10，有4+6，5+5，6+4这3种可能
故概率为：
6. 盒子里装着20支圆珠笔，其中有5支红色，7支蓝色的和8支黑色的。从中随意抽出4
支，每种颜色的笔都被抽中的概率是多少？
答案：
【分析】每种颜色都抽有：5×7×8×17÷2种可能
而从20支中任抽4支有 种可能
故每种颜色都有的概率是
7. 如图，格线表示了允 许小球滑落的通道。每一个小球在交点处有一半的可能向左滑落，有一半的可能向右滑落。从 点放一个小球让
其落下。请问：小球最终落到 点的概率是多少？
答案：
【分析】从A到B有 种路径，（走5步选其中2步向右）
从A落下共有 种路径
故到B点的概率为
8. 6名小朋友在操场上做游戏。他们被老师分成3组，每组2个人。请问：赵倩和孙莉恰
好分到了同一组的概率是多少？
答案：
【分析】6名小朋友分为3组，共有 种分法，其中2
人恰在一组的有3种可能
故概率为：
9. 某工厂生产了200件商品，合格率为99%，那么从中抽取1件恰好是次品的概率为
1%。请问：从中抽查5件，发现次品的概率比5%大还是比5%小？
答案：小
【分析】200件中有2件次品
连抽5件，没有次品的概率是：
发现次品的概率为：1-95.05%=4.95%比5%小
10. 用一枚材料不均匀的正方体骰子，掷出1的概率为0.1，掷出2的概率为0.2，掷出3的
概率为0.2，掷出4的概率为0.1，掷出5的概率为0.3，掷出6的概率为0.1。请问：
（1）如果连续9次掷出1，第10次掷出的点数是3的倍数的概率是多少？
（2）连续掷两次骰子，第一次掷出3，第二次掷出4的概率是多少？
（3）如果又拿来一枚这样的骰子，并同时掷出这两枚骰子。这两枚掷出的点数不同的概
率是多少？
答案：（1）0.3；（2）0.02；（3）0.8
【分析】（1）掷出3的概率0.2，6的概率0.1
因此是3的倍数的概率为0.2+0.1=0.3
（2）0.2×0.1=0.02
（3）相同的概率是：0.12+0.22+0.22+0.12+0.32+0.12=0.2
因此不同的概率是1-0.2=0.811. （1）口袋里装有3张卡片，一张一面红一面黄，一张一面黄一面蓝，一张一面蓝一面
红。张莉从口袋中随意摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是红色。请问：
此时这张卡片的另一面是蓝色的概率是多少？
（2）口袋里装有4张卡片，两张两面全黑，一张两面全白，一张一面黑一面白。张莉
从口袋中摸出其中一张，发现朝向自己的一面恰好是黑色。请问：此时这张卡片
的另一面还是黑色的概率是多少？
答案：（1） ；（2）
【分析】（1）如是红色，只可能是“红—黄”或“红—蓝”
另一面是蓝色的概率是
（2）如一面是黑，只可能是“黑—黑”，“黑—白”，其中“黑—黑”有2种可能，
那么另一面还是黑的概率是
12. 甲、乙两人在靶场射击。甲击中目标的概率是0.6，乙击中目标的概率是0.7。两人朝
着同一个目标各射击一次，结果目标被击中了。请问：恰好是甲击中目标而乙没有击
中的概率是多少？
答案：
【分析】甲中乙未中：0.6×（1-0.7）=0.18
乙中甲未中：（1-0.6）×0.7=0.28
甲中、乙中：0.6×0.7=0.42
那么，在已知命中的情况下，甲中乙未中的概率是：
◇ ◇ 超越篇 ◇ ◇
1. 小悦和阿奇比赛下军旗，两人水平相当。两人约定赛7局，先赢4局者胜。现在已经比
了3局，小悦胜了2局，阿奇胜了1局。请问：小悦获得最后胜利的概率有多少？
答案：
【分析】假设不管是否有人先到4胜，都要比满7场
那么之后还要比4场，小悦需要胜至少2场，
小悦胜4场有 种，3场有 种，2场有 种
共11种可能会胜，概率为：
2. 六年级三班有40名学生，这40名同学中有2人（含多人）的生日相同的概率，和这40
人生日都不相同的概率比较，哪个大？答案：有2人生日相同的概率大
【分析】40人生日都不同的概率为：
有至少2个相同的概率为0.89，显然有生日相同的概率大
3. 甲、乙、丙、丁四人玩扑克，发牌以后没人拿到13张牌（整副牌共52张）。结果甲、
乙两人共拿了11张黑桃。请问：丙、丁两人恰好每人拿到1张黑桃的概率是多少？有
一人拿到2张黑桃，另一人没有拿到黑桃的概率又是多少？
答案： 0.52，0.48
【分析】如果丙有1张黑桃，那么剩余25张牌，丙还能拿到黑桃的概率为 ，拿不到的
概率是 ，故各1张的概率是 ，一人有2张的概率是 。
4. 用血清甲胎蛋白法诊断肝癌：如果患者患有肝癌，那么诊断出肝癌的概率为0.95；如果
患者没有患肝癌，那么诊断出不是肝癌的概率为0.9。假设人群中肝癌患病率为
0.0004。现在李强在体检中被诊断为患有肝癌，请问：他实际患有肝癌的概率是多少？
（结果保留3位小数）
答案：0.004
【分析】没有肝癌被误疹的概率为：（1-0.0004）×（1-0.9）=0.0996
有肝癌被确疹的概率为：0.0004×0.95=0.00038
那么他实际患病概率为：
5. 如图，这是一张街道图，每一小段路的长度都是500米。小悦从 点出发，任选一条最
短路线走向 点。冬冬从 点出发，任选一条最短路线走向 点。小悦每分钟走18米，
冬冬每分钟在走24米。他们两人在途中相遇的概率是多少？
答案：
【分析】从A至B要走7格，而小悦、冬冬速度比为18：24=3：4，
因此若2人相遇，则此时小悦走了3格。
从A至B的最短路线有35条，那么相
遇点可能在C、D、E、F中的一点，
从A至C再到B有 种走法从A→D→B有 种走法
从A→E→B有 种走法
从A→F→B有 种走法
那么两人相遇的可能路径有：42+182+122+12种
概率为：
6. 某男子练射击，在有戴眼镜的情况命中率为20%，没戴眼镜则命中率为0%。其在连续
射击5次后都未命中目标，求其戴了眼镜的概率。
答案：
【分析】戴眼镜且未命中概率：
未戴眼镜且未命中概率：1
未命中且戴眼镜概率：
7. 如图，格线表示了允许小球滑落的通道。每一个小球在交点处有 的可能向左滑落，只
有 的可能向右滑落。如果从 点放一个小球让其落下，那么小球最终落到 点的概率
是多大？
答案：
【分析】落到B点需向左2次，向右3次共
8. 飞机上有100个座位，按顺序从1到100编号。有100个乘客，他们分别拿到了从1号
到100号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座，如果他们发现对应号座
位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐。现在假设1号乘客疯了（其他人没
疯），他会在100个座位中随便选一个座位坐下。请问：第100人正确做到自己座位上
的概率是多少？
答案：
【分析】设n个乘客时，第n人坐到自己位置的概率为P，
n
那么n=2时，
当n=3时，1号乘客有 概率在自己位置，3号坐对的概率为1，有 概率在3号
位置，3号坐对概率为0，有 概率坐在2号位置，那么2号在选择座位时，相当
于也疯了。
即：
设当n≤k时， ，那么，当n=k+1时，
根据数学归纳法，对于任意自然数n，
那么 ，即第100人正确坐到自己坐位的概率为 。
