文档内容
第 21 讲构造论证二
内容概述
各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染
色分析和不等式估计等．
典型问题
兴趣篇
1．如图21-1所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经
建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。
2．(1)把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在图21-2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是
平方数．
(2)能否将1，2，3，…，10，1 1按合适的顺序填在图21-3第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都
是平方数？
3．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任
何一根，把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架？
4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是 1分或者2分，
数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都
不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁
也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？
5．把图21-4中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数?
6．(1)能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干
个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数 1，
2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
7．图21-5是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红
格和1个蓝格；
(2)能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？
8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童
节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚
好收到一份礼物呢？
9．将一个4×4的方格表分为如图21-6的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区
域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？
10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于 167能否使得任意相邻三个
数之和都不大于15 7
拓展篇
1．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．
2．如图21-7，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其
中没有以这5个点为顶点的三角形？
3．如图21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开．其中内圆是固定的，
外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径．请把 0至9这10个数字分别填入图中的10个区
域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9．
4．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图21-9
中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图21-10中的3条直线的“标志数”却有两种取值．现在
请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的
数值．5．(1)能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
(2)能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
6．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1 页开始印第
一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？
7．在4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图21-11所示的“L型”？
8．黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：
把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6、7、87能否经过若干
次操作后得到8、8、87
9．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆
中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：
(1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
(2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．
10．(1)能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
(2)能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
11．(1)能否用16个如图21-12所示的“T型”拼成一个8×8的棋盘？
(2)能否用8个如图21-12所示的“T型”和8个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？
(3)能否用1个如图21-12所示的“T型”和15个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？
12．(1)能否用9个如图21-14所示的1×4的长方形拼成一个6×6的棋盘？
(2)能否用9个如图21-15所示的“L型”拼成一个6×6的棋盘？超越篇
1．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙）?若能，
请给出具体装法；若不能，请说明理由．
2．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b + a + b这个数，
比如：可增写5（因为1×2 + 1 + 2 = 5）；可增写11(因为1×5 + l + 5 = 11)．一直写下去，请问：能否得到
下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由． (1) 143； (2) 144.
3．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两
个端点是同样颜色的．
4．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都
有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图21-16中阴影部分的三个格子组成
的直线也是与对角线平行的直线．）
5．(1)能否从图21-17中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到B格，并且每个格子都刚好到一次？
(2)中国象棋的马是走“日”字型路线．如图 21-18，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．
如果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？
6．如图21-19，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个 11×12的大长方形，最
少要用小长方形共多少个？
7．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就
作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少
要安排几场？为什么？
8．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？
