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精进不息，掌握技巧，决胜考场！
目录
前言......................................................................................................................................................1
比例思想..............................................................................................................................................3
经济利润问题......................................................................................................................................7
工程问题............................................................................................................................................13
溶液问题............................................................................................................................................22
行程问题............................................................................................................................................25
排列组合问题....................................................................................................................................38
概率问题............................................................................................................................................52
最不利问题........................................................................................................................................59
方阵问题............................................................................................................................................62
平面几何问题....................................................................................................................................63
立体几何问题....................................................................................................................................76
数推问题............................................................................................................................................80B站/小红书：小 P公考 微信公众号/小红书：小 P的学习指南
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精进不息，掌握技巧，决胜考场！
前言
数量关系一直是很多考生“望而却步”的模块。一方面，学习“门槛”相对偏高，投入
时间成本大，见效慢。另一方面，行测考试大部分省份题目虽较大，时间有限，经常没有时
间开展数量模块的计算，又或者到了考试最后的时间会过于紧张，难以冷静分析数量题目的
关系。所以很多考生在备考的时候是经常直接放弃数量模块，就一门心思扎在言语判断资料
的训练中。
然而数量模块的重要性却也是我们不容忽视的。
一方面是常规的三大块言语判断资料正确率现在都较难和对手拉开明显差距，资料模块
大家都稳扎稳打，而言语判断模块容易创新、出现争议题，考场上很难拿住比较难的言语判
断题目得分。另一方面，数量关系的常规题难度并不高，大部分题的难度基本停留在初中数
学阶段，都是曾经接触过的知识点，有些题的计算时间可能都比不过一道复杂资料的时间，
而且分值相对较高，所以数量运算的性价比并不低。我们应该多往数量模块的常规题投入一
些努力不去纠结言语判断部分的纠结题，挤出时间让自己比对手多做出几道答案确定的数量
运算题。这是行测稳住分数、脱颖而出的重中之重。
数学是一门非常基础性的学科，是很多领域的基础，哪怕可能最后考试在数量模块也没
有做出来几题，但是在数量的学习过程中一定也会有其他收获，对其他模块尤其是资料模块
有所辅助，努力和付出不会白费。我相信各位只要肯花时间多去练习，静下心来认真解题，
一定可以获得应有的回报。
讲义篇幅有限，后面主要会对各个题型基本的解题公式与思路进行介绍，而部分公式详
尽的推导、基本题型的提速、复杂题型的切入还需要辅以更多课上的内容以及课后的刷题训
练。
道阻且长，行则将至；行而不辍，未来可期。
小P老师
2024年9月3日
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比例思想
比例思想是行测数量中最重要的思想，贯穿经济利润、工程问题、行程问题、溶液问题、
平面几何、立体几何、和差倍比等等模块。可以说，各个模块单独的学习，可以让你知道题
目怎么做，但是比例思想，才是让你可以快速便捷处理问题、减少不必要的计算、在考场上
极其有限的时间里得到答案的关键。
比例就是两个数相除。
比如一斤苹果进价5块，售价10块。我们就说这个苹果售价和进价的比例是10：5，而
10除5=2，所以他们俩的比例也就是2：1。
比例的关系和运用有哪些？
一、正比反比
正比关系
A=B×C，当B或C为定值时，A与另一个值成正比。
在上面苹果的例子中，我们知道苹果的销售额=售价×销售量。那么当售价恒定不变动时，
销售额=10×销售量，即销售额除销售量=10，所以销售额和销售量的比例就是10：1。
当销售量为a斤时，销售额=10a元。
当销售量为b斤时，销售额=10b元。
不管销售量时多少，销售额永远是销售量的是10倍。
我们说这样的关系就是销售额与销售量成正比关系。
成正比关系的A和B，他们的变动情况也是同样的比例。
当销售量为a斤时，销售额=10a元。
当销售量为b斤时，销售额=10b元。（b＞a）
此时销售量增加（b-a）斤，销售额增加10（b-a）元。
总结：只要成正比关系的两个数，其中一个发生变化，另一个也会等比例变化，“夫唱
妇随”。
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例1：有家早餐店每天早上卖粥三块钱一碗，八点的时候卖出去20碗，收入60元。到
了九点的时候，统计发现卖出去80碗了。问：八点到九点之间卖粥收入多少元？
解析：粥每碗三块钱，这是一种正比例关系，卖粥的收入=3×卖粥的碗数。所以收入与
碗数之间是比例为3：1 的正比例关系。八点到九点之间，碗数的变动情况为增加了60 碗，
所以收入增加了60×3=180元，即八点到九点之间卖粥收入为180 元。
正比关系的常见例子
1、单价一定，总价和数量成正比例。
2、数量一定，总价和单价成正比例。
3、长方形的长一定，面积和宽成正比例。
4、速度一定，路程和时间成正比例。
5、工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例。
......
还有很多这样的关系，只要是由两个“部分”乘积组成的数，其中一个“部分”没发生
变化，则另一个“部分”和“总量”就是正比关系。
反比关系
A=B×C，当A为定值时，B与C成反比。
反比是什么样的形式呢？因为A是定值，所以C=A/B=定值/B。
原来如果C的值是c，B的值是b，那么c=定值/b。
那如果B变成原来的2倍，变成了2b，C=定值/B，定值/2b=1/2×定值/b=1/2×C，意味
着C就要变成原来的1/2。
例2：如果小王放假回老家，路途200公里，我们知道，路程=速度×时间。此情况下路
程不变为200公里，所以速度和时间成反比，
总结：只要成反比关系的两个数，其中一个变成了 a倍，另一个也会反比例变化，变成
1/a倍。“此消彼长”。
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1、做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；
2、总价一定，单价和数量成反比例；
3、长方形的面积一定，长和宽是反比例；
4、长方体的体积一定，底面积和高是反比例；
5、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；
......
还有很多这样的关系，只要是由两个“部分”乘积组成的数，“总量”没发生变化，则
两个“部分”之间就是反比关系。
二、比例差
当A与B的比值为定值时，A与A-B与B的比值也为定值。
例：A：B=7：4，则A：A-B：B=7：3：4，
若A=14，则B=8，A-B=6，A：A-B：B=14：6：8=7：3：4，比例不变。
例3：现已知小李小王行驶速度比为5：8，两人同时同地点同向出发，经过一小时后，
两人距离差为45公里，问小李行驶了多远？
解析：小李小王行驶速度比为5：8，所以路程比也是5：8，比例差为3，距离差为 45，
所以小李路程=5×45/3=75 公里。
三、比例与加减
当知道A与B的加减乘除关系的四个值中两者时，即可知道A与B分别的具体值。
1.①a+b=10；②a-b=4，a=？b=？
①+②=2a=14，a=7，所以b=3
2.①a+b=10；②a：b=4，a=？b=？
由②可知，a=4b，代入①，5b=10，b=2，所以a=8。
3.①a-b=5；②a：b=2，a=？b=？
由②可知，a=2b，代入①，b=5，所以a=10。
行测经常考察a：b的关系，a×b的关系相对较少。重点熟练掌握上面三种计算步骤。
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4.①a-b=5；②a×b=24，a=？b=？
由①可知，a=b+5，代入②，可得b（b+5）=24，b2+5b+25/4=24+25/4=121/4，（b+5/2）
2=（11/2）2，b+5/2=11/2或者-11/2，b=3或者-8，行测一般不考虑负数问题，所以b=3，a=8。
5.①a+b=10；②a×b=24，a=？b=？
由①可知，b=10-a，代入②，可得a×（10-a）=24，10a-a2=24，a2-10a+24=0，a2-10a+25=1，
（a-5）2=1，a-5=1或者-1，a=6或者4，所以a=6，b=4。或者a=4，b=6。
6.①a×b=24；②a：b=3：2，a=？b=？
由②可知，a=1.5b，代入①，b2=16，b=4，所以a=6。
四、比例的统一
当甲与乙比值为A：B，乙与丙比值为C：D时，甲、乙、丙的比值换算。
如：购买2本笔记本的钱可以购买3支笔，购买7支笔的钱可以购买10个橡皮。
笔记本和笔的价钱比为3：2，笔与橡皮的价钱比为10：7
则笔记本：笔：橡皮=15：10：7
找到前后比例关系中交叉部分“笔”的公倍数，等比例扩大即可
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经济利润问题
经济利润问题属于行测数量关系中较为基础入门的题型，主要考察简单计算、方程计算、
比例关系的运用。
一、基本公式
1.总成本=进价×购入量
一本书进价15 元，买回来20 本，则总成本为15×20=300 元。
2.总收入=售价（或者单价）×销量
一本书售价20 元，卖出20 本，则总收入为20×20=400 元。
3.总利润=总收入-总成本
刚刚卖出去的400 元的书，是一本15 块钱批发买回来的，成本一共花了15×20=300 元，
所以卖出去这20 本书，利润为400-300=100元。
4.总利润=单件利润×销量【商品进货与销售量相等时】
一本书进价15元，售价20元，利润5元，卖出去20本，所以总利润为100元。
但是如果后来清点库存发现，当初进货时，其实进了30 本，还有10 本因为存放太久发
霉无法销售了，那么总利润=总收入-总成本=20×20-15×30=400-450=-50 元，还亏50 元。
利润 收入
5.利润率= = - 1
成本 成本
一本书进价15元，售价20元，所以每本书利润为5元，利润率则是5/15=1/3=33.3%。
或者售价/进价-1=20/15-1=1/3=33.3%。
如果是进了30本，卖了20本还有10本烂掉了卖不了了，最终利润20×20-15×
30=400-450=-50元，亏50元，利润率=-50/450=-1/9=-11.1%
注意：数量关系中，利润率一般为成本利润率，用利润除成本，与资料分析模块不同，
资料分析模块一般会强调是“营业收入利润率”。
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二、基础计算
只涉及到进价、售价、销量的题，我们只需要多关注①总利润=总收入-总成本；②总利
润=单件利润×销量【商品进货与销售量相等时】。
在缺少相应数据时，可以根据比例关系进行赋值假设计算。
例题1
某种蔬菜进价5元/斤，售价10元/斤，当天卖不完的蔬菜不再出售。过去7天里，菜商
每天购进该种蔬菜100斤，其中有4天卖完，有2天各剩余20斤，有1天剩余10斤，这7
天菜商共赚了多少元钱？
A.2950 B.3000 C.3250 D.3500
解析：进价5元/斤，所以总成本=100×5×7=3500 元，总收入=10×（4×100+2×80+90）
=6500 元，所以总利润=6500-3500=3000 元。选择B 选项。
例题2
某商品上月售价为进价的1.4倍，销售m件。本月该商品进价下降20%，售价不变，销
售利润为上月的1.8倍。那么本月的销售量为多少件？
A.1.3m B.1.25m C.1.2m D.1.15m
解析：设上月进价为10a，则售价为 14a，单件利润=4a，总利润=单件利润×销量=4a×m。
本月进价下降20%，所以本月进价为8a，售价为14a，单件利润=6a，总利润=4a×m×1.8=7.2am，
所以销量=总利润/单件利润=7.2am/6a=1.2m，所以选C 选项。
比例份数思想表述（本质与解析一相同）：上月售价为进价1.4 倍，所以进价10 份，利
润4份。本月进价少了两份，售价没变，所以利润变为6 份，利润变为1.5 倍，总利润变成
1.8 倍，说明销量也提高了，是1.8/1.5=1.2 倍，所以选择C 选项。
例题3
小李批发了一批同规格布娃娃，每个成本6元。第一天卖出50个，第二天他将售价上调
50%后卖出40个，第三天降回原来价格将存货全部卖光。销售这一批布娃娃一共获得1400元
销售收入，其中包含680元利润，小李第一天的定价为多少元？
A.12.5 B.12 C.8 D.10
解析：观察发现，关于每日的销量仅提供了第一天第二天的，没有告知第三天的销量，
因此我们先分析一共卖了多少个娃娃。总成本=1400-680=720 元，所以一共进了720/6=120 个
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布娃娃。所以第三天卖出120-50-40=30 个娃娃。设第一天的定价为x元，则总收入1400 元
=50x+40x×1.5+30x=140x，所以定价x=10 元。所以选择D选项。
三、整体打折
打折是给售价打折，让售价变低。
基本公式：售价=标价×折扣
例题4
某商品按标价打七五折后，商家仍可获利25%。若该商品的进价为每件16.8元，则该商
品的标价为？
A.26元 B.28元 C.30元 D.32元
解析：因为获利25%，所以此时售价为16.8×（1+25%）=21 元，此时为七五折，所以标
价=售价/折扣=21/75%=28 元。所以选择B 选项。
例题5
某种商品如果每件降价30元，单价比打八折销售时贵10元，则这种商品的定价是多少
元/件？
A.200 B.250 C.300 D.350
解析：降价30 元后比打八折贵10 元，所以标价-30=0.8×标价+10，0.2×标价=40，所以
标价=200 元。所以选择A 选项。
例题6
某家电商场出售一种微波炉，现在进行促销活动，若按原售价打九折出售，则每台可盈
利215元，若按八折出售，则每台会亏损125元，问这种微波炉每台原预售价是多少元？
A.2845 B.3060 C.3400 D.3680
解析：因为成本不变，利润=售价-成本，所以利润的差距=售价的差距。九折与八折之
间差距为0.1×标价，利润差为215-（-125）=340 元，所以0.1×标价=340，标价=3400 元，
所以选择C 选项。
三、部分打折
部分打折与整体打折区别在于存在干扰销售情况，我们先将未打折的部分算清楚排除在
外即可，剩下打折的部分依旧和整体打折相同思路。
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例题7
商城以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，
要达到盈利45%的预期目标，剩下的衬衫最多可以降价？
A.15元 B.16元 C.18元 D.20元
解析：总成本=80×500=40000 元，如果要达到盈利45%的预期目标，总利润≥40000×
45%=18000 元。目前已售出400 件，每件利润120-80=40 元，所以当前利润已有400×40=16000
元，后续打折部分利润≥18000-16000=2000 元，所以后续打折部分衬衫单件利润≥2000/
（500-400）=2000/100=20 元，所以售价≥80+20=100 元。最多降价120-100=20元，选择D
选项。
例题9
某商店花10000元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价，结果只销
售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏
本1000元。问商店是按定价打几折销售的？
A.九折 B.七五折 C.六折 D.八折
解析：已经卖出总量的 30%达到了25%的利润，所以这3000 元成本的商品获利了750元。
卖完一共亏了1000 元，说明剩下7000 元成本的商品亏了1750 元，思路①只卖出去5250 元。
如果按照定价25%的利润，7000 元成本可以卖出去 7000+7000×25%=7000+1750=8750 元的收
入，所以折扣=5250/8750=60%，即六折，选择C选项。
思路②7000 元成本商品亏1750 元，所以此时利润率为-1750/7000=-25%。所以售价=0.75
成本，而标价=1.25 成本，所以折扣=0.75/1.25=60%，即六折，选择C选项。
四、鸡兔同笼
“鸡兔同笼”是一种很普适的思想，非常好用，在各个模块都可以运用。鸡兔同笼原理
本质上是一种“假设补差”。在面对两种比例A和B（如一只鸡2只脚，一只兔子4只脚）
的混合时，我们可以先假设所有对象都是其中一种A，再计算结果，观察结果与实际值的差
距，从而判断我们把多少个B当成了A。
比如：有一些鸡兔关在同一个笼子里，已知从上面看，有46个头，从下面看，有104只
脚。现在请问，这个笼子里有多少只鸡多少只兔？
如果这46只都是鸡，那么会有92只脚，可是现在有104只脚，少了12只脚，而每把一
只兔子认成鸡，就会少算2只脚，所以一共把 12/2=6只兔子认成了鸡。所以一共有6只兔子，
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40只鸡。
验证结果：40只鸡、6只兔一共会有40×2+6×4=104只脚，满足情况。
方程法：假设鸡有x只，兔子有y只，则①x+y=46；②2x+4y=104。方程①×2得到③2x+2y=92，
②-③=2x+4y-2x-2y=2y=104-92=12，所以y=6，所以x=40。所以鸡有40只，兔子有6只。
鸡兔同笼思想和设未知数列方程其实是一种思路，但是在理解了之后，可以省去设未知
数、列方程的步骤，在行测有限的考试时间下，显得十分实用。
例题10
玻璃厂委托运输公司运送400箱玻璃。双方约定：每箱运费30元，如箱中玻璃有破损，
那么该箱的运费不支付且运输公司需赔偿损失60元。最终玻璃厂共支付9750元，则此次运
输中玻璃破损的箱子有：
A.25箱 B.28箱
C.27箱 D.32箱
解析：如果400 箱玻璃全部顺利送达，应支付运费400×30=12000 元，现在只支付9750
元，少了2250 元。而每有一个顺利送达的箱子变成破损，收入会减少30+60=90元，因此一
共有2250/90=25 箱破损，选择A选项。
五、销售额/利润额最值问题
经济利润题中还存在一类“动态问题”，讨论销售量随售价变化的情况。
首先我们先来看一个问题（10+a）×（10-a）这个式子当a取什么值的时候可以取到最
大值？
（10+a）×（10-a）=10×10-10×a+10×a-a×a=100-a2，因为a2≥0，所以当a=0时，
（10+a）×（10-a）可以取到最大值100。
那如果是（10+a）×（20-a）呢？我们可以把这个式子写为[15+（a-5）]×[15-(a-5)]，
所以同理只要a-5=0，即a=5，（10+a）×（20-a）就可以取到最大值。
那么我们为什么会想到a-5呢？是为了让两个括号内的实数部分变成相同，从而可以用
类似的原理判断最大值的位置。而10和20之间差距是10，所以让他们一边加5一边减5，
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都是15，正好可以相等。而a=5，所以此时15+（a-5）=15-(a-5)，即10+a=20-a。
所以如果需要判断（m+a）×（n-a）何时取得最大值，我们就可以直接按照结论，让m+a=n-a
即可，此时a=（n-m）/2，（m+a）×（n-a）取到最大值。
如果是（m+a）×（n-2a）呢？a前面的系数不同怎么处理？将系数提取出来，变成2×
（m+a）×（n/2-a），后续步骤相同。
例题11
某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高
0.4元，就会少卖1万株，问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A.60 B.80 C.90 D.100
解析：假设苗木单价提高了x次0.4 元，此时收入=单价×销量=（4+0.4x）×（20-x）
=0.4×（10+x）×（20-x）。所以当x=（20-10）/2=5 时，收入取得最大值，此时最大值=0.4
×15×15=6×15=90 万元。所以选择C选项。
六、利润率的线段混合
利润率=总利润/总成本
所以利润混合：利润率的线段比=总成本的反比
（推导过程类似于资料分析中线段关系的推导，此处不赘述。）
例题12
某商店购进一批篮球，定价为进价的125%，在售出进货量的20%后，商店决定打折促销。
篮球全部卖完后，商家在该批篮球上总获利15%，问该商店这次促销价为定价的多少折？
A.8 B.8.5 C.9 D.9.5
解析：不同价格的销售量比为1：4，成本一致，所以总成本比为1：4，所以利润率线段
比为4：1，20%的部分的利润率为25%，与混合后利润率15%线段距离为10%，所以另一段线
段距离为10%/4=2.5%，所以剩下80%的利润率为15%-2.5%=12.5%，假设成本为100，则定价
为125，打折价为112.5，所以打折为112.5/125=90%，打了9折，选择C 选项。
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工程问题
工程问题是围绕完成事件的时间、效率进行计算的问题。效率代表个体完成一件事情的
快慢，我们一般用工程量/时间=效率，即，工程量=时间×效率。
比如一共有十个苹果需要吃掉，不然就要坏掉了，小明一天只能吃两个，所以他需要五
天才可以吃完。
这里的十个苹果就是总量，一天吃两个就是速度，五天就是时间。
工程量=时间×效率，三个要素，我们知道两个要素即可知道第三个要素。
如果只知道一个要素呢？如果只知道工程量，那么时间×效率＝定值
即 x×y=m，y=m/x，另外两个元素之间构成了某种特定的函数关系，效率决定了时间，
每个不同的效率代表不同的时间。
当完成的任务工程量相同时，时间与效率成反比。y/y=x/x，比如同一项任务，甲需要
1 2 2 1
五天，乙需要三天，甲乙时间比为5：3，所以甲乙效率比为3：5
如果时间确定，工程量=定值×效率，y=mx，同样剩下两个元素也是特定的函数关系。
当时间相同时，完成的工程量之比等于效率之比。比如同样的时间内，小明一天吃两个
苹果，小李一天吃三个，他们的效率是2：3，所以他们的总工程量之比也是2：3。
一、赋值思想
赋值，给某个未知条件具体的数值。赋值后的结果不代表实际情况，仅为方便计算。
为何可以赋值呢？
如果告诉你有一堆苹果，小明 3天能吃掉，小李吃苹果的速度只有小明的一半，那小李
需要多少天？你会觉得很简单啊，就是小明的两倍嘛，6天咯。
如果赋值的话，我们可以观察到这个工程问题里，工程量、时间、效率三要素，只有时
间一个要素给了明确数值也就是赋了值，其他两者都没有赋值。而三个元素的方程关系，必
须起码要知道两类元素的具体数值才能知道第三类元素的数值。当只知道一个元素值的时候，
剩下两类元素的值是互相影响的，无法确定。
既然无法确定，我们可以根据需要，方便计算的需要，给其中任意一类元素赋值，假设
具体值。
还是刚刚的问题，我们可以因为知道小李和小明效率的比例关系，假设小明的效率是2，
小李的效率是1，这样就可以算出来苹果的总量为6个，那么小李需要的时间就是6/1=6天。
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为什么要多这么一步？因为有些问题步骤太多，光是关注正比反比关系，很容易混乱，
所以我们可以先进行赋值，将题目中对象的数值关系具象化。
例题1
一项工程，若交给 A队施工，需要 20天，若交给 B队，需要 30天，如果交给他们两队
一起施工，需要多少天完成？
A.10 B.11 C.12 D.15
解析：A 队B 队在工程总量相同的情况下，时间比为2：3，所以他们的效率比为时间比
的反比3：2，所以假设A队效率为3，B 队效率为2，则工程总量=20×3=60。所以如果他们
一起施工，总效率=3+2=5，此时用时=60/5=12 天，所以选择C选项。
赋值如何计算公倍数
1. 直接相乘
若 ABC 三个队分别做一个工程量相同的工程，他们效率分别为 3、4、5，我们便可以假
设工程量=3×4×5=60。
2. 去除共同因子部分
若 ABC 三个队分别做一个工程量相同的工程，他们效率分别为 3、4、8，因为 4 是 8 的
因子（8=4×2），我们便可以假设工程量为3×8=24。
3. 如何提取最小公倍数？
将数分别拆解为质数乘积，取各质数最高幂次相乘。
5、8、10的最小公倍数怎么计算？
5=5；8=2×2×2；10=2×5
出现三个质数2、3、5，其中2在单个数据种的最高幂次为3（出现了3次），其余均为
1次，所以最小公倍数=23×5=40。
二、反比思想
工程问题讨论的主要关系为工程量=时间×效率，因此特别适合运用反比关系对效率、时
间进行换算理清题意。
例题2
一项工程，甲乙合作 12 天完成，乙丙合作 9 天完成，丙丁合作 12 天完成。如果甲丁合
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作，则完成这项工程需要的天数是：
A.16 B.18 C.24 D.26
解析：三个组完成的时间比为12：9：12，因为工程量一样，所以时间比是效率的反比，
所以效率比是9：12：9，所以赋值甲乙效率和为9，乙丙为12，丙丁为9，则工程总量=9×
12=108。甲丁效率=甲乙+丙丁-乙丙=9+9-12=6，所以需要108/6=18 天。
例题3
甲、乙两个工程队需要在规定的工期内完成某项工程。若甲、乙两队合作，恰好按期完
成；若甲效率提高 1/3，乙的效率提高 1/2，则用原定工期 5/7 即可完成；若乙的效率降低
1/4，则需要推迟2天才能完成。那么，该工期原定的工期为多少天？
A.10 B.12 C.16 D.18
解析：提速后工期变为5/7，工程量没变，效率和时间是反比关系，说明效率变为原来的
7/5。假设甲和乙初始效率分别为a、b。则7/5（a+b）=4/3×a+3/2×b，化简得到a/15=b/10，
即a/b=3/2，所以赋值甲效率3，乙效率2。当乙的效率降低1/4 时，两人总效率从5变成了
4.5，效率比10：9，工期比就是反比9：10，而工期差为2 天，是9：10 比例差的两倍，所以
原工期为9的两倍18。所以选择D 选项。
三、工程量不同型问题
我们先回忆一下二元一次方程组。
如果只知道5x+3y=14，x和y有无数组实数解，我们无法知晓x与y是多少。
当x和y的关系存在两条方程，5x+3y=14；4x+y=7，我们可以知道x和y的值。
如果存在三个未知数，x 和 y 的方程组是①5x+3y=2z；②4x+y=z，这时候我们就无法具
体算出x和y的数值，但是此时我们也可以通过消去z的办法，得到x和y的倍数关系。
②×2得到8x+2y=2z，结合①得到5x+3y=8x+2y，所以y=3x。代回去②，可知z=7x。所
以x：y：z=1：3：7
所以当有三个未知数时，只需要有两组他们之间的方程（关系），就可以知道他们之间
的倍数关系。
在工程问题中，有时也会遇到工程量、效率、时间都不知道，在几种工程量不同的情况
下的工程效率关系，我们可以一样按照解方程组的思路进行消元，消除工程量不同的影响，
得到他们效率与时间的关系，从而得到效率比。
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例题4
甲乙两个工程队承担了精准扶贫村公路的修筑任务，先是甲工程队单独修了10天，完成
了总工程的四分之一，接着乙工程队加入合作，完成剩余工程。在第14天完成到总工程的一
半，则按照这种进度完成全部工程所用的天数比由甲单独完成这项工程少用的天数是：
A.18 B.16 C.12 D.20
解析：甲10 天修了1/4，甲乙合作再4天又修了1/4，10天甲=4 天甲乙，所以6天甲=4
天乙，所以甲乙效率比为2：3，赋值效率2、3，则工作量=40×2=80。剩余所需天数=（80
×1/2）/5=8 天，用时14+8=22天。甲单独完成用时80/2=40 天，所以少用18 天，选择A选
项。
两段工程中工程量相同，所以可以很顺利计算出甲乙效率比，如果不同呢？
我们可以按等比例放大，消掉工程量的影响。
例题5
甲、乙两人共同加工一批零件。甲 4 小时完成这批零件的 1/6，乙 2 小时完成这批零件
的1/8，则甲、乙两人同时合作，（ ）小时可完成剩下的这批零件？
A.10 B.34/5 C.8 D.42/5
解析：甲 24小时可以做完，乙16 小时可以做完，所以甲乙时间比为3：2，效率比为2：
3，赋值甲效率2，乙效率3，所以工程总量=24×2=48，剩下48-8-6=34 的工程量，合作还需
要34/（2+3）=34/5 小时，所以选择B 选项。
四、不同情况找区别（鸡兔同笼）
例题6
有一项工程，甲公司花 6天，乙公司再花 9天可以完成；或者甲公司花 8 天，乙公司再
花3 天可以完成。如果这项工程由甲公司或乙公司单独完成，则甲公司所需天数比乙公司少
多少天：
A.15 B.18 C.24 D.27
解析：情况一与情况二的区别在于2天甲换了6 天乙，所以甲效率为乙的3倍，赋值乙
效率为1，甲效率为3，工程总量=18+9=27。所以甲乙单独完成分别需要27/3=9 天，27/1=27
天，甲比乙少18 天。
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例题7
一批零件如果全部都交由甲厂加工，正好在计划时间完成，如果全部交由乙厂加工，要
超过计划时间 5天才能完成，如果甲、乙两厂合作加工 3天，再由乙厂单独加工，正好也是
在计划时间完成，则加工完这批零件计划时间是：
A 5天 B 7天 C 7.5天 D 8.5天
解析：题干三个工程情况中，情况二和情况三除了乙干满工期以外，区别在于，情况二
多了5天乙，情况三多了3天甲，而他们的工作总量是一致的，所以3 天甲的工作量=5天乙
的工作量，所以甲乙效率比为5：3。所以情况一和情况二的时间比为3：5，比例差为2，又
知道时间差为5天是比例差的2.5 倍，所以情况一的时间为3×2.5=7.5 天，选择C 选项。
五、消除效率变化
在一些工程问题中，题目会用不同的效率去完成同样或者不同的工程量，我们可以根据
效率、工程量、时间的比例关系，进行等比例变化，减少变数的影响。
例题8
一批传统手工匠人需在预定时间内完成一笔糖人订单，他们捏糖人的速度都相同，有两
种工期安排方案供其选择。方案一：若干名匠人先开工，经过三分之一的预定时间，将人数
加倍，在预定时间刚好完成；方案二：10名匠人同时开工，在预定时间也刚好完成，则方案
一前期应安排（ ）名匠人。
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：方案一若未将人数翻倍，根据效率与时间成反比关系，则第二段时间变为两倍，
前后共用5/3 的预计时间。因此方案一前期和方案二人数比=时间反比=3：5，所以方案一前
期安排6名匠人。选择A 选项。
例题9
某工程队接到一项任务，甲、乙合作6天后完成总任务量的25%，乙、丙合作15天后又
完成剩余任务量的2/3，剩下全部任务由乙单独工作11天完成。已知乙与他人合作时效率比
其单独工作时高10%，问甲、乙、丙合作完成这项任务需要多少天？
A.16 B.20 C.24 D.28
解析：情况中乙合作两次，单独一次，效率不同，考虑假设乙单独工作时效率依旧提高
10%，和前面情况保持一致。则剩下第三段任务乙单独完成时间缩短为11×10/11=10 天。再
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消除工作量区别的影响，换算为24 天甲乙=30天乙丙=40 天乙。可知甲乙丙效率比为2：3：
1，赋值效率为2、3、1，此时工程总量为40×3=120，则甲乙丙合作完成需要120/6=20 天，
选择B 选项。
六、代入思维
当工程题条件较少，只有用时，可以考虑观察选项考虑代入赋值计算验证。
例题10
轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进行需 4小时完成，甲队
单独完成比乙队单独完成快15小时，则甲队单独完成需要的时间是：
A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时
解析：题干条件较少，观察甲用时与乙用时的关系，发现A 选项比例比较常规，为 5：
20 即1：4，其他选项6：21、7：22、8：23 并非常见的工程效率比例。所以先代入A选项验
证。甲乙用时比1：4，效率比4：1，赋值效率4、1，工程量=4×5=20，合作总效率5，合作
用时=20/5=4 小时，满足题意，所以选择A选项。
七、比例差问题
例题11
甲、乙二人同时上山砍柴，甲花 6 小时砍了一担柴，乙砍了一段时间后觉得刀比较钝，
于是下山磨了一次刀，磨刀加上山下山共花了一个小时，磨完后效率提升了 50%，总共也花
费了 6个小时砍了同样一担柴，如果甲、乙二人磨刀之前的效率是相同的，则乙磨刀之前已
经砍了（ ）个小时柴。
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：乙磨刀效率提升50%，前后效率为2：3，同样的工程量时间比为3：2。而甲乙总
用时一样，说明乙提高效率减少的时间=磨刀的1 小时，时间比的比例差=1，所以磨刀后半
程的工作量，不同效率下用时为3小时与2 小时。所以磨刀前用时=6h-1h-2h=3h，选择C选
项。
（一）第三人轮流帮忙型工程
例题12
某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A工程需要25天，
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丙队单独完成 B工程需要 9天。现由甲队负责 B 工程，乙队负责 A工程，而丙队先帮甲队工
作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多
少天？
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：赋值甲乙丙效率为3、4、5，根据效率和时间，计算出A 工程B 工程工程量分别
为75 和45。两工程同时开工同时竣工，所以甲乙丙三人在这段时间内是一直在工作的，因此
这两个工程的效率一直是3+4+5=12，所以共需（75+45）/12=10 天时间。其中乙的工作量为
4×10=40，所以剩下75-40=35 的工程量是由丙完成的，丙在 A工程待了35/5=7 天，所以选
择B 选项。
第三人轮流帮忙型工程我们以整体思维入手，将三人看作一个整体完成两个工程。因为
两个工程同时开始同时结束，本质上就是同一个工程，而三个人也一直在工作没有停歇，这
一段时间里每一个时刻的效率都是三人总效率，所以总用时是最方便计算的，直接用总工程
量/总效率，就可以得到总用时，进而再根据各人效率计算不同工程任务的分配情况。
（二）工作分配
人都是有优点有缺点的，有擅长的也有不擅长的，所以我们在解决问题时多考虑团队合
作分工问题。合作比较简单，前面已经学习过简单的效率相加问题。而有时候不光要一起合
作，还需要分工才能把效率最大化。
分工的原理很简单，做自己最擅长的事情。
如果小王 1 个小时就可以做完行测作业，3 小时才能写完申论作业；小李需要 2 个小时
才可以做完行测，1.5 小时就可以写完申论。我们很明显可以知道小王是行测高手，小李是
申论高手，如果要分工合作考试，那肯定让小王先去写行测，小李先去写申论，最后谁先结
束谁去帮忙写，才能最快解决一套卷子。
小李第二年他进步了，1.5小时就可以写完行测，1小时写完申论，但是现在不是强强联
合了，来了个猪队友小明。小明要 3 小时才能写完行测，2.5 小时写完申论。这时候他们俩
怎么安排才能最快写完一套卷子呢？
我们设置两种方案，先让小李做行测（方案一）或者先让小李做申论（方案二）。
方案一用时：小李行测用时 1.5h，此时小明申论还剩 2.5-1.5=1h 的工作量。因为小李
申论用时和小明的比例是2：5，所以效率比是5：2，所以小李加入小明一起写申论前后，申
论效率比为 2：7，所以时间比为 7：2，所以还需要 2/7h 两人可以把申论写完。一共用时
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1.5+2/7=25/14h≈1.79h。
方案二用时：小李申论用时 1h，此时小明行测还剩 2h 的工作量，因为小李行测用时和
小明的比例是1：2，所以效率比为2：1，所以小李加入小明一起写行测前后，行测效率比为
1：3，时间比为 3：1.所以还需要 2/3小时，两人可以把行测写完，一共用时 1+2/3=5/3h≈
1.67h。
对比下来，先让小李做申论会更快一些，因为小李的申论相对于行测，更比小明要效率
高。
我们可以通过比较行测效率比 2：1 和申论效率比 2.5：1，得出小李更擅长哪一门，先
让小李做完最擅长的部分即可。
结论：同类工作效率比较高的优先去做。
例题13
梳理甲、 乙两个案件的资料, 张警官单独完成, 分别需要2小时、8小时; 王警官单独
完成需要1小时、6小时。若两人合作完成, 要的时间至少是:
A.3小时 B. 4小时 C. 5小时 D. 6小时
解析：张警官和王警官甲乙案件的效率比分别为1：2和3：4，因此王警官更擅长甲案件，
所以王警官先处理甲案件，需要1h，完成后，张警官的乙案件还剩7h 工作量。而张王乙案件
效率比为3：4，所以合作前后效率比为3：7，所以时间比为7：3，所以还需3h 乙案件可以
完成。一共用时1+3=4h，所以选择B选项。
八、牛吃草净效率
牛吃草问题是一件工程效率事件中，存在两个变量影响的问题。
母题：一片草地初始高度为z，每天草会生长y，来了一群牛，每天吃掉x的草，那么这
片草地的草什么时候会被吃完呢？
如果不考虑草的生长，这就是有一个基础的工程量（草量），这群牛每天吃掉 x，所需
时间就是工程量z除以效率x。现在多了一个变量，草生长y，多引入一个变量，不就是工程
题里多加了一个帮手乙吗？导致效率发生了变化而已。所以我们只需要考虑最终的效率变成
了多少。这里的帮手帮的是倒忙，他在让草量变多，所以是“负效率”。所以最终总效率=x-y。
所以牛吃草问题本质上就是双人合作工程题。
t=z/（x-y）
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例题14
有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：假设牛吃草效率为1，草生长的效率=a。牧场草的存量（工程量）固定，时间比
为20：10 即2：1，所以总效率比为1：2，所以（10-a）：（15-a）=1：2，解得a=5。所以
草量=（10-5）×20=100。25 头牛时总效率=25-5=20，用时=100/20=5天。所以选择C选项。
例题15
某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候
检票的队伍消失，同时开 4个检票口需 30分钟，同时开 5 个检票口需 20分钟。如果同时打
开7个检票口，那么需多少分钟？
A.9 B.12 C.15 D.18
解析：假设检票口效率为1，来人的效率为a。开始检票时存量固定，时间比为3：2，所
以效率比（4-a）：（5-a）=2：3，所以a=2，存量=（4-2）×30=60。7个检票口时，总效率
=7-2=5，所以需要60/5=12 分钟，选择B 选项。
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溶液问题
基本公式
浓度=溶质/溶液
溶液=溶质+溶剂
溶液混合问题三种主要思路
1. 方程计算
原理：牢牢抓住溶液混合前后溶质质量和不变的关系，建立方程计算。
例题1
有A、B、C三种浓度不同的溶液，按A与B的质量比为5:3混合，得到的溶液浓度为13.75%；
按A与B的质量比为3:5混合，得到的溶液浓度为16.25%；按A、B、C的质量比为1:2:5混
合，得到的溶液浓度为31.25%。问溶液C的浓度为多少：
A.35% B.40% C.45% D.50%
解析：设三种溶液浓度分别为 A、B、C，则5A+3B=13.75×8=110；3A+5B=16.25×8=130，
解得，A=10，B=20。所以10+2×20+5×C=31.25×8=250，所以C=40。所以选择B 选项。
2. 线段混合
原理：混合后浓度与混合前两个浓度距离比=这两个溶液质量的反比。
例题2
有两瓶质量为1千克的酒精溶液，浓度分别为70%和45%，先从两瓶中各取部分混合成1
千克的酒精溶液，测得浓度恰好为50%，再将这两瓶中剩下的溶液混合，则所得酒精浓度是：
A.50% B.55% C.60% D.65%
解析：70%-50%-45%，线段比为20：5即4：1，所以溶液质量比为1：4，而溶液质量和
为1kg，所以70%的溶液占0.2kg，45%的溶液占0.8kg。所以原酒精溶液各自剩下0.8kg 和0.2kg
将剩下溶液混合，质量比为4：1，所以浓度距离比=1：4。距离和=70%-45%=25%，所以
浓度距离为5%和20%，所以混合后浓度=70%-5%=65%，所以选择D 选项。
注：当题目前后浓度关系简单时，可以多考虑线段关系。当浓度关系复杂时，多考虑方
程计算。
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3.反比关系
溶液浓度的反比思想主要出现在加水、蒸发水问题中。
浓度=溶质/溶液
在溶质保持不变时，浓度与溶液质量成反比关系。
例题3
某种杀虫剂每桶5公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%，每亩地喷洒60公斤。
若某农户家中有4亩地，则至少需要该杀虫剂：
A.3桶 B.4桶 C.5桶 D.6桶
解析：溶质不变，浓度变为1/8，所以溶液质量变为8 倍，也就是40 公斤。4 亩地一共
需要60×4=240公斤，所以需要240/40=6 桶，所以选择D 选项。
例题4
将一满容器浓度为 24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液
浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多
少？
A.24% B.28% C.30% D.32%
解析：蒸发水分，溶质质量不变，浓度与溶液成反比，浓度比为2：3，所以前后溶液质
量比为3：2，即从3份溶液变为2 份，现在用12%的溶液加满，考虑溶液混合线段计算。溶
液质量比为2：1，所以溶液距离比为1：2，溶液总距离为36%-12%=24%，24%/3=8%，所以
混合后浓度=36%-8%=28%，所以选择B 选项。
例题5
一份溶液，加入一定量的水后，浓度降到3%，再加入同样多的水，浓度降为2%，该溶液
未加水时浓度是：
A.6% B.4% C.5% D.4.5%
解析：第二次加水浓度从3%变为2%，所以前后溶液质量比为2：3，即2份水加了1 份
水，所以第一次加水是从1份水加了1 份水变成2份水，前后溶液质量比为1：2，所以浓度
比为2：1，所以第一次加水之前浓度=3%×2=6%，所以选择A 选项。
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易错点：浓度=溶质/溶液。很多同学根据这个式子，认为浓度与溶质成正比，与溶液呈
反比，从而在加“糖”，忽略了正比反比是建立在另一个变量不变的情况下，而加“糖”的
时候，溶液质量也是会跟着改变的。
例题6
面包房购买一包售价为 15 元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓度为 20%的
糖水12千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为25%，问购买白糖花了多少
元钱？
A.45 B.48 C.36 D.42
解析：原溶质=12×20%=2.4kg，假设后加入xkg 白糖，则2.4+x=（12+x）×25%，所以
9.6+4x=12+x，x=0.8，所以一共买了2.4+0.8=3.2kg白糖，花费3.2×15=48元，选择B 选项。
线段混合思维：加入白糖相当于浓度=100%，浓度距离比=（100-25）：（25-20）=15：
1，所以质量比=1：15，所以白糖质量=12kg/15=0.8kg，所以一共买了2.4+0.8=3.2kg白糖，花
费3.2×15=48元，选择B 选项。
例题7
某单位有 2 个处室，甲处室有 12人，乙处室有 20 人。现在将甲处室最年轻的 4人调入
乙处室，则乙处室的平均年龄增加了 1岁，甲处室的平均年龄增加了 3岁。问在调动之前，
两个处室的平均年龄相差多少岁？
A.8 B.12 C.14 D.15
解析：这类交换部分的题型，本质上依旧如同溶液混合一样，抓准不变的量进行方程计
算。
假设甲处室原平均年龄为a，乙处室为b，则12a+20b=8（a+3）+24（b+1），所以4a-4b=48，
所以a-b=12，所以选择B 选项。
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行程问题
行程问题核心公式：路程=速度×时间
一、行程破题的核心思维：
1. 抓住主体之间的共同点。时间？路程？速度？从而运用正比反比关系进行换算
如果时间相同，则着重观察路程和速度的正比关系；
如果速度相同，则着重观察路程和时间的正比关系；
如果路程相同，则着重观察时间和速度的反比关系；
例题1
甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%。如果一个人坐公交车
从甲地到乙地，再从乙地步行到甲地，一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要
多长时间？
A.10分钟 B.20分钟 C.30分钟 D.40分钟
解析：步行速度比骑车速度慢75%，步行速度：骑车速度=1：4，骑车速度比公交慢 50%，
骑车速度：公交速度=1：2，所以赋值步行速度为 1，则汽车速度=4，公交速度=8。甲到乙和
乙到甲路程相同，所以速度和时间成反比，公交速度：步行速度=8：1，所以时间比为1：8，
又知道时间和为90 分钟，所以坐公交从甲到乙需要10 分钟，而骑车速度是公交的一半，所
以需要时间是两倍（反比关系），所以需要10×2=20分钟。
2. 学会按照题意分段考虑行程，“一步一步走”。
行程问题虽然和经济利润、工程问题一样是 A=B×C的问题，但是其会更多进行分段，这
也是很多同学觉得行程难度高于前两类的原因之一。
面对分段问题，我们需要在其中找到可以有时间、路程、速度三者关系的部分，进行计
算。
例题2
小李以每分钟80米的速度从家中步行去上班，走了路程的20%之后，他又前行了2分钟，
这时他发现尚有四分之三的路程，问小李以该速度步行到单位还需多少分钟
A.15 B.20 C.30 D.40
解析：小李这两段行程中，第一段只有20%的路程信息，没有时间，第二段有时间有速
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度有路程比例，对第二段路程进行计算。这两分钟他前进路程=80×2=160 米，这一段是路程
的25%-20%=5%，所以总路程=160/5%=3200 米，所以剩下路程=3200×3/4=2400 米，还需
2400/80=30 分钟，所以选择C选项。
3.火车过桥
①单列火车与桥的问题：计算行进路程时要注意“点对点”，两个时间点的位置对比保
持同一参照点，锁定车头或者车尾位置，切不可一个时间点看车头，一个时间点看车位，进
而混淆计算路程。
例题3
一列火车经过两个隧道和一座桥梁，第一个隧道长600米，火车通过用时18秒；第二个
隧道长480米，火车通过用时15秒；桥梁长800米，火车通过时速度为原来的一半，则火车
通过桥梁所需的时间为？
A.20秒 B.25秒 C.40秒 D.46秒
解析：假设车长x米，第一个隧道和第二个时间比为6：5，火车速度不变，所以路程比
（600+x）：（480+x）为6：5，路程差为120，根据比例差关系，600+x=6×120=720，所以
车长x=120 米，速度=720/18=40m/s。（这一题没有明确火车通过隧道是按哪一种计算方式也
不影响计算过程，如果算出来x 为负值，则说明这题是按隧道长-车长计算通过时间，正值则
为隧道长+车长，0则为隧道长。）
桥梁长为800 米，所以降低一般速度通过的话需要（800+120）/20=46 秒，选择D选项。
②会车问题：相对运动
例题4
一辆长度为200米的火车A和一辆长度为400米的火车B，已知，两车头相距S，现同时
出发相向而行，经过 20 秒后两车车头相遇，再经过 15秒后两车车尾分离，则 S 为（ ）
米。
A.600 B.700 C.800 D.900
解析：第一段20 秒只有时间没有路程和速度，所以先不考虑。观察第二段的15 秒，两
车从相遇到分开，我们考虑相对运动，相对于火车A，火车B 共行驶200+400=600米距离，
相对速度为V1+V2=600/15=40m/s，所以第一段20秒两车速度和为40m/s，所以S=20×40=800m，
所以选择C 选项。
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4.流水行船
船顺着水流方向时，V =V +V ；
顺 船 水
船逆着水流方向时，V =V -V 。
逆 船 水
V =（V -V ）/2
水 顺 逆
V =（V +V ）/2
船 顺 逆
例题5
一条客船往返于甲乙两个沿海城市之间，由甲市到乙市是顺水航行，由乙市到甲市市逆
水航行。已知船在静水中的速度是每小时25海里。由甲市到乙市用了8小时，由乙市到甲市
所用的时间是由甲市到乙市所用时间的1.5倍，则甲乙两个城市相距多少海里？
A.240 B.260 C.270 D.280
解析：因为逆流用时为顺流1.5 倍，所以顺逆速度比为3：2，所以（25+V ）：（25-V
水
）=3：2，解得V =5海里/小时，所以相距（25+5）×8=240 海里，选择A 选项。
水 水
例题6
一艘轮船先顺水航行40千米，再逆水航行24千米，共用了8小时。若该船先逆水航行
20千米，再顺水航行60千米，也用了8小时。则在静水中这艘船每小时航行（ ）千米。
A.11 B.12 C.13 D.14
解析：两种情况时间相同，扣除相同的部分，说明逆水4千米所需时间=顺水20千米所
需时间，所以V ：V =5：1。所以情况一中顺水40 千米时间相当于逆水8千米时间，也就
顺 逆
是逆水32 千米需要8小时，所以V =4km/h，所以V =20km/h。所以V =（V +V ）/2=
逆 顺 船 顺 逆
（4+20）/2=12km/h，所以选择B 选项。
5.相对静止型问题（可能稍难，不做要求）
例题7
一艘维修快艇沿着河流逆流而上执行维修任务，快艇航行到途中某处时工具包掉进了河
里。10分钟后，驾驶员到达目的地时发现工具包丢失后立即返回追寻。已知水的流速为每秒
1米。如果工具包会浮在水面上漂流，那么驾驶员将在距离丢失处( )米的地方找回工具包。
A.640 B.900 C.1080 D.1200
解析：此题按照水流的参照系观察，大家都不受水流速度影响，此时工具包速度=0，船
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的速度不变，因此驾驶员来回都是10 分钟，所以需要20 分钟找回工具包。再切回地面的参
照系，工具包速度=水速=1m/s，所以此时工具包距离丢失处=20×60=1200 米，所以选择D选
项。
6.等路程问题（来回往返、上下坡问题）
等路程公式：V=2V1V2/(V1+V2)
例题8
小明开车去姐姐家的速度为 30 公里/时，开车回家的速度为 60 公里/时，则小明开车往
返的平均速度是（ ）公里/时。
A.50 B.45 C.30 D.40
解析：代入等距离速度公式，V=2×30×60/（30+60）=3600/90=40km/h，所以选择D选
项。
例题9
从甲地到乙地111千米，其中有1/4平路，1/2上坡路，1/4下坡路。假定一辆车在平路
的速度是20千米/小时，上坡速度是15千米/小时，下坡速度是30千米/小时/。则该车由甲
地到乙地往返一趟的平均速度是多少千米/小时？
A.19 B.20 C.21 D.22
解析：来回一趟上坡路程和下坡路程一致，因此考虑等路程速度问题，上下坡平均速度
=2×30×15/（30+15）=900/45=20km/h，而平路速度也=20km/h，所以全程平均速度=20km/h。
所以选择B 选项。
例题10
A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距 60 千米。邮递员骑车从 A村到 B 村，用
了 3.5小时；再沿原路返回，用了 4.5 小时。已知上坡时邮递员车速是 12千米/小时，则下
坡时邮递员的车速是：
A.10千米/小时 B.12千米/小时 C.14千米/小时 D.20千米/小时
解析：上下坡问题，来回上坡总路程和下坡总路程一致，考虑等距离平均速度公式。设
下坡车速为v，来回120 千米，用时8 小时，平均速度15km/h，所以2×12v/（12+v）=15，
解得v=20km/h，所以选择D 选项。
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7.匀变速运动
根据微积分原理，我们可知vt函数图所围成的面积等于路程，所以如果速度是一条斜线，
V=（V +V ）/2
始 末
例题11
一辆车从甲地行驶到乙地共 20 千米，用时 20 分钟，已知该车出发从匀加速到最大速度
后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千米/小时？
A.100 B.108 C.116 D.120
解析：假设最大速度为V，则匀加速阶段平均速度=（0+V）/2=V/2，匀减速阶段平均速
度=（V+0）/2=V/2，所以全程平均速度=V/2。而根据路程时间可以算出平均速度
=20km/20min=1km/min=60km/h，所以V=60×2=120km/h，所以选择D选项。
思路二：假设最大速度为V，此过程的vt 图像为两条斜线组成的三角形，封闭面积=路
程L=1/2×t×V，所以V=2L/t=40km/20min=2km/min=120km/h。
8.时针追及问题
分针每60分钟转一圈就是360°；时针每60分钟转一格是30°
所以分针速度为6°/min；时针速度为0.5°/min。形成以度数为路程的追及问题。
例题：现在时间为4点13分，此时时针与分针成什么角度？
A.30度 B.45度 C.90度 D.120度
解析：4点时，时针与分针夹角为4格也就是120°，而后分针每分钟追上6-0.5=5.5°，所
以4点13 分时，时针与分针夹角为120-5.5×13=120-71.5=48.5°，最接近B 选项，所以选择 B
选项。（此题也可以直接从时针分针位置大概判断出在45 度附近，主要以此题介绍算法）
9.循环追及问题
（1）环形问题（一圈路程为 L）
如果两个人同一个起点同向出发，什么时候可以第一次追上对方（套圈）？
∆S=S -S =V T-VT=(V -V )T=L，
1 2 1 2 1 2
T=∆S/∆V=L/(V -V )
1 2
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∆S=S -S =V T-VT=(V -V )T=nL，
1 2 1 2 1 2
T=∆S/∆V=nL/(V -V )
1 2
如果两个人同一个起点相反方向出发，什么时候可以第一次追上对方（套圈）？
S +S =V T+V T=(V+V )T=L，T=L/(V+V )
1 2 1 2 1 2 1 2
S +S =V T+V T=(V+V )T=nL，T=nL/(V +V )
1 2 1 2 1 2 1 2
例题12
环形跑道的周长为400米，甲、乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而行，16秒
后甲、乙相遇。相遇后，乙立即调头，6分40秒后甲第一次追上乙。问甲追上乙的地点距原
来的起点多少米？
A. 8 B. 20 C. 180 D. 192
解析：第一段相遇行程两人共同走了一圈，可知V +V =400/16=25m/s，第二段追及行
甲 乙
程，甲追上乙，比乙多走了一圈，可知V -V =400/400=1m/s，所以V =13m/s，V =12m/s。
甲 乙 甲 乙
甲追上乙时离出发经过了416 秒，甲方向没有发生变化，所以考虑甲的路程=416×13=5408m，
5408/400=13 圈余208m，所以和起点相距192m。选择D 选项。
（2）线形问题（单向长度为 L）
基本公式
追及 t=∆L/∆V
1.线形循环追及相遇
循环追及问题需要是同方向超过对方，线形问题依旧可以看作环形问题。将线形拉开，
补成一个环形，此时的环形长度便等于线形长度的两倍。相遇同理。
注：此处线形的追及指从后方追上，相遇指迎面相遇。
线形循环一般有两种考法，同端，或者不同端。而不同端本质上也就等于是环形模拟下
距离半圈的不同起点问题。
同端追及 T=2nL/(V1-V2)
不同端追及 T=（2n-1）L/(V1-V2)
同端相遇 T=2nL/(V1+V2)
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不同端相遇 T=（2n-1）L/(V1+V2)
例题13
小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为 6公里。小王每小时走 4公里；小李每小
时跑8公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则两人第7次相遇时的地点距离出发点：
A.0公里 B.2公里 C. 4公里 D. 3公里
解析：同端相遇，用时=2×7×6/（4+8）=7h，此时小王共走4×7=28km，相当于2个来
回+4km，所以距离出发点4公里。选择C 选项。
例题14
甲以每小时6千米的速度步行从A地前往B地，在甲出发90分钟时，乙发现甲落下了重
要物品，立即骑自行车以每小时 12 千米的速度追甲，终于在上午 11 点追上了甲。问甲出发
时间是上午几点：
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：乙开始追甲时，两人距离=6×1.5=9km，所以追及需要用时=9/（12-6）=9/6=1.5h，
追上时为11 点，所以乙是9点半出发的，所以甲是8 点出发的。选择B选项。
例题15
有客、货、轿车三车在同一道路上同向匀速行驶，在某时刻，货车在中，客车在前，轿
车在后，且三车间距相等。一分钟后，轿车追上了货车；又过了1/2分钟，轿车追上了客车。
问再过多少分钟，货车可以追上客车？
A.1/2 B.1 C.3/2 D.3
解析：此题条件涉及两次追及，一次是轿车 1分钟追上货车，一次是轿车1.5分钟追上客
车。后者相距距离是前者的两倍，因为∆V=∆L/t，所以后者∆V是前者的2/1.5=4/3 倍。赋值V
-V =3，V -V =4，所以V -V =1，所以货车客车追及用时为第一次追及的3 倍，总共
轿 货 轿 客 货 客
需要3分钟，因此还需要3-1-1/2=3/2 分钟，选择C 选项。
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集合容斥问题
基本公式
一、两集合问题
A∪B=A+B-A∩B
A∩B=A+B-A∪B
A+B=总人数+二层人数（A 且B 的部分）
例题1
某班共有46人参加了一次数学测验，其中35人做对了第一题，28人做对了第二题，有
3人都做错了这两道题，那么该班有多少人只做对了第二题？
A.8人 B.11人 C.15人 D.18人
解析：有3人都错了，所以本题只有43 人做对了第一题或者第二题。第一题第二题都对
的人数=35+28-43=20 人，所以只做对第二题的人数=28-20=8 人，所以选择A选项。
例题2
有 100名员工去年和今年均参加考核，考核结果为优、良、中、差四个等次。今年考核
结果为优的人数是去年的1.2倍，今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。
问两年考核结果均为优的人数至少为多少人？
A.55人 B.65人 C.75人 D.85人
解析：良及以下的人员占比比去年低15 个百分点，说明优的占比提高15 个百分点。而
优的人数是去年的1.2 倍，也就是占比是去年的1.2 倍，前后比为5：6，比例差为15%，所以
去年优的占比75%，今年90%，所以均为优的至少为 75%+90%-100%=65%，也就是65 人。所
以选择B 选项。
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二、三集合问题
如果社区里有游泳、羽毛球、篮球三所爱好俱乐部，有一天领导要求你去统计一下大家
业余时间参加爱好俱乐部的情况。这时候一般人会有两种统计思路。一、从社区居民入手，
一个人一个人去问他们的参加情况；二、从俱乐部入手，直接看分别有多少人参与。
这两种思路都可以知道大家参加俱乐部的总人次。
参加了 1个俱乐部的人数记作 N，参加 2个的记作 N，参加3 个的记作 N 。三个俱乐部
1 2 3
分别有A、B、C人参加。
①：总人次=N+2×N+3×N；②：总人次=A+B+C
1 2 3
所以A+B+C=N+2×N+3×N
1 2 3
这就是容斥问题的最基本原理。
三集合问题的五种问法及对应公式
发了一堆苹果给大家，有青苹果有红苹果还有黄苹果，有 a 人拿了 1 个，有 b 人拿了 2
个，有c人拿了3个，如果要统计一共发了多少个苹果，怎么计算？
苹果总个数=a+2b+3c
人数=a+b+c=苹果总个数-b-2c
A+B+C=仅一层个数+2×仅二层个数+3×三层个数
发了一堆苹果给大家，有青苹果有红苹果还有黄苹果，一共 a 人，大家都拿到了苹果，
有b人拿了2个，有c人拿了3个，如果要统计一共发了多少个苹果，怎么计算？
苹果总个数=a+b+2c
A+B+C=总人数+二层+2×三层人数（注：本集合容斥模块讨论的总人数只代表参与 ABC
三个属性分配的人数，不涉及未参与的“局外人”）
发了一堆苹果给大家，有青苹果有红苹果还有黄苹果，一共 a 人，大家都拿到了苹果，
有b人拿了2个以上，有c人拿了3个，如果要统计一共发了多少个苹果，怎么计算？
苹果总个数=a+b+c
A+B+C=总人数+二层+三层
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发了一堆苹果给大家，有青苹果有红苹果还有黄苹果，每种颜色最多拿一个，有 a人拿
了青苹果，有b人拿了红苹果，有c人拿了黄苹果。其中有d人既拿了青苹果也拿了红苹果，
其中有e 人既拿了青苹果也拿了黄苹果，其中有 f人既拿了红苹果也拿了黄苹果。三种苹果
都拿的人数为g人。如果要统计一共有多少人，怎么计算？
苹果总个数=a+b+c
人数=a+b+c-d-e-f+g
总人数=A+B+C-（A∩B+A∩C+B∩C）+A∩B∩C
发了一堆苹果给大家，有青苹果有红苹果还有黄苹果，每种颜色最多拿一个，有 a人拿
了青苹果，有 b人拿了红苹果，有 c 人拿了黄苹果。有 d人拿了两种苹果，有 e 人拿了三种
苹果，如果要统计一共有多少人，怎么计算？
苹果总个数=a+b+c
人数=a+b+c-d-2e
总人数=A+B+C-仅两种-2×三种
煎饼——形象化记忆
三个“项目”在一群人上的分布情况都可以用这样一个图来表示。A、B、C 表述圆的范
围，A∩B、A∩C、A∩B代表圆与圆的相交部分，A∩B∩C代表A、B、C三者相交部分。
橙色的部分代表仅两层的区域，红色代表三层的区域。
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我们可以把这三个圆当作是三张煎饼铺在一起，黏住了，现在如果要计算总人数，也就
是这三张煎饼占据的面积，只需要把上面粘住的部分撕掉就可以了。
我们撕煎饼可以有三种方式。
一：分别把橙色的部分撕一层走，再把红色的部分撕两层走。
所以总人数=A+B+C-两层-2×三层
二：把A∩B、A∩C、A∩B这三张叶子型的部分撕掉，此时红色部分被撕了3层，变成空
白，所以我们需要再补一张A∩B∩C回来。
所以总人数=A+B+C-（A∩B+A∩C+B∩C）+A∩B∩C
三：把最上面一层红色撕掉，再把第二层撕掉，范围内就都只剩下一层。
所以总人数=A+B+C-二层-三层
例题3
某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为 90%，在调查对象中有 180 人会利
用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时
使用三种方式学习的有 50人，同时使用两种方式学习的有 20人，不存在三种方式学习都不
用的人。那么，这次共发放了多少份问卷？
A.370 B.380 C.390 D.400
解析：总人数=180+200+100-20-2×50=360，所以共发放问卷=360/90%=400 份，所以选
择D 选项。
例题4
某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修
乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，
兼选乙、丙两门课程的有 24人，甲、乙、丙三门课程均选的有 20人。问三门课程均未选的
有多少人？
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
解析：选了甲、乙、丙三门选修课的总人数=40+36+30-28-26-24+20=106-78+20=28+20=48
人。所以三门课程均未选的有50-48=2 人，选择B选项。
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例题5
某单位26人需要安排在ABC三种不同工作岗位上，发现不能胜任A岗位的有3人，不能
胜任 B岗位的有 2人，不能胜任 C岗位的有 1人，其中，不能胜任两个及以上岗位的 2 人，
三个岗位都不能胜任的1人，该单位多少人能够胜任所有岗位工作？
A.21 B.22 C.23 D.24
解析：有不能胜任岗位的人数=3+2+1-2-1=3 人，所以有26-3=23人能胜任所有岗位工
作。
三、最值型问题
容斥问题中，涉及到很多部分的个数求和做差算一个未知数的问题，那么自然也可以“隐
去”个别数据，令方程关系出现两个未知数，形成 A=常数±B，从而计算 A 的最大值或者最
小值。
例题6
有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，
未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人，问至少有多少人参加了不止一个项目？（ ）
A.7人 B.10人 C.15人 D.20人
解析：根据题干参加跳远、跳高、赛跑的人数分别是50、40、30人，所以总数50+40+30=120=
总人数+两层+三层，所以两层+三层=20，所以两层（即报了不止一个项目的范围）最大值为
20，当三层（报了三个项目的范围）=0时。所以选择D 选项。
四、最小公倍数型容斥问题
1-50里有多少数是3的倍数？
50/3=16...2，有16个。
1-50里有多少数是4的倍数？
50/4=12...2，有12个。
1-50里有多少数既是3的倍数或者是4的倍数？
16+12=28？这是错误的，就和容斥一样，我们不能把是 A的人数和是 B的人数直接加起
来算总人数，还需要把A∩B的部分去掉。
所以我们算既是 3 的倍数或者是4 的倍数的数的个数时，也要把既是 3的倍数也是 4 的
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倍数的数去掉。
那什么样的数既是 3 的倍数也是 4 的倍数呢？3 和 4的公倍数。我们可以算出 3 和 4 的
最小公倍数是12，所以只要是12的倍数，就都既是3的倍数也是4的倍数。
50/12=4...2，有4个数是12的倍数，既是3的倍数也是4的倍数
所以，16+12-4=24，1-50里有24个数既是3的倍数或者是4的倍数。
例题7
在 400米操场起点开始放置旗帜，每 40 米放置一面蓝色旗帜，每 50米放置一面红色旗
帜，如果旗帜重叠，则更换为黄色旗帜。问一圈下来一共放置了多少面旗帜？
A.18 B.20 C.16 D.17
解析：400米的长度可以放400/40=10 面蓝色旗帜，可以放400/50=8 面红色旗帜。而40=2
×2×2×5，50=2×5×5，所以40 和50的最小公倍数是23×52=200，所以会有400/200=2 个
点蓝旗和红旗重叠，重叠的地方2面旗帜换成1面，会减少1面的总量，所以一共有10+8-2=16
面旗帜，所以选择C 选项。
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排列组合问题
组合排列是什么？
组合排列是从一些东西里，按要求，分组，投放。可以是把岗位投放给人，也可以是把
车位投放给车，也可以是把苹果投放给小朋友，这些，都是通过分组组合之后进行排列投放
的过程。
组合：从m个东西中，取出n个东西给谁。我们用Cn表示。
m
排列：给n个东西排顺序。我们用An表示。
n
排列组合的分布相乘原理
现在小明要出门和朋友吃饭，他认为这件事情需要考虑好穿什么、怎么去一共两件事情。
如果有 a 种穿搭方式，b 种出行方式，那么每一种穿搭方式都可以对应 b 种出行方式，而一
共有a种穿搭方式，所以一共有a×b种结果。
同理，如果他还需要考虑最后吃什么呢？有 c 种吃饭选择，那么前面穿搭和出行的每一
个结果，都会对应上这c种吃饭结果，所以最终一共有a×b×c种结果。
以此类推，我们可以得到，一件事情如果可以分几步组成，每一步的每个情况对应的其
他步骤可能情况数都相同，而每一步分别有 a、b、c、d.....种可能，那么最终结果就有 a
×b×c×d...种可能。
例题1
将 5个不同颜色的锦囊放入 4 个不同的锦盒里，如果允许锦盒是空的，则所有可能的放
置方法有：
A.5种 B.45种 C.54种 D.120种
解析：每个锦囊选择锦盒的可能性都有4种，每个锦囊之间可以分步完成，所以可能的
放置方法一共有4×4×4×4×4=45种，选择B 选项。
例题2
一张节目表上原有 3个节目，如果保持这 3个节目的相对顺序不变，再添进去 2个新节
目，有多少种安排方法：
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A.20 B.12 C.6 D.4
解析：在原有的3个节目中插入新节目，他们之间和两边共存在4 个“空位”，第一个
新节目添加进去时有4种可能，此时第二个新节目再添加进来时，已经有四个节目了，他们
之间和两边共存在5个“空位”，便有5 种可能，因此一共有4×5=20 种可能。
排列组合的加法原理
加法原理其实是对乘法原理中每一步各自有多少种可能的拆解计算，是把同样起终点的
事件进行分类再相加的过程。比如，最后吃饭的菜有 c种可能，那么这 c种是如何算出来的
呢？一种一种枚举过去？是可以通过分类相加的方式获得的：这家店有川菜、鲁菜、淮扬菜
三种菜系，分别有m、n、p种菜品，那么c=m+n+p。
为什么要分类相加呢？
有时候分步的事件之间会有影响，比如，如果最后吃川菜，小明就不穿连帽衫了。这时
候我们就不可以用乘法原理计算，因为乘法原理需要每一步的每个情况对应的其他步骤可能
情况数都相同。那怎么才能让每一步的每个情况对应的其他步骤可能情况数都相同呢？这时
候就以吃不吃川菜进行分类，吃川菜有多少种可能？其他步骤多少种？在这个分类下，不管
吃什么川菜，其他步骤的情况数都保持一致了，就可以再分步相乘了。同理不吃川菜也是一
样，最后进行分类相加即可。
例题3
某地只有甲乙丙三个站台，从甲站到乙站可以选择 5种不同出行方式，从乙站到丙站可
以选择4 种不同出行方式，从甲站直达丙站可以选择 4种不同出行方式，则甲站到丙站一共
有( )种不同出行方式可以选择?
A.13 B.20 C.24 D80
解析：先对甲前往丙的方式进行分类，情况一：从乙转达，分步相乘，共有5×4=20 种
方式；情况二：直达丙站，有4种方式。所以一共有20+4=24 种方式，选择C选项。
从6个同学中挑选3位，排成一队，请问有几种排列方法？
多少种排列方法，其实也就是最终队列的可能情况的个数。
此时我们可以从最终队列的三个位置分别入手研究可能情况的个数。
位置 1 可以有 6种情况，位置 2因为被位置 1 占走一位同学，只剩 5种可能情况，以此
类推，最终排列方法个数A3=6×5×4=120种。
6
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A n=m×（m-1）×（m-2）×......×（m-n+1）
m
从6个同学中挑选3位，组成一组，请问有几种挑选方法？
这个问题和上个问题的区别就是不需要排顺序。我们假设答案的表达为C3，那么可以知
6
道这个情况的答案再三人排个顺序就是上一问的最终可能情况个数，所以
C3×A3=6×5×4
6 3
所以C3=（6×5×4）/（3×2×1）
6
以此类推，可得
C n=A n/A n =[m×（m-1）×（m-2）×......×（m-n+1）]/[n×（n-1）×...×1]
m m n
例题4
从六本不同的书里分别取两本给小明和小红，共有几种方案？
A.90种 B.360种 C.180种 D.270种
解析：从6本里分别选2 本给小明小红，共有C2×C2=[6×5/2]×[4×3/2]=15×6=90种
6 4
方案，所以选择A 选项。
疑惑：分别给小明小红拿两本，需不需要考虑先给小明拿还是先给小红拿？是否需要再
乘一个A2排先后顺序？
2
不需要。Cn本身已经带有“目的地”，是明确给谁的分组，而 An=Cn×An的排序，是当
m m m n
分组后，“组内”还需要附带顺序时，才对组内元素进行排列。上题中小明和小红之间的顺
序和之前的C2和C2内部的顺序是无关的，他俩之间不存在先后顺序。
6 4
例题5
从六本不同的书里分别取两本给小明和小红用来上午和下午各看一本，共有几种方案？
A.90种 B.360种 C.180种 D.270种
解析：由上题可知，从6 本里分别选2 本给小明小红共有90 种方案，此时各自C2和C2
6 4
的内部两本书存在上午下午的顺序，所以还要再×两次A2，得到结果=90×2×2=360 种，所
2
以选择B 选项。
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如果是从6本不同的书，小明和小红分别拿3本有多少种情况？
C3=[6×5*4/3*2*1]=20种。
6
如果是从6本不同的书，选3本出来呢？
还是C3=[6×5*4/3*2*1]=20种？
6
不对，应该是C3/A2=20/2=10种。
6 2
为什么等分分组需要除 A x？
x
再回顾一下C n、A n的意义。
m m
从m个东西中，取出n个东西给谁。我们用C n表示。
m
而“6选3”第一步分出来一组，和另一组是没有区别的。如果是甲乙丙丁戊己6本书，
这时候挑“甲乙丙”和挑“丁戊己”是一样的，因为挑“甲乙丙”并没有把他挑出来给谁，
大家都是3本书，在分完组以后还需要再考虑两组的归属，乘A2，才能明确其中某3本书是
2
“给谁”。
为什么上面那个“6 选 3”的情况不需要再考虑归属呢？因为 C3的时候就已经明确了归
6
属，我们预想的给小明挑3本，知道了“给谁”。
所以回到刚刚的问题。
如果是从6本不同的书，小明和小红分别拿3本。
我们也可以从先分组的角度考虑，先C3/A2=10种情况分组，再把分好的两组进行排序，
6 2
×A2，得到10×2=20种情况。
2
计算技巧
Cn=C（m-n）
m m
比如：C5=C2
7 7
C5代表的是从7个对象中选取 5个对象，而我们选取 5个对象，对应的也会留下2个对
7
象，所以也相当于我们选了 2 个对象留下。所以 C5=C2。这样我们在面对一些 n比较大的 Cn
7 7 m
时可以简化点计算。
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排列组合解题思路
一、正面分步计算
直接分类相加、分步相乘
例题6
某交警大队的 16名民警中，男性为 10人，现要选 4人进行夜间巡逻工作，要求男性民
警不得少于2名，问有多少种选人方法？
A.1605 B.1520 C.1071 D.930
解析：选4人巡逻，男性不少于2 名，共有三种情况，2名，3 名，4名。分类讨论。①
如果是2男2 女，则有C 2×C2=45×15=675 种；②如果是3 男1女，则有C 3×C1=120×6=720
10 6 10 6
种；③如果是4男0 女，则有C 4=10×9×8×7/（4×3×2）=210 种。所以一共有
10
675+720+210=1605 种选人方法。选择A选项。
例题7
某单位新来了 4名实习生，要将其分配到 3个部门，每个部门至少分配 1 人，则不同的
分配方案有（ ）种。
A.24 B.36 C.64 D.72
解析：4名实习生分3个部门，每个部门至少分配1 人，名额分布只有一种情况211。首
先确定哪个部门是2的名额，C1=3种，而后进行分人，C2×C1=6×2=12 种。所以一共有3
3 4 2
×12=36 种。选择B 选项。
分人经典错误思路：先C3抽三个人，每个部门分一个满足至少1人的情况，然后剩下的
4
人随机去一个部门。C3×A3×C1=4×6×3=72种情况。
4 3 3
错在哪里呢？比如说 4 个人甲乙丙丁，最后 211的分组情况是（甲乙）（丙）（丁）。
那么在错误思路里是有两种情况的，（甲）（丙）（丁）再（甲乙）（丙）（丁）；或者（乙）
（丙）（丁）再（乙甲）（丙）（丁）。实际上这两种情况在题意中是同一个情况，因为这
个211的“2”，里面的2个人是没有顺序区别的，但是我们错误思路里把他们拆成了先后的
不同两步，产生了顺序区别，结果变大。
所以分人问题中，同组无顺序区别的对象，永远不要拆开来分步去选人，否则就会出现
类似的重复问题。
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二、总体减反面
当题目对某些条件进行了限制，如甲不能去A单位，小明在三件衣服里至少买一件等等。
这类情况下如果需要对这一步进行分类，或许会比较麻烦，情况数过多。
因此在反面分类比正面分类更为明晰简洁时，我们可以选择从剔除反面入手解题。
剔除反面思路：题目条件情况数=在不考虑限制条件情况下的总情况数-满足限制条件反
面情况的情况数
例题8
某交警大队的 16名民警中，男性为 10人，现要选 4人进行夜间巡逻工作，要求男性民
警不得少于2名，问有多少种选人方法？
A.1605 B.1520 C.1071 D.930
解析：选4人巡逻，男性不少于2 名，共有三种情况，情况相对于不满足题意的反面情
况“男性人数少于2名”的2 种情况较多，所以我们可以从反面考虑。方法数=总情况数-男
性人数少于2人的情况数=C 4-C4-C3×C 1=1820-15-200=1605 种。
16 6 6 10
例题9
某高校开设 A 类选修课四门、B 类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类
课程各至少选一门，则选法有：
A.18种 B.22种 C.26种 D.34种
解析：两类课程至少选一门的情况数太多，考虑反面情况，两类课程有的没有选，只能
是4门A，0门 B。所以情况数=C4-1=C3-1=35-1=34 种，所以选择D选项。
7 7
三、捆绑法（相邻）
如果要给三个班级排放学顺序，每个班级的人一起走，我们一般怎么安排任务？
1.确定班级顺序；
2.班级内部确定排队顺序。
本质上捆绑法还是分步，先把确定可以相邻/放在一起的元素当作一个整体，把整体排好
顺序，再去安排整体内部的顺序。
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例题10
某美术馆计划展出一幅油画、一幅水彩、一幅国画、一幅素描，排成一列，要求水彩和
油画必须连在一起，问有多少种不同的陈列方式？
A.24种 B.20种 C.12种 D.34种
解析：要求水彩和油画必须连在一起，所以我们把他们俩看作一个整体，变成3个元素
排列，A3，其中水彩油画还有内部的左右顺序A2，所以一共有A3×A2=6×2=12 种陈列方式。
3 2 3 2
例题11
扶贫干部某日需要走访村内 6 个贫困户甲乙丙丁戊己。已知甲和乙的走访次序要相邻，
丙要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。问走访顺序有多
少种不同的安排方式？
A.24种 B.16种 C.48种 D.32种
解析：己的位置比较独立，与其他人怎么排没有关系，所以我们最后考虑。其他5个人，
戊丙丁的先后顺序已经确定，此时我们再把甲乙相邻捆绑起来当作一个整体，选择插入戊丙
丁队伍的4个空中，存在C1×A2=8 种情况，己还有放在最前面或者最后面的2种情况，所
4 2
以一共有8×2=16 种情况。所以选择B 选项。
四、插空法（不相邻）
插空法就是把元素想象成一排，然后根据需要从他们的间隙里插入数个隔板进行分隔。
哪些情况需要分割呢？
1. 不相邻问题
因为我们把元素 A 一个一个插入元素 B 的空隙中，一个空隙最多只对应一个 A，那么元
素B 就会自然成为一个“隔板”，把元素 A隔开，导致元素 A不相邻。所以我们可以用插空
法来计算元素A与元素B排列的情况中，元素A不相邻的情况有多少。
例题12
在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去3个小品，
这3个小品为了避免审美疲劳不能相邻，则所有不同的添加方法共有多少种？
解析：原来6个节目有7个空位，3个小品选择3个空位插入，共有C3×A3=A3=7×6×
7 3 7
5=210 种情况。
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总结
a个物品插入 b个物品中不相邻，有Ca 种选择空位的情况。再结合两种元素内部是否
（b+1）
需要继续排序计算出最后结果。
例题13
某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部
分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习
顺序的选择有：
A.24种 B.72种 C.96种 D.120种
解析：观看视频和阅读文章不能连续进行，所以这两个要插在另外三个节目的空隙中。
所以有C2×A2×A3=6×2×6=72 种。选择B 选项。
4 2 3
2.位置不相邻问题
例题14
某车库有 10 个并排的车位，有 3辆不同的车要停进这 10 个车位之中，而且彼此不能相
邻，则有多少种不同的停放方法？
A.336 B.246 C.156 D.66
解析：3辆车停到10 个空位中不能相邻，考虑插空法。插空法是拿一组元素A排到另一
组元素B 中，形成元素A 被元素B分割，元素A不相邻的办法。那么这种放入空位的题型中，
除了车辆，另一组元素是什么呢？空位。
从结果我们可以知道，最后一定是3个车和7 个空位，且3个车不相邻，所以我们直接
把空位也当做元素，先让车和空位插空，排好不相邻的顺序之后，再把一共10个元素放入对
应位置上。
所以这题7个空位，8个空，车位不相邻插空情况数=A3=8×7×6=336，所以选A选项。
8
例题15
小区内空着一排相邻的 8个车位，现有 4辆车随机停进车位，恰好没有连续空位的停车
方式共有多少种？
A.48 B.120 C.360 D.1440
解析：4个空位不相邻，4 辆车存在5个空，所以情况数=C4（空位插入车辆的5 个空）
5
×A44（4 辆车的排序）=5×24=120，所以选择B选项。
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3.分配名额问题
当一堆性质相同的元素（名额、相同的小球、数字...）需要分配给几个对象时，要求每
人至少一个，便可以想象出一些隔板进行划分，我们所要做的仅仅是确定好隔板的位置。
比如把10个相同的小球分给3个人，每人至少1个，那么我们就选择2个空隙插入2个
隔板，插入隔板后，形成 3组小球，而每一组内也必然存在小球，从而满足每人至少 1 个的
要求。就会有C2=9×8/2=36种情况。
9
和不相邻问题的区别
不相邻问题更多是不同元素之间排位置，而且可以插在最两边的空位上（特殊题目要求
除外）；分配名额问题一般都是相同元素（名额、相同的小球数字...）分给几个对象，不能
插在最边上的空位。
例题16
某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口至少有一名交通协管员，现将 8个协
管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：
A.35种 B.70种 C.96种 D.114种
解析：8个名额就像8 个相同的小球，7 个空位，分成4组，需要插3块隔板，所以会有
C73=7×6×5/（3×2）=35种方案。
总结
n个名额分给 m个人，每人至少 1个，可以有 C （n-1）种方案。
（m-1）
如果每个人要多分一些呢
如果还是总量确定的数的分配，但是条件不是每人至少一个，每人至少 2个？3 个？或
者不作要求，可以不拿？又该如何考虑呢？
既然每人至少n个，而分配的东西都是一样的，我们可以采取“预发”的思想进行考虑。
因为不管最后分配情况是如何，那么每人的个数都是超过 n个的，这时候每人去掉 n-1 个，
是不影响情况种数的，是一一对应的。因此我们可以先把每个人的（n-1）个提前发下去，再
按照每人至少一个进行分配，确定好情况个数。
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例题17
单位复印了30份学习资料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问：共有多少
种不同的发放方法?
A.7 B.9 C.10 D.12
解析：每个部门至少发9份，所以先每个部门发8 个，剩30-3×8=30-24=6 份，此时这
6份再每个部门至少发1 份，共有C2=10 种发放方法。
5
如果可以不分呢？
要分得多了就预发，n 往下减到 1，不分就反其道行之，先每人借一个，达到每人可以至
少发 1个的情况，发完之后再统一把之前借的一个归还即可实现每人至少分一个的情况。
例题18
有5个运动员名额，分给4个班，有多少种分配方案？
A.24 B.28 C. 48 D.56
解析：5个名额分给4 个班，没有限制，所以先从4个班“借”一个名额过来，一共9
个名额，发给4个班，每个班至少1 个名额，此时有C3=8×7×6/（3×2）=56种方案。所以
8
选择D 选项。
拓展题：某公司从甲、乙、丙部门中评选优秀员工，已知甲部门的优秀员工人数分别是
乙、丙部门的2倍和3倍，且乙部门的优秀员工数量比丙部门多2人。若重新分配评优名额，
总名额不变且甲部门至少会分得4个名额，则共有多少种分配方法？
A.190 B.210 C.231 D.235
解析：甲乙丙优秀员工人数比位6：3：2，乙比丙多2人，结合比例差思想，甲乙丙优秀
员工人数分别为12、6、4，所以总名额有 22个。因为甲至少4 个，乙丙没有限制，我们可以
先给甲发3个，从乙丙各“借”1 个，变成22-3+2=21 个名额，分为三个部门都至少一个，
共有C 2=20×19/2=190 种方法，所以选择A选项。
20
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思考：某高校开设 A 类选修课四门、B 类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要
求两类课程各至少选一门，则选法有：
A.18种 B.22种 C.26种 D.34种
这题可以分名额插板吗？
解析：反面思维。7门课任意选取4 门，再把不满足条件“两类课程各至少选一门”的
情况减掉。C4-C4=C3-1=35-1=34种。
7 4 7
要考虑“名额”内部顺序区别时，选取不同的对象时，不可以用分名额的步骤计算，因
为分完名额是并不知道选取了哪些具体的课的。
五、容斥思想
我们常常用“总情况-不满足条件的情况”来间接算出我们需要的情况数目。
当题目复杂时，对排列组合有两个要求，我们正面直接分类会比较困难，经常漏情况或
者重复计算。那我们便可以考虑通过“总-反”的思路来解题。
我们之前学习三集合问题时，总情况=满足1种-满足2种+满足3种
我们是否也可以照猫画虎，排列组合的情况=（不考虑限制条件的）总情况-不满足1个
条件的+不满足2个条件的？
这个思路的根本还是总情况减反面，我们只需要得到反面部分，即不满足条件 1或者条
件2的情况数即可。
不满足条件1或者条件2的情况数=不满足条件1+不满足条件2？
这样会把同时不满足两个条件的情况重复数了一次，所以需要减掉重复部分。
所以不满足条件 1或者条件 2的情况数=不满足条件 1+不满足条件 2-不满足条件 1且不
满足条件 2。
排列组合的情况=（不考虑限制条件的）总情况-（不满足条件1+不满足条件2-不满足2
个条件）
排列组合的情况=（不考虑限制条件的）总情况-不满足条件1-不满足条件2+不满足2个
条件
例题19
某公司推出 4款杯子，分别为陶瓷杯、玻璃杯、木质杯和不锈钢杯，现将 4个杯子放进
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展柜排成一排展示，要求玻璃杯不能放在两端，木质杯和不锈钢杯不能相邻，那么可能会出
现多少种排列方式？（ ）
A.8 B.12 C.16 D.20
解析：情况数=总情况-不满足条件1-不满足条件2+既不满足条件1也不满足条件
2=A4-2×A3-A3×A2+2×A2×A2=24-12-12+8=8种，所以选择A 选项。
4 3 3 2 2 2
例题20
某三甲医院派甲乙丙丁四名医生到ABCD四个社区义诊，每个医生只负责一个社区。已知
甲不去A社区，且如果丙去C社区，那么丁去D社区，则不同的派法共有：
A.15种 B.18种 C.21种 D.24种
解析：总情况=A4=24。条件一反面为甲去A 社区，情况数为A3=6。条件二反面为丙去C，
4 3
丁不去D，情况数为C1×A2=4。条件一反面且条件二反面为甲去A丙去C 丁不去D，只有
2 2
甲A 乙D丙C 丁B1种情况，所以派法一共有24-6-4+1=15种，选择A 选项。
总结：排列组合遇到双条件限制，且双条件的反面情况简单的题，可以借助容斥思维解
出。
注意：当在计算不满足条件 1的情况时，切勿考虑条件 2 的要求，无视条件 2即可。计
算不满足条件2的情况时同理。
六、环形排序
如果一群对象绕成一圈排位置，和常规的直线排位置有什么区别？
环形排序问题的特殊点在于，没有确定的位置，是一种不考虑东南西北区别的方案讨论。
大家绕成一圈，只要相对位置一样，不管怎么转动，都算一种方案。
所以既然区别在于他不确定位置，相当于没有参照系，那我们的解决办法也很简单，任
意挑一个对象定住位置，以他为参照系，观察剩下的人相对于他的位置/顺序即可。
所以 n+1 个对象环形排序情况数=Ann
例题21
5人排队成环形，其中甲乙不相邻，一共有几种排队方式?
A.12种 B.20种 C.30种 D.36种
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解析：环形问题，我们选择把甲的位置先定住，然后剩下4个位置，有2 个位置和甲相
邻，所以乙只能在另外2个位置上。一共有C1×A3=2×6=12 种情况，选择A 选项。
2 3
例题22
有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，问5对夫妇恰好都
被安排在一起相邻而坐的情况有多少种
A.384种 B.768种 C.3840种 D.7680种
解析：5对夫妇相邻而坐，则5 对夫妇都捆绑看作一个对象，5个对象环形排序情况数
=A4=24种情况，再考虑5次捆绑内部顺序，一共有24×25=24×32=768 种，所以选择B 选项。
4
例题23
某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝火四周，其中，小张与小李是同桌，
他俩坐在一起的概率为：
A.2/97 B.2/98 C.2/99 D.2/100
解析：100 人环形排列，先将小张定下位置，剩下99 个位置，其中和他坐在一起的位置
有2个，所以小李和他坐在一起的概率=2/99，所以选择C选项。
七、错位排列
如果宾馆就1个房间，其中的唯一的1个房客，想要换房间，有多少种方案？0种。。
如果宾馆就2个房间，这2间房客，想要换房间，有多少种方案？1种。
如果宾馆就 3个房间，这 3间房客，想要换房间，每个人都不住自己原来的房间，有多
少种方案？ABC三个排序一共有6种ABC、ACB、BCA、BAC、CAB、CBA，剩下5种中，只有CAB、
BCA是完全换了位置，所以有2种方案。
如果宾馆就 4个房间，这 4间房客，想要换房间，每个人都不住自己原来的房间，有多
少种方案？9 种。怎么计算？不做要求，后面更多的房间的换位置的情况数也只需要记住结
论就可以。
1-n个对象完全更换位置的方案数有0、1、2、9、44、265......种方案。
第 n 项=前两项相加×（n-1），如 44=（2+9）×4，可以依次递推，但一般考察最多到
第5项的44种情况。
例题24
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四位同学的手机完全相同，他们将四部手机混放在一起再取回，只有一人拿到自己的手
机，而其他三人均没有拿到自己的手机。这样的拿法共有多少种？
A.6种 B.8种 C.10种 D.12种
解析：首先选择拿到自己手机的人是谁，有C41=4 种情况，剩下3 人拿到的手机要和原
先的不一致，属于错位排序问题，3人错位排序有 2种情况，所以一共有4×2=8 种情况。选
择B 选项。
八、消序思想（不太重要，仅供拓展）
54+89=？
我们可以先把89假装成90，54+90=134，再把刚刚“借”的1退回去，134-1=133。
在很多类似的数学问题里，我们都可以借助这类“假装再清醒”的思路，增加一些可选
择的解题路径、节约时间。
甲乙丙三地由北至南排列，甲地到丙地有30种方案，乙地到丙地有5种方案。
问：甲地到乙地有多少种方案？
30/5=6种。
当甲到乙直接算比较麻烦，而甲到丙、乙到丙比较简单时，我们也可以“舍近求远”。
例题25
某医院今年招录四位新同事，计划分配到三个科室，每个科室至少一位，请问有多少种
分配方案？
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
解析：4 位新同事分3个科室，每个科室至少1位，必须是211 的分配方式，假装这里的
“2”是有区别的2个位置，则情况有C31×A44=72 种，但是实际上没有，我们就再把刚刚这
一步假设多出来的顺序A22除掉，72/A22=72/2=36种，选择C 选项。
常规思路：4 位新同事分3个科室，每个科室至少1位，必须是211 的分配方式，则先确
定哪个科室是2，C31，确定好名额后分配人员，C31×C42×A22=3×6×2=36 种，所以选择
C 选项。
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概率问题
概率是当我们的目光放在一件事情上，这个事情存在一些既定事实，给这件事情加了限
定条件、缩小了“范围”后，限定条件事件可能方案数占原事件可能方案数的比例。
举个例子
小明开学新班级40人分座位，两人一桌当同桌，小明的好兄弟小李可以和他坐一起的概
率是多少？
这里面我们关注的事情是什么？是小明的同桌是谁。只看这么一句话，一共有多少种可
能性呢？一共有39位同学，大家都是平等的，都可以来当小明同桌，有39种可能方案。
这道题加了一个限定条件“小李和小明坐一起”，直接将小明的同学是谁这件事情缩小
了范围，可能方案变成了唯一的小李这一种可能。
所以小李和小明坐一起的概率是1/39。
概率=限定条件事件可能方案数/既定事实下此事件可能方案数。
所以做概率题，我们只需要把它当做两次排列组合，先把既定事实下的情况数算出，再
算出附加条件缩小范围后的情况数，相除即可。
例题1
某办公室 5 人中有 2人精通德语。如从中任意选出 3人，其中恰有 1人精通德语的概率
是多少：
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.75
解析：5 人任选3人的情况数共有C53=10 种，而1 人精通德语2人不精通的情况数共有
C21×C32=2×3=6 种。所以概率=6/10=0.6，选择B 选项。
排列组合的运算法则：分步相乘、分类相加。我们是否可以“映射”到概率里来呢？
何为分步相乘？
还是小明出门吃饭，有三种穿搭方式，两种出行方式，那么最终结果就有3×2=6种方案.
此时其中任意一种情况发生的概率是1/6。
如果这时候再添加一个信息，小明去的餐馆有两种套餐可以选择，那么根据排列组合分
步相乘原理，最终结果变成了6×2=12种方案。此时其中任意一种情况发生的概率变成了1/12。
第一种情况下的概率P1=某种穿搭方式×某种出行方式/三种穿搭方式×两种出行方式
第二种情况下的概率P2=某种穿搭方式×某种出行方式×某种点餐方式/三种穿搭方式×
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两种出行方式×两种点餐方式
P2=P1×某种点餐方式/两种点餐方式=P1×P 点餐
同理，当我们研究某件事情的概率，算出结果，此时再添加一个不影响前者的研究对象，
两者共同发生的概率便是两者各自概率相乘，这也被叫做条件概率。
P（AB）=P(A)×P(B|A)
例题2
小陈上班要经过 3 个路口，在每个路口遇到红灯的概率分别是 30%、40%、50%，则他上
班最多遇到1个红灯的概率是：
A.35% B.56% C.65% D.79%
解析：正面情况较多，考虑反面情况的概率，上班没有遇到红灯的概率=（1-30%）×（1-40%）
×（1-50%）=0.7×0.6×0.5=0.21=21%。所以最多遇到一个红灯的概率是1-21%=79%，选择D
选项。
分类相加
生活中最简单的例子，掷骰子掷到奇数的概率是？3/6=1/2。
而扔到奇数的情况我们可以分类为 1 3 5，其各自被扔出的概率为 1/6。
上面的3/6 便是（1+1+1）/6，将三种分类的情况数相加再除总情况数。
所以概率的分类只要不交叉，分母一致，便可以相加得总情况概率。
例题3
抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概
率是（ ）
A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.3/5
解析： 红色骰子为4的概率为1/2，为6的概率时1/2。
当红色骰子点数是4时，想要乘积大于20，黄色骰子点数只能是6，概率为1/6；
当红色骰子点数是6时，想要乘积大于20，黄色骰子点数只能是4 或者5或者6，概率
为3/6=1/2；所以上面两种情况总概率=1/2×1/6+1/2×1/2=1/12+1/4=1/3，所以选择B 选项。
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相同元素概率问题
讨论概率时，我们可以把相同物品当作不同物品，人为给其“标号”，方便转化为同等
概率的排列组合事件。
例题4
箱子里放有10个球，其中黑球3个，白球3个，黄球4个，从中任取3个球，恰好是一
个黄球，一个白球，一个黑球的概率是（ ）。
A.4/15 B.3/10 C.2/5 D.7/30
解析：取得一黄一白一黑的情况数=C1×C1×C1=3×3×4=36 种，总情况数有C 3=10×9
3 3 4 10
×8/（3×2）=120种，所以概率为36/120=3/10，选择B选项。
容斥型概率
常规概率题中，事情与事情之间都是独立关系，我们都是可以将 A与 B一起发生的概率
直接看作 A 的概率×B的概率。但也有一些题中，两件事情不是独立发生，就无法直接相乘
计算。
例题5
根据历年气象资料，某地四月份吹东风的概率是 9/30，下雨的概率是 11/30，既吹东风
又下雨的概率是8/30。则在吹东风的条件下下雨的概率是（ ）
A.9/11 B.8/11 C.2/5 D.8/9
解析：既吹东风又下雨的概率是8/30，非9/30×11/30，所以这是一道容斥型概率。吹东
风的条件下下雨的概率=东风且下雨的情况数/东风的情况数。4月有30 天，东风且下雨的情
况数=30×8/30=8 天，东风的情况数=30×9/30=9 天，所以在吹东风的条件下下雨的概率=8/9，
选择D 选项。
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例题6
某单位要抽调若干人员下乡扶贫，小王、小李、小张都报了名，但因工作需要，若选小
李或小张，就不能选小王。已知三人入选的概率都是 0.2，但小李、小张同时入选的概率是
0.1，则三人中有人入选的概率是：
A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6
解析：小李、小张同时入选的概率是0.1，非0.2×0.2，所以这是一道容斥型概率。有人
入选的概率=P（小李）+P（小张）-P（小李且小张）+P（小王）=0.2+0.2-0.1+0.2=0.5，所以
选择C 选项。
排位置型概率问题
1.代入视角思维
首先我们要明确一件事情，数量里不像微观物理可能存在“观察者效应”，数量中问题
的结果与从哪个视角观测是无关的，结果是客观不变的。很多问题的“等价转换”，实质上
便是出于只要不影响结果即可。
因此当讨论排位置问题时，我们可以把“观察视角”代入到其中某个角色中，再计算其
他角色符合条件的概率。
例题7
某单位工会组织桥牌比赛，共有 8 人报名，随机组成 4队，每队 2 人。那么，小王和小
李恰好被分在同一队的概率是：
A.1/7 B.1/14 C.1/21 D.1/28
解析：小王先定好位置，此时他的搭档有7种可能，其中只有1 种是小李和他搭档，所
以概率为1/7。
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例题8
五人排成一列，小明和小李相邻的概率是多少？
A.1/4 B.1/5 C.2/5 D.1/2
解：小明坐的位置不同，其相邻的位置个数不一样，所以我们从小明坐下去的位置情况
分类讨论。如果小明坐在两端，2/5 的概率，这时候小李相邻的概率=1/4；如果小明坐在中间
三个位置，3/5 的概率，这时候小李相邻的概率=2/4=1/2；所以总概率=2/5×1/4+3/5×
1/2=1/10+3/10=4/10=2/5，所以选择C 选项。
2.线性规划概率问题
线性规划概率问题一般考察两个对象之间的关系是否满足条件，一般此对象为连续数值，
如时间、长度等等。
首先需要明白线性规划是什么。如果从现在开始计时，记录小明和小李到我这来的时间
还需要多久。那么不管实际情况如何，他们俩到这来的时间都是固定且唯一的。此时我们可
以用一个组合（x小时，y小时）来表示这件具体事件的结果。（x，y）这样的数，不就是坐
标系里的一个特定点吗？换句话说，坐标系里每一个点都分别代表了一种具体情况。
在刚刚的例子里，起码 x 和y的范围是（0，+∞），那（x，y）代表的点只能是第一象
限的所有点。这时候如果再加个条件，小明小李一定会在五个小时内到达，我们便可以得到
额外两个关于xy的限制：x≤5，y≤5，此时（x，y）能代表的范围就更小了。
根据条件确定（x，y）在坐标系中代表的范围，便是线性规划。
而在行测中线性规划问题一般和概率结合在一起。
概率是什么？概率=限定条件事件可能方案数/既定事实下此事件可能方案数。
在线性规划问题里，方案数是“不可数”的，时间、长度等等都是连续不间断的无数的
数，这时候借助线性规划，把方案数转变为面积即可。
概率=限定条件事件代表面积/既定事实下此事件代表面积。
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例题9
某公司职员预约某快递员上午 9点 30分到 10 点在公司大楼前取件，假设两人均在这段
时间内到达，且在这段时间到达的概率相等。约定先到者等后到者10分钟，过时交易取消。
快递员取件成功的概率为：
A.1/3 B.2/3 C.5/9 D.7/9
解析：假设快递员到达的时间为9 点x分，职员到达的时间为9点y分，上图中x轴、y
轴从30 到60 围成的正方形就代表了他们到达时间的所有可能性。
只有x和y差距在10 以内，即x-y≤10 且y-x≤10 时，两人才能相遇，即图中两条斜线
之间的范围。斜线与正方形交点坐标分别为（30,40）、（50,60）、（60,50）、（40,30），只
有在阴影部分区域两人才能够相遇，也就是求阴影部分面积占整个正方形面积的比例。由图
可以看出，正方形面积30×30=900，空白部分为两个全等三角形，每个的面积为1/2×20×
20=200，则阴影部分面积为900-200-200=500，占总面积500/900=5/9，所以选择C选项。
概率在排列组合中的应用
概率=限定条件事件可能方案数/既定事实下此事件可能方案数。
一般我们都是用排列组合的方案数来计算概率，有没有什么情况下我们可以反过来用概
率算情况数呢？
当研究对象之间存在等价性时。
例题10
甲乙丙丁戊五人需要去 A、B、C 三个仓库值班，要求每个仓库都需要有人值班，其中甲
只能去A仓库或者B仓库，问一共有多少种值班方案？
A.72 B.88 C.100 D.144
解析：甲乙丙丁戊5人前往3 个仓库，分组有2种情况，311 或者221。分别计算总情况
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数。①311：C1×C3×C1=3×10×2=60种。
3 5 2
②221：C1×C1×C2=3×5×6=90 种。
3 5 4
所以一共有150 种情况数。
现在甲只能去A 仓库或者B 仓库，所以把甲去C仓库的情况减掉即可。而ABC三个仓
库是一样的，所以甲去他们任意一个仓库的概率相同，去C 仓库的概率为1/3，所以去C仓
库的情况有150×1/3=50 种。所以满足情况的值班方案有150-50=100 种。选择C选项。
当排列组合题目的限制条件中出现类似的“等价性”元素时，可以从概率角度简化计算。
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最不利问题
在很多时候，我们需要考虑最差的情况做好准备，未雨绸缪。
抽物品型最不利问题
一个箱子里有10根签，其中只有5根能中奖100块奖金。现在允许任意抓一把，只要能
抓到中奖的签就可以，但是每一根签要收10块钱抽奖费。如果是你，你只有一次抓的机会，
你想一定要中奖，但是又不想多花钱，那为了保险起见，会抓几根上来呢？运气再差也不过
就5根不中奖的都抓到了吧，那抓6根就一定可以保证中奖了。
这就是最不利问题，先考虑“运气”最差的反面情况，再多来一个打破“最差”的情况，
保证一定不会属于反面情况中（因为如果再多一个还在反面情况内，只能说明原来的情况不
是运气最差的情况）。
很有趣的现象，最不利问题，问最少，却要找（反面情况）最多，再+1。
如果要抽到 n 个对象，则考虑抽到（n-1）个对象时，最多可以抽多少次，之后再+1即
可。
例题1
有6种颜色的小球，数量分别为4，6，8，9，11，10，将它们放在一个盒子里，那么，
拿到相同颜色的球最多需要的次数为：
A. 6 B. 12 C. 11 D. 7
解析：目标是拿到相同颜色的球，即拿到2个颜色一样的球。所以考虑每一次拿都拿到
不同颜色的球，一共可以拿6次，每种颜色拿一遍，而后再拿一个就必然会拿到相同颜色的
球，所以最多需要6+1=7次。
总量一定看分布型最不利问题
如果妈妈一共买了10个苹果给你们兄弟3个吃，嘱咐了句你们每个人最多吃4个，那么
你最少能吃到多少个？
还是考虑最差的情况，其他两个兄弟太猛了，你抢不过他们，他们直接吃了最多的4个，
此时你只能吃到10-4-4=2个了。
其他情况也是类似考虑，问最少，就让其他人尽量多；问最多，就让其他人尽量少。
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例题2
5个人平均年龄为29，且没有小于24岁的，那么年龄最大的人至多为多少岁？
A.46 B.48 C.50 D.49
解析：要让最大的人尽量大，那我们让其他人尽量小，其他人年龄最少为24 岁，所以年
龄最大的人至多是29×5-24×4=145-96=49 岁，所以选择D选项。
例题3
有41块蛋糕分给7人，若每个人分得的蛋糕数各不相同，且分得蛋糕数最多的人不超过
9块，则分得蛋糕数最少分得（ ）块蛋糕？
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：要让分得最少的人尽量少，那我们让其他人分到的尽量多。其他6个人分得蛋糕
数最多为9、8、7、6、5、4块，一共9+8+7+6+5+4=39 块，此时分得最少的人分到2块，所
以选择B 选项。
等差数列
在最不利问题中经常会遇到上面例题中依次递减或者递增的数列求和问题。这是一种等
差数列问题。
等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个
数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
比如：1、3、5、7、9，这就是公差为2的等差数列。
7、6、5、4、3，这就是等差为-1的等差数列。
行测中一般不会具体考察我们等差数列的公差是多少，所以我们也可以把刚刚的“7、6、
5、4、3”看作是公差为1的等差数列“3、4、5、6、7”调换一下顺序。
等差数列求和公式
等差数列由于公差不变，每一组相邻的数之间差值相等。
a+a =a+d+a-d=a+a
2 n-1 1 n 1 n
同理，只要离首尾项的项数相等，两者之和不变，都等于首尾相加。
所以n项的数列，
如果是偶数项，可以以此方式将n项首尾两两成组，变成n/2组，每一组两项的平均值=
（a+a）/2，总和=n×（a+a）/2
1 n 1 n
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如果是奇数项，中间项=（a+a）/2，其余部分首尾两两成组，每一组两项的平均值也=
1 n
（a+a）/2，总和=n×（a+a ）/2=n×中间项
1 n 1 n
例题4
5名学生参加某学科竞赛，共得91分，已知每人得分各不相同且均为整数，且最高是21
分，则最低分最低为：
A.14 B.16 C.13 D.15
解析：让最低分最低则其他人尽量高，分别是21、20、19、18 分，共计2×（21+18）=78
分，此时最低分为91-78=13 分，所以选择C选项。
最不利问题中的排列组合
这类问题一般是问至少多少位会有a位的xxx相同。
此时我们找出 xxx 的所有可能情况数 n，再最不利情况+1 计算得到（a-1）×n+1 就是最
终答案。
例题5
某单位自建图书馆，有经济类、管理类和期刊三种读物，规定每位员工可以借阅两种不
同类型的读物。至少有（ ）位员工来借阅读物，才一定有两位员工借阅的读物类型相同？
A.3 B.7 C.9 D.15
解析：至少多少位员工能找到相同的读物类型，就是找到最不利的情况再+1，最不利情
况是所有员工都拿的不一样的读物类型，把所有读物类型拿了一遍，则我们需要找出一共有
多少种读物类型。如果借阅1 种，有C1=3种情况，如果借阅2 种，有C2=3种情况，一共有
3 3
6种借阅情况，所以最不利情况+1=6+1=7 种，选择B选项。
例题6
某大学有一批研究生参加面试。面试考生从5个面试题中抽取2个答题。无论怎么抽题，
结果还是有3名考生的试题相同。问该大学至少有多少研究生参加面试？
A.14 B.21 C.31 D.41
解析：试题组合共有C2=10种情况，则至少有 10×（3-1）+1=21 名参加面试，就可以
5
保证有3位考生的试题相同。所以选择B 选项。
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方阵问题
一、基本公式
每一边有 n个人的方阵
方阵人数=n2
最外圈人数=4（n-1）
相邻两圈边长差=2
相邻两圈人数差=8
例题1
某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗方阵，两个
方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方阵的最外圈。已知彩旗方
阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为（ ）。
A.100 B.144 C.196 D.256
解析：设原来彩旗方阵每一边人数为n，则人数=n2，加了一圈之后，人数=（n+2）2，所
以（n+2）2=n2+n2-28，n2+4n+4=2n2-28，n2-4n-32=0，（n-2）2=36，解得n=8。所以新方阵
人数=（8+2）2=100 人，所以选择A 选项。
例题2
有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有 60人，中间一层共 44 人，则该方阵
士兵的总人数是：
A.156人 B.210人 C.220个 D.280个
解析：方阵人数=（边长-1）×4，而外层人数60，所以最外层是人数为60/4+1=16的正
方形，中间一层共44，每一层之间人数差相同，形成等差数列，所以最里面一层人数为44-
（60-44）=28 人，所以中空部分为边长等于28/4-1=6的正方形，所以总人数
=162-62=256-36=220 人。所以选择C选项。
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平面几何问题
一、面积公式
平行四边形：S=L×H
三角：S=1/2L×H
梯形：S=1/2（上下底和）×H
圆：S=πr2 S=4πr2
二、直角三角形
1.勾股定理
直角边平方和等于斜边平方
3、4、5； 6、8、10；
5、12、13；
8、15、17；
7、24、25
例题1
如图所示，一个小区的道路围成了一个五边形，经实地勘测，五边形内有三个角为直角，
AD边、BC边和CD边长度相等，且OA边长度为其一半。已知AD边长20米。问道路围成的五
边形面积为多少平方米?
A. 50 +200 B. 50 +200 C.50 +400 D. 50 +400
解析：因2 为AD=DC=BC＝320m，∠D=∠C=920°，所以ABCD 是3正方形，AB=20m。因为
∠O=90°，所以AO2+BO2=AB2，BO2=AB2-AO2=202-102=300，所以BO=10 ，所以S =1/2
∆AOB
3
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×10×10 =50 ，S =20×20=400，所以总面积=50 +400，选择D 选项。
ABCD
2.常用正余弦
3 3 3
Sinα=对边/斜边
Cosα=临边/斜边
Tanα=对边/临边=Sinα/Cosα
常见α：30° 45° 60°15°
sin30°=1/2 cos30°= /2
sin45°= /2 cos45°= /2
sin60°= /2 cos60°=1/2
sin15°=（ - ）/4 cos15°=（ ）/4 tan15°=2-
+
三、相似三角形
1.只要两个三角形，存在两组角相等，那么这两个三角形为相似三角形，各个边的比例
相同。或者两组边比例相同，夹角相等，也可以判定为相似三角形。
如果三角形ABC与三角形A`B`C`相似，则AB/A`B`=BC/B`C`=AC/A`C`
相似三角形的几种形式
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例题2
楼道上方有一盏灯，小刘径直走向这盏灯。一开始,他发现自己影子的长度为3.2米，前
进1米后，发现影子缩短为1.6米已知小刘身高为1.6米，则这盏灯的高度约为 ( )米。
A. 2.6 B. 2.8 C. 3.2 D. 3.4
解析：根据题意，假设灯高为x米，小刘影子长度BD 和B1E分别等于3.2 米和1.6 米，
BB1前进距离=1米。因为A1B1∥CO，所以∆A1B1D∽∆COD，所以CO/OE=A1B1/B1E=1.6/1.6=1，
所以OE=CO=x，所以OD=x+DE=x+（DB-EB)=x+3.2-（EB1-BB1）=x+3.2-（1.6-1）=x+2.6。
因为AB∥CO，所以∆ABD∽∆COD，所以CO/OD=x/（x+2.6）=AB/BD=1.6/3.2=1/2，所以
x/（x+2.6）=1/2，灯高x=2.6 米。所以选择A选项。
2.蝴蝶定理
三角形的另一种面积计算公式：S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA
sinA=hc/AC=hc/b，所以 hc=b×sinA
S∆ABC=1/2×c×hc=1/2×c×b×sinA=1/2bcsinA
另外两个式子同理。
蝴蝶定理：四边形对角线连接形成四个部分对顶角部分成组乘积相等。
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S×S=S×S
1 3 2 4
证明：S=AO×OD×sin∠AOD
1
S=AO×OB×sin∠AOB
2
S=CO×OB×sin∠COB
3
S=DO×OC×sin∠COD
4
S×S3=AO×OD×CO×OB×sin∠AOD×sin∠COB
1
S×S=AO×OB×DO×OC×sin∠AOB×sin∠COD
2 4
∠AOD和∠AOB是互补角（相加为180°），sin∠AOD=sin∠AOB（此原理本处不展开）
同理sin∠COB=sin∠COD
所以S×S=S×S
1 3 2 4
当AD∥BC时，S×S=S×S，且S=S= （ ）
1 3 2 4 2 4
证明S=S S1×S3
2 4
S=AO×OB×sin∠AOB
2
S=DO×OC×sin∠COD
4
S/S=AO×OB×sin∠AOB/DO×OC×sin∠COD
2 4
sin∠AOB=sin∠COD
所以S/S=AO×OB/DO×OC=AO/OC×OB/OD
2 4
因为AD∥BC，所以AO/OC=OD/OB，所以S/S==OD/OB×OB/OD=1
2 4
所以S=S
2 4
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例题3
一块种植花卉的矩形土地如图所示，AD边长是AB的2倍，E是CD的中点，甲、乙、丙、
丁、戊区域分别种植白花、红花、黄花、紫花、白花。则种植白花的面积占矩形土地面积的：
A.3/4 B.2/3 C.7/12 D.1/2
解析：因为丙和甲三角形相似，相似比为2：1，所以甲：丙=4：1，赋值甲=4，乙=1，
根据蝴蝶定理，乙=丁=2，因为DE＝EC，所以戊=丁+丙=3，所以土地总面积为4+1+2+2+3=12，
所以白花占比为（4+3）/12=7/12，选择C选项。
2. 拉窗帘（等面积模型）
结论：将三角形的点沿着平行于对边的方向移动，三角形面积不变。
例题4
如下图所示，在三角形工地ABC中CD=3AD，EC=2BE，阴影部分三角形ADE的面积是15
平方米。三角形工地ABC的面积是 ( )平方米？
A.90 B. 70 C.60 D. 45
解析：
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解析：取EE`∥AC交AB 于E`，又因为EC=2BE，所以AE`=2BE`，即AE`=2/3AB，所以
S∆ADE=S∆ADE`=2/3×1/4×S∆ABC=1/6×S∆ABC，∆ADE 而=15平米，所以S∆ABC=15×6=90
平方米。选择A 选项。
四、和定积最
当a+b的值固定为m时，a×b=a（m-a），当且仅当a=b=m/2时，a×b得到最大值。
（已在销售额/利润额最值问题中给过证明，不再赘述）
平面图形中，若周长一定，越接近圆，面积越大；
平面图形中，若面积一定，越接近圆，周长越小。
四边形周长一定，越接近正方形，面积越大；
若四边形面积一定，越接近正方形，周长越小。
例题5
某健身馆准备将一块周长为100米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160米的
长方形区域划为游泳场馆，若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积，问两块
场地面积之差为多少平方米?
A.625 B.845 C.975 D.1150
解析：瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积，则都是正方形，所以边长
分别为25 米和40 米，面积为625 平米和1600 平米，面积差为975 平米，所以选择C 选项。
例题6
某农家要建造一个新的矩形鸡圈，如图所示，该鸡圈一面靠围墙，另外三面共使用了200
米长的铁丝网。问如果想让鸡圈的面积最大，鸡圈的长和宽比值应为多少？
A.1：1 B.2：1 C.3：2 D.7：3
解析：假设鸡圈的宽度是a，则长为200-2a，面积S=a×（200-2a）=2×a×（100-a），
所以当a=100-a，a=50 时，面积S最大，此时宽=50 米，长为100 米，所以长宽比为2：1，选
择B 选项。
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五、直线距离最短
1.将军饮马
例题7
A、B两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3公里和7公里，两村相距
8.5公里，现需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村的
直线路程之和应尽可能小，若货车的速度约为60公里/小时，那么货车从集散中心出发，到
两村送货后返回中心，路途所花费的最少时间为：
A. 18分钟 B. 21分钟 C. 24分钟 D. 27分钟
解析：以公路 MN 作A点镜像对称点A，则AO+BO=AO+BO，所以当AO+BO最小时，
1 1 1
总路程AO+BO+AB 有最小值。两点之间直线最短，所以当O就在AB于MN 交点上时，距
1
离最短。BB=BN+NB1=BN+MA=BN+AM=7+3=10km。AB=AD，而AD、BD（4）、AB（8.5）
1 1 1 1
构成直角三角形，观察到8.5是17的一半，4是8的一半，考虑勾股数8、15、17，所以AD=15/2=7.5，
所以AB=7.5，所以AB=7.52+102=12.52（3、4、5勾股数比例关系），所以AB=12.5km，所
1 1 1 2 1
以最短总路程=12.5+8.5=21km，需要21/60h，也就是21 分钟，所以选择B选项。
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六、圆的特性
（一）弧长、扇形面积
如果一段弧、扇形占据圆心角为n°，则
弧长l=（n/180）×πr
扇形S=1/2×L×r=（n/360）×πr2
例题8
有一个花坛的形状是一个直角扇形，由三个半径分别为1、2、3米的圆弧构成现用两条
线段将此扇形圆心角平均分割成三部分。（如图）设计者在阴影部分和空白部分分别种上不
同的花卉，那么阴影部分花卉的种植面积为多少平方米？
A.π/3 B.π/2 C.π D.2π
解析一：将第二圈的一块阴影补充到中间的白色区域，形成一个完整的扇形，面积为π
×32×90°/360°×1/3=3π/4，排除AB选项，剩下第二圈一块阴影面积＜5π/4，所以排除D
选项，选择C 选项。
解析二：将扇形AOB 看作三个半径不同的扇形堆放，则最内圈面积=π×90/360=π/4；
第二圈面积=π×22×90/360-π/4=3π/4；第三圈面积=π×32×90/360-π×22×90/360=9
π/4-π=5π/4。所以阴影部分面积总和为π/4×1/3+3π/4×2/3+5π/4×1/3=π/12+π/2+5
π/12=π。所以选择C选项。
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(二）相交
直线AB与圆相较于AB两点，AB长为2L
距离：L2+h2=r2
圆和圆的相交经常考察如上图中间交叉“叶子”面积（橙色部分）。
那不规则的图形面积如何计算？
不规则图形的面积有三种计算思维。
1.拆分成规则图形相加
2.拆分成规则图形相减
3.替换等面积部分，凑成规则图形
这里我们采取第二种思维，拆分成规则图形相减。
两个相同的圆相交于A、B两个点，形成的OABO`，一般是正方形，或者是两个等边三角
形组成。而后我们把“叶子”部分连接AB两点，变成两片“叶子”，单独计算其中一半的面
积S。一半的叶子可以看作扇形OAB与∆OAB的差值。
所以交叉部分面积=2×（S扇形 -S ）
OAB ∆OAB
扇形OAB面积=圆面积×圆心角/360°（即占圆面积的占比）
S∆ =1/2×AB×h，而AB和h的长度我们可以根据勾股定理L2+h2=r2进行计算。
OAB
圆的考察中关于不规则面积的计算，只要依循一个根本原则：寻找规则部分面积拼凑加
减
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例题9
下面图形阴影部分面积是多少？
A.12.5π B.25 C.50-12.5π D.25π-50
解析：S =1/2×S -S
阴影 圆O 不规则图形ADE
=1/2×S -（S -S ）
圆O ∆ABD 扇形ABE
=1/2×S +S -S
圆O 扇形ABE ∆ABD
（根据圆的面积带π，三角形面积不带π，可以锁定D 选项。）
=1/2×π×25+π×100×45/360-1/2×10×10
=25π-50
所以选择D 选项。
（三）相切
圆和圆相切：OO=r+r
1 2 1 2
线和圆相切
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圆外一点可以引出两条同样的切线，切点与圆心连线和切线垂直。
所以s2=L2-r2
圆的切点问题就是圆心、切点之间线的问题，多去连接切点、圆心寻求长度关系。
例题10
某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为6米，小圆的直径为2
米，修建期间暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三条边相切，小圆与围
栏的两条边相切，且两圆相切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A.12(2+ ) B.12(1+2 ) C.12 D.6(3+ )
3 3 13 13
解析：如上图做辅助线，连接圆心，根据大圆小圆的直径可知OA=3，BG=1，CD=6。矩
形面积=CD×AB，所以还缺少OG 的长度。OQ=3+1=4，QG=CG-CQ-=3-1=2，所以
OG2=OQ2-QG2=16-4=12，所以OG=2 ，所以矩形面积=6×（4+2 ）=12(2+ )，所以选
择A 选项。
3 3 3
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例题11
A、B两地分别与某个半径150米的圆形池塘边缘相距100米、AB的连线经过池塘的圆心，
张某从A地出发以1米/秒的速度匀速行走。全程除转向1次外均保持直线行进。问他从A地
到B地的最短用时在以下哪个范围内?
A.不到9分30秒 B.9分30秒—10分之间
C.10分—10分30秒之间 D.10分30秒以上
解析：因为只转弯一次，其余都是直线，所以张某的路径为两条直线，想要距离最短，
就要尽量贴着圆形的池塘，所以会和池塘相切。过A、B 做切线切于D、E两点，交于C点。
所以OD AC，OE BC，所以AD2=AO2-OD2=2502-1502=2002，AD=200，同理BE=200。因
⟂ ⟂
为∆AOC和∆AOD都是直角三角形，且共角A，所以∆AOC和∆AOD相似，所以AD/OD=OD/DC，
所以DC=1502/200=112.5，所以AC=BC=200+112.5=312.5，所以总路程为312.5+312.5=625 米，
所以用时=625/1=625 秒=10分25 秒，选择C选项。
圆外一个点可以与圆产生两条切线，经过切点的半径与切线垂直。在很多题中，切线是
避开圆达到对面的最短路径。
（四）圆心角与圆周角
圆心角：圆内弦与圆的两个交点与圆心形成的顶角
圆周角：圆内弦与圆的两个交点与圆弧上任一点形成的角
优弧圆周角=1/2×圆心角
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∠AOC=2×∠ABC
直角圆周角：当AB经过圆心时，∠ABC=90°
例题：如下图所示，甲和乙在面积为 54π的半圆形游泳池内游泳，他们分别从位置A和
B同时出发，沿直线同时游到位置C。若甲的速度为乙的2倍，则原来甲、乙两人相距：
A.9 B.15 C.9 D.18
解析：2因为AC是直径，3所以∠ABC=90°。半圆面积是54π，所以πr2=108π，所以r=6 ，
所以AC=12 。因为甲速度是乙的2倍，耗时相同，所以AC=2BC，sin∠BAC=1/2，所以∠
3
BAC=30°所以所以AB=12 × /2=18，所以选择D选项。
3
3 3
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立体几何问题
一、体积公式
柱体：V=S×H
锥体：V=1/3×S×H
球：V=4/3πr3
台体：V=1/3H(S +S+√SS )
1 2 1 2
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例题1
商家门口摆放了一把正四棱锥形 (底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形)的遮阳
伞，第一次伞撑开到图 1所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ为 30°，继续撑开到如图 2所
示的位置，伞柄与三骨成角∠C'PQ'变为 60°，那么第二次伞撑开后形成的正方形 A'B'C'D'
是第一次撑开后正方形ABCD面积的:
A. 3 倍 B. 倍 C. 2倍 D. 3倍
解析：2角度变化前后3伞骨长度不变，记为L，左图中∠CPQ 为30°，所以CQ=L/2。右图
中∠C`PQ`为60°，所以CQ`= L/2。因为正方形相似，而相同位置的线条长度变成了 倍，
所以面积变为 的平方，3 倍，所以选择D选项。
3 3
3
追问：第二次伞撑开后形成的棱锥 P-A'B'C'D'是第一次撑开后棱锥 P-ABCD 体积的多少
倍？
解析：左图中∠CPQ 为30°，所以PQ= L/2。右图中∠C`PQ`为60°，所以PQ`=L/2。
锥体体积=1/3×底面积×高。底面积变成3 倍，高缩小 倍，所以体积变成3/ = 倍。
3
3 3 3
立体体积的计算比较要注意比例关系。
二、立体相似
平面几何中，如果两个图形相似
面积比是相似比的平方
立体几何中，如果两个立体相似（形状一样，长宽高比例相同）
体积比是相似比的立方
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例题2
某餐馆承诺25分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都有一个装满
后正好25分钟漏完的圆锥形沙漏 (如下图所示) 。某位顾客在等待的过程中发现沙漏内上方
沙子的高度为原先的一半此时还差一道菜未上，则再过多久还未上菜，这位顾客将享受免单
服务?
A.不到3分钟 B.3-4分钟 C.4-5分钟 D.超过6分钟
解析：上部剩下的沙子圆锥与装满的圆锥是相似关系，形状一致。高度比为1：2，所以
体积比为1：8。所以剩下的沙子还需要流25/8=3.125 分钟就会留尽，届时就会享受免单服务，
所以选择B 选项。
三、面积问题
面积公式
长方体表面积=2（ab+ac+bc）
正方体表面积=6a2
直棱/圆柱表面积=底边周长×高+底面积×2
球面积S=4πr2
圆锥母线与底面半径、高的关系
S侧面积=1/2×cl
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S侧面积=πrl
S侧面积=nπl2/360°（n是侧面展开后扇形的角度）
S底面积=πr2
l2=h2+r2
例题3
一实心圆锥体的底面半径为r，母线长为2r。若截圆锥体得到两个同样的锥体（如图），
则所得两个锥体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是？
A. 1/2 B.（π+4 ）/6 C.（3π+2 ）/3π D.（3π+4）/6π
解析：切开后增加了两个3三角形的面积，三角形高=3圆锥高= （4r2-r2）= r，所以三角
形面积= r2。原来圆锥面积=πr2+πr×l=πr2+πr×2r=3πr2所以面积比=(3πr2+2 r2)/3π
√ 3
r2=（3π+2 ）/3π，所以选择C 选项。
√3 3
技巧性思路：面积比为（S 圆锥+2×S 三角）/S 圆锥，圆锥的面积必然是xxπ，所以在
3
算出三角形面积为 r2后，可以直接根据π和 的形式，选定C 选项。
3 √
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数推问题
数列有点类似于图推，都是给一组元素，要求你从中经过加减乘除计算得出常见的规律，
去选出后续的元素。图推是几何形式的，数推则是数字形式的，所以也需要一定的数字规律
敏感度，也就是“熟能生巧+偶然灵感”。
那么数推的学习就分为三部分。
（一）了解历年考试出现过的常见规律；
（二）熟悉承载各类规律的题目表现形式；
（三）形成自己最适合的解题固定步骤。
常见规律
1.等差数列。如1，3，5，7，9...... 2，6，10，14，18......
后项-前项=固定值
2.等比数列。如1，3，9，27，81...... 2，4，8，16，32......
后项/前项=固定值
3.递推数列（前面两项经过某种计算得到第三项）：
2，3，6，18，108...... 第1项×第2项=第3项
1，2，5，11，26，59......3×第1项+第2项=第3项
4.斐波拉契数列（递推求和）：1，2，3，5，8，13，21，34......
第1项+第2项=第3项
5.幂次列/幂次修正列：
1，2，9，64，625.... 第n项=n的（n-1）次方
2，4，12，68，630......第n项=n的（n-1）次方+n
6.质数列：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
2，3，5，7，11，13，17，19，23......
7.合数列：大于 1 的自然数中，除了质数的数。
4，6，8，9，10，12......
数列的关系离不开加减乘除，而加减乘除的区别，也会带来表现形式的不一致，所以我
们可以从数列的表现形式中观察分析数列的逻辑。
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8.周期循环数列：几个数字循环出现。
3，2，1，3，2，1.....
一、变动幅度不大型
1. 加减数列：数列变动幅度不大，且整体往一个方向变大或者变小。
后项-前项作差，如果一次不行一定记得减第二次。
例题1
1，4，10，20，35，56，（ ）
A.75 B.77 C.82 D.84
解析：后项-前项，得到3，6，10，15，21 的新数列，继续作差，得到3，4，5，6的等
差数列，所以下一项应该是7，代入第一步作差数列，下一项是21+7=28，代入原数列，下
一项是56+28=84，所以选择D 选项。
2. 加减递推：数列变动幅度不大，但整体大小变化忽大忽小。
例题2
0，8，4，6，5，（ ）
A. 11/2 B.7 C.17/2 D.10
解析：数列变动幅度不大，忽大忽小，考虑递推关系，观察前两项与第三项的关系，发
现1/2×（第一项+第二项）=第三项。所以下一项为1/2×（6+5）=11/2，所以选择A 选项。
小技巧 1：当数列中出现 0 时，因为乘除关系不适合以 0作为乘数或者被除数，所以数
列往往是加减关系或者幂次修正，变化幅度不大考虑加减，变化幅度大、存在常见幂次数附
近数考虑幂次。
小技巧 2：当选项中出现 n/2 这类分数时，可以多观察一下加减递推关系，寻找 1/2 的
系数来源。
二、变动幅度很大型
1. 乘除数列：整体变动幅度较大，前后项大概倍数基本不变。
例题3
3，7，16，36，80，（ ）
A.176 B.148 C.166 D.188
解析：整体变动幅度较大，单调递增，考虑倍数关系。后一项大概都是前一项的2 倍左
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右，发现3×2+1=7，7×2+2=16，16×2+4=36，36×2+8=80，乘2 后加的数的数列为1，2，
4，8，是公比为2的等比数列，所以下一项为 16+80×2=176，所以选择A选项。
2. 乘除递推：整体变动幅度较大，且前后项大概倍数发生变化。
例题4
2，3，7，22，155，（ ）
A.3411 B.2988 C.1188 D.741
解析：整体变动幅度较大，考虑倍数关系。观察大概倍数，发现7 在3的2倍附近，22
在7 的3倍附近，155 在22的7 倍附近，倍数依次为前一项数值，所以考虑乘除递推，第一
项×第二项+1=第三项，所以下一项为22×155+1=3411，选择A选项。
3. 幂次数列：整体变动幅度较大，且出现较多常见幂次数或者幂次数附近的数。
例题5
10，24，50，80，122，168，（ ）
A.223 B.224 C. 225 D. 226
解析：整体变动幅度较大，且出现很多在9、25、49、81等幂次数周围的数，考虑幂次
关系。将原数列写到周围幂次数，变为9+1，25-1，49+1，81-1，121+1，169-1。即32+1，
52-1，72+1，92-1，112+1，132-1，幂次底数为3，5，7，9，11，13，是公差为2 的等差
数列，修正项为+1，-1 循环，所以下一项为152+1=225+1=226，所以选择D 选项。
三、分组型
1.小数：数列都是由带小数点的数组成
例题6：-32.16，48.23，-72.30，108.37，-162.44，（ ）
A.230.51 B.230.62 C.243.51 D.243.62
解析：数列全部都是小数，优先考虑小数点前、点后分别找规律，发现小数点前是-32，
48，-72，108，-162，公比为-1.5 的等比数列，所以下一项小数点前数字为243。
小数点后为16，23，30，37，44，是公差为7 的等差数列，估下一项小数点后数字为51，
所以所求项为243.51，选择C 选项。
例题7：10.1，18.2，29.4，43.7，58.9，（ ）
A.67.3 B.76.11 C.84.27 D.105.24
解析：数列全部都是小数，优先考虑小数点前、点后分别找规律，规律不明显，所以先
考虑组内规律。小数点前-小数点后新数列为9，16，25，36，49，发现新数列为幂次数列，
转化成幂次数的形式为32，42，52，62，72，新数列指数为2，底数为等差数列，则新数列下一
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项指数为2，底数为8，新数列下一项为64。观察选项，只有A项小数点前-小数点后=67-3=64，
满足规律，当选。
故正确答案为A。
2.根号类。特征：数列大部分都是由带根号的数组成
例题7
720 ，120 ，12 ，6 ，2 ，（ ）
2 2 24 30 210
A. B.10 /3 C.6 D.
解析2：10数列都带有根4号2，考虑根号内3外5 分组，根1号89外0组为720，120，12，6，2，倍数关
系明显，倍数分别为 6，10，2，3；发现10 在6和2 中间比较突兀，考虑根号化简，将12
转为24 ，此时根号外组为720，120，24，6，2，倍数分别为6，5，4，3，等差数列，所
24
以下一项为2，所以上一级数列是 720，120，24，6，2，1，原数列下一项根号外为1。
6
根号内为2，2，6，30，210，倍数关系明显，倍数分别为1，3，5，7，等差数列，下一
项为9，所以原数列根号内为 210×9=1890。
所以综合内外，下一项是 ，选择D 选项。
1890
3.分数类
分数：数列大部分都是分式，可能存在个别整数或者小数（分式的转化）
例题8
1，7/8，11/16，1/2，11/32，（ ）
A.29/128 B.27/64 C.15/32 D.7/32
解析：数列基本都是分式，考虑分子分母分组观察。从第二项开始分母8，16，2，32，
倍数关系明显，考虑等比数列约分，原数列分母数列变为 4，8，16，32，64，下一项为128。
则数列变为4/4，7/8，11/16，16/32，22/64。分子数列为4，7，11，16，22，变化幅度不大，
考虑作差，得到3，4，5，6等差数列，下一项为7，所以分子数列下一项为22+7=29，所以
原数列下一项为28/128，选择A选项。
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四、项数特多型
常规数推一般会在 4-5 项，项数达到 8 项甚至更多的，更可能是为了两两搭配成组，从
而才能有 4项以上形成规律。
分组后则按照分组型数推考虑组内规律或者组间规律。
例题9
1，2，7，13，49，24，343，（）
A.35 B.69 C.114 D.238
解析：项数达到8 项，考虑分组，（1，2）（7，13）（49，24）（243，？）发现7与
49 倍数关系比较明显，考虑组间规律，1，7，49，243，是公比为7 的等比数列，而2，13，
24，变动幅度比较小，考虑加减关系，13-2=11，24-13=11，所以是公差为11 的等差数列，？
处应当为24+11=35，所以选择A选项。
例题10
4，7，15，18，31，34，27，（ ）
A.31 B. 30 C. 29 D. 28
解析：项数达到8 项，考虑分组。（4，7）（15，18）（31，34）（27，？）发现组内
数字比较靠近变动幅度小，考虑组内加减关系，发现组内后项-前项=3，所以？处应该是
27+3=30，所以选择B选项。
五、多位数型
数列特点：位数较多，大小变化杂乱无章
此类数推需要把多位数字的各个位数上的数字进行拆分、组合，寻找规律。
例题11
389，569，479，587，299，( )
A.845 B.787 C.673 D.668
解析：数列都是三位数，位数较多，大小变化比较随机，考虑拆分位数观察数字关系。
3+8+9=20；5+6+9=20；4+7+9=20；5+8+7=20；2+9+9=20。每一项的三位数拆分之和
都是20，而选项中只有D 选项6+6+8=20。所以选择D 选项。
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例题12
24，416，636，864，10100，（ ）
A.11121 B.12144 C.11144 D.12121
解析：数列位数比较多，考虑拆分位数观察数字关系。4=22，16=42，36=62，64=82，100=102，
每一项第一位数的平方就是剩下的数，且第一位数是等差数列，2、4、6、8、10，所以下一
个数第一位为12，剩下的数为122=144，所以选择B选项。
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