23-24学年海珠区绿翠现代实验学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市海珠区绿翠现代实验学校九年级（上）月考 数学试卷（10 月份） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）一元二次方程x2 40的解是( ) A．x2 B．x  2 ，x  2 C．x2 D．x 2，x 2 1 2 1 2 2．（3分）一元二次方程x2 3x10的根的情况( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2 6x40，下列变形正确的是( ) A．(x6)2 436 B．(x6)2 436 C．(x3)2 49 D．(x3)2 49 学 4．（3分）若关于x的一元二次方程(a2)x2 2xa2 40有一个根为0，则a的值为( ) 升 A．2 B．2 哥C．2 D． 2 5．（3分）抛物线y(x2)2 水3的顶点坐标是( ) A．(2,3) B．(2,3) C．(2,3) D．(2,3) 6．（3分）关于抛物线y(x1)2 2下列说法错误的是( ) A．顶点坐标为(1,2) B．对称轴是直线x1 C．x1时y随x增大而减小 D．开口向上 7．（3分）若将函数y3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式 为( ) A．y3(x1)2 2 B．y3(x1)2 2 C．y3(x1)2 2 D．y3(x1)2 2 8．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( ) A．560(1x)2 315 B．560(1x)2 315 C．560(12x)2 315 D．560(1x2)315 第1页（共21页）9．（3分）抛物线yx2 bxc的顶点坐标是(1,3)，点A(2,y )，B(1,y )在抛物线上，则下列大小比较 1 2 正确的是( ) A．y  y B．y  y 1 2 1 2 C．y  y D．无法比较y ，y 的大小 1 2 1 2 10．（3分）已知x ，x 是方程x2 x20220的两个实数根，则代数式x3 2022x x2的值是( ) 1 2 1 1 2 A．4045 B．4044 C．2022 D．1 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若函数y(m2)x2 3mx1是二次函数，则m的取值范围 ． 12．（3分）抛物线yax2的图象经过点A(3,3)，这个函数的解析式为 ． 13．（3分）方程(x1)2 25的解是 ． 学 14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共 升 有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 ． 哥 15．（3分）若点(2,5)、(6,5)在抛物线yx2 bxc上，则抛物线的对称轴是 ． 水 1 1 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y  x2经过平移得到抛物线y  x2 2x， 2 2 其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共72分） 17．（6分）解方程： （1）x2 4x5； （2）x(x3)x30． 18．（6分）已知二次函数y(x1)2 2． （1）填表，并画出该函数的图象． 第2页（共21页）  x 1 0 1 2 3 y   （2）观察图象，当1 x 2时，直接写出y的取值范围是 ． 19．（5分）已知抛物线yx2 4x3． 学 （1）求抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； 升 （2）求抛物线与x轴的交点坐标． 哥 20．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2 mx3(m为常数）． 水 （1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 21．（7分）某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促进销售，商场决定采取适当的降价措 施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．据此规律， 请回答： （1）降价后，每件商品盈利 元，日销售量 件．（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，要更大程度地让利顾客，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100 元？ 22．（8分）如图，在RtABC中，C 90，AC 6cm，BC 8cm．点P、Q同时由A、C 两点出发， 分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC  ，CQ ； 1 （2）几秒后，PCQ的面积是ABC 面积的 ？ 3 第3页（共21页）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2 (2m1)xm2 20． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为x ，x ，且(x x )2 m2 21，求m的值． 1 2 1 2 24．（12分）已知二次函数yx2 2ax4a2． （1）若该函数图象与x轴的一个交点为(1,0)，求a的值； （2）不论a取何实数，该函数图象总经过一个定点． ①求出这个定点坐标； 学 ②证明这个定点就是所有抛物线顶点纵坐标最大的点． 升 25．（12分）如图，抛物线yx2 2x3与x轴交于点A，B(B在A的右侧），与y轴交于点C ． 哥 水 （1）分别写A，B的坐标； （2）在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M 是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB是以PB为腰的等腰 直角三角形时，请求出点M 的坐标． 第4页（共21页）2023-2024 学年广东省广州市海珠区绿翠现代实验学校九年级（上）月考 数学试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）一元二次方程x2 40的解是( ) A．x2 B．x  2 ，x  2 C．x2 D．x 2，x 2 1 2 1 2 【分析】移项后直接开平方求解可得． 【解答】解：x2 40， x2 4， x 2，x 2， 1 2 故选：D． 学 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 升 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 哥 2．（3分）一元二次方程x2 3x10的根的情况( ) 水 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】先计算根的判别式的值得到△0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：△(3)2 41150， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根的判别式△b2 4ac：当△0，方程有两 个不相等的实数根；当△0，方程有两个相等的实数根；当△0，方程没有实数根． 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2 6x40，下列变形正确的是( ) A．(x6)2 436 B．(x6)2 436 C．(x3)2 49 D．(x3)2 49 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式把方程左边写成完全平 方的形式即可． 第5页（共21页）【解答】解：x2 6x40， x2 6x4， x2 6x949， 所以(x3)2 13． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关 键． 4．（3分）若关于x的一元二次方程(a2)x2 2xa2 40有一个根为0，则a的值为( ) A．2 B．2 C．2 D． 2 【分析】把x0代入方程计算，检验即可求出a的值． 【解答】解：把x0代入方程得：a2 40， 学 (a2)(a2)0， 可得a20或a20， 升 解得：a2或a2， 哥 当a2时，a20，此时方程不是一元二次方程，舍去； 水 则a的值为2． 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解 本题的关键． 5．（3分）抛物线y(x2)2 3的顶点坐标是( ) A．(2,3) B．(2,3) C．(2,3) D．(2,3) 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【解答】解：抛物线y(x2)2 3， 该抛物线的顶点坐标是(2,3)， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6．（3分）关于抛物线y(x1)2 2下列说法错误的是( ) A．顶点坐标为(1,2) B．对称轴是直线x1 第6页（共21页）C．x1时y随x增大而减小 D．开口向上 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点判断顶点坐标，对称轴，开口方向及增减性． 【解答】解：由抛物线 y(x1)2 2可知， 顶点坐标为(1,2)， 对称轴为x1， x1时y随x增大而增大， 抛物线开口向上． A、B、D判断正确，C错误． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质．关键是熟练掌握顶点式与抛物线开口方向，对称轴，增减性，顶点 坐标及最大（小)值之间的联系． 7．（3分）若将函数y3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式 学 为( ) 升 A．y3(x1)2 2 B．y3(x1)2 2 C．y3(x1)2 2 D．y3(x1)2 2 哥 【分析】抛物线平移不改变a的 水 值． 【解答】解：原抛物线的顶点为(0,0)，向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶 点为(1,2)， 可设新抛物线的解析式为y3(xh)2 k，代入得y3(x1)2 2． 故选：B． 【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 8．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同， 求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( ) A．560(1x)2 315 B．560(1x)2 315 C．560(12x)2 315 D．560(1x2)315 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格(1降价的百分率），则第一次降价 后的价格是560(1x)，第二次降价后的价格是560(1x)2，据此即可列方程求解． 【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 第7页（共21页）560(1x)2 315， 故选：B． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这 种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 9．（3分）抛物线yx2 bxc的顶点坐标是(1,3)，点A(2,y )，B(1,y )在抛物线上，则下列大小比较 1 2 正确的是( ) A．y  y B．y  y 1 2 1 2 C．y  y D．无法比较y ，y 的大小 1 2 1 2 【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线x1，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由抛物线yx2 bxc的顶点坐标是(1,3)，可知抛物线开口向上，对称轴为直线x1，最 大值 y3， 学 A(2,y )，B(1,y )在抛物线上， 升 1 2 112，211(1)， 哥 故点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 水 y  y ， 1 2 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数 yax2 bxc(a0)的 b 图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a0，抛物线开口向下；对称轴为直线x ， 2a 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 10．（3分）已知x ，x 是方程x2 x20220的两个实数根，则代数式x3 2022x x2的值是( ) 1 2 1 1 2 A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【分析】把x x 代入方程表示出x2 2022x ，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关 1 1 1 系求出所求即可． 【解答】解：把x x 代入方程得：x2 x 20220，即x2 2022x ， 1 1 1 1 1 x ，x 是方程x2 x20220的两个实数根， 1 2 第8页（共21页）x x 1，xx 2022， 1 2 1 2 则原式x(x2 2022)x2 1 1 2 x2 x2 1 2 (x x )2 2xx 1 2 1 2 14044 4045． 故选：A． 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若函数y(m2)x2 3mx1是二次函数，则m的取值范围 m2 ． 【分析】根据二次函数的定义得到m20，从而得到m的取学值范围． 【解答】解：函数y(m2)x2 3mx1是二次函升数， m20， 哥 m2． 水 故答案为：m2． 【点评】本题考查了二次函数的定义：熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 1 12．（3分）抛物线yax2的图象经过点A(3,3)，这个函数的解析式为 y x2 ． 3 【分析】把点A(3,3)代入二次函数yax2中，求出a的值即可得出答案． 【解答】解：把点A(3,3)代入yax2中， 得3a32， 1 解得a ， 3 1 该函数的解析式为y x2． 3 1 故答案为：y x2． 3 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式方法进 行求解，是解决本题的关键． 第9页（共21页）13．（3分）方程(x1)2 25的解是 x 6，x 4 ． 1 2 【分析】首先两边直接开平方可得x15，再解一元一次方程即可． 【解答】解：两边直接开平方得：x15， 则x15，x15， 解得：x 6，x 4， 1 2 故答案为：x 6，x 4． 1 2 【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的 左边，把常数项移项等号的右边，化成x2 a(a 0)的形式，利用数的开方直接求解． 14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共 x(x1) 有x个队参加比赛，则依题意可列方程为 15 ． 2 【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球学队打(x1)场球，第二个球队和其他球队打 (x2)场，以此类推可以知道共打(123x1)场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程． 升 【解答】解：设邀请x个球队参加比赛， 哥 依题意得123x115， 水 x(x1) 即 15， 2 x(x1) 故答案为： 15 2 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述 语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 15．（3分）若点(2,5)、(6,5)在抛物线yx2 bxc上，则抛物线的对称轴是 直线x4 ． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的对称性解答即可． 【解答】解：点(2,5)、(6,5)在抛物线yx2 bxc上， 26 抛物线的对称轴为直线x 4， 2 故答案为：直线x4． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 1 1 16．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y  x2经过平移得到抛物线y  x2 2x， 2 2 其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 4 ． 第10页（共21页）【分析】过B作BC  y轴于C，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OABC的 面积，然后求解即可． 【解答】解：过B作BC  y轴于C， 根据平移得：x轴上面的阴影部分的面积等于四边形OABC中空白部分的面积，则对称轴与 两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于四边形OABC的面积， 1 1 1 y  x2 2x (x2 4x44) (x2)2 2， 2 2 2 学 1  点B是抛物线y  x2 2x的顶点， 2 升 B(2,2)， 哥 AB 2，BC 2， 水  四边形OABC为矩形， S 224， 四边形OABC 即对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积等于 4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了阴影部分面积的求法，观察图形，将阴影部分的图形转化为与它相等的 四边形或三角形是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17．（6分）解方程： 第11页（共21页）（1）x2 4x5； （2）x(x3)x30． 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解解方程即可； （2）提公因式因式分解解方程即可． 【解答】解：（1）x2 4x5． x2 4x50， (x5)(x1)0， x50或x10， x 5，x 1； 1 2 （2）x(x3)x30， x(x3)(x3)0 (x3)(x1)0， 学 x30或x10， 升 x 3，x 1． 1 2 哥 【点评】本题考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，属于中考常考题 水 型． 18．（6分）已知二次函数y(x1)2 2． （1）填表，并画出该函数的图象．   x 1 0 1 2 3 y   2 （2）观察图象，当1 x 2时，直接写出y的取值范围是 ． 第12页（共21页）【分析】（1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象求解即可． 【解答】解：（1）列表如下：   x 1 0 1 2 3 学 y  2 1 2 1 2  升 函数图象如下所示： 哥 水 （2）由函数图象可知，当1 x 2时，2 y 2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 19．（5分）已知抛物线yx2 4x3． （1）求抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）求抛物线与x轴的交点坐标． 【分析】（1）把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题； （2）要求抛物线与x轴的交点坐标，令y0，然后解关于x的一元二次方程x2 4x30即可． 第13页（共21页）【解答】解：（1）yx2 4x3(x2)2 1， 抛物线的开口向上，对称轴为直线x2，顶点坐标为(2,1)； （2）令y0，则x2 4x30， 解得x 1，x 3． 1 2 抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的 性质解答． 20．（6分）已知：关于x的一元二次方程x2 mx3(m为常数）． （1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△m2 120，然后根据判别式的意义得到 学 结论； 升 （2）利用两根之积为3确定方程的另一根． 哥 【解答】（1）证明：x2 mx30， a1，bm，c3 水 △b2 4acm2 41(3)m2 12， m2 0， m2 120， △0， 无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x ， 1 c 3 则2x   3， 1 a 1 3 x  1 2 3 方程的另一个根为 ． 2 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 第14页（共21页）b c x x  ，xx  ．也考查了判别式． 1 2 a 1 2 a 21．（7分）某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促进销售，商场决定采取适当的降价措 施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．据此规律， 请回答： （1）降价后，每件商品盈利 (50x) 元，日销售量 件．（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变的情况下，要更大程度地让利顾客，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100 元？ 【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱 数； （2）根据日盈利每件商品盈利的钱数（原来每天销售的商品件数302降价的钱数），列出方程求解 即可； 【解答】解：（1）商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50x)元， 学 故答案为：(50x)，302x； 升 哥 （2）根据题意可得(302x)(50x)2100， 解得：x15或x20， 水 该商场为了尽快减少库存， 降的越多，越吸引顾客， 选x20， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，得到日盈利的等量关系是解决本题的关键． 22．（8分）如图，在RtABC中，C 90，AC 6cm，BC 8cm．点P、Q同时由A、C 两点出发， 分别以1cm/s和2cm/s的速度沿线段AC、CB匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）设经过t秒，用含t的代数式表示PC、CQ，PC  (6t)cm ，CQ ； 1 （2）几秒后，PCQ的面积是ABC面积的 ？ 3 第15页（共21页）【分析】（1）根据路程速度时间，结合线段的和差关系即可求解； 1 （2）根据PCQ的面积是ABC面积的 ，列出方程计算即可求解． 3 【解答】解：（1）PC (6t)cm，CQ2t cm． 故答案为：(6t)cm，2t cm； 1 1 1 （2）依题意有： 2t(6t) 68 ， 2 2 3 解得t 2，t 4． 1 2 1 故2或4秒后，PCQ的面积是ABC 面积的 ． 学 3 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面升积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可．要 注意结合图形找到等量关系． 哥 23．（10分）已知关于x的一元水二次方程x2 (2m1)xm2 20． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为x ，x ，且(x x )2 m2 21，求m的值． 1 2 1 2 【分析】（1）利用判别式的意义得到△(2m1)2 4(m2 2) 0，然后解不等式得到m的范围，再在此范 围内找出最小整数值即可； （2）利用根与系数的关系得到 x x (2m1) ， xx m2 2 ，再利用 (x x )2 m2 21 得到 1 2 1 2 1 2 (2m1)2 4(m2 2)m2 21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值． 【解答】解：（1）根据题意得△(2m1)2 4(m2 2) 0， 9 解得m  ， 4 所以m的最小整数值为2； （2）根据题意得x x (2m1)，xx m2 2， 1 2 1 2 (x x )2 m2 21， 1 2 第16页（共21页）(x x )2 4xx m2 21， 1 2 1 2 (2m1)2 4(m2 2)m2 21， 整理得m2 4m120，解得m 2，m 6， 1 2 9 m  ， 4 m的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 b c x x  ，xx  ．也考查了根的判别式． 1 2 a 1 2 a 24．（12分）已知二次函数yx2 2ax4a2． （1）若该函数图象与x轴的一个交点为(1,0)，求a的值； （2）不论a取何实数，该函数图象总经过一个定点． 学 ①求出这个定点坐标； 升 ②证明这个定点就是所有抛物线顶点纵坐标最大的点． 哥 1 【分析】（1）(1,0)代入得012a4a2，a ，即可求解． 2 水 （ 2 ） ① 整 理 得 ya(42x)x2 2 ， 即 可 求 解 ； ② 函 数 顶 点 为 (a,a2 4a2) ， 而 a2 4a2(a2)2 6，a2时纵坐标有最大值6，即可求解． 【解答】解：（1）(1,0)代入 yx2 2ax4a2得012a4a2， 1 a ； 2 （2）①yx2 2ax4a2a(42x)x2 2， 令x2代入y6， 故定点为(2,6)； ②yx2 2ax4a2(xa)2 (a2 4a2)， 顶点为(a,a2 4a2)， 而a2 4a2(a2)2 6， 当a2时，纵坐标有最大值6， 第17页（共21页）此时x2，y6，顶点(2,6)， 故定点(2,6)是所有顶点中纵坐标最大的点． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数 与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等． 25．（12分）如图，抛物线yx2 2x3与x轴交于点A，B(B在A的右侧），与y轴交于点C ． 学 （1）分别写A，B的坐标； 升 （2）在对称轴上找一点Q，使ACQ的周长最小，求点Q的坐标； 哥 （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M 是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB是以PB为腰的等腰 水 直角三角形时，请求出点M 的坐标． 【分析】（1）令y0，则x2 2x30，求出方程的解即可； （2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线x1的对称点E，连接AE，EQ， 则点E的坐标为(2,3)，根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q； （3）分两种情况当BPM 90和当PBM 90两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）令y0，则x2 2x30， 解得：x1或3， A(1,0)，B(3,0)； （2）抛物线解析式为yx2 2x3(x1)2 4，与y轴交于点C， 抛物线对称轴为直线x1，点C的坐标为(0,3) 如图所示，作点C关于直线x1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为(2,3)， 由轴对称的性质可知CQEQ， ACQ的周长ACAQCQ， 第18页（共21页）要使ACQ的周长最小，则AQCQ最小，即AQQE最小， 当A、Q、E三点共线时，AQQE最小， 由点A、E的坐标得，直线AE的解析式为yx1， 当x1时，yx1112， 点Q的坐标为(1,2)； （3）如图1所示，当点P在x轴上方，BPM 90时，过点学P作EF //x轴，过点M 作MF EF于F ， 过点B作BE EF 于E， 升 哥 水 PMB是以PB为腰的等腰直角三角形， PM PB，MFPPEBBPM 90， FMPFPM FPM EPB90， FMPEPB ， FMPEPB(AAS)， PE MF ，BE PF， 设点P的坐标为(1,m)， BE m，PE 2， 第19页（共21页）MF 2，PF m， 点M 的坐标为(1m,m2)， 将点M 的坐标代入二次函数表达式得：(1m)2 2(1m)3m2， 解得：m2或m1（舍去）， 点M 的坐标为(1,0)； 同理：当点P在x轴下方，BPM 90时可以求得点M 的坐标为(1,0)； 如图2所示，当点P在x轴上方，PBM 90时，过点B作EF //y轴，过点P作PE EF 于E，过点M 作MF EF于F ，设点P的坐标为(1,m)， 同理可证：PEBBFM(AAS)， BF PE2，MF BE m， 点M 的坐标为(3m,2)， 将点M 的坐标代入二次函数表达式得：(3m)2 2(3m)32， 学 解得：m2 2 （不合题意的值已舍去）， 升 点M 的坐标为(1 2,2)； 哥 水 如图3所示，当点P在x轴下方，PBM 90时， 第20页（共21页）同理可以求得点M 的坐标为(1 6,2)； 综上所述，当PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M 的坐标为(1,0)或(1 2,2)或(1 6,2)． 【点评】本题主要考查了二次函数与x轴交点，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质 与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 学 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:23:00；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 升 哥 水 第21页（共21页）