23-24学年汇景实验学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市天河区汇景实验学校九年级（上）月考数学 试卷（10 月份） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）2的绝对值是( ) 1 1 A．2 B．2 C． D． 2 2 2．（3分）下列运算正确的是( ) A．x3 x3 2x3 B．x6 x2 x3 C．x3x2 x6 D．(x2)3 x5 3．（3分）2022年11月29日23时08分，搭载三名中国航天员的神舟十五号载人飞船发射成功，随后与 神舟十四号乘组在距离地球约400000m的中国空间站胜利会师．将数据400000m用科学记数法表示为 a10n米，下列说法正确的是( ) A．a400，n3 B．a4，n5 C．a4，n学6 D．a0.4，n6 4．（3分）一元二次方程x2 2x60的根的情况是升( ) A．有两个不相等的实数根 哥B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根为0 D．没有实数根 水 5．（3分）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中 点C，D，量得CD6m，则A，B之间的距离是( ) A．6m B．8m C．10m D．12m 6．（3分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边 形的是( ) A．ABDC，ABC ADC B．AD//BC ，AB//DC C．ABDC，ADBC D．OAOC，OBOD 7．（3分）如图，在ABC中，ABC 90，C 30，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于 1 点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC 2 第1页（共27页）于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( ) A．BEDE B．DE垂直平分线段AC C．AC 2AB D．S 3S DEC BDE 8．（3分）某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发 投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则 下列方程中正确的是( ) A．100(1x)400 B．100(12x学)400 C．100(1x)100(1x)2 400 D．升100(1x)2 400 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E哥，F 分别在BC，CD上，连接AE，AF ，EF ，EAF 45．若 BAE ，则FEC一定等于( ) 水 A．2 B．902 C．45 D．90 a b 10．（3分）如图，已知a，b，c分别是RtABC的三条边长，C 90，我们把关于x的形如y x c c 3 5 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P(1, )在“勾股一次函数”的图象上，且RtABC的面积是5， 5 则c的值是( ) 3 5 A．1 B．5 C．25 D． 5 第2页（共27页）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11．（3分）在函数y x3中，自变量x的取值范围是 ． 3x y3 12．（3分）已知方程组 ，则x y的值是 ． x3y5 13．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是 ． 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A(4m1,53m)在第四象限，则m的取值范围为 ． 15．（3分）如图，直线l :y x1和直线l :ymxn相交于P(2,a)，则关于x的不等式x1 mxn解集 1 2 为 ． 学 16．（3 分）如图， AC 平分DAB，CE AB于E ，且 ABAD2BE ，以下结论：① AD AE ；② 升 DABDCB180；③S S S ；④ABAD2AE．其中正确的是： ． ACE BCE 哥ADC 水 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17．（4分）求x的值：x2 490． 18．（4分）如图，已知ABC 和DAE，D是AC上一点，AD AB，DE//AB，DE  AC．求证：AEBC． 19．（6分）疫情期间，我区积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习 效果自我评价的调查（学习交果分为“A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想） 并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 第3页（共27页）（1）此次调查中，共抽查了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“效果不理想”部分所对应的圆心角为 度． 4 2xx2 20．（6分）已知A(1 ) ． x2 x2 （1）化简A； 学 （2）若x满足方程x2 x60，求A的值． 升 21．（8分）如图，利用尺规，在ABC 的边AC上方作CAE ACB，在射线AE上截取ADBC，连 哥 接CD，并证明：CD//AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）． 水 22．（10分）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为 每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件)与销售单位x（元)满足一次函数关系， 它们的关系如下表： 销售单价x（元) 15 21 32 销售量y（件) 250 190 80 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商家每天想获得2000元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 23．（10分）在八年级上册“轴对称图形”一章中我们曾做过“折线与证明”的数学活动；折线，常常能 为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． 将ABC(AB AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处． （1）图1中，AB8，AC 6，S 9，则BE  ；S  ； ACD ABD 第4页（共27页）（2）如图2，若C 2B，试说明：AB ACCD． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2 2(a1)xa2(a0)． 1 （1）当a 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； 8 （2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 ． （3）若当1 x 5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点A(0,3)、B(5,3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 25．（12分）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，AE平分BAC，交BC于点E，过点E作EF  AC 学 于点F ，延长FE 交AB的延长线于点H ，过点F 作FG//BC交AE于点G，连接BG． 升 （1）求证：BH FC ； 哥 （2）求证：四边形BEFG是菱形； （3）如图2，点M 是CD的中水点，点P是AD上的动点，点N是对角线AC上的动点，请问PM PN 是 否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 第5页（共27页）2023-2024 学年广东省广州市天河区汇景实验学校九年级（上）月考数学 试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）2的绝对值是( ) 1 1 A．2 B．2 C． D． 2 2 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：2的绝对值是2， 即|2|2． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 学 0． 2．（3分）下列运算正确的是( ) 升 A．x3 x3 2x3 B．x6 x2 x3 哥 C．x3x2 x6 D．(x2)3 x5 【分析】根据同底数幂的乘除法水、合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即 可． 【解答】解：x3 x3 2x3， 选项A正确； x6 x2 x4， 选项B不正确； x3x2 x5， 选项C不正确； (x2)3 x6， 选项D不正确． 故选：A． 第6页（共27页）【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法， 要熟练掌握． 3．（3分）2022年11月29日23时08分，搭载三名中国航天员的神舟十五号载人飞船发射成功，随后与 神舟十四号乘组在距离地球约400000m的中国空间站胜利会师．将数据400000m用科学记数法表示为 a10n米，下列说法正确的是( ) A．a400，n3 B．a4，n5 C．a4，n6 D．a0.4，n6 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1 |a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数 变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10时，n是正数； 当原数的绝对值1时，n是负数． 【解答】解：4000004105． a4，n5． 故选：B． 学 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记升数法的表示形式为a10n的形式，其中1 |a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以哥及n的值． 4．（3分）一元二次方程x2 2水x60的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根为0 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得出． 【解答】解：△b2 4ac(2)2 4(6)280， 一元二次方程x2 2x60有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根与△b2 4ac有 如下关系：（1）△0方程有两个不相等的实数根；（2）△0方程有两个相等的实数根；（3）△0 方程没有实数根． 5．（3分）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中 点C，D，量得CD6m，则A，B之间的距离是( ) 第7页（共27页）A．6m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：C ，D分别是OA，OB的中点， CD是ABO的中位线， AB2CD， CD 6m， AB12m， 故选：D． 学 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 6．（3分）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点升 O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边 形的是( ) 哥 A．ABDC，ABC ADC B．AD//BC ，AB//DC 水 C．ABDC，ADBC D．OAOC，OBOD 【分析】根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【解答】解：A、ABDC，ABC ADC不一定是平行四边形，故此选项符合题意； B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对 角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7．（3分）如图，在ABC中，ABC 90，C 30，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于 1 点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC 2 于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( ) 第8页（共27页）A．BEDE B．DE垂直平分线段AC C．AC 2AB D．S 3S DEC BDE 【分析】由作法得AB AD，PBPD，根据线段垂直平分线的性质得到BEDE，故A选项不符合题意； 根据等边三角形的性质得到ABD60，ADB60，推出DE 垂直平分线段AC，故B选项不符合题 意；由作法得 AE 平分BAC，得到BAE CAE 30，求得AE CE，根据直角三角形的性质得到 2 AC 2AB，故C 选项不符合题意；根据直角三角形的性质得到CE  AE 2BE，求得CE  BC ，求得 3 学 1 2 1 S   S  S ，过点D作DH  AB于H ，根据三角形的面积公式得到S 2S ，故D选 EDC 2 3 ABC 3 ABC DEC BDE 升 项符合题意． 哥 【解答】解：由作法得AB AD，PBPD， AP垂直平分BD， 水 BEDE ，故A选项不符合题意； ABC 90，C 30， BAC 60， ABD为等边三角形， ABD60，ADB60， DBE 30， BE DE， EDBEBD30， ADE ADBEDB90， DE  AC， ADCD， DE垂直平分线段AC，故B选项不符合题意； 由作法得AE平分BAC， 第9页（共27页）BAE CAE 30， CAE C， AE CE， 在RtABC中，C 30， AC 2AB，故C选项不符合题意； AD AB， ADCD， 1 S  S ， EDC 2 ACE BAE 30，ABC 90， CE  AE 2BE， 2 CE  BC， 3 2 S  S ， 学 ACE 3 ABC 1 2 1 升 S   S  S ， EDC 2 3 ABC 3 ABC 哥 过点D作DH  AB于H ， ADBD， 水 1 AH BH  AB， 2 1 1 1 1 1 1 1 S  BEBH   AB BC   ABBC  S ， BDE 2 2 2 3 6 2 6 ABC S 2S ，故D选项符合题意． DEC BDE 故选：D． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性 质． 8．（3分）某开发公司2021年投入的研发资金为100亿元，为了扩大产品的竞争力，该公司不断增加研发 第10页（共27页）投资，计划2023年投入400亿元研发资金．若2021年到2023年投入的研发资金年平均增长率均为x，则 下列方程中正确的是( ) A．100(1x)400 B．100(12x)400 C．100(1x)100(1x)2 400 D．100(1x)2 400 【分析】根据题意得到关系式为：2021年研发资金投入(1年平均增长率）22023年研发资金投入，把 相关数值代入即可 【解答】解：根据题意得，100(1x)2 400， 故选：D． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，一般形式为a(1x)2 b， a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F 分别在BC，CD上，连接AE，AF ，EF ，EAF 45．若 学 BAE ，则FEC一定等于( ) 升 哥 水 A．2 B．902 C．45 D．90 【分析】根据正方形的性质可得AD AB，BADABC ADC 90，将ADF 绕点A顺时针旋转90， 得 ABG ，易证 GAEFAE(SAS) ，根据全等三角形的性质可得 AEF AEG ，进一步根据 FEC 180AEF AEB求解即可． 【解答】解：在正方形ABCD中，AD AB，BADABC ADC 90， 将ADF 绕点A顺时针旋转90，得ABG，G、B、E三点共线，如图所示： 则AF  AG，DAF BAG， EAF 45， BAEDAF 45， GAE FAE 45， 在GAE和FAE中， 第11页（共27页）AF  AG  FAEGAE，  AE  AE GAEFAE(SAS)， AEF AEG， BAE ， AEB90， AEF AEB90， FEC180AEFAEB1802(90)2， 故选：A． 学 升 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，涉及旋转的性质，添加合适的辅助线是解 哥 题的关键． 水 a b 10．（3分）如图，已知a，b，c分别是RtABC的三条边长，C 90，我们把关于x的形如y x c c 3 5 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点P(1, )在“勾股一次函数”的图象上，且RtABC的面积是5， 5 则c的值是( ) 3 5 A．1 B．5 C．25 D． 5 a b 3 5 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出   ①，由RtABC的面积是5，可得出ab10， c c 5 a2 b2 2ab 9 将方程①两边同时平方可得出  ，结合a2 b2 c2，即可得出关于c的方程，解之经检验后 c2 5 即可得出结论． 3 5 【解答】解：点P(1, )在“勾股一次函数”的图象上， 5 第12页（共27页）a b 3 5    ①； c c 5 RtABC的面积是5， 1  ab5， 2 ab10． a2 b2 2ab 9 方程①两边同时平方得：  ， c2 5 又a2 b2 c2， c2 210 9   ， c2 5 解得：c 5，c 5， 1 2 经检验，c 5，c 5均为原方程的解，且c 5符合题意，c 5不符合题意，舍去． 1 2 1 2 故选：B． 学 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及勾股定理，根据一次函数图象上点 的坐标特征、三角形的面积计算公式及勾股定理，找升出关于c的方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3哥分，满分18分.） 11．（3分）在函数y x3中水，自变量x的取值范围是 x 3 ． 【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即x3 0，解此不等式即可． 【解答】解：根据题意得：x3 0，解得：x 3． 故答案为：x 3． 【点评】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 3x y3 12．（3分）已知方程组 ，则x y的值是 2 ． x3y5 【分析】根据加减消元可进行求解． 3x y3① 【解答】解： ， x3y5② ①②得：4x4y8， x y2； 故答案为：2． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 第13页（共27页）13．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是 17 ． 【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：分两种情况： 当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17； 当3为腰时，其它两边为3和7，3367，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的周长为17． 故答案为：17． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两 种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 5 14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A(4m1,53m)在第四象限，则m的取值范围为 m ． 3 【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得不等式组，求不等式的解即可． 【解答】解：由点A(4m1,53m)在第四象限，得： 学 4m10  ， 升 53m0 哥 5 解得m ． 3 水 5 故答案为：m ． 3 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的 关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)；第二象限(,)；第三象限(,)；第四象限(,)． 15．（3分）如图，直线l :y x1和直线l :ymxn相交于P(2,a)，则关于x的不等式x1 mxn解集 1 2 为 x 2 ． 【分析】观察函数图象得到在点P的左边，直线l :y x1都在直线l :ymxn的下方，据此求解． 1 2 【解答】解：直线l :y x1与直线l :ymxn相交于点P(2,a)， 1 2 观察图象可知：关于x的不等式x1 mxn的解集为x 2． 故答案为：x 2． 第14页（共27页）【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据函数图象比较函数值的大小，确定对应的自变量的取 值范围，利用数形结合的思想是解题的关键． 16．（3 分）如图， AC 平分DAB，CE AB于E ，且 ABAD2BE ，以下结论：① AD AE ；② DABDCB180；③S S S ；④ABAD2AE．其中正确的是： ②③④ ． ACE BCE ADC 【分析】在AE取点F ，使EF BE，连接CF ，利用已知条件AB AD2BE ，可得AD AF ，进而可 以判断①；证出2AE  ABAD，进而可以判断④；先由SAS 证明ACDACF ，得出ADC AFC； 再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出CFBB；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理 得出DABDCB180，可以判断②；由于CEF CEB，ACDACF ，根据全等三角形的面积 相等易证S S S 进而可以判断③，即可解决问题学． ACE BCE ADC 【解答】解：在AE上取点F ，使EF BE，连接C 升 F ， 哥 水 ABAD2BE ，AB AF BEEF ， AB AD2BE AF2BE ， AD AF ，且AF  AE， AD AE， 故①错误，不符合题意； AB AD AFEFBE AD 2AF 2EF  2(AFEF) 2AE ， 故④正确，符合题意； AC平分DAB， DAC FAC， 在ACD和ACF中， AD AF  DAC FAC，  AC  AC 第15页（共27页）ACDACF(SAS)， ADC AFC， CE垂直平分BF ， CF CB， CFBB， 又AFCCFB180， ADCB180， DABDCB360(ADCB)180 ， 故②正确，符合题意； ACDACF ， CDCF ， 又CF CB， 学 CDCB， CF CB，CE CE， 升 RtCEFRtCEB(HL) ， 哥 S S S S 水S ， ACE BCE ACE FCE ACF 又ACDACF ， S S ， ACF ADC S S S ， ACE BCE ADC 故③正确，符合题意， 结论正确符合题意的有②③④， 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理， 邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17．（4分）求x的值：x2 490． 【分析】首先求得x2，然后根据平方根的定义即可求得x的值． 【解答】解：x2 49 则x7或7 第16页（共27页）【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负 数没有平方根． 18．（4分）如图，已知ABC 和DAE，D是AC上一点，AD AB，DE//AB，DE  AC．求证：AEBC． 【分析】根据平行线的性质找出ADE BAC ，借助全等三角形的判定定理SAS 证出ADE BAC ， 由此即可得出AEBC． 【解答】证明：DE//AB， ADE BAC． ADBA  在ADE和BAC中，ADE BAC，  DE  AC 学 ADEBAC(SAS)， 升 AE BC ． 哥 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 水 19．（6分）疫情期间，我区积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习 效果自我评价的调查（学习交果分为“A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想） 并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了 200 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“效果不理想”部分所对应的圆心角为 度． 第17页（共27页）【分析】（1）用B的人数除以所占百分数即可求解； （2）用总人数减去B，C，D的人数，求出A的人数，即可补全条形统计图； （3）用“效果不理想”部分所占比例乘以360度即可求解． 【解答】解：（1）8040%200（名)， 此次抽查中，共抽查了200名学生， 故答案为：200； （2）部分人数为：20080402060，补全条形统计图如下： 学 升 哥 （3）扇形统计图中“效果不理想”对应的圆心角为2020036036． 故答案为：36． 水 【点评】本题考查条形统计图与扇形统计图，能够将条形统计图与扇形统计图中的信息进行关联是解题的 关键． 4 2xx2 20．（6分）已知A(1 ) ． x2 x2 （1）化简A； （2）若x满足方程x2 x60，求A的值． 【分析】（1）先计算括号内分式的减法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可得出 答案； （2）利用因式分解法解方程求出x的值，再根据分式有意义的条件确定符合条件的x的值，代入计算即可． x2 4 x(x2) 【解答】解：（1）A(  ) x2 x2 x2 x2 x2   x2 x(x2) 1  ； x （2）x2 x60， 第18页（共27页）(x3)(x2)0， 则x30或x20， 解得x 3，x 2， 1 2 根据题意知x2且x0， x3， 1 1 则原式  ． 3 3 【点评】本题主要考查分式的化简求值、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法 解方程及熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 21．（8分）如图，利用尺规，在ABC 的边AC上方作CAE ACB，在射线AE上截取ADBC，连 接CD，并证明：CD//AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）． 学 升 【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作CAE ACB，再截取ADBC，然后证明四边形ABCD 哥 为平行四边形，从而得到CD//AB． 【解答】解：如图，CD为所作水； 证明：EAC ACB， AD//CB， ADBC， 四边形ABCD是平行四边形， AB//CD． 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作 已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定 与性质． 第19页（共27页）22．（10分）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为 每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件)与销售单位x（元)满足一次函数关系， 它们的关系如下表： 销售单价x（元) 15 21 32 销售量y（件) 250 190 80 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商家每天想获得2000元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【分析】（1）依据题意，首先求出销售量与单价的函数关系式，再表示出利润W ，即可得解； （2）依据题意，由（1）得关系式令W 910，解方程即可得解，注意减少库存进行取舍． 【解答】解：（1）由题意，设每天的销售量y与x的一次函数关系为ykxb， 15kb250  ， 21kb190 学 k 10  ． 升 b400 哥 销售量与单价的关系为y10x400． （2）W (x10)(10x400)水2000． x 20，x 30． 1 2 又尽可能地减少库存， x20． 答：应将销售单价定为20元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 23．（10分）在八年级上册“轴对称图形”一章中我们曾做过“折线与证明”的数学活动；折线，常常能 为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题． 将ABC(AB AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处． （1）图1中，AB8，AC 6，S 9，则BE  2 ；S  ； ACD ABD （2）如图2，若C 2B，试说明：AB AC CD． 第20页（共27页）【分析】（1）根据翻折的性质及三角形的面积公式求解； （2）根据翻折的性质及三角形的外角定理证明． 【解答】（1）解：由折叠得：ACDAED， 过D作DM  AC于M ，DN  AB于N， 学 升 AE  AC 6，BADCAD， 哥 DM DN，BE  ABAE 2， 1 1水 S  ABDN，S  ACDM ， ABD 2 ACD 2 S :S  AB:AC ， ABD ACD 即S :98:6， ABD 解得：S 12， ABD 故答案为：2，12； （2）证明：由折叠得：ACDAED， AE  AC，DE DC，AEDC ， C 2B， AEDBEDB， 2BBEDB， BEDB， BEDE ， AB AEBE  ACCD． 第21页（共27页）【点评】本题考查了翻折变换，掌握翻折的性质、三角形的面积公式及三角形的外角定理是解题的关键． 24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2 2(a1)xa2(a0)． 1 （1）当a 时，求抛物线的对称轴及顶点坐标； 8 （2）请直接写出二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是 (1,0) ． （3）若当1 x 5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式； （4）已知点A(0,3)、B(5,3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴公式求得对称轴为直线x7，再代入解析式求得y的值，即可求得顶点坐标； （2）利用对称轴公式求得对称轴，把解析式变形得到y(x1)[a(x1)2]，即可得到二次函数经过的定 点坐标为(1,0)； 1 （3）根据（2）可知：二次函数图象的对称轴为直线x1 ，分a0或a0两种情况，分对称轴在已 a 学 知范围的左边，中间，右边分类讨论最值即可解答； （4）分类讨论顶点在线段AB上，a0，a0，由升点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 1 1 7 15 【解答】解：（1）a 时， y x2 哥 x 8 8 4 8 b 水 对称轴为直线x 7， 2a 1 7 15 把x7代入y x2  x 得，y8， 8 4 8 顶点坐标为(7,8)； （2）yax2 2(a1)xa2(a0)． 2(a1) 1 对称轴为直线x 1 ， 2a a yax2 2(a1)xa2a(x1)2 2(x1)(x1)[a(x1)2]， 二次函数经过的定点坐标为(1,0)； 故答案为：(1,0)； 1 （3）由（2）知：二次函数图象的对称轴为直线x1 ， a 分两种情况： 1 ①当a0时，1 1， a 在自变量x的值满足1 x 5的情况下，y随x的增大而减小， 第22页（共27页）当x1时，y0， 而当1 x 5时，函数值有最大值为8， 所以此种情况不成立； 1 ②当a0时，1 1， a 1 1 i)当11 3时，即a ， a 2 当x5时，二次函数的最大值为y25a10(a1)a28， a1， 此时二次函数的解析式为yx2 4x3； 1 ii)当1 3时， a 在自变量x的值满足1 x 5的情况下，y随x的增大而减小，即x1有最大值， 所以此种情况不成立； 学 综上所述：此时二次函数的解析式为：yx2 4x3； 升 （4）分三种情况： 哥 ①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点， 水 即当 y3时，ax2 2(a1)xa23， ax2 2(a1)xa50， △4(a1)2 4a(a5)0， 1 a ， 3 1 1 8 16 当a 时， x2  x 0， 3 3 3 3 解得：x  x 4（符合题意，如图1)， 1 2 第23页（共27页）②当a0时，如图2， 当x0时，y3；当x5时，y3， a23  ， 25a10(a1)a23 5 解得：5a ， 学 16 5 0a ； 升 16 ③当a0时，如图3， 哥 水 当x0时，y3；当x5时，y3， a23  ， 25a10(a1)a23 5 解得：5a ， 16 5a0； 1 5 综上所述，a的取值范围是：a 或0a 或5a0． 3 16 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握 二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 25．（12分）如图1，在边长为1的正方形ABCD中，AE平分BAC，交BC于点E，过点E作EF  AC 第24页（共27页）于点F ，延长FE 交AB的延长线于点H ，过点F 作FG//BC交AE于点G，连接BG． （1）求证：BH FC ； （2）求证：四边形BEFG是菱形； （3）如图2，点M 是CD的中点，点P是AD上的动点，点N是对角线AC上的动点，请问PM PN 是 否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得BE EF ，于是易通过ASA证明BEH FEC ，再利用全等三角 学 形的性质即可证明； （2）易得CEF为等腰直角三角形，CEF 45，升由平行线的性质得到AFGACB45，易通过HL 证明RtABERtAFE，得到AB AF ，哥则可通过SAS 证明ABGAFG，得到ABGAFG45， 进一步可得EBGCEF 45，则BG//EF ，由BG//EF ，FG//BE 可得四边形BEFG是平行四边形， 水 结合BE EF即可证明四边形BEFG是菱形； （3）作点M 关于AD的轴对称点M，连接DM，过点M作MN AC于点N，MN交AD于点P， 由垂线段最短可知，当N与点N重合时，线段MN的长即为PM PN 的最小值，利用等腰直角三角形 的斜边和直角边的关系即可求解． 【解答】（1）证明：四边形ABC为正方形， ABC 90，即BC  AB， HBE 90， AE平分BAC，BE AB，EF  AC ， BEEF ， 在BEH 和FEC 中， FEC BEH  BE EF ，  HBE CFE BEH FEC(ASA)， 第25页（共27页）BH FC； （2）证明：四边形ABCD为正方形， ACB45， CEF 为等腰直角三角形，CEF 45， FG//BC ， AFGACB45， AE平分BAC，BE AB，EF  AC ， BAEFAE，BE EF ， 在RtABE和RtAFE中， BE FE  ， AE  AE RtABERtAFE(HL)， 学 AB AF， 在ABG和AFG中， 升 AB AF 哥  BAGFAG，  水 AG AG ABGAFG(SAS)， ABGAFG45， EBG90ABG904545， EBGCEF 45， BG//EF， 四边形BEFG是平行四边形， 又BE EF ， 四边形BEFG是菱形； （3）解：如图，作点M 关于AD的轴对称点M，连接DM，过点M作MN AC于点N，MN交AD 于点P， 第26页（共27页）由轴对称的性质可知，DM DM，PM PM， PM PN PMPN ， 由垂线段最短可知，当N与点N重合时，线段MN的长即为PM PN 的最小值， 点M 时CD的中点， 1 CM DM  DM， 2 学 3 CMCDDM ， 2 升 ACD45，MN AC， 哥 △CMN等腰直角三角形， 3 水 MN CM  2  3 2 ， 2 2 4 3 2 PM PN的最小值为 ． 4 【点评】本题主要考查正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、等腰直 角三角形的判定与性质，解题关键是：（1）熟知角平分线的点到角两边的距离相等；（2）熟知判定三角形 全等方法；（3）利用轴对称的性质得出PM PN 的最小值． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:24:54；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第27页（共27页）