23-24学年桃园中学九年级（上）9月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市白云区桃园中学九年级（上）月考数学试卷 （9 月份） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知x2是一元二次方程x2 mx20的一个解，则m的值是( ) A．3 B．3 C．0 D．0或3 2．（3分）一元二次方程x2 2x10的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（3分）抛物线yx2 2的顶点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,2) C．(2,0) D．(2,0) 4．（3分）二次函数yx2 2x3的最小值是( ) 学 A．2 B．2 C．升 1 D．1 5．（3分）把二次函数y3x2的图象向左哥平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次 函数关系式是( ) 水 A．y3(x2)2 1 B．y3(x2)2 1 C．y3(x2)2 1 D．y3(x2)2 1 6．（3分）已知m是方程x2 x10的一个根，则代数式m2 m的值等于( ) A．1 B．0 C．1 D．2 7．（3分）抛物线y2x2 8x1的顶点坐标为( ) A．(2,7) B．(2,25) C．(2,7) D．(2,9) 8．（3分）关于y2(x3)2 2的图象，下列叙述正确的是( ) A．顶点坐标为(3,2) B．对称轴为直线y3 C．当x 3时，y随x增大而增大 D．当x 3时，y随x增大而减小 9．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★ba2 3ab，如：3★532 335，若 x★26，则实数x的值是( ) A．4或1 B．4或1 C．4或2 D．4或2 10．（3分）已知二次函数ya(x1)2 c的图象如图所示，则函数yaxc的图象只可能是( ) 第1页（共22页）A． B． C． D． 学 一、填空题（每小题3分，共18分） 升 11．（3分）若函数y(m2)x|m| x1是二次函数，则m的值为 哥 12．（3分）一个二次函数的图象顶点坐标为(2,1)，形状与开口方向和抛物线y2x2相同，这个函数的解 水 析式为 ． 13．（3分）若抛物线yx2 mx9的对称轴是直线x4，则m的值为 ． 14．（3分）九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组 其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书．如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 ． 15．（3分）若关于x的一元二次方程kx2 x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 16．（3分）已知(2,y )，(1,y )，(3,y )是二次函数yx2 4xm上的点，则y ，y ，y 从小到大用 1 2 3 1 2 3 “”排列是 ． 二、解答题（共72分） 17．（4分）解方程：x2 4x20． 18．（4分）若关于x的一元二次方程x2 kxk10的一个根是3，求k值和方程的另一个根． 19．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天 收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； 第2页（共22页）（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 20．（8分）有一块长为32m，宽为20m的矩形鲜花实验基地，准备修筑同样宽的三条直路（如图）把基地 分成大小相等的六块作为试验田，种植不同品种的郁金香，要使试验田的面积为504m2，求道路的宽． 21．（8分）已知关于x的方程mx2 (m2)x20(m0)． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 22．（10分）已知关于x的二次函数yx2 2x3，解决以下问题： （1）开口方向： ； （2）对称轴： ； 学 （3）化为顶点式： ； 升 （4）顶点坐标： ； 哥 （5）“五点法”画函数图象  水  x y   （6）最值：当x 时，y有最 值是 ； （7）增减性：当x 时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小； 第3页（共22页）（8）将函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到函数解析式为 ； （9）点P(3,y )、Q(1,y )在函数图象上，则y y ． 1 2 1 2 23．（10分）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点(E不与A、B重合），F 是AD的延长线 上一点，DF 2BE．四边形AEGF是矩形，其面积y随BE 的长x的变化而变化且构成函数． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若上述（1）中是二次函数，请用配方法把它转化成ya(xh)2 k的形式，并指出当x取何值时， y取得最大（或最小）值，该值是多少？ （3）直接写出抛物线与x轴交点坐标． 学 升 24．（10分）如图，抛物线yax2 bxc 哥 (a0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x1， 已知：A(1,0)、C(0,3)． 水 （1）求抛物线yax2 bxc(a0)的解析式； （2）求出B点坐标； （3）在对称轴上是否存在一个P点，使PAPC最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你 说明理由． 25．（12分）如图，等腰RtABC的直角边AB2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度做 直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D． （1）设AP的长为x，PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式； （2）当AP的长为何值时，S S ； PCQ ABC 第4页（共22页）（3）作PE  AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 学 升 哥 水 第5页（共22页）2023-2024 学年广东省广州市白云区桃园中学九年级（上）月考数学试卷 （9 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）已知x2是一元二次方程x2 mx20的一个解，则m的值是( ) A．3 B．3 C．0 D．0或3 【分析】一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式 子仍然成立． 【解答】解：把x2代入方程x2 mx20，可得42m20，得m3，故本题选B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义． 2．（3分）一元二次方程x2 2x10的根的情况为( ) 学 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 升 C．只有一个实数根 D．没有实数根 哥 【分析】先计算判别式得到△(2)2 4(1)80，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 水 【解答】解：根据题意△(2)2 4(1)80， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根的判别式△b2 4ac：当△0，方程有两 个不相等的实数根；当△0，方程有两个相等的实数根；当△0，方程没有实数根． 3．（3分）抛物线yx2 2的顶点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,2) C．(2,0) D．(2,0) 【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式 ya(xh)2 k的形式，直接写出顶点坐标即可． 【解答】解：抛物线yx2 2， 抛物线yx2 2的顶点坐标是(0,2)， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数ya(xh)2 k的顶点坐标为(h,k)，对称轴为xh， 第6页（共22页）此题基础题，比较简单． 4．（3分）二次函数yx2 2x3的最小值是( ) A．2 B．2 C．1 D．1 【分析】先把解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解． 【解答】解： y(x1)2 2， a10， 当x1时，y有最小值2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取 全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点 处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 5．（3分）把二次函数y3x2的图象向左平移2个单位，再向学上平移1个单位，所得到的图象对应的二次 函数关系式是( ) 升 A．y3(x2)2 1 B．y3(x2)2哥 1 C．y3(x2)2 1 D．y3(x2)2 1 【分析】根据二次函数的平移规水律：上加下减，左加右减，即可求得结果． 【解答】解：把二次函数y3x2的图象向左平移2个单位，得到y3(x2)2， 再向上平移1个单位，得到 y3(x2)2 1， 故答案选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的平移规律． 6．（3分）已知m是方程x2 x10的一个根，则代数式m2 m的值等于( ) A．1 B．0 C．1 D．2 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这 个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2 m的值． 【解答】解：把xm代入方程x2 x10可得：m2 m10， 即m2 m1； 故选：A． 【点评】此题应注意把m2 m当成一个整体．利用了整体的思想． 第7页（共22页）7．（3分）抛物线y2x2 8x1的顶点坐标为( ) A．(2,7) B．(2,25) C．(2,7) D．(2,9) 【分析】代入顶点坐标公式，或用配方法将抛物线解析式写成顶点式，确定顶点坐标． 【解答】解：y2x2 8x12(x2)2 7，顶点坐标为(2,7)．故选：C． 【点评】要求学生熟记顶点坐标公式或者配方法的解题思路． 8．（3分）关于y2(x3)2 2的图象，下列叙述正确的是( ) A．顶点坐标为(3,2) B．对称轴为直线y3 C．当x 3时，y随x增大而增大 D．当x 3时，y随x增大而减小 【分析】已知二次函数的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴，逐一判断即可． 【解答】解：顶点坐标为(3,2)，故A选项错误； 对称轴为直线x3，故选项B错误； 学 因为二次项系数为20，故函数图象开口向上对称轴为直线x3， 故当x 3时，y随x增大而增大，故C选项正确；D 升选项错误， 故选：C． 哥 【点评】本题主要考查二次函数水的性质，熟练掌握二次函数的顶点式ya(xh)2 k，顶点坐标是(h,k)， 对称轴是直线xh． 9．（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★ba2 3ab，如：3★532 335，若 x★26，则实数x的值是( ) A．4或1 B．4或1 C．4或2 D．4或2 【分析】根据新定义a★ba2 3ab，将方程x★26转化为一元二次方程求解． 【解答】解：依题意，原方程化为x2 3x26， 即x2 3x40， 分解因式，得(x1)(x4)0， 解得x 1，x 4． 1 2 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解， 得出两个一次方程求解． 10．（3分）已知二次函数ya(x1)2 c的图象如图所示，则函数yaxc的图象只可能是( ) 第8页（共22页）A． B． C． D． 学 【分析】根据二次函数ya(x1)2 c的图象可得a0，c0，由此即可判断yaxc的图象经过的象 升 限． 哥 【解答】解：根据二次函数 ya(x1)2 c的图象， 水 可得a0，c0； 故yaxc的图象过一二四象限；分析可得答案为D． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数、二次函数的图象和性质． 一、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）若函数y(m2)x|m| x1是二次函数，则m的值为 2 【分析】根据“形如yax2 bxc(a0)的函数关系，称为y关于x的二次函数，其中a，b，c为常数”， 即可求解． 【解答】解：函数y(m2)x|m| x1是二次函数， |m|2且m20， 解得：m2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，关键是二次函数定义的熟练掌握． 第9页（共22页）12．（3分）一个二次函数的图象顶点坐标为(2,1)，形状与开口方向和抛物线y2x2相同，这个函数的解 析式为 y2(x2)2 1 ． 【分析】设抛物线的解析式为ya(xh)2 k，由条件可以得出a2，再将顶点坐标代入解析式就可以 求出结论． 【解答】解：设抛物线的解析式为ya(x2)2 1，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y2x2相同， a2， y2(x2)2 1， 故答案为：y2(x2)2 1． 【点评】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质 求出a值是关键． 学 13．（3分）若抛物线yx2 mx9的对称轴是直线x4，则m的值为 8 ． 升 b 【分析】抛物线yax2 bxc的对称轴为直线x ，根据对称轴公式可求m的值． 2a 哥 【解答】解：a1，bm， 水 b m 根据对称轴公式得：  4， 2a 2 解得m8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了抛物线对称轴公式的运用． 14．（3分）九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组 其他成员赠送一本，全组共互赠了 240 本图书．如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是 x(x1)240 ． 【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x1)本，有x名学生，那么总互共送x(x1)本， 根据全组共互赠了240本图书即可得出方程． 【解答】解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x1)本； 则总共送出的图书为x(x1)； 又知实际互赠了240本图书， 则x(x1)240． 故答案为：x(x1)240． 第10页（共22页）【点评】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是(x1)本是解决本题的 关键． 15．（3 分）若关于 x 的一元二次方程kx2 x10 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 1 k  且k 0 ． 4 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， △12 4k(1)0， 1 解得k  ． 4 又因为k 0， 1 所以实数k的取值范围是：k  且k 0． 4 1 故答案为：k  且k 0． 学 4 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 升 16．（3分）已知(2,y )，(1,y )，(3,y )是二次函数yx2 4xm上的点，则y ，y ，y 从小到大用 1 2 哥3 1 2 3 “”排列是 y  y  y 水． 3 2 1 【分析】求出抛物线的对称轴为直线x2，然后根据二次函数的增减性解答． 4 【解答】解：抛物线的对称轴为直线x 2， 21 a10， 抛物线开口方向向上， y  y  y ． 3 2 1 故答案为：y  y  y ． 3 2 1 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴 解析式是解题的关键． 二、解答题（共72分） 17．（4分）解方程：x2 4x20． 【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案． 【解答】解：x2 4x20 第11页（共22页）x2 4x2 x2 4x424 (x2)2 2， 则x2 2， 解得：x 2 2，x 2 2． 1 2 【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键． 18．（4分）若关于x的一元二次方程x2 kxk10的一个根是3，求k值和方程的另一个根． 【分析】将x3代入方程x2 kxk10得到k的值，然后解一元二次方程即可． 【解答】解：一元二次方程x2 kxk10的一个根是3， 93kk10， k 4． 学 一元二次方程为x2 4x30， (x3)(x1)0， 升 x 3，x 1， 哥 1 2 水 一元二次方程为x2 kxk10的另一个根为1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的定义，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元 二次方程的方法和熟知一元二次方程根的定义． 19．（6分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天 收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数(1每次增长的百分率）2第三天收到 捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可； （2）第三天收到捐款钱数(1每次增长的百分率）第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可． 【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得， 10000(1x)2 12100， 解得x 0.1，x 2.1（不合题意，舍去）； 1 2 第12页（共22页）答：捐款增长率为10%． （2）12100(110%)13310元． 答：第四天该单位能收到13310元捐款． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数(1每次降价的百分率） 2第三天收到捐款钱数． 20．（8分）有一块长为32m，宽为20m的矩形鲜花实验基地，准备修筑同样宽的三条直路（如图）把基地 分成大小相等的六块作为试验田，种植不同品种的郁金香，要使试验田的面积为504m2，求道路的宽． 【分析】可结合平移的思想知道，设路宽是x米，试验田的宽变为(20x)，长为(322x)，根据试验田的 面积可列方程求解． 学 【解答】解：设路宽是x米． 升 (322x)(20x)504 ， 哥 x34（舍去）或x2． 水 所以路宽2米． 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是找到试验田的长和宽，以面积作为等量关系列方程求解． 21．（8分）已知关于x的方程mx2 (m2)x20(m0)． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△(m2)2 4m2(m2)2，再根据非负数的值得到△ 0，然后 根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； 2 （2）利用因式分解法解方程得到x 1，x  ，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 1 2 m 【解答】（1）证明：m0， △(m2)2 4m2 m2 4m4 (m2)2， 第13页（共22页）而(m2)2 0，即△ 0， 方程总有两个实数根； （2）解：(x1)(mx2)0， x10或mx20， 2 x 1，x  ， 1 2 m 当m为正整数1或2时，x 为整数， 2 即方程的两个实数根都是整数， 正整数m的值为1或2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根的判别式△b2 4ac：当△0，方程有两 个不相等的实数根；当△0，方程有两个相等的实数根；当△0，方程没有实数根． 学 22．（10分）已知关于x的二次函数yx2 2x3，解决以下问题： 升 （1）开口方向： 向上 ； 哥 （2）对称轴： ； 水 （3）化为顶点式： ； （4）顶点坐标： ； （5）“五点法”画函数图象   x y   第14页（共22页）（6）最值：当x 时，y有最 值是 ； （7）增减性：当x 时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小； 学 （8）将函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到函数解析式为 ； 升 （9）点P(3,y )、Q(1,y )在函数图象上，则y y ． 1 2 1 2 哥 【分析】（1）根据a的值即可确定抛物线开口方向； （2）根据a、b的值即可确定抛水物线； （3）用利配方法可将抛物线一般式转化为顶点式； （4）根据yx2 2x3(x1)2 2，即可确定抛物线顶点坐标； （5）取5个自变量x的值计算出y，得到5个坐标即可求解； （6）根据yx2 2x3(x1)2 2，可求得函数的最值； （7）根据yx2 2x3(x1)2 2，可求得函数的增减性； （8）根据函数图象平移的规律即可求解； （9）根据函数的增减性即可求解． 【解答】解：（1）a10， 抛物线开口向上， 故答案为：向上； 2 （2）抛物线的对称轴为：x 1， 21 故答案为：1； 第15页（共22页）（3）抛物线化为顶点式为：yx2 2x3(x1)2 2， 故答案为：y(x1)2 2； （4）由（3）可知，抛物线顶点坐标为：(1,2)， 故答案为：(1,2)； （5）列表： x ．．． 1 0 1 2 3 ．．． y ．．． 6 3 2 3 6 ．．． 描点，连线如下： 学 升 哥 水 （6）yx2 2x3(x1)2 2， 当x1时，y有最小值，最小值为2， 故答案为：1，小，2； （7）当x1时，y随x增大而增大，当x1时，y随x增大而减小， 故答案为：1，1； （8）yx2 2x3(x1)2 2 则将函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位， 得到函数解析式为 y(x13)2 25(x2)2 3， 故答案为：y(x2)2 3x2 4x1； 第16页（共22页）（9）由增减性可知，当x1时，y随x增大而减小， 311， y  y ， 1 2 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图形的平移，主要利用了二次函数的增减性，二次函数的 对称性，熟记二次函数的性质是解题的关键． 23．（10分）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB边上一点(E不与A、B重合），F 是AD的延长线 上一点，DF 2BE．四边形AEGF是矩形，其面积y随BE 的长x的变化而变化且构成函数． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若上述（1）中是二次函数，请用配方法把它转化成ya(xh)2 k的形式，并指出当x取何值时， y取得最大（或最小）值，该值是多少？ （3）直接写出抛物线与x轴交点坐标． 学 升 哥 水 【分析】（1）表示出AE、AF ，然后根据矩形的面积公式列式整理即可得解； （2）根据配方法整理，然后根据二次函数的最值问题解答； （3）令y0，解关于x的一元二次方程即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）正方形ABCD的边长是4，BEx，DF 2BE， AE  ABBE 4x，AF  ADDF 42x， y(4x)(42x)2x2 4x16， E 不与A、B重合， 0x4， 故y2x2 4x16(0x4)； （2）y2x2 4x162(x2 2x1)2162(x1)2 18， 第17页（共22页）y2(x1)2 18， a20， x1时，y有最大值，最大值为18； （3）令y0，则2x2 4x160， 整理得，2x2 4x160， 解得x 2，x 4， 1 2 抛物线与x轴交点坐标为(2,0)，(4,0)． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的三种形式，二次函数的最值问题，抛物线与x轴 的交点问题，读懂题目信息并理解“句型”的定义是解题的关键． 24．（10分）如图，抛物线yax2 bxc(a0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x1， 学 已知：A(1,0)、C(0,3)． 升 （1）求抛物线yax2 bxc(a0)的解析式； 哥 （2）求出B点坐标； 水 （3）在对称轴上是否存在一个P点，使PAPC最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你 说明理由． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线x1及A(1,0)、C(0,3)，利用待定系数法即可求解； （2）令y0，可得x2 2x30，求解即可得点B的坐标； （3）根据轴对称图形的性质和两点间线段最短可知，PAPB，则PAPCPBPC BC（当C、P、 B在同一直线上时，取等号），直线BC与抛物线对称轴的交点就是所求的P点．可先求出这条直线的解析 式然后联立抛物线对称轴的解析式即可求得P点坐标． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x1， 第18页（共22页）b  x 1，则b2a， 2a abc0  将A(1,0)、C(0,3)代入 yax2 bxc(a0)中，得c3 ，  b2a a1  解得：b2，  c3 解析式为：yx2 2x3； （2）当y0时，x2 2x30，解得：x 1，x 3， 1 2 点B的坐标为(3,0)； （3）存在，理由如下， 如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP， 学 由对称可知，PAPB，则PAPCPBPC BC（当C 、P、B在同一直线上时，取等号），此时点P 升 为直线BC与抛物线对称轴的交点， 哥 水 设直线BC的解析式为ymxn， 3mn0 代入B(3,0)，C(0,3)，得 ， n3 m1 解得： ， n3 直线BC的解析式为yx3， 当x1时，y2，即此时点P的坐标为(1,2)． 【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，函数图象交点，路径最短问题等知识点．解 题的关键是根据所学的知识确定点P的位置是解题的关键． 25．（12分）如图，等腰RtABC的直角边AB2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度做 直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D． 第19页（共22页）（1）设AP的长为x，PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式； （2）当AP的长为何值时，S S ； PCQ ABC （3）作PE  AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 【分析】（1）本题要分两种情况进行讨论： ①当P在线段AB上；②当P在AB延长线上． PCQ都是以CQ为底，PB为高，可据此得出S、x的函数关系式． 学 （2）先计算出ABC 的面积，然后将其值代入（1）中得出的两个函数式中，即可得出所求的AP的长． 升 （3）本题要分两种情况进行计算： 哥 CF ①当P在线段AB上时，过P作PF //QB交AC于F ，那么不难得出PFDQCD，因此DF CD ， 2 水 而CF  AC2AE，因此根据DE EF DF 即可得出DE的长． ②当P在线段AB延长线上时，DE EF FD． 然后比较①②的DE的长是否相等即可判断出线段DE的长度是否改变． 1 【解答】解：（1）①当点P在线段AB上时（如图1)，S  CQPB． PCQ 2 APCQx，PB2x． 1 S  x(2x)． PCQ 2 1 即S  (2xx2)(0 x2)； 2 1 ②当点P在AB延长线上时（如图2)，S  CQPB． PCQ 2 APCQx，PB x2． 1 S  x(x2)． PCQ 2 1 即S  (x2 2x)(x2)； 2 第20页（共22页）1 （2）S  222． ABC 2 1 ①令 (2xx2)2，即x2 2x40，此方程无解； 2 1 ②令 (x2 2x)2，即x2 2x40，解得x1 5． 2 故当AP的长为1 5时，S S ． PCQ ABC 学 （3）作PF //BC 交AC 交延长线于F ，则APPF 升CQ ． PFDQCD． 哥 CF FDCD ． 水 2 AP x， 2x AEEF  ． 2 AB2， AC 2 2． ①当点P在线段AB上时， CF 2 CF  ACAF 2 2 2x，FD  2 x． 2 2 2 2x DEEFDF  2 x  2 ； 2 2 ②当点P在AB延长线上时， CF 2 CF  AF AC  2x2 2．FD  x 2． 2 2 2 2 DEEFFD AF AEDF  2x x ( x 2) 2 ． 2 2 故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于 2． 第21页（共22页）【点评】本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的应用，主要考查了学生分类讨论、数形结合的数学 思想方法． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:22:02；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 学 升 哥 水 第22页（共22页）