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强化提升-数资 4
（笔记）
主讲教师：周末
授课时间：2024.07.16
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 4（笔记）
数量关系
【注意】行程问题——普通行程：有的省份 15 道题中可能会出现 2 道题，
最简单的就是普通行程问题，基本都是套公式。
1.路程=速度*时间（S=V*t）。
2.平均速度：
（1）平均速度=总路程/总时间。
（2）等距离平均速度=2VV/（V +V）。前提是等距离，比如上坡速度 V，下
1 2 1 2 1
坡速度V，求往返的平均速度。
2
3.匀变速运动的平均速度（匀加速、匀减速都是匀变速）=（初速度+末速度）
/2。
1.（2023广东）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时 20千
米，那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时 24 千米，那么将提早 5 分钟到
达。则甲镇到乙镇的距离为多少千米？
A.8 B.10
C.12 D.16
【解析】1.假设t时间到达，注意单位统一，5分钟=5/60=1/12 小时，列式：
S=20*t=24*（t-1/12），化简为20t=24t-2→4t=2，解得t=0.5。求S，代回式子，
S=20*0.5=10千米，对应 B项。【选B】
12.（2020 联考）小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道
斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带
课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了 1个小时，假设小明当天平路骑行速
度为9千米/小时，上坡速度为 6千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，那么小
明的家距离学校多远？
A.3.5 千米 B.4.5千米
C.5.5 千米 D.6.5千米
【解析】2.抓住内核，掌握公式。从家出发，先是一段平路，再是一段斜坡，
从离开家到赶回家就完成了一个往返，往返共用 1小时，已知平路速度为 9，上
坡速度为6，下坡速度为 18，题目给了三个速度，但是没有办法直接乘以时间求
路程。出现了往返，行走的过程是等距离，利用等距离平均速度公式，则 V =
上下
（2*6*18）/（6+18）=9，V =V =9，则全程的平均速度也是 9，S =9*1=9，
上下 平 往返
即S =9/2=4.5，对应B项。【选B】
单程
【注意】
1.等距离平均速度=2VV/（V+V）。
1 2 1 2
2.因不知道平路和上下坡路程的具体数值或比例关系，则平路的速度 V 和
平
上下坡往返的平均速度 V 一定相等，否则无法求解总的平均速度。
上下
3.类比：10%的溶液和20%的溶液进行混合，只能确定浓度在10%至20%之间，
但求不出具体值。但是 10%的溶液和10%的溶液进行混合，浓度一定还是 10%。
4.可以直接利用结论，V 一定和 V 一样，则整个往返的平均速度就是 9，
上下 平
所求=（9*1）/2=4.5。
2【注意】行程问题——相对行程：考场上复杂题不做，有些相对行程需要画
图，再列式求解，就比较耗时间，可以先跳过，先做简单题。
1.相遇、追及：
（1）相遇（反向）：S =V *t 。
和 和 遇
（2）追及（同向）：S =V *t 。
差 差 追
2.环形运动：
（1）环形第 n次相遇：n圈=V *t 。
和 遇
（2）环形第 n次追及：n圈=V *t 。
差 追
3.流水行船：
（1）顺水：S=（V +V ）*t 。
船 水 顺
（2）逆水：S=（V -V ）*t 。
船 水 逆
比例行程：
1.三量关系：路程=速度*时间。
2.路程一定（相同），速度与时间成反比：V/V=t/t。
1 2 2 1
3.速度一定（相同），路程与时间成正比：S/S=t/t。
1 2 1 2
4.时间一定（相同），路程与速度成正比：S/S=V/V。
1 2 1 2
3【注意】比例行程：
1.三量关系：路程=速度*时间。
2.路程一定（相同），速度与时间成反比：V/V=t/t。路程一样，速度越快，
1 2 2 1
时间就越少。
3.速度一定（相同），路程与时间成正比：S/S=t/t。速度相同，跑的时间
1 2 1 2
越长，路程就越长。
4.时间一定（相同），路程与速度成正比：S/S=V/V。
1 2 1 2
3.（2023 联考）为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B
两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从 A、B 两
地相向开出，甲车每小时行驶 74千米，乙车每小时行驶 65 千米，两车在距中点
18千米处相遇。这条连通 A、B两地的高速公路全长是：
A.139 千米 B.256千米
C.278 千米 D.556千米
【解析】3.方法一：画图，相遇位置在中点靠近 B地，因为甲的速度快；看
到相遇，公式：S =V *t，但是t未知。两辆车同时出发，同时出发的相遇问题，
和 和
说明时间相等，假设相遇时间为t，全长的一半为 S，S -S =2*18→74*t-65*t=36
甲 乙
→9t=36，解得 t=4小时。S =V *t→全长=（74+65）*4=139*4=556，对应 D项。
和 和
方法二：时间一定（相同），路程与速度成正比：S/S=V /V。假设一半的路
1 2 1 2
程为 S，甲走了 S+18，乙走了 S-18，（S+18）-（S-18）=36。时间相同，则 V
甲
/V =S /S →74/65=（S+18）/（S-18），解得S=278，不能掉坑选 C项，求全长，
乙 甲 乙
所求=2S=278*2=556，对应D项。【选 D】
4【注意】
1.时间一定（相同），路程与速度成正比：S/S=V/V。
1 2 1 2
2.同时出发的相遇→t相同。
4.（2023 事业单位）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶 120
千米用时 6 小时；在同样的水流速度下，逆水行驶 80 千米用时 8 小时。则甲驾
驶这艘小船在静止水面上行驶 150千米需要多少小时？
A.10 B.9
C.8 D.12
【解析】4.由题可知，V =120/6=20，V =80/8=10，V =（20+10）/2=15，
顺 逆 船
则t=150/15=10，对应A项。【选A】
【注意】V =V +V ，V =（V +V ）/2；V =V -V ，V =（V -V ）/2。
顺 船 水 船 顺 逆 逆 船 水 水 顺 逆
5.（2024联考）A、B 两地相距100 米，甲、乙两人分别从 A、B两地同时出
发，匀速相向而行，相遇后，甲原路返回 A地，乙继续向 A 前行，当甲、乙均到
A地时结束。已知乙的用时是甲的三倍，那么甲的速度是乙的：
A.2 倍 B.3倍
C.4 倍 D.5倍
【解析】5.“同时出发”、“相遇”，说明到相遇的时候两个人的时间一样，
画图，求速度倍数，考虑比例行程。相遇段：同时出发、到相遇的位置时间相同，
如果甲的时间为 t，则乙的时间也是t；甲去的时间是t，回去的时间也是 t，则
整个过程甲的时间为 2t，“乙的用时是甲的三倍”，整个过程乙的时间为 2t*3=6t。
结合比例行程，从相遇点→A 点，甲的用时为 t，乙的用时为 6t-t=5t，路程一
5定，速度和时间成反比，t ：t =t：5t=1：5，则 V ：V =5：1，为 5 倍，对
甲 乙 甲 乙
应D项。【选D】
【注意】经验：行程问题求速度的倍数（V /V ），基本上都是考虑比例行
甲 乙
程。
6.（2021 重庆选调）某机关下午 2 点整派车去党校接某教授作党史教育专
题授课，往返需 1小时，该教授在下午 1点整就离开党校向该机关步行走来，途
中遇到接他的车，便乘上车去该机关，于下午 2 点 50 分到达，不考虑上下车时
间，汽车的速度是教授步行速度的：
A.12 倍 B.13倍
C.15 倍 D.17倍
【解析】6.求 V/V，求速度的倍数，利用比例。已知往返时间为 1 小时，
1 2
则单程为 30 分钟；画图，教授先走了 1 小时，车从 2：00 出发，2：50 到达，
车往返实际用了 50 分钟，说明实际单程为 25 分钟，即车接到教授的时间为 2：
25；教授从 1 点出发，2：25 上车，则教授走了 60+25=85 分钟。同一段路，开
车需要 5 分钟，教授走路需要 85 分钟，S 相同，速度与时间成反比，t ：t
车 教授
=5：85=1：17，则 V ：V =17：1，为 17倍，对应D项。【选 D】
车 教授
6【注意】
1.相遇：同时出发→t相同。
2.经验：求 V/V，往往是用比例行程。
1 2
【注意】公式运用：考查公式。
1.周长：正方形=4a，长方形=2（a+b），圆形=2πR，弧长=2πR*n/360。
2.面积：正方形=a²，长方形=ab，三角形=ah/2，圆形=πR²，扇形=πR²*n/360，
梯形=（1/2）*（a+b）h，菱形=对角线乘积/2。
3.表面积：正方体=6a²，长方体=2（ab+bc+ac），圆柱体=2πR²+2πRh，球
体=4πR²。
4.体积：正方体=a³，长方体=abc，柱体=Sh，锥体=（1/3）Sh，球体=（4/3）
*πR³。
77.（2023 国考）一个圆柱体零件 A 和一个圆锥体零件 B 分别用甲、乙两种
合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2 倍，两个零件的
高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【解析】7.由题可知，圆柱体r=h，圆锥r=2h，没有具体的数值，可以利用
赋值，赋值h=1，则圆柱的r=h=1，圆锥 r=2h=2。已知质量相同，问密度，m=𝜌*v
（质量=密度*体积）。质量相同→密度和体积成反比，𝜌 /𝜌 =V /V =[（1/3）
甲 乙 乙（圆锥） 甲（圆柱）
*π*2²*1]/[π*1²*1]=4/3，对应A项。【选A】
【注意】m=𝜌*v（质量=密度*体积）；m相同，𝜌与v成反比。
8.（2024上海）有一个底面直径为 16米，高为 6米的圆锥形帐篷。如在底
面半径不变的情况下，当帐篷的高增加 h 米后，帐篷的锥形面积增加了 56π平
方米，那么此时帐篷的体积为（注：锥形面积为该圆锥形帐篷的侧面积，若圆锥
体母线长为l，底面半径为 r，则其侧面积为πrl）：
A.221π B.256π
C.288π D.320π
【解析】8.考查圆锥的体积，V =（1/3）*S *h。括号中解释了一个概念，
圆锥 底
锥形面积就相当于圆锥的侧面积，圆锥可以看成一个直角三角形旋转 360°，圆
锥的母线其实就是斜边，侧面积为πrl。通过原来的圆锥可以求出母线，直径=16，
则 r=8，h=6，则 l=10；原来的侧面积=πrl=π*8*10=80π，圆锥变高之后，侧
面积比原来增加了 56π，则现在的侧面积=80π*56π=136π。半径不变，即 r
还是 8，现在的侧面积 136π=π*8*l’，解得 l’=17，在直角三角形中求高，
可以利用勾股定理计算，也可以直接利用勾股数（8、15、17），h’=√17²−8²=15，
V =（1/3）*π*8²*15=320π，对应 D项。【选D】
圆锥
8【注意】圆锥母线是围成此圆锥所用扇形的半径。
【注意】三角形相关：积累结论。
1.基础知识：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.勾股定理：
（1）a²+b²=c²。
（2）特殊勾股数（常考的勾股数可以背下来）：（3、4、5），（6、8、10），
（5、12、13）。
（3）特殊三角形：
①30°、60°、90°对应三边比例=1：√3：2。
②45°、45°、90°对应三边比例=1：1：√2。
93.面积相关：出现好多个三角形，并且这些三角形还有公共边。
（1）底（高）相等的三角形，面积比等于高（底）之比。如图，左边的两
个三角形高相同，右边的两个三角形底相同。
（2）相似三角形，对应边长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形就是等比例缩放。
9.（2024联考）A、D 两地设有通信基站（如下图所示），发射信号范围分别
是以A、D为圆心，AE 和DB为半径的圆形区域，小林从 B地出发，沿与 DB垂直
的BA方向匀速行进，步行速度为 4千米/小时，那么步行约多少分钟后小林的手
机能够重新接收到信号？（√5≈2.23）
A.8 B.10
C.12 D.14
【解析】9.方法一：分析题干，没有信号的范围是 BC 段，t=BC/4，本题转
化为求BC。直角三角形，结合勾股定理，AD=√1²+2²=√5，则 AE=√5-1，AE也
作为半径，则AC=√5-1，BC=AB-AC=2-（√5-1）=3-√5≈3-2.23=0.77，则t=0.77
（千米）/4（千米/小时），注意单位，最后问分钟，t=0.77*60/4=0.77*15=11.55
≈12，对应 C项。【选C】
10【注意】√2≈1.414，√3≈1.732。
平面最短路径：
1.解题原理：两点之间，线段最短。
2.解题技巧：
（1）两点异侧，直接连线。
（2）两点同侧，镜面对称再连线：
①找 A的镜面对称点 A′。
②连接 A′B。
【注意】平面最短路径：固定结论。
1.解题原理：两点之间，线段最短。
2.解题技巧：
（1）两点异侧，直接连线。
（2）两点同侧，镜面对称再连线：会设置情境，一般会经过某一个点再到
另外一个点，求两个距离加和最短。
①找 A的镜面对称点 A′。
11②连接 A′B，与河边相交的点是 O点，AO=A’O，AO+BO=A’O+BO=A’B。
10.（2024 国考）甲、乙两个联络站相距 10 千米。一条道路与甲、乙联络
站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12 千米。现需紧邻该道路建一
个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】10.画图分析，甲乙之间距离为 10，蓝线表示道路。问距离之和最
小为多少，做甲的对称点甲’，连接甲’乙，甲’乙为最小距离。因为对称，甲’
到道路的距离也为 12，如图所示，出现直角三角形，直角边为 10 和 12+12=24，
斜边一定大于直角边，即大于 24，只有 D 项符合。或者根据 10/24=5/12，想到
勾股数5、12、13，扩大2倍为10、24、26，对应D项。【选 D】
1211.（2021 广东选调）如图三角形中，A、B分别为两条边的中点，则图中阴
影部分面积为三角形总面积的：
A.1/3 B.1/4
C.2/7 D.3/8
【解析】11.A、B 点是中点，连接 AB，AB 是中位线，中位线和底边平行，
出现梯形，旋转如下图所示，所求的两个阴影刚好相当于蝴蝶的两个翅膀。三角
形左边的边之比为 1：2（B点为中点），梯形的上底：下底=1：2，则面积之比为
1：4，四个面积分别为 1、4、2、2，题型面积为 1+4+2+2=9，最上面白色三角形
面积/大三角形面积=相似比²=（1/2）²=1/4，说明梯形面积对应 4-1=3份，3份
对应面积为 9，则最上面白色三角形为 1 份，对应面积为 3。S /S =（2+2）/
阴影 总
（3+9）=4/12=1/3，对应A项。【选A】
【注意】梯形蝴蝶定理结论：S ：S：S ：S=a²：b²：ab：ab。梯形有一组
1 2 3 4
对边平行，连接对角线出现四个三角形，梯形上底为 a，下底为 b。梯形的上底
和下底是平行的，则两个三角形 S 和 S 相似，边长比=a：b，面积比=相似比²，
1 2
13则S/S =（a/b）²=a²/b²。S 和S 的高相同，相似三角形所有的边成比例，面积
1 2 1 3
之比=底之比=a/b，则 S/S=a/b=a²/ab。同理，S 和 S 的高相同，面积之比=底
1 3 1 4
之比，则S/S=a/b=a²/ab。S：S：S ：S=a²：b²：ab：ab。
1 4 1 2 3 4
【拓展】（2021 四川）一块长方形土地 ABCD 中绘有 3 条会侧线如图所示。
已知AE 和CF垂直于对角线 BD，AE、EF 分别长8米和12米。问整块土地的面积
为多少平方米？
A.96 B.156
C.160 D.240
【注意】拓展.AE=CF=8（对角线两侧的三角形面积相等），EF=12，已知长方
形两条对角线相等且互相平分，连接 AC，12 平分为 6，出现 6、8，在直角三角
形中，常见勾股数为 6、8、10，则对角线一半为 10，AC=BD=10+10=20，所求
=8*20/2*2=160，对应C项。【选C】
14【注意】结论知识：长方形两条对角线相等且互相平分。
【注意】排列组合问题：难在思维上比较抽象。
1.基础概念：
（1）分类与分步：造句。
①分类用加法（要么……要么……）。
②分步用乘法（既……又……）。
（2）排列（A）与组合（C）：
①有序用排列（不可互换）。
②无序用组合（可以互换）。
2.经典题型：
（1）必须相邻，捆绑法，先捆再排。
（2）不能相邻，插空法，先排再插。
（3）同素分堆，隔板法，C（n-1,m-1）。
3.正难反易：总情况数-反面情况数。
12.（2024 山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地区开
展对口支援工作。该医院现有 6名男医生和 3名女医生报名，现从 9人中抽取一
组男、女医生都有的 3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【解析】12.要求从 9 人中抽取一组男、女医生都有的 3 人小分队，要么是
151 名男医生 2 名女医生，要么是 2 名男医生 1 名女医生。（1）1 名男医生 2 名女
医生：从6名男医生中选 1名，选1名不涉及顺序，为C（6,1），从 3名女医生
中选2名为 C（3,2），既要选男医生又要选女医生，用乘法，为C（6,1）*C（3,2）
=6*3=18。（2）2 名男医生1名女医生：从6名男医生中选2 名为C（6,2），从3
名女医生中选1 名为C（3,1），既要选男医生又要选女医生，用乘法，为C（6,2）
*C（3,1）=6*5/2*3=45。要么1名男医生 2名女医生，要么 2名男医生1名女医
生，用加法，所求=18+45=63，对应A 项。【选A】
13.（2023 事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E在货柜上排成一
排，其中A、B必须排在一起，C、D不能排在一起。则有多少种不同的排列方式？
A.12 B.20
C.24 D.48
【解析】13.出现排在一起，用捆绑法；出现不能排在一起，用插空法；既
出现捆绑又出现插空，先捆绑后插空。A、B 相邻，捆起来要考虑内部顺序（A
前B后、A后B 前是不一样的）为A（2,2）=2，插空法要先安排其他人，即先安
排除了C、D之外的其他人，A、B相当于一个元素，和 E排队，相当于两个元素
（AB、E）排队，有顺序为 A（2,2）=2；一共形成 3 个空位，从 3 个空位中选 2
个让C、D插空，有顺序为 A（3,2）=3*2=6。先排AB，再排 ABE，再插空CD，分
步用乘法，所求=2*2*6=24，对应C项。【选C】
【注意】识别：排在一起→捆绑法；不能排在一起→插空法（先捆绑后插空）。
16【注意】概率问题：
1.给情况求概率：P=满足条件的情况数/总的情况数。求情况数需要结合排
列组合。
2.给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。只需要读懂题目，用加法、乘
法连接，大部分题目可以做。
3.正难反易：1-反面情况概率。
14.（2021 黑龙江公检法司）英语小组成员小明、小红、小花、小白、小玲
坐成一排，小玲和小红挨着坐，而小红和小花不挨着坐的概率是多少？
A.1/10 B.1/5
C.3/10 D.9/10
【解析】14.本题比较难。出现挨着坐，要捆绑；出现不挨着坐，要插空。
P=满足要求的情况数/总的情况数，需要分别找到满足要求的情况数和总的情况
数。总的情况数：5个人排队，有顺序为A（5,5）=120。满足要求的情况数：既
要相邻又要不相邻，先捆绑再插空，小玲和小红捆绑，有内部顺序为 A（2,2）；
除了小花之外还有小明和小白，去和小玲、小红排序，相当于3个主体，为A（3,3）；
常规插空是形成 4个空位，但是小红和小花不挨着，小花只能从 3个空位中选1
个，为 C（3,1）；满足要求的情况数=A（2,2）*A（3,3）*C（3,1）=2*6*3=36。
P=36/120=3/10，对应C项。【选C】
【注意】识别：排在一起→捆绑法；不能排在一起→插空法（先捆绑后插空）。
隔板法：同素分堆
【例】M个相同的苹果分给 N个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
方法（隔板法）
①M 个元素有 M-1个空位，分N堆，需要 N-1个板子
②至少分一个共有 C（M-1,N-1）种方法
【注意】隔板法：同素分堆。
1.例：M个相同的苹果分给 N个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法？
172.方法（隔板法）：
（1）M个元素有 M-1个空位，分 N堆，需要N-1个板子。
（2）至少分一个共有 C（M-1,N-1）种方法。比如6个相同的苹果分给 3个
人，每人至少分一个，有 C（6-1,3-1）=C（5,2）种分法。
15.（2020 联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小区内
的 6 棵树，每名工作人员至少修剪 1 棵（只考虑修剪的棵数），则小王至少修剪
3棵的概率为：
A.3/10 B.3/7
C.1/4 D.3/5
【解析】15.“只考虑修剪的棵数”说明 6 棵树是相同的，出现同素。6 棵
相同的树分给3 个工作人员，每人至少分 1棵，用隔板法，总情况数=C（6-1,3-1）
=C（5,2）=5*4/2=10。P=满足要求的情况数/总情况数，满足要求的情况数一定
比 10 少，可以枚举，小王 3 棵、小曾 2 棵、小郭 1 棵；小王 3 棵、小曾 1 棵、
小郭2棵；小王 4棵、小曾1棵、小郭 1棵，满足要求的情况数=3；P=3/10，对
应A项。【选A】
16.（2023 联考）某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。
先由两位编辑进行初审，若两位编辑评审都通过，则予以采用；若两位编辑都未
予通过，则不予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复审，若复审
通过，则予以采用，否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为
0.4，复审的稿件能通过的概率为 0.2，各编辑独立评审，则每篇征文被采用的
概率为：
A.0.32 B.0.256
C.0.24 D.0.208
【解析】16.本题是给概率求概率，D 项是坑。初审环节两个编辑都过则采
用，都不过则不采用，只有 1个编辑过进入复审，复审过则采用。（1）初审环节
两个编辑都过：0.4*0.4=0.16；（2）初审只有 1个编辑过进入复审，复审过：初
审1个编辑过、1个编辑不过，可能第一个人过、第二个人不过，可能第一个人
18不 过 、 第 二 个 人 ， 复 审 过 的 概 率 为 0.2 ， 为
0.4*0.6*0.2+0.6*0.4*0.2=0.048+0.048=0.096；所求=0.16+0.096=0.256，对应
B项。【选 B】
【注意】容斥原理问题：
1.公式法：大部分题目是公式法，优先用公式法，比较快，计算可以用尾数
法。
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.画图法：出现只A、只B。
（1）画圆圈，标数据。
（2）从里到外，注意去重。
17.（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有
12%的学生两个科目均不及格。已知有 2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比
英语多10人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31 B.37
C.41 D.44
【解析】17.出现 70 多、12%，是比例型倍数特性结合范围考查。都不/总
=12%=12/100=3/25，总人数是25的倍数，同时还是 70多，则总人数为 25*3=75
人；都不=3*3=9 人；英语及格=75*（2/3）=50 人，数学及格=50+10=60 人；代
入公式：50+60-AB=75-9，110-AB=66，AB的尾数为4，对应 D项。【选D】
19【注意】行程问题、排列组合与概率问题比较难，这种难的考点建议平时练
习简单的题；越容易的考点，比如工程问题、经济利润问题、常规几何问题，建
议大家平时多练习一下较难的题。
标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不
非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不
常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不
【注意】三集合容斥问题：等号右边都是“总数-都不”。
1.标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。
2.非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。满足两项是两
层，两层重复了一次，需要减一次；满足三项是三层，三层重复了两次，需要减
两次。
3.常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
18.（2019 青海法检）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：
求这个班最多有多少人？
20A.45 B.51
C.53 D.55
【解析】18.数学90分以上、语文 90分以上、英语90 分以上看成A、B、C
集合，出现A∩C、A∩B、B∩C，三门功课没有一门 90分以上为都不，用三集合
标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不，代入数据：
23+21+20-8-6-10+A∩B∩C=总数-5，问这个班最多有多少人，把总数放在一侧，
45+A∩B∩C=总数。要想总数最多，A∩B∩C 就要最多，考虑木桶原理，三门 90
分以上的人数，最多也不会超过两门 90 分以上最少的人数，即满足三者的一定
小于等于满足两者中的最小值，因此 A∩B∩C 最大取 6，所求=45+6=51，对应 B
项。【选 B】
【注意】满足三者的一定小于等于满足两者中的最小值。
19.（2024 深圳）某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业
的意愿进行调查，共 725名学生参与调查，可选其中 0至3 项。结果显示，选择
司法机关、律所、企业的学生分别有 360 人、380 人、237 人，3 项都选的学生
有60人，3项都不选的学生有 8人，则仅选择其中 1项的学生有多少人？
A.517 B.516
C.515 D.514
【解析】19.司法机关、律所、企业看成A、B、C 集合，没有出现 A∩C、A∩B、
B∩C，不能用标准型公式，考虑非标准型公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项=
总数-都不，代入数据：360+380+237-满足两项-2*60=725-8，满足两项=140人。
根据常识型公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不，满足一项
+140+60=725-8，满足一项的尾数+尾 0=尾 7，满足一项的尾数为 7，对应 A 项。
【选A】
【注意】常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
20.（2023 国考）农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育
21种培训。已知参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多
21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多 76人。问
共有多少人未参加任何一项培训？
A.21 B.23
C.25 D.27
【解析】20.“参加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加
的多 21%”，防病看成集合 A，育种看成集合 B，即 A 中参加 B 的比 A 中未参加 B
的（只A）多21%，AB/只A=1+21%=121/100，说明只A是100 的倍数，AB是121
的倍数，A=AB+只 A=221的倍数，因为总人数为 287人，则只 A为100*1=100人，
AB 为 121*1=121 人，B 中参加 A 的为 AB，B 中未参加 A 的为只 B，AB 比只 B 多
76，则 AB-只 B=76→121-只 B=76→只 B=45 人。未参加培训的人数=都不=总数-
只A-只 B-AB=287-（100+45+121），尾 7-尾6=尾1，对应A 项。【选A】
【注意】表述积累：两集合容斥中，出现 A 中参加 B→即 AB；A 中未参加 B
→即只A。
数量关系备考建议
数学运算：平时练习把感兴趣的逐个击破，找到拿手题型；
考场中争取留出 5～10分钟时间，优先短易熟代，跳着选做。
【注意】数量关系备考建议：不能都放弃。平时练习把感兴趣的逐个击破，
找到拿手题型，放弃不擅长的题型；考场中争取留出 5～10分钟时间，优先短（题
干短）易熟（熟悉的）代，跳着选做。挑3～4个做，再猜对 1～2个，正确率达
到 50%～60%。建议做能列方程的、能代入排除的、工程问题、经济问题、常规
几何问题、容斥问题，这些题大约占 60%。
【答案汇总】1-5：BBDAD；6-10：DADCD；11-15：AACCA；16-20：BDBAA
22遇见不一样的自己
Be your better self
23
