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主题：概率
日期：2022.12.13概率（笔记）
第八章 概率问题（可行性大小）
1.给情况求概率
2.给概率求概率
3.分类思量（正、逆向思想）
4.跟屁虫问题
5.比赛类概率
6.抓阄密码类
7.策略型
1.给情况求概率
【注意】所有的概率题，能做亦能猜；可行性大小→做一件事可行的概率是
多少，考场上纯做出来的概率比较小，边做边猜才能提高正确率。
【例 1】（2019 河南司法所）某书法兴趣班有学员 12人，其中男生 5人，女
生7人。从中随机选取 2名学生参加书法比赛，则选到 1名男生和1 名女生的概
率为：
35 35
A. B.
144 72
35 35
C. D.
132 66
【解析】1.方法一：P=满足情况数/总情况数，分子是考官的要求，分母是
总情况数，一定是分母好求，所求=C（5,1）*C（7,1）/C（12,2）=（5*7）÷（12*11/2）
=35/66，对应 D项。
方法二：猜题，所求=分子/分母，分母是 66，排除A、B、C项，猜测 D项。
方法三：总共 12人，男、女人数相差不多（5、7近似为6-、6+），说明整个
概率应该接近1/2，排除 A、C项，蒙B、D 项，50%的正确率。【选D】
- 1 -【例 2】（2015 国考）某单位有50人，男女性别比为 3：2，其中有 15人未
入党，若从中任选 1人，则此人为男性党员的概率最大为多少：
3 2
A. B.
5 3
3 5
C. D.
4 7
【解析】2.问概率最大，最值思维。
方法一：P=分子/分母=分子/C（50,1），分母是 50，不可能约分成 3、4、7，
排除B、C、D项，对应 A项。
方法二：共 50 人，男：女=3：2=30：20，要求男性党员最大，把未入党的
15人全给女性，说明每一个男性都是党员，题目转化为问男性的概率，男性党员
最大=30/50=3/5，对应 A项。【选A】
【注意】若把题目改为 25人未入党，则先把未入党的 20人给女性，剩余未
入党的 5 人给男性，则所求=25/50=1/2。高中讲法（条件概率）：P（A|B）
=30/50*25/30。
【例 3】（2022 广东）某单位计划从行政部的 2 名员工和人事部的 3 名员工
中，随机选择2人去参加在职培训，则选出的 2人都来自人事部的概率是（ ）。
A.10% B.20%
C.30% D.40%
【解析】3.圈出“都”，根据题意，行政是 2 人，人事是3人，P=分子/分母
=C（3,2）/C（5,2）=3/10，对应C项。【选 C】
【注意】猜题：若没有时间做题，一个行政、一个人事大概 50%左右，行政
的人少（2）、人事的人多（3），排除A、B项，蒙 C、D项。
错位重排（避嫌原则）
（ ）位厨师，（ ）盘菜，不能尝自己的
- 2 -【注意】错位重排（避嫌原则）：
1.1 位厨师，1 盘菜，不能尝自己的：D =0。
1
2.2 位厨师，2 盘菜，不能尝自己的：厨师 A炒a，厨师B炒b，不能尝自己
的，则只能A尝b、B尝a，为D=1。
2
3.3 位厨师，3 盘菜，不能尝自己的：D =2。
3
4.4 位厨师，4 盘菜，不能尝自己的：D =9。
4
5.推导：（D+D ）*2=D，（D+D）*3=D，（D+D）*4=D，（D+D）*5=D =（9+44）
1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6
*5=265。
6.最常考的是 D、D、D。
3 4 5
【课堂练习 1】（2014 北京）相邻的 4 个车位中停放了 4 辆不同的车，现将
所有车开出后再重新停入这 4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则
一共有多少种不同的停放方式？
A.9 B.12
C.14 D.16
【解析】课堂练习 1.四车、四位，D=9，对应A项。【选A】
4
【课堂练习 2】（2015 山东）某单位从下属的 5 个科室各抽调了一名工作人
员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安
排方式？
A.120 B.78
C.44 D.24
【解析】课堂练习 2.D=44，对应C项。【选 C】
5
【课堂练习 3】（2014 吉林）某班期中考试和期末考试有四个人两次成绩都
- 3 -排前4名，已知有一名同学两次排名一样，则这四个人期末排名有几种可能（ ）。
A.4 B.6
C.8 D.10
【解析】课堂练习 3.有一名一样，说明其他三名不一样，即错位，先在 4人
中选出1人，剩下3人错位重排，“先……后……”用乘法，所求=C（4,1）*D=4*2=8，
3
对应C项。【选 C】
【例 4】（2017 国家）某集团企业 5 个分公司分别派出 1 人去集团总部参加
培训。培训后再将 5人随机分配到这5个分公司，每个分公司只分配 1人。问 5
个参加培训的人中，有且仅有 1人在培训后返回原分公司的概率：
A.低于 20% B.在20%～30%之间
C.在 30%～35%之间 D.大于35%
【解析】4.抓住问题，说明 5 人中有 1 人回、4 人不回，P=满足情况数/总
情况数=C（5,1）*D/A（5,5）=5*9/（5*4*3*2）=3/8，由于1/8=12.5%，则3/8=37.5%，
4
对应D项。【选 D】
【注意】
1.请记住 7/8、5/8对应的百分数。
2.本题为练习 1的变形。
2.给概率求概率
【注意】给概率求概率：分类用加法（分为正向思维、反向思维），分步用
乘法（考虑“先……后……”）。
【例 5】（2022 江苏）“双减”政策实施后，某小学下午 5：30放学，小李 5：
00下班去接孩子回家，当不堵车时，5：30 之前到校；当堵车时，5：30之前到
校的概率为0.6。若 5：00—5：30 堵车的概率为 0.3，则小李5：30 之前到校的
概率是：
- 4 -A.0.78 B.0.80
C.0.88 D.0.91
【解析】5.方法一：堵车的概率为 0.3，则不堵车的概率为 0.7，不堵车到
校的概率=0.7*1=0.7，堵车到校的概率=0.3*0.6=0.18，所求=0.7+0.18=0.88，
对应C项。
方法二：反向思考，即接不到孩子，不堵车一定能到校，反面（堵车不到校）
的概率=0.3*0.4=0.12，所求=1-0.12=0.88，对应 C项。
方法三：猜题，接孩子，A、B 项有点“残忍”，蒙 C、D 项，50%的正确率。
【选C】
【例 6】（2020 上海）天气预报预测未来 2 天的天气情况如下：第一天晴天
50%、下雨20%、下雪 30%；第二天晴天80%、下雨 10%、下雪10%，则未来两天天
气状况不同的概率为（ ）。
A.45% B.50%
C.55% D.60%
【解析】6.问天气状况不同的概率。
方法一：正向思考，（1）晴：第一天晴*第二天非晴=第一天晴*（第二天雨+
第二天雪）=50%*20%=10%；（2）雨：第一天雨*第二天非雨=20%*90%=18%；（3）
雪：第一天雪*第二天非雪=30%*90%=27%，所求=10%+18%+27%=55%，对应 C项。
方法二：反向思考，即两天天气状况相同，所求=1-不满足的概率=1-
（50%*80%+20%*10%+30%*10%）=1-（40%+2%+3%）=55%，对应C项。【选 C】
【注意】为什么给概率求概率：是用单事件的概率组合成多事件的概率。
3.分类思量（正、逆向思想）
【注意】分类思量（正、逆向思想）：至少的问法。
【例 7】（2019 联考）小明有 2 盆兰花和 3 盆杜鹃，小明打算随机拿出 2 盆
- 5 -送给小红，则至少有 1盆兰花的概率是
1 3
A. B.
10 10
5 7
C. D.
10 10
【解析】7.方法一：问至少有一盆的概率，P=满足情况数/总情况数，总情
况数=C（5,2）=10，分子为至少一盆兰花，兰花 1、杜鹃 1：C（2,1）*C（3,1）
=6；兰花 2、杜鹃0：C（2,2）=1，则分子=6+1=7，所求=7/10，对应 D项。
方法二：反向思考，反面是没有兰花，即全是杜鹃，反面的概率=C（3,2）
/C（5,2）=3/10，所求=1-3/10=7/10，对应 D项。【选D】
【注意】
1.例 1：12 人分为 5 男、7 女，1 男 1 女的概率为 35/66；例 3：5 人分为 2
个行政、3 个人事，2 人来自人事的概率；例 7：5 盆花为 2 盆兰花、3 盆杜鹃，
问至少1盆兰花，包含 1兰1杜、2兰，当二者差不多时，1兰1杜概率约为 50%，
还要加2兰的概率，结果大于 50%，排除A、B、C项，选择D项。
2.本题分为正向思想和反向思想，观察选项，B项+D项=1，正向的多，反向
的少，蒙D项。
【例 8】（2022 广东）某街道对辖内 6个社区的垃圾分类情况进行考核评估，
结果显示，有2个社区的垃圾分类考核不通过。如果从 6个社区中随机抽取 3个
进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区的概率
为（ ）。
1 1
A. B.
5 2
2 4
C. D.
3 5
【解析】8.方法一：正向：有 4个通过、2个不通过，正面情况为 1个通过、
2个不通过，2个通过、1个不通过。反向思考，3个都是通过，为C（4,3）=4，
总情况数=C（6,3）=6*5*4/（3*2*1）=20，则所求=1-4/20=4/5，对应 D项。
方法二：猜题，A项+D项=1，6个中选 3个，概率挺大的，猜测 D项；或根
- 6 -据总情况数=C（6,3）=20，排除C项，分为两种情况，概率应该大于 50%，猜测
D项。【选D】
4.跟屁虫问题
（不）跟屁虫问题：当考查只是两个人在一起（一排）求概率时：先放一个
（任意放），再从满足条件中放另一个（从满足条件中去放）
【注意】跟屁虫问题：
1.（不）跟屁虫问题：当考查只是两个人在一起（一排）求概率时：先放一
个（任意放→必然事件，P=1），再从满足条件中放另一个（从满足条件中去放）。
2.“跟”与“不跟”，存在正反向思维。
【例 9】（2018 国考）某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相
同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：
A.不高于 15% B.高于15%但低于20%
C.正好为 20% D.高于20%
【解析】9.每排有 40/5=8个位置，假如小张先坐下，概率为 40/40=1；剩余
39个位置，同一排还剩 7个，所求=1*7/39=7/39，对应B项。【选B】
【注意】求两个主体在同一排/列/同一辆车的概率：先放一个，再放另一个。
【例 10】（2018 联考）A、B两地间有三种类型列车运行，其中高速铁路动车
组列车每天 6 车次，普通动车组列车每天 5 车次，快速旅客列车每天 4 车次。
- 7 -甲、乙两人要同一天从 A地出发前往B地，假设他们买票前没有互通信息，而且
火车票票源充足，问他们买到同一趟列车车票的概率有多大？
A.小于10% B.10%到20%之间
C.20%到25%之间 D.25%到30%之间
【解析】10.方法一：跟屁虫思维，分类相加，从 A地到B地总共有 6+5+4=15
种情况，注意车是容纳人的，与坐座位不同，可以乘坐同一辆车，所求=15/15*
（1/15）=1/15，对应 A项。
方法二：从生活角度出发，总共 15辆车，两人坐一辆的概率就是 1/15，对
应A项。【选 A】
【例 11】（2021 联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木
马，那么两个大人不相邻的概率为：
2 3
A. B.
5 5
1 2
C. D.
3 3
【解析】11.不跟屁虫，先让大人坐下，还剩 5 个位置，要求不相邻，只有
3种选择，所求=3/5，对应B项。【选B】
【注意】若问相邻，左、右两个座位，概率为 2/5。要么相邻，要么不相邻，
相邻概率+不相邻概率=1。
- 8 -5.比赛类概率
【注意】比赛类概率：
1.胜负概率：一般指单场胜负概率，如胜的概率是 30%，则负的概率是 70%。
2.五局三胜→3 胜即止；七局四胜→4 胜即止。考试中很少考查三局两胜；
目的是胜利，不是局数。
【例 12】（2020 重庆选调）乒乓球比赛的规则是五局三胜制，甲、乙两球员
的胜率分别为 60%和 40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前面两局，则甲最后获
胜的概率是：
A.60% B.在81%～85%之间
C.在 86%～90%之间 D.在91%以上
【解析】12.甲胜概率为 60%，则甲负概率为 40%；乙胜概率为 40%，则乙负
概率为60%。
方法一：前两局已比完→既定事件，概率为 1，只需要看后面三局。若第三
局胜：概率为 60%；若第三局输、第四局胜：概率为 40%*60%=24%；若第三、四
局输，第五局胜：概率为 40%*40%*60%=9.6%。所求=60%+24%+9.6%=93.6%，对应
D项。
方法二：反向思考，甲不胜→乙必胜，说明后三局都是乙赢，则所求=1-
0.4*0.4*0.4=1-6.4%=93.6%，对应D项。【选 D】
【例 13】（2018 重庆下）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单
- 9 -局比赛甲队胜乙队的概率均为 0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队
获胜，且比赛到此结束。如果各局比赛相互间没有影响，现已知前两局双方战成
平手，则甲队获得这场比赛胜利的概率为：
9 63
A. B.
25 125
81 101
C. D.
125 125
【解析】13.五局三胜→三胜即止，前两局平手→甲赢 1、乙赢1，看后三局，
要想甲胜，第三、四局赢（第五局不用比）：0.6*0.6=0.36；第三局输，第四、
五局赢：0.4*0.6*0.6=0.144；第三、五局赢，第四局输：0.6*0.4*0.6=0.144，
所求=648/1000=81/125，对应C项。【选C】
【注意】
1.一共比 5局，不可能出现平局（各赢 2.5局）。
2.反向：甲不胜→乙胜，要想乙胜，第三、四局赢；第三局输，第四、五局
赢；第三、五局赢，第四局输，还需要再用 1减，不值得。
3.猜题：甲比乙“牛”，前两局是平手，甲获胜的概率一定大于 50%，蒙 C、
D项即可。
6.抓阄密码类
【注意】抓阄密码类：数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，选任何一个数
字都是等可能性的，则抓阄类是等可能性的考查。
- 10 -【例 14】（2020 山东）在ATM机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误
则会吞卡，老李忘了银行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他
在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是：
3 1
A. B.
20 5
1 2
C. D.
9 9
【解析】14.根据题意，有三次输入的机会，奇数：1、3、5、7、9，由于是
不相同的奇数，5个中选 2个进行组合，密码有顺序，用 A，为A（5,2）=20。
方法一：第一次就中：1/20；第一次不中、第二次中：19/20*（1/19）=1/20；
第一次不中、第二次不中、第三次中：19/20*（18/19）*（1/18）=1/20，均为
1/20，是等可能性。
方法二：开密码，总情况数是 20，有3 次机会，所求=3/20，对应 A 项。【选
A】
【例 15】（2021 浙江）小李有一张银行卡，他忘记了密码的后 3 位，只记得
这3个数全是奇数且有 2个相同。问他尝试不超过两次就输入正确密码的概率为
多少？
1 1
A. B.
30 50
2 2
C. D.
59 57
【解析】15.只有 2次机会，所求=2/总情况数，只需要求出总情况数，奇数：
1、3、5、7、9，三个奇数且有两个奇数相同，先从 5 个奇数中选 2 个作为后三
位密码，为 C（5,2）=10，有 2 个相同、1 个不同，先从 2 个中选 1 个作为不同
的那个奇数，为C（2,1），不同的奇数有3 个位置可占，剩下的数自动归位，则
总情况数=C（5,2）*C（2,1）*3=10*2*3=60，所求=2/60=1/30，对应 A 项。【选
A】
【注意】从5个奇数中选 2个作为后三位密码，为 C（5,2）=10，比如选出
- 11 -了1、3，枚举：133、313、331、311、131、113，共6种情况，则所求=2/（10*6）
=2/60=1/30。从 1、3 中选 1 个作为不重复的数，有 3 个位置放不重复的数，则
总情况数=C（5,2）*C（2,1）*3。
7.策略型
【注意】策略型（方案最佳化）：只猜不做。
【例 16】（2017 联考）在小李等车期间，有豪华型、舒适型、标准型三辆旅
游车随机开过。小李不知道豪华型的标准，只能通过前后两辆车进行对比。为此，
小李采取的策略是：不乘坐第一辆，如果发现第二辆比第一辆车更豪华就乘坐；
如果不是，就乘坐最后一辆。那么，他能乘坐豪华型旅游车的概率是：
1 1
A. B.
2 3
1 1
C. D.
4 5
【解析】16.总情况数为 A（3,3）=6，豪→舒→标、豪→标→舒，舒→豪→
标、舒→标→豪，标→豪→舒、标→舒→豪，总共 6类情况，去掉“豪→舒→标、
豪→标→舒、标→舒→豪”，剩余 3种，所求=3/6=1/2，对应A项。【选 A】
【注意】策略有点麻烦，情况数必然多。如果正常坐豪华型，“不耍心眼”
有1/3的概率，策略类以选项为标准，至少为 50%～100%的概率，“耍心眼”一定
- 12 -比“不耍心眼”多，排除 B、C、D项，选择 A项。
【例 17】（2020 国家）销售员小刘为客户准备了 A、B、C三个方案。已知客
户接受方案 A 的概率为 40%。如果接受方案 A，则接受方案 B 的概率为 60%，反
之为 30%。客户如果 A 或 B 方案都不接受，则接受 C 方案的概率为 90%，反之为
10%，问将 3个方案按照客户接受概率从高到低排列，以下正确的是：
A.A＞B＞C B.A＞C＞B
C.B＞C＞A D.C＞B＞A
【解析】17.有方案，策略类，谈判一定是“你来我往”，最后出来的方案才
是“杀手锏”，说明 C一定是最好，排除A、B、C项，选择D项。【选 D】
【注意】正常思维：接受 A→接受 B：40%*60%=24%；不接受 A→接受 B：
60%*30%=18%，则接受B的概率=24%+18%=42%。A、B都不接受的概率为60%*70%=42%，
再接受 C 的概率为 42%*90%=37.8%；A、B 至少接受一个：（1-42%）
*10%=58%*10%=5.8%，则接受C的概率为37.8%+5.8%=43.6%，C高，选择 D项。
考公带给我们这笔最宝贵的财富，真的可以陪着我们走好远，好远。
读书这段路上取得成就的人，一定是挺过一段时光的人。
现在我给你们说这段话，多年以后，我一定会给我孩子说这段话，如果想在
读书的这条道路上取得成就，我会说：孩子请勇敢一点。
我能做的只能是陪伴，因为这段路只有你走完，只有你真正走到隧道的尽头
的时候，当阳光洒到你脸上的时候，你内心当中一定为积淀起属于自己读书人应
该有的自信，当你再去面对这个残酷而又不美好，但是绝对精彩的世界的时候，
你的嘴角才能扬起读书人应该有的特有的那份骄傲。
考公带给我们这笔最宝贵的财富，真的可以陪着我们走好远，好远。
这份独有的坚持、这份独有的勇敢、这份独有的努力，你运用到以后的工作
和生活中，相信，生活越来越好。
迎难而上，舍我其谁。
- 13 -【答案汇总】1-5：DACDC；6-10：CDDBA；11-15：BDCAA；16-17：AD
- 14 -
