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主题：专项练习三
日期：2022.12.15专项练习三（笔记）
【例 1】（2019 河南司法所）某市从市儿童公园到市科技馆有 6种不同路线，
从市科技馆到市少年宫有 5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有 4种不同路
线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：
A.24 种 B.36 种
C.34 种 D.38 种
【解析】1.排列组合问题，儿童→科技有 6条路线、科技→少年宫有 5条路
线、儿童→少年宫有 4 条路线；先分类，要么转车、要么直达，转车→先后（分
步相乘，6*5=30），直达为 4，分类相加，所求=30+4=34，对应C项。【选 C】
【例 2】（2020 重庆选调）从重庆到北京的某列高铁中途要经过 11个站，这
列高铁要准备多少种不同的车票？
A.66 B.78
C.55 D.67
【解析】2.高铁要考虑车站数、单趟数/双趟数。车站：首尾有 2 个站，总
共 2+11=13 个站；题干为从重庆到北京，即单趟数，两点构成一个车票，为 C
（13,2）=13*12/2=78，对应B项。【选B】
【注意】若题目改为双趟数，重庆到北京与北京到重庆不同，为 A（13,2）
=13*12。
【例 3】（2021 新疆兵团）某部门有 9 名员工，从中随机抽取 2 人参加公司
代表大会，要求女员工人数不得少于 1 人。已知该部门女员工比男员工多 1 人，
则共有多少种方案符合要求？
A.24 B.30
C.36 D.72
【解析】3.共 9人，有女员工 5人、男员工 4人，“不得少于1”即“≥1”，
分类考虑，有正向思维（女 1男1、女2男 0）和反向思维（女0男2），反向考
- 1 -虑更简单，所求=C（9,2）-C（4,2）=（9*8/2）-（4*3/2）=36-6=30，对应 B项。
【选B】
【注意】考场上没必要正向、反向都做，一定要取舍，正向情况少就正向做，
反向情况少就反向做，目的是“快”，答案是唯一的。
【例 4】（2022 联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、
自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的 6个分
项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的 3个分项。小林打算去现场
观看比赛，共选择 6个项目，并且每个大项不少于 1个，若所有项目比赛时间均
不交叉，则不同的观赛方式有：
A.83 种 B.84 种
C.92 种 D.102 种
【解析】4.根据题意，滑雪有 6 个、滑冰有 3 个，共 9 个项目；分类考虑，
有正向思维和反向思维，要求“不少于 1 个”，正向情况数比较多，直接考虑反
向，滑冰不可能有6 个，则选6个滑雪，所求=C（9,6）-C（6,6）=9*8*7/（3*2*1）
-1=84-1=83，对应 A项。【选A】
【注意】所求=总-△=C（9,6）-△=C（9,3）-△=84-△，只有A 项满足。其
中，△=C（6,6）=1。
【例 5】（2019 联考）小明计划到商店为自己购买衣服和鞋子，预算不超过
800元，已知衣服每套的售价是 99元，每双鞋子的售价是 67元，如果小明至少
要买4套衣服和 3双鞋。那么他有多少种不同的购买方式？
A.5 B.7
C.8 D.4
【解析】5.本题问限制金额的情况下的购买方式，只能用枚举法。应买衣服
（99）、鞋子（67），99*4+67*3=597，剩余 800-597=203 元，剩下的自由组合，
可以不买，也算一种情况，即衣 0鞋0、衣 1 鞋0、衣2鞋0、衣0 鞋 1、衣0鞋
2、衣0 鞋3、衣1 鞋1，共7种情况，对应 B项。【选B】
- 2 -【例 6】（2022 联考）张师傅从事自行车、电动车、摩托车三种类型的车辆
维修工作，每辆维修工时费分别为 3元、6 元和9元。若张师傅某时段维修工时
费共收入15元，那么该时段张师傅维修车辆类型及相应数量的情况有：
A.4 种 B.5 种
C.6 种 D.7 种
【解析】6.用 9元、6元、3元凑15元，1个9元：1个6元、0个3元，0
个6元、2个3元；0 个9元：2个6元、1 个3元，1个6元、3 个 3元，0个6
元、5个 3元，共5 种情况，对应B项。【选 B】
【注意】使用枚举法的题目选项都非常小，一般小于 10。
【例 7】（2018 联考）两对夫妇各带一个小孩乘坐有 6 个座位的游览车，游
览车每排只有1个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸；两个小
- 3 -孩一定要排在一起。那么，这 6人的排座方法有：
A.12 种 B.24 种
C.36 种 D.48 种
【解析】7.爸爸：只能坐首尾，为 A（2,2）=2；小孩：要求在一起，有 3种
情况，内部有顺序，为 3*2=6；妈妈：还剩余2 个位置，2种情况。所求=2*6*2=24，
对应B项。【选 B】
【注意】越生活化的题目越简单。
【例 8】（2020 联考）物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小
区内的 6 棵树，每名工作人员至少修剪 1 棵（只考虑修剪的棵数），问小王至少
修剪3棵的概率为：
3 3
A. B.
10 7
1 3
C. D.
4 5
【解析】8.每名工作人员至少修剪 1棵，问小王至少修剪 3棵的概率，只考
虑修剪的棵数→同素分堆问题，使用插板法，总情况数：C（5,2）=10，所求=满
足情况数/总情况数=△/10，排除B、C项；总共 6棵，3个人干活，小王至少修
剪3棵，D项不公平，选择 A项。【选A】
【注意】考场上能猜先猜，正常思维：总情况数为 C（5,2）=10，小王 3棵，
剩下3棵给小曾、小郭，有两种情况（3棵 2空，2人1刀），为C（2,1）=2；小
王4棵，剩下2棵给小曾、小郭（每人 1棵），共 2+1=3种情况。所求=3/10，选
择A项。
- 4 -【例 9】（2021 国考）某企业选拔 170 多名优秀人才平均分配为 7 组参加培
训。在选拔出的人才中，党员人数比非党员多 3倍。接受培训的党员中的 10%在
培训结束后被随机派往甲单位等 12 个基层单位进一步锻炼。已知每个基层单位
至少分配1人，问甲单位分配人数多于 1的概率在以下哪个范围内？
A.不到 14% B.14%～17%之间
C.17%～20%之间 D.超过 20%
【解析】9.已知每个基层单位至少分配 1 人，使用插板法。170 多人能被 7
整除，使用倍数特性，140+35=175，根据“党员人数比非党员多 3倍”得：党员
/非党员=4/1，共5 份，1份为175/5=35，则党员为 175-35=140，140*10%=14 人
分到 12 个单位，14 个人 13 空、12 个单位 11 刀，则总情况数为 C（13,11）=C
（13,2）=13*12/2=78。问甲多于1人的概率，正向思考：甲 2人、其他（11个
单位）12人，甲3 人、其他11人；反向思考：甲 1人、其他13人，反向简单，
13 个人（有 12 个空）分到 11 个单位（切 10 刀），为 C（12,10）=C（12,2）
=12*11/2=66，所求=（78-66）/78=12/78，对应 B项。【选B】
【例 10】（2020 浙江）某公司对 10 个创新项目进行评选，选出最优秀的 3
个项目投入运行。小张随机预测 3个项目将会入选。问他至少猜对 1 个入选项目
的概率在以下哪个范围内？
A.不到 50% B.50%～60%
C.60%～70% D.超过 70%
- 5 -【解析】10.出现“至少”，分类思考，分为正向思维、反向思维，“至少 1”
的反向为0，则所求=1-C（7,3）/C（10,3）=1-[（7*6*5）/（3*2*1）]÷[（10*9*8）
/（3*2*1）]=1-7/24=17/24，首位商7+，对应 D项。【选D】
【例 11】（2021 山东）进入某比赛四强的选手通过抽签方式随机分成 2组进
行半决赛，已知小王在面对任何对手时获胜的概率都是 60%，小张在面对任何对
手时获胜的概率都是 40%。问小王和小张均在半决赛中获胜的概率为：
2 4
A. B.
15 15
3 4
C. D.
25 25
【解析】11.4 进2为半决赛，2进1为决赛。假设有王、张、A、B四人，根
据“小王和小张均在半决赛中获胜”可知：双赢，说明王、张一定不同队；若王、
张一组，则A、B自动为一组，若王、A一组，则张、B自动为一组，若王、B一
组，则张、A自动为一组，共 3种情况，要求王、张不同队，有2种情况，则概
率为 2/3。问小王和小张均在半决赛中获胜的概率，所求=2/3*（3/5）*（2/5）
=4/25，对应 D项。【选 D】
【注意】如果张、A一组，则王、B为一组，与王、B一组，张、A 一组相同，
故总共有3种情况。
【例 12】（2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100名新生随机围坐在篝
火四周。其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
2 2
A. B.
97 98
2 2
C. D.
99 100
- 6 -【解析】12.跟屁虫问题，先让小张坐，概率为 100/100=1；剩余 99个位置，
要求二人在一起，则小李坐小张左边或右边，所求=1*2/99=2/99，对应 C项。【选
C】
【例 13】（2019 重庆法检）某地区招聘卫生人才，共接到 600份不同求职者
的简历，其中临床、口腔、公共卫生和护理专业分别有 200 人、160 人、140 人
和 100 人。问至少有多少人被录用，才能保证一定有 140 名被录用的人专业相
同？
A.141 B.240
C.379 D.518
【解析】13.问“至少……保证……”，最不利构造问题。够 139 的取 139，
不够 139 的全取，所求=139+139+139+100+1，结果尾数为 8，对应 D 项。【选 D】
【例 14】（2020 深圳）某地方性体育彩票“10选4”的投注规则如下：投注
者可以从 01～10（共 10 个号码）中投选 1～4 个号码合成一组，称为“一注”
（号码不区分排列顺序，如 020603 和 020306 是由该 3 个号码组成的同一注）。
当投注了（ ）注时，会出现至少 5注相同号码。
A.1255 B.1361
C.1401 D.1541
【解析】14.问题为当投注多少注，无论如何一定有相同的号码出现，即隐
藏着“至少……保证……”，最不利构造问题。选 1 个号码合成一组：C（10,1）
=10；选2个号码合成一组：C（10,2）=10*9/2=45；选 3个号码合成一组：C（10,3）
=10*9*8/（3*2*1）=120；选 4个号码合成一组：C（10,4）=10*9*8*7/（4*3*2*1）
=210，总共有 10+45+120+210=385 种情况。每种情况先给 4 注，所求=385*4+1=
- 7 -尾40+1=尾41，对应 D项。【选D】
【例 15】（2018 四川）企业今年从全国 6 所知名大学招聘了 500 名应届生，
从其中任意2所大学招聘的应届生数量均不相同。其中从 A大学招聘的应届生数
量最少且正好为 B 大学的一半。从 B 大学招聘的应届生数量为 6 所大学中最多
的。则该企业今年从 A大学至少招聘了多少名应届生？
A.48 B.47
C.46 D.45
【解析】15.问最少的大学至少招聘多少名，构造数列问题。从 B 到 A 分别
为 1～6，设 A 大学为 x，则 B 大学为 2x，要想 A 少，则其他要尽可能多，向多
的看齐，则1～6分别为 2x、2x-1、2x-2、2x-3、2x-4、x，加和：2x+2x-1+2x-
2+2x-3+2x-4+x=500→11x-10=500→11x=510，解得x=510/11=46+，问至少，反向
取整，取47，对应 B项。【选B】
【例 16】（2017 福建选调）一个班级一共有 50人，其中参加A 项目的有45
人，参加B项目的有 35人，参加C项目的有 40人，请问这个班级中至少有多少
人三个项目都参加？
A.10 B.20
C.30 D.35
【解析】16.问“都……至少……”，与“至少……都……”意思相同，反向
构造问题。反向：50-45=5、50-35=15、50-40=10，加和：5+15+10=30，作差：
50-30=20，选择B项。【选 B】
【例 17】（2018 广东）某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行
使用情况调查，在接受调查的 1000人中，有 68%的人使用过甲软件，有 87%的人
使用过乙软件，有 75%的人使用过丙软件，有 82%的人使用过丁软件。那么，在
这1000 人中，使用过全部四款手机软件的至少有（ ）人。
A.120 B.250
C.380 D.430
【解析】17.反向构造问题，使用四种软件的人数分别为 680、870、750、
- 8 -820，反向：320、130、250、180，加和：320+130+250+180=450+430=880，作差：
1000-880=120，对应 A项。【选A】
【例 18】（2019 重庆）某年级有学生 100 名，在数学考试中 62 人得满分，
在英语考试中34人得满分，有 11人两门课程都得满分，那么两门课程都没有得
满分的有多少人？
A.26 B.15
C.96 D.89
【解析】18.两集合容斥原理，公式：A+B-A∩B=总-都不，则62+34-11=100-
x，使用尾数法或直接计算均可，96-11=85=100-x，解得 x=15，对应 B 项。【选
B】
【例 19】（2020 山东选调）某一个专业共有 100名学生，在第一次考试中有
52人得 90分以上（含 90分），在第二次考试中有 42人得90分以上（含 90分）。
已知这两次考试都没得 90 分以上（含 90 分）的有 34 人，那么这两次考试都得
90分以上（含 90分）的有多少人？（ ）
A.14 B.28
C.8 D.4
【解析】19.与 18题相同，52+42-x=100-34，观察选项，不能用尾数法，94-
x=66，解得 x=28，对应 B项。【选B】
【例 20】（2018 陕西）有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析，结果显
示，抗氧化剂达标的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，
抗氧化剂和防腐剂都达标的有 54种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化
剂和漂白剂都达标的有 35种，三种食品添加剂都达标的有 30种，那么三种食品
添加剂都不达标的有多少种？
A.14 B.16
C.18 D.20
【解析】20.问三者都不，给出 A∩B、A∩C、B∩C，代入三集合标准型公式：
68+77+59-54-43-35+30=120-x，使用尾数法，尾 2=尾 0-x，解得 x 的尾数为 8，
- 9 -对应C项。【选 C】
【例 21】（2018 江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为
90%，在调查对象中有 180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学
习，100 人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有 50 人，
同时使用两种方式学习的有 20 人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这
次共发放了多少份问卷？
A.370 B.380
C.390 D.400
【解析】21.容斥原理+调查问题，这是种“坑”题，问卷有发放的，还有使
用的。设发放了 x 份问卷，则回收了 0.9x 份，代入三集合非标准型公式，
180+200+100-20-2*50=0.9x-0→360=0.9x，解得 x=400，对应D项。【选 D】
【注意】如果把 A项改为360，可能很多同学会错选 A项，没时间做就在 360
与400中选择，蒙也要蒙 D项。
【例 22】（2019 新疆兵团）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安
排了三场讲座。该机关共有 139人，有 42人报名参加第一场讲座，51人报名参
加第二场讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有 12 人，只报名
参加两场讲座的有 30人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A.12 B.14
C.24 D.28
【解析】22.问题即“都不”，代入三集合非标准型公式，列式：42+51+88-
30-2*12=139-x，使用尾数法，尾 7=尾9-x，解得 x的尾数为2，对应 A项。【选
A】
【注意】非标准型经常出错，观察表述，经常不按照顺序，如例 21 中“同
时使用三种方式学习的有 50 人，同时使用两种方式学习的有 20 人”，列式为
A+B+C-20-2*50；例 22 中“三场讲座都报名的有 12 人，只报名参加两场讲座的
有30人”，列式为 42+51+88-30-12*2，这是这种题的“坑”点。
- 10 -【例 23】（2020 深圳）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限
量的香蕉和香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒
狒是吃香肠的狒狒数量的 3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的
2
，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的：
3
1 3
A. B.
5 10
2 4
C. D.
13 15
【解析】23.画图分析，使用赋值法，从内到外赋值，赋值最中间为 2，则只
吃香肠的为 3，吃香肠的为 2+3=5，由于“吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的
3 倍”，则吃香蕉的为 3*5=15，故只吃香蕉的狒狒有 15-2=13 只，所求=△/13，
只有C项满足。【选 C】
【注意】计算：总共 90%对应 13+2+3=18，则 10%对应 2 只，未进食的是 2
只，所求=2/13，对应 C项。
数字+容斥原理结合
集合的构成：数字的倍数特性构成（个数：商几是几）
【注意】
1.数字+容斥原理结合。
2.集合的构成：数字的倍数特性构成（个数：商几是几）。如编号为 1～100
中，编号为 3 的倍数有 3、6、9……，每 3 个为一个周期，100/3=33……1，商
33就有 33个；6的倍数，100/6=16……X，商 16就有16个。
【例 24】（2018 山东选调）某高校举办春季运动会，共有 1000 名学生报名
- 11 -参加竞赛项目。为从运动员中选拔人员参加开幕式和闭幕式队列，现把所有运动
员从 1 到 1000 进行编号，选出编号为 3 的倍数的运动员参加开幕式队列，而编
号为7的倍数的运动员参加闭幕式队列。问：既不参加开幕式队列也不参加闭幕
式队列的运动员有多少人？
A.428 B.475
C.525 D.572
【解析】24.3 的倍数：1000/3 商 333（A），7 的倍数：1000/7 商 142（B），
21 的倍数（既参加开幕式又参加闭幕式）：1000/21 商 47（A∩B），直接利用公
式，333+142-47=1000-x，解得x的尾数为 2，对应D项。【选D】
【例 25】（2019 辽宁下）某大型相亲类综艺节目办线下联谊活动，在签到时
每人可以抽取一张礼物卡，凡是抽中有编号的礼物卡均有玫瑰花赠送，抽到“谢
谢参与”的则送一盒面巾纸。带有编号的礼物卡共 100张，编号1～100，按礼物
卡标签号发放奖品的规则如下：
（1）标签号为 2的倍数，领2枝玫瑰。
（2）标签号为 3的倍数，领3枝玫瑰。
（3）标签号既是 2的倍数，又是3的倍数可重复领奖。
（4）其他标签号均领 1枝玫瑰。
那么本次联谊活动应准备玫瑰花（ ）枝。
A.215 B.232
C.312 D.416
【解析】25.100/2 商50、100/3商33、100/6 商16，根据两集合公式，50+33-
16=100-都不，则都不=33，画图分析，所求=33*1+34*2+17*3+16*（2+3）=232，
对应B项。【选 B】
- 12 -【例 26】（2019 江苏）某公司年终联欢，准备了 52张编号分别为 1至52的
奖券用于抽奖。如果编号是 2、3 的倍数的奖券可分别兑换 2 份、3 份奖品，编
号同时是2和3的倍数的奖券只可兑换 3份奖品，其他编号的奖券只可兑换 1份
奖品，则所有奖券可兑换的奖品总数是：
A.99 份 B.100 份
C.102份 D.104 份
【解析】26.52/2 商 26、52/3 商 17、52/6 商 8，画图分析，根据两集合公
式，26+17-8=52-都不，则都不=17，所求=18*2+8*3+9*3+17*1=36+51+17=104，对
应D项。【选 D】
多集合有效率——投票率
有效投票率最高：
- 13 -有效投票率最低：
【注意】多集合有效率——投票率：这种题比较难，正确的做法很多，总结
出如下“傻瓜式”解题思路。
1.有效投票率最高：都取最高。
2.有效投票率最低：都取最低。
【练习 1】（2018 国家）书法大赛的观众对 5 幅作品进行不记名投票。每张
选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过 2幅作品时
才为有效票。5 幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 69%、63%、
44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少？
A.65% B.70%
C.75% D.80%
【解析】练习 1.赋值 100 人进行投票，总票数=有效票数+无效票数，总票
数=69+63+44+58+56=290；有效票：1～2幅，无效票：3～5幅，设投有效票的有
x 人，则投无效票的有 100-x 人，要想有效率最高，都取最高（有效取 2、无效
取5），则290=2x+5*（100-x）→3x=210，解得 x=70，所求=70/100=70%，对应B
项。【选B】
【注意】要想有效率最高，把无效的都集中在 5上。
【练习 2】（2020 联考）某单位开展“我身边的榜样”评选活动，现对 3 名
候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票。这 3名候选人的得票数
（不考虑是否有效）分别为总票数的 88%、70%、46%，则本次投票的有效率（有
效票数与总票数的比值）最高可能为：
A.68% B.88%
C.96% D.98%
- 14 -【解析】练习 2.有效票：1、2，无效票：3。赋值总人数为 100，设投有效
票的为x人，则投无效票的为 100-x人，要想有效率最高，都取最高，204=2x+3*
（100-x）→204=2x+300-3x，解得 x=96，所求=96/100=96%，对应 C 项。【选 C】
【练习 3】（2018 陕西）观众对五位歌手的歌曲进行投票，每张选票都可以
选择五首歌曲中的一首或多首，但只有选择不超过 3 首歌曲的选票才是有效票，
五首歌曲的得票数分别为总票数的 82%，73%，69%，51%和45%，那么本次投票的
有效率最高可能为：
A.95% B.90%
C.85% D.80%
E.75% F.70%
G.65% H.60%
【解析】练习 3.有效票：1、2、3，无效票：4、5。要求有效率最高，都取
最高，82+73+69+51+45=320=3x+5*（100-x）→3x+500-5x=320→2x=180，解得 x=90，
对应B项。【选 B】
【练习 4】（2019 陕西）某小学举行作文大赛，家长们对挑选出来的 6 篇作
文进行不记名投票。每张选票可以选择 6篇作文中的任意一篇或多篇，但只有选
择不超过3篇作文的票才是有效票。6篇作文的得票数（不考虑是否有效）分别
为总票数的67%、53%、72%、39%、51%、48%，那么本次投票的有效率最少为（ ）。
A.21% B.22%
C.23% D.24%
E.25% F.26%
G.27% H.28%
【解析】练习 4.有效票：1、2、3，无效票：4、5、6。赋值总人数为 100，
总票数为67+53+72+39+51+48=330，设有效 x 人，要求有效率最少，都取最低（有
效取1、无效取 4），330=x+4*（100-x）→330=x+400-4x→3x=70，解得 x=70/3≈
23.3，最少是 23.3，取24，对应D项。【选 D】
作业：3+2
- 15 -复习策略：稳扎稳打，一个知识点一个知识点的突破。
考场策略：挑、跳（严格卡时间，进行训练）
【注意】
1.复习策略：稳扎稳打，一个知识点一个知识点的突破。如工程问题中，最
值问题，一口气全部做完。
2.考场策略：挑、跳（严格卡时间，进行训练）。如果能留 5分钟就训练 5分
钟的挑题行为，如果能留 10 分钟就训练 10 分钟的挑题行为，如果能留 15 分钟
就训练 15 分钟的挑题行为，不同的人是不一样的。必须卡时间，一切以实战为
王道。
【答案汇总】
1-5：CBBAB；6-10：BBABD；11-15：DCDDB；16-20：BABBC；21-25：DACDB26：
D
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