2005年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

2005年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 2x （1）极限limxsin = 2 . x x2 1 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 2x 2x 【详解】 limxsin =limx  2. x x2 1 x x2 1 （2） 微分方程xy y  0满足初始条件 y(1)  2的特解为 xy  2. 【分析】 直接积分即可. 【详解】 原方程可化为 (xy) 0，积分得 xy C ， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数z  xexy (x1)ln(1 y)，则dz  2edx(e2)dy . (1,0) 【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. z 【详解】  exy  xexy ln(1 y), x z x1  xexy  , y 1 y 于是 dz  2edx(e2)dy. (1,0) 1 （4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a 1，则a= . 2 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】 由题设，有 2 1 1 1 2 1 a a 1 1  (a1)(2a1)  0, 得a 1,a  ，但题设a 1，故a  . 3 2 1 a 2 2 4 3 2 1 （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,,X 中任取一个数，记为Y, 则 13 P{Y  2}= . 48 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即 为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 P{Y  2}=P{X 1}P{Y  2X 1}+P{X  2}P{Y  2X  2} -1-+P{X 3}P{Y  2X 3}+P{X  4}P{Y  2X  4} 1 1 1 1 13 = (0   )  . 4 2 3 4 48 （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X  0}与{X Y 1}相互独立，则a= 0.4 ,b= 0.1 . 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b的取值. 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件{X  0}与{X Y 1}相互独立，于是有 P{X  0,X Y 1} P{X  0}P{X Y 1}， 即 a=(0.4a)(ab), 由此可解得 a=0.4,b=0.1 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a取下列哪个值时，函数 f(x)  2x3 9x2 12xa恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ] 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极 值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 f (x)  6x2 18x12=6(x1)(x2)，知可能极值点为x=1,x=2，且 f(1) 5a, f(2)  4a，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （ 8 ） 设 I  cos x2  y2d , I  cos(x2  y2)d , I  cos(x2  y2)2d , 其 中 1 2 3 D D D D {(x,y)x2  y2 1}，则 (A) I  I  I . （B）I  I  I . 3 2 1 1 2 3 (C) I  I  I . (D) I  I  I . [ A ] 2 1 3 3 1 2 【分析】 关键在于比较 x2  y2 、x2  y2与(x2  y2)2在区域D {(x,y)x2  y2 1}上的大小. 【详解】 在区域D {(x,y)x2  y2 1}上，有0 x2  y2 1，从而有  1 x2  y2  x2  y2  (x2  y2)2  0 2 -2- 由于cosx在(0, ) 上为单调减函数，于是 2 0 cos x2  y2  cos(x2  y2)  cos(x2  y2)2 因此 cos x2  y2d cos(x2  y2)d cos(x2  y2)2d，故应选(A). D D D   （9）设a  0,n 1,2,,若a 发散，(1)n1a 收敛，则下列结论正确的是 n n n n1 n1     (A) a 收敛，a 发散 . （B） a 收敛，a 发散. 2n1 2n 2n 2n1 n1 n1 n1 n1   (C) (a a )收敛. (D) (a a )收敛. [ D ] 2n1 2n 2n1 2n n1 n1 【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案. 1   【详解】 取a  ，则a 发散，(1)n1a 收敛， n n n n n1 n1    但a 与a 均发散，排除(A),(B)选项，且(a a )发散，进一步排除(C), 故应选(D). 2n1 2n 2n1 2n n1 n1 n1  事实上，级数(a a )的部分和数列极限存在. 2n1 2n n1 （10）设 f(x)  xsinxcosx,下列命题中正确的是   (A) f(0)是极大值， f( )是极小值. （B） f(0)是极小值， f( )是极大值. 2 2   （C） f(0)是极大值， f( )也是极大值. (D) f(0)是极小值， f( )也是极小值. 2 2 [ B ] 【分析】 先求出 f (x), f (x)，再用取极值的充分条件判断即可.  【详解】 f (x) sinx xcosxsinx  xcosx，显然 f (0)  0, f ( )  0， 2    又 f (x)  cosx xsinx，且 f (0) 1 0, f ( )    0，故f(0)是极小值，f( )是极大值， 2 2 2 应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f (x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若 f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. -3-（C）若 f (x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若 f(x)在（0，1）内有界，则 f (x)在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 1 1 【详解】 设f(x)= , 则f(x)及 f (x)   均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、 x x2 1 (B); 又 f(x)  x 在（0，1）内有界，但 f (x)  在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C). 2 x （12）设矩阵A=(a ) 满足A*  AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵. 若a ,a ,a ij 33 11 12 13 为三个相等的正数，则a 为 11 3 1 (A) . (B) 3. (C) . (D) 3. [ A ] 3 3 【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式： AA*  A*A AE.. 【详解】 由A*  AT及AA*  A*A AE ，有a  A ,i, j 1,2,3，其中A 为a 的代数余子式， ij ij ij ij 且AAT  AE  A 2  A 3  A  0或 A 1 3 而 A  a A a A a A 3a2  0，于是 A 1，且a  . 故正确选项为(A). 11 11 12 12 13 13 11 11 3 （13）设,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为, ，则，A(  )线 1 2 1 2 1 1 2 性无关的充分必要条件是 (A)   0. (B)  0. (C)   0. (D)   0. [ D ] 1 2 1 2 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k k A(  )  0，则 1 1 2 1 2 k k  k   0， (k k ) k   0. 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 由于, 线性无关，于是有 1 2 k k   0, 1 2 1   k   0. 2 2 当  0时，显然有k  0,k  0，此时，A(  )线性无关；反过来，若，A(  ) 2 1 2 1 1 2 1 1 2 -4-线性无关，则必然有  0(,否则，与A(  )=线性相关)，故应选(B). 2 1 1 2 1 1 1  方法二： 由于 [,A(  )][,  ][, ] 1  ， 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0   2 1  可见，A(  )线性无关的充要条件是 1   0.故应选(D). 1 1 2 0  2 2 （14） 设一批零件的长度服从正态分布N(,2)，其中,2均未知. 现从中随机抽取16个零件， 测得样本均值x  20(cm)，样本标准差s 1(cm)，则的置信度为0.90的置信区间是 1 1 1 1 (A) (20 t (16),20 t (16)). (B) (20 t (16),20 t (16)). 4 0.05 4 0.05 4 0.1 4 0.1 1 1 1 1 (C)(20 t (15),20 t (15)).(D)(20 t (15),20 t (15)). [ C ] 4 0.05 4 0.05 4 0.1 4 0.1 x  【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量： ~ t(n1). s n x  【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， ~ t(n1)， 故的置信度为 0.90的置信区间是 s n 1 1 1 1 (x  t (n1),x  t (n1))，即(20 t (15),20 t (15)).故应选(C). n  n  4 0.05 4 0.05 2 2 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分） 1 x 1 求lim(  ). x0 1ex x 【分析】 ""型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则. 1 x 1 x x2 1ex 【详解】 lim(  )  lim x0 1ex x x0 x(1ex) x x2 1ex =lim x0 x2 12xex =lim x0 2x 2ex 3 =lim  . x0 2 2 （16）（本题满分8分） -5-y x 2g 2g 设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)  f( ) yf( )，求x2  y2 . x y x2 y2 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可. 【详解】 由已知条件可得 g y y x   f ( ) f ( )， x x2 x y 2g 2y y y2 x 1 x  f ( ) f ( ) f ( )， x2 x3 x x4 y y y g 1 y x x x  f ( ) f( ) f ( )， y x x y y y 2g 1 y x x x x x2 x  f ( ) f ( ) f ( ) f ( )， y2 x2 x y2 y y2 y y3 y 2g 2g 所以 x2  y2 x2 y2 2y y y2 x x2 x y2 y x2 x = f ( ) f ( ) f ( )  f ( ) f ( ) x x x2 y y y x2 x y y 2y y = f ( ). x x （17）（本题满分9分） 计算二重积分 x2  y2 1d，其中D {(x,y)0 x 1,0 y 1}. D 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】 记D {(x,y)x2  y2 1,(x,y)D}， 1 D {(x,y)x2  y2 1,(x,y)D}， 2 于是  x2  y2 1d=(x2  y2 1)dxdy (x2  y2 1)dxdy D D D 1 2  1 =2d (r2 1)rdr (x2  y2 1)dxdy (x2  y2 1)dxdy 0 0 D D 1  1 1  1  1 = + dx (x2  y2 1)dy2d (r2 1)rdr=  . 8 0 0 0 0 4 3 （18）（本题满分9分）  1 求幂级数( 1)x2n 在区间(-1,1)内的和函数S(x). 2n1 n1 -6-【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式， 从而达到求和的目的. 【详解】 设  1 S(x)  ( 1)x2n ， 2n1 n1  1  S (x)   x2n ，S (x)  x2n ， 1 2n1 2 n1 n1 则 S(x)  S (x)S (x)，x(1,1). 1 2 由于  x2 S (x)  x2n = ， 2 1 x2 n1  x2 (xS (x)) x2n  ,x(1,1), 1 1 x2 n1 x t2 1 1 x 因此 xS (x)   dt  x ln ， 1 0 1t2 2 1 x 又由于 S (0)  0，故 1  1 1 x 1 ln , x 1, S (x)   2x 1 x 1   0, x  0.  1 1 x 1  ln  , x 1, 所以 S(x)  S (x)S (x)  2x 1 x 1 x2 1 2   0, x  0. （19）（本题满分8分） 设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0, f (x) 0,g(x) 0.证明：对任何a[0,1],有 a 1  g(x)f (x)dx f(x)g(x)dx  f(a)g(1). 0 0 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 【详解】 方法一：设 x 1 F(x)   g(t)f (t)dt  f(t)g(t)dt  f(x)g(1)， 0 0 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F(x)  g(x)f (x) f (x)g(1)  f (x)[g(x) g(1)]， 由于x[0,1]时， f (x) 0,g(x) 0，因此F(x) 0，即F(x)在[0，1]上单调递减. -7-注意到 1 1 F(1)   g(t)f (t)dt  f(t)g(t)dt  f(1)g(1)， 0 0 1 1 1 1 而  g(t)f (t)dt   g(t)df(t)  g(t)f(t)  f(t)g(t)dt 0 0 0 0 1 = f(1)g(1) f(t)g(t)dt， 0 故F(1)=0. 因此x[0,1]时，F(x) 0，由此可得对任何a[0,1]，有 a 1  g(x)f (x)dx f(x)g(x)dx  f(a)g(1). 0 0 a a a 方法二： g(x)f (x)dx  g(x)f(x)  f(x)g(x)dx 0 0 0 a = f(a)g(a) f(x)g(x)dx， 0 a 1  g(x)f (x)dx f(x)g(x)dx 0 0 a 1 = f(a)g(a) f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx 0 0 1 f(a)g(a) f(x)g(x)dx. a 由于x[0,1]时，g(x) 0，因此 f(x)g(x) f(a)g(x)，x[a,1]， 1 1  f(x)g(x)dx   f(a)g(x)dx  f(a)[g(1) g(a)]， 0 0 a 1 从而  g(x)f (x)dx f(x)g(x)dx 0 0  f(a)g(a) f(a)[g(1) g(a)] f(a)g(1). （20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组  x 2x 3x  0, 1 2 3  （i） 2x 3x 5x  0, 1 2 3   x  x ax  0, 1 2 3 和  x bx cx  0, （ii）  1 2 3 2x b2x (c1)x  0, 1 2 3 同解，求a,b,c的值. -8-【分析】 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出 （i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可. 【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i） 与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3. 对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换 1 2 3 1 0 1      2 3 5  0 1 1 ，      1 1 a   0 0 a2  从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为 1 2 3 1 0 1     2 3 5  0 1 1 ，      1 1 2   0 0 0  故(1,1,1)T是方程组（i）的一个基础解系. 将x  1,x  1,x 1代入方程组（ii）可得 1 2 3 b 1,c  2或b  0,c 1. 当b 1,c  2时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 1 1 2 1 0 1  ，     2 1 3 0 1 1 显然此时方程组（i）与（ii）同解. 当b  0,c 1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 1 0 1 1 0 1  ，     2 0 2 0 0 0 显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同. 综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. （21）（本题满分13分）  A C 设D    为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为mn矩阵. CT B E  A1C (I) 计算PTDP，其中P   m ；  o E  n （II）利用(I)的结果判断矩阵BCTA1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. 【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义. -9- E o  【详解】 (I) 因 PT   m  ，有  CTA1 E  n  E o   A C E  A1C PTDP= m     m   CTA1 E  CT B  o E  n n A C  E  A1C =   m  o BCTA1C  o E  n A o  = . o BCTA1C （II）矩阵BCTA1C 是正定矩阵. 由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵 A o  M   . o BCTA1C 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵. 因 矩 阵 M 为 对 称 矩 阵 ， 故 BCTA1C 为 对 称 矩 阵 . 对 X  (0,0,,0)T 及 任 意 的 Y  (y ,y ,,y )T  0，有 1 2 n A o X (XT,YT)         YT(BCTA1C)Y  0. 故BCTA1C 为正定矩阵. o BCTA1CY  （22）（本题满分13分） 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 1,0 x 1,0 y  2x, f(x,y)   0, 其他. 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 f (x), f (y)； X Y （II） Z  2X Y 的概率密度 f (z). Z 1 1 (III) P{Y  X  }. 2 2 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法， 即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可. 【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度     2x dy,0 x 1, f X (x)=  f(x,y)dy=    0 0, 其他. -10-2x,0 x 1, =  0, 其他. 关于Y的边缘概率密度  1 f (y)=  f(x,y)dx=    y dx,0 y  2, Y  2 其他.   0,  y 1 ,0 y  2, = 2 其他.   0, （II） 令F (z)  P{Z  z} P{2X Y  z}， Z 1） 当z  0时，F (z)  P{2X Y  z} 0； Z 2） 当0 z  2时，F (z)  P{2X Y  z} Z 1 =z z2; 4 3) 当z  2时，F (z)  P{2X Y  z}1. Z  0, z  0,  1 即分布函数为： F (z)  z z2,0 z  2, Z 4   1, z  2.  1 1 z,0 z  2, 故所求的概率密度为： f (z)   2 Z 其他.   0, 1 1 P{X  ,Y  } 3 1 1 2 2 16 3 （III） P{Y  X  }   . 2 2 1 1 4 P{X  } 4 2 （23）（本题满分13分） 设 X ,X ,,X (n  2) 为 来 自 总 体 N(0, 2 ) 的 简 单 随 机 样 本 ， X 为 样 本 均 值 ， 记 1 2 n Y  X  X,i 1,2,,n. i i 求：（I） Y 的方差DY ,i 1,2,,n； i i （II）Y 与Y 的协方差Cov(Y ,Y ). 1 n 1 n （III）若c(Y Y )2是2的无偏估计量，求常数c. 1 n 【分析】 先将Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求Y 与Y 的协方 i 1 n -11-差Cov(Y ,Y )，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计c(Y Y )2，利 1 n 1 n 用其数学期望等于2确定c即可. 【详解】 由题设，知X ,X ,,X (n  2)相互独立，且 1 2 n EX  0,DX 2(i 1,2,,n)，EX  0. i i 1 1 n （I）DY  D(X  X)  D[(1 )X  X ] i i n i n j ji 1 1 n =(1 )2DX  DX n i n2 j ji (n1)2 1 n1 = 2  (n1)2  2. n2 n2 n （II） Cov(Y ,Y )  E[(Y EY )(Y EY )] 1 n 1 1 n n =E(YY )  E[(X  X)(X  X)] 1 n 1 n =E(X X  X X  X X  X2) 1 n 1 n =E(X X )2E(X X) EX2 1 n 1 2 n =0 E[X2 X X ] DX (EX)2 n 1 1 j j2 2 1 1 = 2  2   2. n n n （III）E[c(Y Y )2] cD(Y Y ) 1 n 1 n =c[DY  DY 2Cov(Y ,Y )] 1 2 1 n n1 n1 2 2(n2) =c[   ]2  c2 2， n n n n n 故 c  . 2(n2) -12-