2016年第十四届走美杯五年级决赛解析_小学奥数希望杯华杯赛数学竞赛历年真题试题试卷答案解析电子版_赠送2走美杯真题PDF_五年级

走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com 第十四届“走进美妙的数学花园”上海决赛 试题解析（五年级组） 一、 填空题（每小题8分，共40分） 2 2 4 4 6 6 8 1.       = 。（写成小数形式，精确到小数点后两位。） 计算 1 3 3 5 5 7 7 知识点：计算，近似值 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2016春季五精第一讲例题6：  1  1  1  1  1   1   1   1  1 1 1 1  1 1 1 1   2  2  3  3  48  48  49  49 ——————————————————————————————————————————————— 解析： 211 约分后变为：  211(5272)1.67183 5272 保留两位小数后，答案为1.67。 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆ ——————————————————————————————————————————————— 2. 1角硬币的正面与反面如图所示，拿三个1角硬币一起投掷一次，得到两个正面一个反面的概率为 。 知识点：概率问题，排列组合类型 解析： 三个硬币投掷一次，每个硬币都有正反两种情况，所以一共2228种，两个正面一个反面的可能有C1 3种， 3 3 概率为：38 。 8 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com 3. 大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数。比如，6的 所有因数为1,2,3,6,1236=12 6就是最小的完美数。是否存在无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人 类的难题之一。研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，8128的所有因数之和为 。 知识点：数论，约数和 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2016春季四超第二讲例题7：360有（ ）个约数，所有约数的和是（ ）。 ——————————————————————————————————————————————— 解析： 分解质因数为：812822222212726127； 约数和为：(20 2122 2324 2526)(1270 1271)（1248163264）（1127）16256。 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 4. 某大型会议上，要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中派选四人分别从事翻译、导游、礼仪、 司机四项不同工作，若其中小张、小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的派 选方案共有 种。 知识点：排列组合 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2015暑假五超第八讲例题4：4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种 不同的排法： ⑴甲不在中间也不在两端； ⑵甲、乙两人必须排在两端； ⑶男、女生分别排在一起； ⑷男女相间。 ——————————————————————————————————————————————— 解析： 情况一：小赵和小张都参加工作：他们的选择有2种，剩余3人中选两个参加工作，有A2A2 12种； 2 3 情况二：小赵或小张中一个参加工作：两个人中选一个有两种选法，每个人可以在两项工作中选一个，也有两 种选法，共224种，剩余3个人选三个参加工作，有A3 6种，共4A3 24种，总数122436种。 3 3 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com 5. 将从1开始到25的连续的自然数相乘，得到123 25，记作25！（读作25的阶乘）。用3除25！，显然， 25！被3整除，得到一个商；再用3除这个商， ，这样一直用3除下去，直到所得的商不能被3整除为止， 那么，在这个过程中3整除了 次。 知识点：整除，约数 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2016春季五超第二讲练习6：N 1234 100 用N除以12，最多可以除多少次后商还 是整数？ ——————————————————————————————————————————————— 解析： 等同于计算25！有多少个因数3； 3的倍数：[253]8（个），9的倍数[83]2（个） 因数3共有：8210（个），那么3整除了10次。 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 二、 填空题（每小题10分，共50分） 6. 如图已知正方形ABCD中，F 是BC边的中点，GC2DG,E是DF与BG的交点。四边形ABED的面积 与正方形ABCD的比是 5:8。 A B A B b F F b E E b a 2a D G C D G C 知识点：燕尾，等积变形 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2015暑假五超第十二讲练习4：如图，在长方形ABCD中，CE2DE，G 是BC的中点，DG12 厘米，那么DF _______厘米。 A D E F B G C ——————————————————————————————————————————————— 解析： 连结BD,CE,设三角形DEG面积为a,CG2DG,则三角形EGC 面积为2a，设三角形ECF 面积为b，由 BF CF,则三角形EFB面积为b，由燕尾模型，因为CG2DG，所以三角形BDE面积为b，同样由燕尾 模型，由于BF CE，所以三角形BDE面积等于三角形EDC面积，所以b3a,由此得正方形面积为24a， 四边形ADEB面积为15a； 所以面积比为15a:24a5:8。 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 7. 如图所示，将一张A4纸沿着长边的2个中点对折，将得到2个小长方形，小长方形的长与宽之比与A4纸 相同。如果设A4纸的长为29.7厘米，那么，以A4纸的宽为边长的正方形面积为 平方厘米（精确到 小数点后一位）。 b b a 知识点：比例，小数计算，小数的近似值 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2015暑假五超第十三讲例题1：如图所示，已知长方形的长是宽的2倍，对角线的长是9，则长 方形的面积是 。 9 ——————————————————————————————————————————————— 解析： 两个长方形长宽比相同，所以b:aa:2b,所以a2 2b2,2b29.7cm，2b2 29.729.72441.045cm2 由于要求精确到小数点后一位，所以答案应为：441.0 注：441为错误答案，保留一位小数概念不清 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 8. 由一些顶点和边构成的图形称为一个图，对一个图用不同的颜色给顶点染色，要求具有相同的边的两个顶 点染不同的颜色，称为图的点染色，图的点染色通常要研究的问题是完成染色所需要的最少颜色数，这个 数称为图的色数。下面的图称为皮特森图，皮特森图的色数为 。 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com 知识点：染色问题 解析： 这个图形的外围5个顶点，至少需要三种颜色才能做到有公共线段的两点颜色不同； 所以，至少需要三种颜色，用三种颜色涂各点可得如上图， 所以，皮特森图的色数为3。 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 9. 在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又称为格点）上的简 单多边形叫做格点多边形。最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外，内部或边上不含格 点的格点三角形称为本原格点三角形，如右图所示的格点三角形BRS。每个格点多边形都能够很容易地划 分为若干个本原格点三角形。那么，右图中的格点六边形EFGHKB可划分为 个本原格点三角形。 A B A B R R S S E K E K H H F F D G C D G C 知识点：格点与面积 解析： 令一个小正方形的面积为1，则最小本原格点三角形的面积为0.5 题目中的区域面积为18，所以，最多可以划分为180.536个本原格点三角形 最少可以划分为5个本原格点三角形。 最少的情况如上图： ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 10. 在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动规则为：每个人每次可以选择某一木格中 的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中 时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜。 面对如图所示的局面（每个木格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策 略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动 号木格中的 个小球。 5 6 7 3 2 1 0 知识点：策略性问题 解析： 这个游戏的题的策略是奇数性的利用 只要取成3号格和1号格里的球数相同即可确保获胜。 所以，要确保获胜，先手必须将1号格中的2个小球移入0号格。 后手无论怎么移，都会导致这两格球数不一样，先手只须保持两格一样即可最后获胜。 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 11. m，n是两个自然数，满足26019m649n118，那么m_______，n _ ____。 知识点：整除，不定方程 解析： 左右同时约去59，原式变为：441m11n2 解方程得：n441m2/11,解得m11k2时，n441k80 所以最小值为m2,n80,m可以为所有除以11余2的自然数 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 12. 以下由1、2构成的无穷数列有个有趣的特征，从第一项开始，把数字相同的项合成一个组，再按照顺序将 每组的项数写下来，则这些数构成的无穷数列恰好是它自身。这个数列被称为库拉库斯基数列。按照这个 特征，继续写出这个数列后8项________（从第14项到第21项），如果已知这个数列的前50项的和为75， 第50项为2，则可知道第73项、74项、第75项，第76项分别 ________ 知识点：按规律填数，奇偶性 解析： 把两列数列上下写成两排 前一问可以根据规律填出： 122112122122112112212 1221121221221 所以第14项到第21项是12112212 如果前50项全部为1，则和应该是50，现在和为75，说明有25个2，每一个2意味着上面一列多一个数，现 在有25个，说明第50个数2对应的数字是上排第74，75个，所以第73，74,75,76四个数字形如abba 因为下排每增加一个数字，意味着上排对应数字改变一次奇偶性，如下排第二个数字为2，对应上排数字从1变 成2，下排第二个数字2，对应上排数字改变为1，„„依次类推，下排第50个，意味着对应数字改变了49次 奇偶性，所以奇偶性和第一个不同，第一个是1，所以74，75个数字为2，所以73~76数字为1221。 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com 13. 不全为零的两个自然数的公因数中的最大者，称作这两个数的最大公因数，如果不全为2个自然数的最大公 因数为1，则称这两个数称为互素的或互质的，比如，2与3互素，3与8互素；12与15不是互素的，因为 它们的最大公因数是3。不超过81的自然数中，有 ____个数与81互素。 知识点：数论，质数合数，互质的概念 解析： 8134，81只存在质因数3，所以所有含有因数3的数，不和81互质，81327,不大于81的，含有3的因数 的数有27个，剩下的数都和81互质，812754个。 ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 14. 任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方 形的面积。这就是著名的勾股定理，在西方又被称为毕达哥拉斯定理。勾股定理有着悠悠4000年的历史， 出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽 给出了如下左图所示的简洁而美妙的证明方法， 如下右图则是以这个方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板： 刘徽模式勾股拼图板的5个组块，还可以拼成一个如右图所示的平行四边形，如果其中的直角边分别为3厘 米与4厘米，那么，这个平行四边形的周长为 厘米 4厘米 3厘米 知识点：勾股定理 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2015暑假五超第十三讲例题2：如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中如图，所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的 面积之和为______cm2。 ——————————————————————————————————————————————— 解析： 平行四边形的上下底长为5，下图红绿两个三角形是一样的， 4厘米 3厘米 边长之比是4:5，其斜边长是5456.25 厘米， 所以平行四边表周长是：(56.25)222.5厘米。 5厘米 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部走美杯 家 门 口 的 中 小 学 辅 导 专 家 www.xinzhoujy.com ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 15. 在 的圆圈中填入1到16的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈 中的数字之和都相等，这称为一个8阶幻星图，这个相等的数称为8阶幻星图的幻和。那么，8阶幻星图的 幻和为 ，并继续完成以下8阶幻星图。 8 8 2 3 15 14 2 12 6 11 5 4 13 4 13 10 1 16 10 7 1 9 知识点：数阵图 ——————————————————————————————————————————————— 新舟同类型题目：2015秋季五超第六讲练习7：（第十四届届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级初赛）将 0~9填入下图圆圈中，每个数字只能使用一次，使得，每条线段上的数字和都是13。 ——————————————————————————————————————————————— 解析：每个数字都在两条线上，共有8条线，那么，共有8个幻和，且每个数字都重复两次； 所以根据万能公式得：幻和8(123 36)2；幻和 (12 16)2834； 填完成后图形如上图： ——————————————————————————————————————————————— 难度系数：☆☆☆ ——————————————————————————————————————————————— 感谢张培老师、陈银波老师、孙懿欧老师、孙梦思老师、岳娟老师、 倪淑娴老师、葛亚宁老师、鲁林林老师、杨依春老师 新 舟 教 育 竞 赛 升 学 部