文档内容
【备注】此部分是给大家整理的所有学科知识部分的数学公式，公式
与粉笔教师资格证线上科目三系统讲义是统一的，单独整理方便大家
集中记忆。
常用的公式汇总
1. 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。
2. 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2。
3. 立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）= a3+b3。
4. 立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）= a3-b3。
5. 完全立方公式：（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3。
𝑏
6. 如果一元二次方程ax2+bx+c=（0 x为未知数，a≠0）的两个实数根是x ，x ，那么x +x =- ，
1 2 1 2
𝑎
𝑐
x x = 。若x +x =m，x x =n，则以x ，x 为根的一元二次方程是x2-mx+n=0。
1 2 1 2 1 2 1 2
𝑎
7.指数公式
(1) a0＝1(a>0)
(2) ar·as＝ar＋s(r, s∈R, a>0)
(3)
𝑎𝑟
＝𝑎𝑟−𝑠( r, s∈R, a>0)
𝑎𝑠
(4) (ab)r＝arbr( r∈R, a，b>0)
(5) (ar)s＝ars(r, s∈R, a>0)
(6) a-r＝ 1 (r∈R, a>0)
𝑎𝑟
𝑟
(7) 𝑎𝑠 ＝√𝑠 𝑎𝑟( r∈R, a>0，s∈N*，s>1)
8.对数公式
1
特殊：log 1＝0, log a＝1, log ＝－1（a>0且a≠1）
a a a
𝑎
和式：log (M·N)＝log M＋log N（a>0且a≠1，M>0，N>0）
a a a
𝑀
差式：log ＝log M－log N（a>0且a≠1，M>0，N>0）
a a a
𝑁
换底：log b＝
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏
（a>0且a≠1，c>0，且c≠1；b>0）
a
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎
指系：𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑚𝑏𝑛＝ 𝑛 log
a
b（a>0且a≠1，b>0，m,n∈R，m≠0）
𝑚还原：𝑎log𝑎𝑥 =log 𝑎𝑥（a>0且a≠1；x>0）
𝑎
1
倒数：log b＝ （a>0且a≠1， b>0且b≠1）
a
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
9.三角函数的基础公式
𝑠𝑖𝑛𝛼
sin2α＋cos2α＝1 tanα＝ tanαcotα＝1
𝑐𝑜𝑠𝛼
10.和差公式
（1）sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
（2） cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ
𝑡𝑎𝑛𝛼±𝑡𝑎𝑛𝛽
（3）tan(α±β)＝
1∓𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽
11.倍角公式
（1）sin2α＝2sinαcosα
（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2𝑡𝑎𝑛𝛼
（3）tan2α＝
1−𝑡𝑎𝑛2𝛼
12.正弦定理
在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，R 为△ABC 的外接圆的半径，
𝑎 𝑏 𝑐
则有 ＝ ＝ ＝2𝑅。
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶
1 1 1
三角形的面积公式：S ＝ bcsinA＝ acsinB＝ absinC
∆ABC
2 2 2
13.余弦定理
在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，有 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝
a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
𝑏2＋𝑐2−𝑎2 𝑎2＋𝑐2−𝑏2 𝑎2＋𝑏2−𝑐2
推论：cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝
2𝑏𝑐 2𝑎𝑐 2𝑎𝑏
14. 均值不等式
①若a，b∈𝑅，𝑎2＋𝑏2 ≥2𝑎𝑏，当且仅当a=b时，等号成立
𝑎＋𝑏
②若a>0，b>0，则 ≥ √𝑎𝑏，当且仅当a=b时，等号成立。
2
𝑎＋𝑏
这里a，b均为正数，称 为正数a，b的算术平均数，√𝑎𝑏称为正数a，b的几何平均
2
数，即两个整数的算术平均数不小于（大于等于）它们的几何平均数。
③若a，b，c∈𝑅，则 𝑎＋𝑏+𝑐 ≥ 3 √𝑎𝑏𝑐，当且仅当a=b=c时，等号成立。
315. 柯西不等式
若 a，b，c，d∈𝑅，都是实数，则(𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)≥(𝑎𝑐+𝑏𝑑)2，当且仅当 ad=bc
时，等号成立。
16.复数的运算
1.加减运算：(a＋bi) ±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i
2.乘法运算：(a＋bi) (c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
𝑎𝑐＋𝑏𝑑 𝑏𝑐−𝑎𝑑
3.除法运算：(a＋bi)÷(c＋di)＝ ＋ 𝑖(c＋di≠0)
𝑐2＋𝑑2 𝑐2＋𝑑2
4.i的幂运算：i4n＝1，i4n＋1＝1，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)
17.复数方程
实系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）在复数范围内求根：
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
当判别式Δ>0时，有一对实根x = ；
1,2
2𝑎
𝑏
当判别式Δ=0时，有一对相等的实根x =− ；
1,2
2𝑎
−𝑏±𝑖√4𝑎𝑐−𝑏2
当判别式Δ<0时，有一对共轭虚根x = 。
1,2
2𝑎
（3）数量积：对于两个向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗，它们的模|𝑎⃗|、|𝑏⃗⃗|及它们的夹角θ的余弦的乘积称为
向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗的数量积，记作𝑎⃗·𝑏⃗⃗，即𝑎⃗·𝑏⃗⃗=|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃。
18. 坐标运算
设𝑎⃗＝(x ,y )， 𝑏⃗⃗⃗＝(x ,y )，则：
1 1 2 2
向量的加减法运算：𝑎⃗±𝑏⃗⃗＝(x ±x , y ±y )
1 2 1 2
实数与向量的积：𝜆𝑎⃗= 𝜆 (x ,y )= (𝜆x , 𝜆y )。
1 1 1 1
若A(x ,y )，B(x ,y )，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗＝(x －x y －y )，即一个向量的坐标等于表示这个向量的
1 1 2 2 2 1, 2 1
有向线段的终点坐标减去起点坐标。线段AB的中点坐标为(
𝑥1 ＋𝑥2, 𝑦1 ＋𝑦2)
。
2 2
平面向量数量积：𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝x x ＋y y 。
1 2 1 2
向量的模：|𝑎⃗|=√𝑥2+𝑦2，𝑎⃗2 =|𝑎⃗|2 =𝑥2+𝑦2。
两点间的距离：若A(x ,y )，B(x ,y )，则|A⃗⃗⃗⃗B⃗⃗|=√(𝑥 −𝑥 )2＋(𝑦 −𝑦 )2。
1 1 2 2 2 1 2 1
19. 向量的运算律
交换律：𝑎⃗＋𝑏⃗⃗＝𝑏⃗⃗＋𝑎⃗，λ(𝜇𝑎⃗)＝( λμ)𝑎⃗，𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝𝑏⃗⃗∙𝑎⃗
结合律：(𝑎⃗＋𝑏⃗⃗)＋𝑐⃗＝𝑎⃗＋(𝑏⃗⃗＋𝑐⃗)，𝑎⃗＋𝑏⃗⃗＋𝑐⃗＝(𝑎⃗＋𝑏⃗⃗) ＋𝑐⃗，𝑎⃗−𝑏⃗⃗−𝑐⃗＝𝑎⃗−(𝑏⃗⃗＋𝑐⃗) ，(λ𝑎⃗)·𝑏⃗⃗
＝ λ（𝑎⃗·𝑏⃗⃗）=𝑎⃗·（λ𝑏⃗⃗）；分配律：( λ＋μ)𝑎⃗＝λ𝑎⃗＋𝜇𝑎⃗，λ(𝑎⃗＋𝑏⃗⃗)＝ λ𝑎⃗＋𝜆𝑏⃗⃗，(𝑎⃗＋𝑏⃗⃗) ·𝑐⃗=𝑎⃗·𝑐⃗＋𝑏⃗⃗ ·𝑐⃗。
2
20.向量平行的充要条件：𝑎⃗⃗//𝑏⃗⃗↔𝑎⃗＝𝜆𝑏⃗⃗(𝜆∈𝑹)↔(𝑎⃗∙𝑏⃗⃗)2＝(|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|) ↔ x
1
y
2
－ x
2
y
1
=0。
21.两个向量垂直的充要条件
设𝑎⃗＝(x ,y ), 𝑏⃗⃗⃗＝(x ,y )，
1 1 2 2
①向量式：𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗⃗(𝑏⃗⃗≠0⃗⃗)↔𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝0；
②坐标式：𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗⃗(𝑏⃗⃗≠0⃗⃗)↔ x x ＋y y ＝0。
1 2 1 2
③直线l ：A x＋B y＋C ＝0与l ：A x＋B y＋C ＝0垂直的充要条件是A A ＋B B ＝
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2
0。
向量垂直的充要条件：𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗⃗(𝑏⃗⃗≠0⃗⃗)↔𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝0↔|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=|𝑎⃗⃗−𝑏⃗⃗|↔ x x ＋y y ＝0。
1 2 1 2
22.向量的模与两点间的距离公式
设向量𝑟⃗= (x, y, z)，则向量模的坐标表示式|𝑟⃗|=√𝑥2+𝑦2+𝑧2
设有点A=(x ,y ,z )，B=(x ,y ,z )，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗＝𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗ -𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗= (x －x y －y ,z －z )
1 1 1 2 2 2 2 1, 2 1 2 1
于是点A与点B间的距离为|𝐴𝐵|=|𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗|＝√(𝑥 −𝑥 )2+(𝑦 −𝑦 )2+(𝑧 −𝑧 )2
2 1 2 1 2 1
23. 数量积
（1）数量定义
对于两个向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗，它们的模|𝑎⃗⃗|、|𝑏⃗⃗|及它们的夹角𝜃的余弦的乘积称为向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗的数
量积，记作𝑎⃗∙𝑏⃗⃗，即𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|cos𝜃
24.数量积的性质
①𝑎⃗∙𝑎⃗＝|𝑎⃗|2
②对于两个非零向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗，如果𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝0，则𝑎⃗ ⊥𝑏⃗⃗；反之，如果𝑎⃗ ⊥𝑏⃗⃗，则𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝0。如
果认为零向量与任何向量都垂直，则𝑎⃗ ⊥𝑏⃗⃗ ↔𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝0。
25.数量积的运算律
①交换律𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝𝑏⃗⃗∙𝑎⃗
②分配律：(𝑎⃗＋𝑏⃗⃗) ·𝑐⃗=𝑎⃗·𝑐⃗＋𝑏⃗⃗ ·𝑐⃗
③(λ𝑎⃗)·𝑏⃗⃗＝𝑎⃗·（λ𝑏⃗⃗），(λ𝑎⃗)·(𝜇𝑏⃗⃗)＝ λμ(𝑎⃗𝑏⃗⃗) λ、𝜇为常数
26.数量积的坐标表示
设𝑎⃗＝(𝑎 ，𝑎 ，𝑎 )，𝑏⃗⃗＝(𝑏 ，𝑏 ，𝑏 )，则𝑎⃗∙𝑏⃗⃗ =𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏 +𝑎 𝑏
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧
（5）两向量夹角的余弦的坐标表示设𝜃 =<𝑎⃗,𝑏⃗⃗ >，则当𝑎⃗ ≠0，𝑏⃗⃗≠0时，有cos𝜃＝ 𝑎⃗⃗∙𝑏⃗⃗ ＝ 𝑎𝑥𝑏𝑥+𝑎𝑦𝑏𝑦+𝑎𝑧𝑏𝑧
|𝑎⃗⃗||𝑏⃗⃗|
√𝑎𝑥 2＋𝑎𝑦 2＋𝑎𝑧 2√𝑏𝑥 2＋𝑏𝑦 2＋𝑏𝑧 2
27.向量积
（1）向量积的定义
设向量𝑐⃗是由两个向量𝑎⃗和𝑏⃗⃗按下列方式定出：
𝑐⃗的模|𝑐⃗|＝|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|sin𝜃，其中𝜃为𝑎⃗和𝑏⃗⃗间的夹角。
𝑐⃗的方向垂直于𝑎⃗和𝑏⃗⃗所决定的平面，𝑐⃗的指向按右手定则从𝑎⃗转向𝑏⃗⃗来确定。那么，向量𝑐⃗
叫做向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的向量积，记作𝑎⃗×𝑏⃗⃗，即𝑐⃗=𝑎⃗×𝑏⃗⃗
向量积的几何意义：平行四边形的面积
28.向量积的性质
①𝑎⃗×𝑎⃗ =0
②对于两个非零向量𝑎⃗、𝑏⃗⃗，如果𝑎⃗×𝑏⃗⃗=0，则𝑎⃗∥𝑏⃗⃗；反之，如果𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，则𝑎⃗×𝑏⃗⃗ =0。
29.向量积的运算律
①交换律𝑎⃗×𝑏⃗⃗ =−𝑏⃗⃗×𝑎⃗
②分配律：(𝑎⃗+𝑏⃗⃗) ×𝑐⃗=𝑎⃗×𝑐⃗+𝑏⃗⃗ ×𝑐⃗
③𝜆𝑎⃗×𝑏⃗⃗ =𝑎⃗×(𝜆𝑏⃗⃗)=𝜆(𝑎⃗×𝑏⃗⃗)，𝜆为常数
30.向量积的坐标表示
𝒊 𝒋 𝒌
𝑎⃗×𝑏⃗⃗ =|𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧|= (𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 −𝑎 𝑧 𝑏 𝑦 )𝒊−(𝑎 𝑥 𝑏 𝑧 −𝑎 𝑧 𝑏 𝑥 )𝒋+(𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 −𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 )𝒌
𝑏 𝑏 𝑏
𝑥 𝑦 𝑧
31.利用向量的坐标判断两个向量的平行
设𝑎⃗＝(𝑎 ，𝑎 ，𝑎 ) ≠0, 𝑏⃗⃗⃗＝(𝑏 ，𝑏 ，𝑏 )，向量𝑎⃗⃗//𝑏⃗⃗↔𝑎⃗＝𝜆𝑏⃗⃗，
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
即𝑎⃗⃗//𝑏⃗⃗↔(𝑎 ，𝑎 ，𝑎 )=𝜆(𝑏 ，𝑏 ，𝑏 )，于是 𝑏𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝑏𝑧
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
32.混合积
设已知三个向量a，b，c，先作两向量a和b的向量积a×b把所得到的向量与第三个向
量c再作数量积(a×b)·c，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混合积，记作[a，b，c]。
𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑦 𝑧
[a，b，c]= (a×b)·c=𝑐 | 𝑦 𝑧 |-𝑐 | 𝑥 𝑧 |+𝑐 | 𝑥 𝑦 |=|𝑏 𝑏 𝑏 |
𝑥 𝑏 𝑏 𝑦 𝑏 𝑏 𝑧 𝑏 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧
𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦 𝑐 𝑐 𝑐
𝑥 𝑦 𝑧
几何意义：以向量a，b，c，为棱长的平行六面体的体积。
33.两条平行线间的距离若l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0平行，则：d＝
|𝐶1−𝐶2 |
。
1 1 2 2
√𝐴2＋𝐵2
34.点与直线的关系
点P (x ，y )到直线Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝
|𝐴𝑥0 ＋𝐵𝑦0 ＋𝐶|
。
0 0 0
√𝐴2＋𝐵2
35.圆的方程的几种形式
表达式 圆心 半径
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (a，b) r
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
𝐷 𝐸 √𝐷2＋𝐸2−4𝐹
一般方程 (− ,− )
2 2 r＝
(D2＋E2－4F>0)
2
𝑥＝𝑟cos𝜃＋𝑎
参数方程 { (a，b) r
𝑦＝𝑟sin𝜃＋𝑏
37.排列数公式：𝐴𝑚 =𝑛⏟( 𝑛 − 1 ) (𝑛 − 2 ) … ( 𝑛 − 𝑚 + 1 )= 𝑛! (m, n∈N, m≤n)
𝑛 (𝑛−𝑚)!
𝑚个相乘
如𝐴3 =5×4×3= 5!
5 (5−3)!
38.组合数公式：
𝐶𝑚＝ 𝐴𝑛 𝑚 ＝ n(n−1)…(n−m＋1) ＝ 𝑛! (m, n∈N, m≤n)，如𝐶3= 𝐴 5 3 = 5×4×3 。
𝑛 𝐴𝑚 𝑚(𝑚−1)…2∙1 (𝑛−𝑚)!𝑚! 5 𝐴3 3×2×1
𝑚 3
39.组合数性质
𝐶𝑚＝𝐶𝑛−𝑚，规定𝐶0＝𝐶𝑛＝1。
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
40.二项式定理
(a＋b)n＝𝐶0an＋𝐶1an-1b＋…＋𝐶𝑟an-rbr＋…＋𝐶𝑛bn(n，r∈N*)，其中组合数𝐶𝑟叫做第(r＋
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
1)项的二项式系数；展开式共有(n＋1)项，其中第(r＋1)项T ＝𝐶𝑟an-rbr(r＝0,1,2,…n)称为二
r＋1 𝑛
项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项。
41.等可能事件的概率
（1）几何概率：每个事件发生的概率只与构成事件区域的几何度量（面积或体积）成
正比。
构成事件A的区域的几何度量（长度、面积或体积）
P（A）＝
试验所有可能结果构成的区域的几何度量（长度、面积或体积）
42.等可能事件的概率
①特点：所有基本事件有限个；每个基本事件发生的可能性都相等
𝐴包含的基本事件的个数
②概率公式：P（A）＝
基本事件的总数
43.古典概型概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
𝑚
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝
𝑛
44.如果事件A和B互斥，则P（A+B）＝P（A）＋P（B）（加法公式）。
45.如果A和B对立 ，则：P（A）＝1－P（B）。
𝑃(𝐴𝐵)
46. 条件概率P（B|𝐴）= ，为在事件A发生条件下，事件B发生的概率。
𝑃(𝐴)
47. 独立事件概率P（AB）=P(A)P（B|𝐴）=P（A）P（B）。
48. n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
在n次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，事件发生的概率是
p，则在n次试验中恰好成功k次的概率为：P（ξ＝k）＝𝐶𝑘pk(1-p)n-k。
𝑛
49.两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1-p p
则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率。
50.二项分布
n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0、1、
2、…n，并且P =P（ξ＝k）＝𝐶𝑘pkqn-k，其中0≤k≤n，q=1-p，随机变量ξ的分布列如下：
k 𝑛
ξ 0 1 … k … n
P 𝐶0p0qn 𝐶1p1qn-1 … 𝐶𝑘pkqn-k … 𝐶𝑛pnq0
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n, p)，并称p为成功概率，其中n、p为
参数，并记𝐶𝑘pk(1－p)n-k=b(k，n，p)。
𝑛
51. 超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有次品数记为ξ，则事件{ξ＝k}发生
𝐶𝑘𝐶𝑛−𝑘
的概率为P（ξ＝k）＝ 𝑀 𝑁−𝑀（k＝1,2,…,l,l＝min(n, M)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*），
𝐶𝑛
𝑁
其分布如下表所示：
Ξ 0 1 … l
𝐶0𝐶𝑛 𝐶1𝐶𝑛−1 𝐶𝑙 𝐶𝑛−𝑙
P 𝑀 𝑁−𝑀 𝑀 𝑁−𝑀 … 𝑀 𝑁−𝑀
𝐶𝑛 𝐶𝑛 𝐶𝑛
𝑁 𝑁 𝑁
𝐶𝑘𝐶𝑛−𝑘
称这样的随机变量ξ服从超几何分布，记作ξ～H(n，M，N )，并将P（ξ＝k）＝ 𝑀 𝑁−𝑀记
𝐶𝑛
𝑁资
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公
众
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为H(k；n，M，N )。
1
52.期望=平均数𝑥̅＝ (x ＋x ＋…＋x )
1 2 n
𝑛
1
53.方差： s2＝ [(x －𝑥̅)2＋(x －𝑥̅)2＋…＋(x －𝑥̅)2]
1 2 n
𝑛
𝜎
54.标准差系数（离散系数）：𝑉 =
𝜎
𝑥
55.离散型随机变量的期望
E(ξ)＝p x ＋p x ＋…＋p x ＋…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称为期望。
1 1 2 2 n n
∞
E(X)= ∑𝑥 𝑝
𝑘 𝑘
𝑘=1
若η=aξ+b，其中a，b为常数，则η也是随机变量，且E(η)=E(aξ+b)=aEξ+b。
随机变量期望的性质：
①E(c)=c(c为常数)；
②E(cX)=cE(X)；
③E(X±Y)=E(X)±E(Y)；
④𝐸(∑𝑛 𝑋)=∑𝑛 𝐸(𝑋)；
𝑖=1 𝑖 𝑖=1 𝑖
⑤若X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)·E(Y)。
56.离散型随机变量的方差 D(ξ)＝p (x －E(ξ))2＋ p (x －E(ξ))2＋…＋p(x－E(ξ))2+…+
1 1 2 2 i i
p (x －E(ξ))2为随机变量ξ的方差。
n n
若η=aξ+b，其中a，b为常数，则η也是随机变量，且D(η)=D(aξ+b)=a2Dξ。
随机变量方差的性质：
①D(X)=∑∞ [𝑥 −𝐸(𝑋)]2𝑝 =E{[𝑋−𝐸(𝑋)]2}；
𝑘=1 𝑘 𝑘
②D(c)=0(c为常数)；
③D(cX)=c2D(X) (c为常数)；
④D(X+c)=D(X) (c为常数)；
⑤若X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)；
⑥D(X)=E(X2)-[E(X)]2。
57.随机变量的分布函数
设X是一个随机变量，x是任意实数，
函数F(x)=P{X≤x}，−∞0，则称ξ服从正态分布，记为ξ～N(μ，𝜎2)。称F(x)=∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =∫ 𝑥 1 𝑒− (𝑥 2 − 𝜎 𝜇 2 )2 𝑑𝑥
−∞ −∞√2𝜋𝜎
为分布函数。期望Eξ=μ，方差Dξ=𝜎2。
62.性质
1. 曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称。
P(X<μ)= P(X>μ)=0.5；P(X<μ-σ)= P(X>μ+σ)
2. 曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低。
3. 曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之越
“高瘦”。
63.标准正态分布资
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公
众
号
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当μ=0，σ=1时，ξ服从标准的正态分布，记作ξ～N(0，1)，且有φ(x)= 1 𝑒− 1
2
𝑥2 ，φ(x)
√2𝜋
称为标准正态分布的概率密度函数；标准正态分布函数为Φ(x)= ∫ 𝑥 𝛷(𝑡)𝑑𝑡 = 1 ∫ 𝑥 𝑒− 𝑡 2 2 𝑑𝑡，
−∞ √2𝜋 −∞
且满足Φ(-x)=1-Φ(x)，Φ(0)=0.5。
当X～N(μ，𝜎2)时，F（μ）=0.5；
𝑥−𝜇
F（x）=Φ( )，
𝜎
𝑋−𝜇 𝑥−𝜇 𝑥−𝜇
P（X≤x）= P（ ≤ ）=Φ( )，
𝜎 𝜎 𝜎
𝑏−𝜇 𝑎−𝜇
P（aN 时，有|𝑥 −𝑎|<𝜀成立，那么就称常数 a 是数列{𝑥 }的极限，或者称数
𝑛 𝑛
列{𝑥 }收敛于a，记作lim 𝑥 =𝑎。
𝑛 𝑛
𝑛→∞
“ε--N”语言：∀ε>0，∃正整数N，当n>N时，有|𝑥 −𝑎|<𝜀。
𝑛
65.函数极限
（1）自变量趋于有限值时函数的极限
设函数𝑓(𝑥)在点𝑥 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数ε（不
0
论它多么小），总存在正数𝛿，当0<|𝑥−𝑥 |<𝛿时，|𝑓(𝑥)−𝐴|<𝜀成立，则称𝑓(𝑥)当𝑥 →𝑥
0 0
时以A为极限，记作
lim 𝑓(𝑥)=𝐴。
𝑥→𝑥0
描述语言：当𝑥 →𝑥 时，𝑓(𝑥)无限趋近（接近）于某个常数A。
0
“ε--N”语言：∀ε>0，∃δ>0，对任意的 ，有|𝑓(𝑥)−𝐴|<𝜀。
66.自变量趋于无穷大时函数的极限
设函数𝑓(𝑥)当|𝑥|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不资
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公
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论它多么小），总存在着正数 X，使得当x满足不等式|𝑥|>𝑋时，对应的函数值𝑓(𝑥)都满足
不等式|𝑓(𝑥)−𝐴|<𝜀，那么常数A就叫做函数𝑓(𝑥)当𝑥 →∞时的极限，记作
lim 𝑓(𝑥)=𝐴或𝑓(𝑥) →𝐴（当𝑥 →∞）
𝑥→∞
“ε--N”语言：∀ε>0，∃𝑋 >0，当|𝑥|>𝑋时，有|𝑓(𝑥)−𝐴|<𝜀。
67.函数的有界性
如果在变量x所考虑的范围(用D表示)内，存在一个正数M,使在D上的函数值𝑓(𝑥)都
满足|𝑓(𝑥)|≤𝑀，则称函数y=𝑓(𝑥)在 D 上有界,亦称𝑓(𝑥)在 D 上是有界函数。如果不存在
这样的正数M,则称函数y=𝑓(𝑥)在D上无界,亦称𝑓(𝑥)在D上是无界函数。
一般来说，连续函数在闭区间上具有有界性。
68.极限的性质
（1）函数极限的唯一性
如果极限lim 𝑓(𝑥)存在，那么这极限唯一。
𝑥→𝑥0
（2）函数极限的局部有界性
如果极限
lim 𝑓(𝑥)=𝐴
𝑥→𝑥0
那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|𝑥−𝑥 |<𝛿时，有|𝑓(𝑥)|≤𝑀。
0
（3）函数极限的局部保号性
如果
lim 𝑓(𝑥)=𝐴
𝑥→𝑥0
且A>（0 或A<0），那么存在常数δ>0，使得当0<|𝑥−𝑥 |<𝛿时，有𝑓(𝑥)>0（或𝑓(𝑥)<0）。
0
（4）函数极限与数列极限的关系
如果极限
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
存在，{𝑥 }为函数f(x)的定义域内任一收敛于𝑥 的数列，且满足：𝑥 ≠𝑥 (𝑛∈𝑁 )，那
𝑛 0 𝑛 0 +
么相应的函数值数列{𝑓(𝑥 )}必收敛，且
𝑛
lim 𝑓(𝑥 )= lim 𝑓(𝑥).
𝑛
𝑛→∞ 𝑥→𝑥0
69.极限的运算法则
设limu(x)＝A，limv(x)＝B，则有资
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公
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（1）加减法：lim[u(x) ±v(x)]＝limu(x) ±limv(x)＝A±B
（2）乘法：lim[u(x) ·v(x)]＝limu(x) ·limv(x)＝A·B
𝑢(𝑥) 𝑙𝑖𝑚𝑢(𝑥) 𝐴
（3）除法：当limv(x)＝B≠0时，lim ＝ ＝
𝑣(𝑥) lim 𝑣(𝑥) 𝐵
推论1：如果limu(x)存在，而c为常数，那么lim[cu(x)]＝climu(x)。
推论2：如果limu(x)存在，而n是正整数，那么lim[u(x)]n＝[limu(x)]n。
70. 判定极限存在的两个准则
（1）（夹逼准则）设函数 f(x)，g(x)，h(x)在𝑥 的某个邻域𝑈(𝑥 )内满足 g(x)≤f(x)≤h(x)，
0 0
且有极限
lim 𝑔(𝑥)= lim ℎ(𝑥)=𝐴
𝑛→𝑥0 𝑥→𝑥0
则有lim 𝑓(𝑥)=𝐴。
𝑥→𝑥0
（2）单调有界数列必有极限。
71.极限的求法
代入法就是直接将所趋近的值代入函数表达式中，这种方法的前提条件是这个值能使函
数有意义。
约公因子法：所趋近的值使得函数没有意义，因此需要进行约公因子，约公因子通常运
用因式分解的方法。
最高次幂：当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以通过这种方法。最高
次幂法主要是比较分子与分母次数的高低。
𝑎
0 ,当𝑛＝𝑚
lim
𝑎 0 𝑥𝑚＋𝑎 1 𝑥𝑚−1＋…＋𝑎 𝑚＝ 𝑏 0
0,当𝑛 >𝑚
𝑥→∞ 𝑏 𝑥𝑛＋𝑏 𝑥𝑛−1＋…＋𝑏
0 1 𝑛
{∞,当𝑛 <𝑚
72. 两个重要极限公式
𝑠𝑖𝑛𝑥
（1）lim ＝1
𝑥→0 𝑥
1 𝑥 1
（2） lim (1＋ ) ＝𝑒或lim(1＋𝑥)𝑥＝𝑒
𝑥→∞ 𝑥 𝑥→0
73. 洛必达法则
0
法则1：（ 型）
0
设（1）limf(x)=0，limg(x)=0；
（2）在x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在；资
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𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)
（3）lim =𝐴（或∞），则lim =𝐴（或∞）。
𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)
注意：如果lim 不存在，则不能得出lim 不存在，如反例
𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥
lim 。
𝑥→∞ 𝑥
∞
法则2：（ 型）
∞
设（1）limf(x)= ∞，limg(x)= ∞；
（2）在x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在；
𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)
（3）lim =𝐴（或∞），则lim =𝐴（或∞）。
𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥)
注意：（1）离散型数列极限不能直接用洛必达法则；
1
（2）如果直接用洛必达法则更麻烦，可先作变量替换，如令 =t。
𝑥2
74.两个无穷小的比较
𝑓(𝑥)
在自变量同一变化过程（𝑥 →𝑥 或𝑥 →∞）中，设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim =𝑙，
0
𝑔(𝑥)
则有：
①若l=0，称𝑓(𝑥)是比𝑔(𝑥)高阶的无穷小，记作：𝑓(𝑥)＝o[𝑔(𝑥)]；
②若l＝∞ ，称𝑓(𝑥)是比𝑔(𝑥)低阶的无穷小，记作：𝑓(𝑥)＝O[𝑔(𝑥)]；
③若l=c≠0，称𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)是同阶无穷小；
④若l＝1，称是𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)等阶无穷小，记作：𝑓(𝑥)~𝑔(𝑥)。
75.常用等价无穷小
当x→0的等价无穷小量有：
sin𝑥~𝑥；tanx～x；arcsinx～x；arctanx～x；ex－1～x；
ln(1＋x) ～x；（1＋x）2－1～2x ；1－cosx～
𝑥2
；ax-1～x·lna
2
76. 水平渐近线
当 lim 𝑓(𝑥)=𝑐(常数)时，则称y=c为水平渐近线。
𝑥→±∞
77. 垂直渐近线
当lim 𝑓(𝑥)=±∞时，则称x=x 为垂直渐近线。
0
𝑥→𝑥±
0
78. 闭区间上的连续函数的性质
定理 1（有界性与最大值最小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定资
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能取得它的最大值和最小值。
这就是说，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么存在常数M>0，使得对任一x∈[𝑎,𝑏]，
满足|𝑓(𝑥)|≤𝑀；且至少有一点 ξ，使 f(ξ)是 f(x)在[a，b]上的最大值；又至少有一点 η，使
f(η)是f(x)在[a，b]上的最小值。
有界性定理：闭区间上连续函数在该区间上必有界。
定理（2 零点定理）：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a) ·f(b)<0），
则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0。
定理3（介值定理）：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函
数值f(a)=A及f(b)=B则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点
ξ，使得f(ξ)=C（a<ξ0且a≠1），特别地（𝑒𝑥）′=𝑒𝑥
1 1
4．（log 𝑥）′＝ （a>0且a≠1），特别地，(lnx)′=
𝑎
𝑥𝑙𝑛𝑎 𝑥
5. （sinx）′＝cosx （cosx）′＝－sinx
（tanx）′＝sec2x （cotx）′＝－csc2x
（secx）′＝tanxsecx （cscx）′＝－cotxcscx
1 1
6．（arcsinx）′＝ （arccosx）′＝-
√1−𝑥2 √1−𝑥2
1 1
（arctanx）′＝ （arccotx）′＝−
1＋𝑥2 1＋𝑥2
83.求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则
定理：设u＝u(x)，v＝v(x)都可导，则
（1）[u(x) ±v(x)] ′＝ u′(x) ±v′(x)；
（2）[u(x) ·v(x)] ′＝ u′(x) v(x)＋ u(x) v′(x)，特别地，[Cu(x)] ′＝Cu′(x)；
𝑢(𝑥) ′ 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)
（3）[ ] ＝ （v′（x）≠0）。
𝑣(𝑥) 𝑣2(𝑥)
84.反函数求导法则
反函数的导数等于原函数导数的倒数。
85.复合函数的求导法则
函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数。
86.隐函数求导
（1）隐函数的概念
由二元方程F（x,y）＝0所确定的函数称为隐函数。
（2）隐函数的求导法
例：求由方程𝑒𝑥+xy-e=0所确定的隐函数的导数 dy 。
dx资
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解：把方程两边分别对x求导数，注意y=y(x)。方程左边对x求导得 𝑑 (𝑒𝑦+𝑥𝑦−𝑒)=
𝑑𝑥
𝑒𝑦𝑑𝑦
+y+𝑥
𝑑𝑦
，方程右边对x求导得(0)′=0。
𝑑𝑥 𝑑𝑥
由于等式两边对x的导数相等，所以𝑒𝑦𝑑𝑦 +y+𝑥 𝑑𝑦 =0，从而 𝑑𝑦 =− 𝑦 (x+𝑒𝑦 ≠0)。
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥+𝑒𝑦
在这个结果中，分式中的y=y(x)是由方程𝑒𝑥+xy-e=0所确定的隐函数。
87. 由参数方程所确定的函数的导数
𝑥 =𝜑(𝑡)
一般地，若参数方程{ ，确定 y 与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的
y=ψ(t)
函数为由参数方程所确定的函数。要计算这个参数方程所确定的x的函数的导数，假设函数
𝑑𝑦
𝑑𝑦 𝜑′(𝑡)
𝑥 =𝜑(𝑡)、y=ψ(t)都是可导的，而且ψ′(t) ≠0。则 = 𝑑𝑡= 。
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝜓′(𝑡)
𝑑𝑡
88.切线方程与法线方程
函数𝑓(𝑥)在点𝑥 处的导数𝑓′(𝑥 )在几何上表示曲线𝑦＝𝑓(𝑥)在点(𝑥 ，𝑓(𝑥 ))处的切线的
0 0 0 0
斜率，即𝑓′(𝑥 )＝𝑘 。
0 切
②若𝑓′(𝑥 )=∞，则在点(𝑥 ，𝑓(𝑥 ))处的切线垂直于𝑥轴；
0 0 0
③曲线𝑦＝𝑓(𝑥)在点(𝑥 ，𝑓(𝑥 ))处的切线方程为y−𝑓(𝑥 )＝𝑓′(𝑥 )(𝑥−𝑥 )；
0 0 0 0 0
1
曲线𝑦＝𝑓(𝑥)在点(𝑥 ，𝑓(𝑥 ))处的法线方程为y−𝑓(𝑥 )＝− (𝑥−𝑥 )。
0 0 0 𝑓′(𝑥0 ) 0
89.函数单调性的判定
设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。
（1）如果在（a，b）内 f′(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x)在[a，
b]上单调增加；
（2）如果在（a，b）内 f′(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 y=f(x)在[a，
b]上单调减少；
90. 求函数最值的方法
极值与区间端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
91.曲线的凹凸性与拐点
设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x ，x 恒有𝑓(
𝑥1+𝑥2)< 𝑓(𝑥1 )+𝑓(𝑥2)
，那么称
1 2
2 2
f(x)在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有𝑓(
𝑥1+𝑥2)> 𝑓(𝑥1 )+𝑓(𝑥2)
，那么称f(x)在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.
2 2
如果函数f(x)在I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，资
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设f(x)在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么
（1）如果在（a，b）内f″(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上的图形是凹的；
（2）如果在（a，b）内f″(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上的图形是凸的；
92.詹森不等式：若f为[a，b]上的凹函数，则对任意x∈[a，b]，λ>0(i=1,2,3,…n)，
i i
𝑛
∑𝜆 =1，
𝑖
𝑖=1
𝑛 𝑛
有𝑓(∑𝜆 𝑥 )≤∑𝜆 𝑓(𝑥 )。
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
𝑖=1 𝑖=1
一般地，设y=f(x)在区间I上连续，x 是I内的点。如果曲线y=f(x)在经过点（x ，f(x )）
0 0 0
时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x ，f(x )）为这曲线的拐点。
0 0
93.可以按照如下的步骤来判定区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
（1）求f″(x)；
（2）令f″(x)=0，解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f″(x)不存在的点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 x ，检查 f″(x)在 x 左、右
0 0
两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x ，f(x )）是拐点，当两侧的符号相同时，
0 0
点（x ，f(x )）不是拐点。
0 0
94.微分和导数的关系
dy＝𝑑𝑓(𝑥)=𝑦′𝑑𝑥 =𝑓′(𝑥)d𝑥
95.罗尔定理
如果函数𝑓(𝑥)满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a，b）内至少有一点ξ(a<ξm。因为f(a)=f(b)，所以M和m这两个数中至少有一个不等于𝑓(𝑥)在区间[a，b]资
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的端点处的函数值，为确定起见，不妨设 M≠f(a)，那么必定在开区间（a，b）内有一点ξ使
𝑓(ξ)=𝑀。因此任取x∈(a，b)，有𝑓(𝑥)≤𝑓(ξ)，从而由费马引理可知𝑓′(ξ)=0。
96.拉格朗日中值定理
如果函数𝑓(𝑥)满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
那么在（a，b）内至少有一点ξ(a<ξa≥0，y (x) ≥y (x) ≥0)围成的图形绕y轴旋转一周
2 1 2 1
𝑏
所成的旋转体体积V=∫ 2𝜋𝑥[𝑦 (𝑥)−𝑦 (𝑥)]𝑑𝑥
𝑎 2 1
111. 求平面曲线的弧长
𝑥 =𝜑(𝑡)
设曲线弧由参数方程{ ，（α≤t≤β）给出，其中𝜑(𝑡)，𝜓(𝑡)在[α，β]上具有连续导
𝑦 =𝜓(𝑡)资
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数，且𝜑′(𝑡)，𝜓′(𝑡)，不同时为零。现在计算这曲线弧的长度。于是所求弧长为
s=∫ 𝛽 √𝜑′2(𝑡)+𝜓′2(𝑡)𝑑𝑡。
𝛼
当曲线弧由直角坐标方程 y=f(x)(a≤x≤b)给出，其中 f(x)在[a，b]上具有一节连续导数，这
𝑥 =𝑥
𝑏
时曲线弧由参数方程{ ，(a≤x≤b)，从而所求的弧长为s=∫ √1+𝑦′2𝑑𝑥。
𝑦=𝑓(𝑥) 𝑎
当曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) （α≤θ≤β）给出，其中ρ(θ)在[α，β]上具有连续导数，则由
𝑥 =𝑥(𝜃)=𝜌(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃
直角坐标与极坐标的关系可得{ ，（α≤θ≤β），这就以极角 θ 为参数的曲
𝑦=𝑦(𝜃)=𝜌(𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃
线弧的参数方程。于是，弧长元素为 ds=√𝑥′2(𝜃)+𝑦′2(𝜃)𝑑𝜃 =√𝜌2(𝜃)+𝜌′2(𝜃)𝑑𝜃。，从而
所求弧长为s=√𝜌2(𝜃)+𝜌′2(𝜃)𝑑𝜃。
112.等比级数的公比的绝对值|𝑞|<1，那么数级收敛；如果|𝑞|≥1，那么级数发散。
无穷级数1+2+3+…+n+…是发散的。
1 1 1
无穷级数 + +⋯+ +⋯是收敛的。
1∙2 2∙3 𝑛(𝑛+1)
113. 级数收敛的必要条件
如果级数
∞
∑𝑢
𝑛
𝑖=1
收敛，那么它的一般项𝑢 趋于零，即
𝑛
lim 𝑢 =0.
𝑛
𝑛→∞
注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数虽然一般项趋于零，
但仍然是发散的。例如，调和级数
1 1 1
1+ + +⋯+ +⋯，
2 3 𝑛
1
虽然它的一般项𝑢 = →0(𝑛→∞)，但是它是发散的。
𝑛
𝑛
114. 比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
∞
∑𝑢
𝑛
𝑛=1
为正项级数，如果资
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𝑢
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lim 𝑛+1 =𝜌，
𝑛→∞ 𝑢 𝑛
那么当ρ<1时级数收敛，ρ>1（或lim
𝑢𝑛+1
=∞）时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也
𝑛→∞ 𝑢𝑛
可能发散。
115. 比值审敛法（柯西判别法）
设
∞
∑𝑢
𝑛
𝑛=1
为正项级数，如果
lim 𝑛√𝑢 =𝜌，
𝑛
𝑛→∞
那么当 ρ<1 时级数收敛，ρ>1（或lim 𝑛√𝑢 =+∞）时级数发散，ρ=1 时级数可能收
𝑛
𝑛→∞
敛也可能发散。
116. 莱布尼茨定理
如果交错级数
∞
∑(−1)𝑛−1𝑢
𝑛
𝑛=1
满足条件：
（1）𝑢 ≥𝑢 (𝑛=1,2,3…)；
𝑛 𝑛+1
（2）lim 𝑢 =0；
𝑛
𝑛→∞
那么级数收敛，且其和，s≤𝑢 ，其余项𝑟 的绝对值|𝑟 |≤𝑢 。
1 𝑛 𝑛 𝑛+1
117.函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓
幂级数，它的形式是∑∞ 𝑎 𝑥𝑛 =𝑎 +𝑎 𝑥+𝑎 𝑥2+⋯+𝑎 𝑥𝑛+⋯，其中常数a ，a ，a ，…，
𝑛=0 𝑛 0 1 2 𝑛 0 1 2
a ，…叫做幂级数的系数。
n
118.幂函数及其收敛性
1. 收敛半径与系数的关系
如果
𝑎
lim | 𝑛+1 |=𝜌，
𝑛→∞ 𝑎 𝑛
其中a ，a 是幂级数∑∞ 𝑎 𝑥𝑛的相邻两项的系数，那么这幂级数的收敛半径
n n+1 𝑛=0 𝑛资
源
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1
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，ρ≠0
𝜌
R=
+∞，ρ=0
{0，ρ=+∞
据此可知，∑∞ 𝑎 𝑥𝑛的收敛半径为𝑅 = lim | 𝑎𝑛 |。
𝑛=0 𝑛 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1
119.. 求幂级数的收敛半径的方法
∞ ∞
在端点处，考查∑𝑎 𝑥𝑛及∑(−1)𝑛𝑎 𝑥𝑛的收敛性，得出收敛区域。
𝑛 𝑛
𝑛=0 𝑛=0
120.平面方程的基本形式
（1） 点法式：A(x-x )+ B(y-y )+ C(z-z )=0其中已知点（x ，y ，z ），法向量𝑛⃗⃗=(𝐴，𝐵，𝐶)。
0 0 0 0 0 0
（2）一般式：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A、B、C不全为零)。
121.直线方程的基本形式
𝐴 𝑥＋𝐵 𝑦＋𝐶 𝑧＋𝐷 ＝0
（1）一般式（交面式）：{ 1 1 1 1 ，其中（𝐴 ，𝐵 ，𝐶 ）与（𝐴 ，𝐵 ，𝐶 ）
1 1 1 2 2 2
𝐴 𝑥＋𝐵 𝑦＋𝐶 𝑧＋𝐷 ＝0
2 2 2 2
不平行。
𝑥＝𝑥 ＋𝑡𝑙
0
（2）参数式：{𝑦＝𝑦 ＋𝑡𝑚
0
𝑧＝𝑧 ＋𝑡𝑛
0
其中（𝑥 ，𝑦 ，𝑧 ）为直线L上的定点，（l，m，n）为直线L的方向向量。
0 0 0
（3）对称式（标准式）：
𝑥−𝑥0＝ 𝑦−𝑦0＝ 𝑧−𝑧0
𝑙 𝑚 𝑛
。
122.直线与平面的关系（数形结合，不要死记硬背公式）
123. 距离公式（数形结合，不要死记硬背公式）
124.球面：球心在点（x ,y ,z ），半径 R 的球面方程可写成(x－x )2＋(y－y )2＋(z－z )
0 0 0 0 0 0
＝R2。
125.设曲面方程为F(x，y，z)=0，M (x ，y ，z )是曲面上的一点，并设函数F(x，y，z)
0 0 0 0
的偏导数在该点连续且不同时为零。法向量𝑛⃗⃗=(A，B，C) 就是该曲面在点M 处的一个法向
0
量，其中 A=F ′(x ，y ，z )，B=F ′(x ，y ，z )，C=F′(x ，y ，z )，则切平面方程为
x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
A(x-x )+B(y-y )+C(z-z )=0。通过点M (x ，y ，z )且垂直于切平面的直线为曲面在该点的法线，
0 0 0 0 0 0 0
则法线方程为
𝑥−𝑥0
=
𝑦−𝑦0
=
𝑧−𝑧0。
𝐴 𝐵 𝐶
126.柱面资
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面平行于哪个轴，方程中就不含哪个轴的量。
127.圆锥面
绕哪个轴旋转，哪个轴字母不变，另一个字母变成±根号下其他两个字母平方和。
128.椭球面
𝑥2 𝑦2 𝑧2
标准方程： ＋ ＋ ＝1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥 =𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑
参数方程：{𝑦 =𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑(0≤𝜃 ≤𝜋，0≤𝜑 ≤𝜋)
𝑧 =𝑐𝑠𝑖𝑛𝜃
129.双曲面
(1)单叶双曲面
𝑥2 𝑦2 𝑧2
标准方程： ＋ − ＝1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥 =𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑐𝜃
𝜋 𝜋
参数方程：{𝑦 =𝑏𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑒𝑐𝜃(0≤𝜃 ≤2𝜋，− ≤𝜑 ≤ )
2 2
𝑧 =𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃
（2）双叶双曲面
𝑥2 𝑦2 𝑧2
标准方程： ＋ − ＝−1(a,b,c>0)
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥 =𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑𝑡𝑎𝑛𝜃
𝜋 𝜋
参数方程：{𝑦 =𝑏𝑠𝑖𝑛𝜑𝑡𝑎𝑛𝜃(0≤𝜑 ≤2𝜋，− ≤𝜃 ≤ )
2 2
𝑧 =𝑐𝑠𝑒𝑐𝜃
130.抛物面
𝑥2 𝑦2
（1）椭圆抛物面 ＋ ＝2𝑧(p,q>0)
𝑝 𝑞
当p＝q时，曲面称为旋转抛物面，其可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。
𝑥2 𝑦2
（2）双曲抛物线 − =z(p，q>0)
𝑝 𝑞
131.行列式的概念
𝑎 𝑎
D=| 11 12 |=𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 ，其计算结果为一个数。
𝑎 𝑎 11 22 12 21
21 22
𝑎 𝑎 𝑎
11 12 13
|𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23|
𝑎 𝑎 𝑎
31 32 33
=𝑎 𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 𝑎 +𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 𝑎 −𝑎 𝑎 𝑎
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31
二三阶行列式的计算：对角线法则
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
132.行列式的性质资
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性质1：行列式与它的转置行列式的值相等。
1 2 1 3
例：已知D=| |，DT=| |，则D=DT。
3 4 2 4
说明：行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质，对列也成立。
性质2：互换行列式的两行(𝑟 ↔𝑟)或列(𝑐 ↔𝑐 )，行列式变号。
𝑖 𝑗 𝑖 𝑗
1 2 3 4
例：已知D=| |，D′=| |，则D=−𝐷′。
3 4 1 2
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k(𝑟×k)，等于用数k乘此行
𝑗
列式。
2 4 1 2
例：已知D=| |，则D=2| |。
3 5 3 5
推论1：D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面。
推论2：D中某一行（列）所有元素为零，则D=0。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
1 4
例：已知D=| |，则D=0。
2 8
性质 5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和：a ＝b ＋c （j＝1,2,…,n），则
ij ij ij
可把行列式拆成两个行列式之和。
𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
例：| 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 |=|𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3|+|𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 |
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
1 2 3 1 2 3 1 2 3
性质 6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素
上去，行列式的值不变。
134.余子式：在n阶行列式中，把元素𝑎 所在的第i行和第j列划去后，留下来的（n-1）
𝑖𝑗
阶行列式叫做元素𝑎 的余子式，记作𝑀 。
𝑖𝑗 𝑖𝑗
135.代数余子式：记𝐴 =(−1)𝑖+𝑗𝑀 ，𝐴 叫做元素𝑎 的代数余子式。
𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝑖𝑗
136.克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。
定理4：如果线性方程组的系数行列式D≠0，则它一定有解，且解是唯一的。
逆否定理：如果线性方程组无解或有多个不同的解，则它的系数行列式必为零。
137.矩阵与矩阵相乘
设𝑨=(𝑎 )是一个m×s矩阵，𝑩=(𝑏 )是一个s×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的
𝑖𝑗 𝑖𝑗资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
𝑏
1𝑗
𝑏
乘积是一个 m×n 矩阵 C=(𝑐 𝑖𝑗 )，其中(𝑎 𝑖1 𝑎 𝑖2 … 𝑎 𝑖𝑠 ) 2 ⋮ 𝑗 =𝑎 𝑖1 𝑏 1𝑗 +𝑎 𝑖2 𝑏 2𝑗 +⋯+
(𝑏 𝑠𝑗)
𝑎
𝑖𝑠
𝑏
𝑠𝑗
=∑𝑠
𝑘=1
𝑎
𝑖𝑘
𝑏
𝑘𝑗
(𝑖＝1,2,…𝑚，𝑗＝1,2,…𝑛)，并把此乘积记作C=AB。
注意：
（1）矩阵A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。
（2）矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA，而且两个非零矩阵的乘积
可能是零矩阵。
（3）对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。
138.矩阵乘法的运算规律：
（1）（AB）C＝A（BC）=ABC
（2）α(AB)＝(αA) B=A (αB)
（3）（A＋B）C＝AC＋BC；A（B＋C）＝AB＋AC
（4）E A ＝A E ＝A
m m×n m×n n m×n
（5）若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即𝐴𝑘 =𝐴⏟ 𝐴 … 𝐴，并且𝐴𝑘𝐴𝑙 =𝐴𝑘+𝑙，(𝐴𝑘)𝑙=𝐴𝑘𝑙
𝑘个
（k, l为正整数）。规定A0=E。
139.. 转置矩阵的运算性质：
（1）（AT）T＝A
（2）（A＋B）T＝AT＋BT
（3）（kA）T＝kAT
（4）(AB)T＝BTAT，(ABC)T＝CTBTAT。
方阵的行列式的运算性质：
（1）(𝑑𝑒𝑡𝐴)𝑇 ≝𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇 =𝑑𝑒𝑡𝐴；
（2）det (𝛼𝐴)=𝛼𝑛𝑑𝑒𝑡𝐴；
（3）det(𝐴𝐵)=𝑑𝑒𝑡𝐴·detB=detB·detA=det (BA)。
140..伴随矩阵
行列式|𝑨|的各个元素的代数余子式𝐴 所构成的矩阵A*=(𝐴 )𝑇称为矩阵A的伴随矩阵。
𝑖𝑗 𝑖𝑗
性质：AA*= A*A=|𝑨|𝐸。
1 2
例：已知矩阵A=( )，求A*
3 4资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
解 ： 𝐴 =(−1)1+1×4=4，𝐴 =(−1)1+2×3=−3，𝐴 =(−1)2+1×2=−2，
11 12 21
𝐴 =(−1)2+2×1=1，
22
𝐴 𝐴 4 −2
所以A*=( 11 21)=( )
𝐴 𝐴 −3 1
12 22
141.定理1：矩阵A可逆的充分必要条件是|𝑨|≠0，并且当A可逆时，有A-1= 1 𝐴∗。
|𝐴|
142.推论：若AB=E（或BA=E），则B = A-1。
143.求逆矩阵的方法
方法一：
（1）先求|𝑨|并判断当|𝑨|≠0时逆矩阵存在；
（2）求𝐴∗；
（3）求A-1= 1 𝐴∗。
|𝐴|
方法二：
用定义求B，使AB=E或BA=E，则A可逆，且A-1=B。
144.逆矩阵的运算性质
（1）若A可逆，则A-1亦可逆，且(A-1)-1=A；
1
（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且(λA)-1= A-1；
𝜆
（3）若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且(AB)-1=B-1A-1；
（4）若A可逆，则AT亦可逆，且(AT)-1 =(A-1)T；
（5）若A可逆，则有|𝐴−1|=|𝐴|−1。
145.初等行变换
（1）对调两行，记作（𝑟 ↔𝑟）。
𝑖 𝑗
（2）以数k≠0乘某一行的所有元素，记作（𝑟 ×𝑘）。
𝑖
（3）把某一行所有元素的𝑘倍加到另一行对应的元素上去，记作（𝑟 +𝑘𝑟）。
𝑖 𝑗
146.行阶梯形矩阵
画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；阶
梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非
零元。
行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其
他元素都为0。资
源
公
众
号
：
b
ig
u
o
25
147.定理1：n元齐次线性方程组Ax＝0
（1）R(A)＝n↔ Ax＝0有唯一解，零解；
（2）R(A)
