文档内容
2008 年河南省高级中等学校招生统一考试试卷
数 学
注意事项：
1、本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。请用钢笔或圆珠笔答在试卷指定位置上。
2、答卷前请在指定的位置填好自己的座号，并将密封线内的项目填写清楚。
三
题号 一 二 总分
16 17 18 19 20 21 22 23
得分
得分 评卷人
一、 选择题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)下列每小题都给出代号为A、B、C、D的
四个答案，其中只有一个是正确的。
请将各小题所选答案的代号填写在下面的表格内相应题号下面。
选择题答 题号 1 2 3 4 5 6
题位置 答案
1.-7的相反数是（ ）
1 1
A. 7 B. -7 C. D.
7 7
2.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos的值是（ ）
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 5 5
3.如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则ABCDE等于（ ）
A. 360 B. 180 C. 150 D. 120
4.初三年级某班十名男同学“俯卧撑”的测试成绩（单位：次数）分别 是9，14，10，
15，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ ）
A. 9,10,11 B.10,11,9 C.9,11,10 D.10,9,11
5.如果关于x的一元二次方程k2x2 (2k1)x10有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A.k ＞ B.k ＞ 且k 0 C.k ＜ D.k 且k 0
4 4 4 46.如图，已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE=x
,DE的延长线交CB的延长线于点F，设CF=
y ，则下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（
）
得 评卷人 二、填空题(本题满分27分,共有9道小题，每小题
分
3分)
7.16的平方根是
8.如图，直线a,b被直线c所截，若a∥b，150，则2
9.样本数据3，6，a,4，2的平均数是5，则这个样本的方差是
A30
10.如图所示，AB为⊙0的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，若AB=20cm, ,则AD= cm
11.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周
长为40cm，则对角线AC= cm
CDE
12.如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、F，连接CE,已知 的周长为
24cm，则矩形ABCD的周长是 cm
13、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地
的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为
14、如图是二次函数y a(x1)2 2图像的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标
是k
15、如图，直线y kx 2(k ＞0)与双曲线y 在第一象限内的交点面积为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点
x
为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k
三、解答题(本题满分75分，共8道小题)
16、(本小题满分8分)
4x 3x1①
解不等式组1 3 并把解集在已画好的数轴上表示出来。
x1 x3.②
2 2
17. (本小题满分9分)
如图,已知:在四边形ABFC中，ACB=90,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
(1) 试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
(2) 当A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.
(特别提醒:表示角最好用数字)18. (本小题满分9分)
已知x x 是关于x的一元二次方程x2 6xk 0的两个实数根，且x2 x2—x —x =115
2 2 1 2 1 2
(1)求k的值；（2）求x2 +x2 +8的值。
1 2
19、(本小题满分9分)
某校300名优秀学生，中考数学得分范围是70—119(得分都是整数)，为了了解该校这300名学生
的中考数学成绩，从中抽查了一部分学生的数学分数，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分
布直方图.
分组 频数 频率
109.5—119.5 15 0.30
99.5--109.5 10 0.20
89.5—99.5 18
79.5—89.5
69.5—79.5 3 0.06
合计 1.00
请你根据给出的图标解答：
(1)填写频率分布表中未完成部分的数据；
(2)指出在这个问题中的总体和样本容量；
(3)求出在频率分布直方图中直角梯形ABCD的面积；
样 本 估 计总体
(4)请你用 ，可以得到哪些信息？(写一条即可)
. . . . . .20、（本题满分9分）
在暴雨到来之前，武警某部承担了一段长150米的河堤加固任务，加固40米后，接到上级抗旱防
汛指挥部的指示，要求加快施工进度，为此，该部队在保证施工质量的前提下，投入更多的兵力，每天
多加固15米，这样一共用了3天完成了任务。问接到指示后，该部队每天加固河堤多少米？
21、（本题满分10分）
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向
升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D
处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：6 2 6 2
(sin15 ，cos15 ，tan15 2 3，cot15 2 3）。
4 4
22、（本题满分10分）
如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C.
AB 5 20
(1)求证：AB=AC；(2)当 = 时，①求tan∠ABE的值；②如果AE= ，求AC的值。
BC 4 1123、（本题满分11分）
如图，抛物线y ax2 bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y
的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），
设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置
和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。2008 年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）﹣7的相反数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．
﹣
考点： 相反数．
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分析： 根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．
解答： 解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）=0，则﹣7的相反数是7．
故选A．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一
个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（ ）
A． B． C． D．
考点： 锐角三角函数的定义．
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专题： 网格型．
分析： 根据网格的特点及三角函数的定义解答即可．
解答：
解：读图可得：α的对边是4个单位，邻边是3个单位，则斜边是5个单位，故cosa= ．故选C．
点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．
3．（3分）（2008•濮阳）如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A，B，C，D，E五等分圆，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（ ）A．360° B．180° C．150° D．120°
考点： 圆周角定理；三角形内角和定理．
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分析： 连接CD，根据圆周角定理，可得∠ECD=∠B，∠BDC=∠E；此时这五个角的度数和正好是△ACD的三个内角
的和，根据三角形内角和定理可得，这五个角的度数和应是180°．
解答： 解：连接CD，则有∠B=∠ECD，∠E=∠CDB；
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ECD+∠C+∠D+∠CDB
=∠A+∠ADC+∠ACD=180°．
故选B．
点评： 本题综合考查圆周角定理、三角形的内角和定理的应用．
4．（3分）初三某班10名男同学“引体向上”的测试成绩（单位：次数）分别是：9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，这组
数据的众数，中位数，平均数依次是（ ）
A．9，10，11 B．10，11，9 C．9，11，10 D．10，9，11
考点： 中位数；算术平均数；众数．
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分析： 先把数据按大小排列，然后根据众数、中位数和平均数的定义求解．
解答： 解：从小到大排列此数据为：7，9，9，9，10，10，11，14，15，16．
数据9出现了三次最多为众数；处在第5位、第6位的均为10，所以10为中位数；
平均数为：（7+9+9+9+10+10+11+14+15+16）÷10=11．
故选A．
点评： 本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义．
一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好
顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个
则找中间两位数的平均数．
5．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
k＞ k＞ 且k≠0 k＜ k≥ 且k≠0
考点： 根的判别式．
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专题： 压轴题．
分析： 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
解答： 解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞ 且k≠0．
故选B．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
⇔（3）△＜0 方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则k≠0．
⇔
6．（3分）如图，已知 ▱ABCD中，AB=4，AD=2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设
AE=x，DE的延长线交CB的延长线于点F，设CF=y，则下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
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专题： 压轴题；动点型．
分析： 本题考查动点函数图象的问题．
解答： 解：∵动点E与点A不重合，可与点B重合，AB=4，AE=x．
∴0＜x≤4．即包括4；
故选B．
点评： 本题各个x的取值范围都不同，所以只需从x的取值考虑即可．
二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）
7．（3分）16的平方根是 ± 4 ．
考点： 平方根．
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专题： 计算题．
分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问
题．
解答： 解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
8．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=50°，则∠2= 5 0 度．
考点： 平行线的性质；对顶角、邻补角．
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专题： 计算题．
分析： 先利用平行线的性质可得∠3=∠1，又由对顶角相等推出∠2=∠3，故∠2的度数可求．
解答： 解：∵a∥b，∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=∠1=50°．
点评： 本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等．9．（3分）样本数据：3，6，a，4，2的平均数是5，则这个样本的方差是 8 ．
考点： 方差；算术平均数．
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分析： 本题可先求出a的值，再代入方差的公式即可．
解答： 解：依题意得：a=5×5﹣3﹣6﹣4﹣2=10，
方差S2= [（3﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2+（4﹣5）2+（2﹣5）2 = ×40=8．
故填8．
]
点评： 本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平
均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．
10．（3分）如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，若AB=20cm，∠A=30°，则AD= 5
cm．
考点： 圆周角定理；特殊角的三角函数值．
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分析： 由圆周角定理，可知∠C=90°，已知OD∥BC，因此△AOD是直角三角形，在这个直角三角形中，半径
OA=10cm，∠A=30°，通过解直角三角形可求出AD的长．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°；
∵OD∥BC，∴∠ADO=90°；
在Rt△AOD中，OA=10cm，∠A=30°；
AD=AO•cosA=10× =5 cm．
点评： 本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质、余弦函数等知识的应用．
11．（3分）某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形
EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= 2 0 cm．
考点： 等腰梯形的性质；三角形中位线定理．
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分析： 利用等腰梯形和中位线定理和已知条件，即可推出结论．
解答：
解：∵等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，∴EF=HG=GF=EF= AC．
又∵EF+HG+GF+EF=40cm，即2AC=40cm，则AC=20cm．对角线AC=20cm．
故答案为：20．
点评： 本题考查的是等腰梯形的性质即三角形中位线的性质，属一般题目．
12．（3分）如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已
知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是 4 8 cm．考点： 矩形的性质．
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专题： 计算题．
分析： 利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．
解答： 解：∵OA=OC，EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．
点评： 本题主要是利用矩形的对角线相互平分的性质和垂直平分线的性质求得DE+CD+CE=AE+DE+CD=24．
13．（3分）在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规
划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为 x 2 +40x﹣75= 0 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
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专题： 几何图形问题．
分析： 如果设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据总面积即可列出方程．
解答： 解：设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），
根据题意可得出方程为：（50+2x）（30+2x）=1800，
∴x2+40x﹣75=0．
点评： 一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．
14．（3分）如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是 （ 1 ， 0 ） ．
考点： 二次函数的图象．
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专题： 压轴题．
分析： 由二次函数y=a（x+1）2+2可知对称轴x=﹣1，从图象上看出与x轴左侧交点为（﹣3，0），利用二次函数的对
称性可知该图在对称轴右侧与x轴交点坐标．
解答： 解：由y=a（x+1）2+2可知对称轴x=﹣1，根据对称性，
图象在对称轴左侧与x轴交点为（﹣3，0），
所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．
点评： 要求熟悉二次函数图象的对称性，能从图象和解析式中分析得出对称轴和关于对称轴对称的点，并利用对称
性求得另一个点．
15．（3分）如图，直线y=kx﹣2（k＞0）与双曲线y= 在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为
Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积比是4：1，则k= ．考点： 反比例函数综合题；相似三角形的判定与性质．
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专题： 压轴题．
分析：
先通过相似三角形的性质得到OQ：RM=2：1，得到RM=1，即R的纵坐标为1，于是有R的坐标为（ ，1），再
代入y= 即可求出k的值．
解答： 解：∵Rt△OQP∽Rt△MRP，
而△OPQ与△PRM的面积比是4：1，
∴OQ：RM=2：1，
∵Q为y=kx﹣2与y轴交点，
∴OQ=2，
∴RM=1，即R的纵坐标为1，
把y=1代入直线y=kx﹣2，得x= ，
所以R的坐标为（ ，1），把它代入y= ，得 ×1=k（k＞0），解得k=± ．
∵图象在第一三象限，
∴k= ，
故答案为 ．
点评：
观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （k≠0）即可求得k的值．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解不等式组 并把解集在已画好的数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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分析： 先解不等式组中的每一个不等式，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解”，把
它们的解集用一条不等式表示出来．
解答： 解：解不等式1，得x≤3；
解不等式2，得x＞ ．
把解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集是 ＜x≤3．
点评： 本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大
于等于或小于等于号的点用实心．17．（9分）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且
CF=AE．
（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形？
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．（特别提醒：表示角最好用数
字）
考点： 菱形的判定；线段垂直平分线的性质；正方形的判定．
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专题： 几何综合题．
分析：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边
形是菱形即可判断；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三
角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．
解答： 解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：∵BC的垂直平分线为EF，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠A=90°，
∴∠2=∠A，
∴EC=AE，
又∵CF=AE，BE=EC
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．
点评： 本题利用了：菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质．
18．（9分）已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，且x 2x 2﹣x ﹣x =115．
1 2 1 2 1 2
（1）求k的值；
（2）求x 2+x 2+8的值．
1 2
考点： 根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式．
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专题： 压轴题．
分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x 2x 2
1 2
﹣x ﹣x =115．即x 2x 2﹣（x +x ）=115，即可得到关于k的方程，求出k的值．
1 2 1 2 1 2
（2）根据（1）即可求得x +x 与x x 的值，而x 2+x 2+8=（x +x ）2﹣2x x +8即可求得式子的值．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
解答： 解：（1）∵x ，x 是方程x2﹣6x+k=0的两个根，
1 2
∴x +x =6，x x =k，
1 2 1 2
∵x 2x 2﹣x ﹣x =115，
1 2 1 2
∴k2﹣6=115，解得k =11，k =﹣11，
1 2
当k =11时，△=36﹣4k=36﹣44＜0，
1
∴k =11不合题意
1
当k =﹣11时，△=36﹣4k=36+44＞0，
2
∴k =﹣11符合题意，
2
∴k的值为﹣11；
（2）∵x +x =6，x x =﹣11
1 2 1 2
∴x 2+x 2+8=（x +x ）2﹣2x x +8=36+2×11+8=66．
1 2 1 2 1 2
点评： 总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0 方程有两个不相等的实数根；
②△=0 方程有两个相等的实数根；
③△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
（2）根与系数的关系是：x +x = ，x x = ．
⇔ 1 2 1 2
根据根与系数的关系把x 2x 2﹣x ﹣x =115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键．
1 2 1 2
19．（9分）某校300名优秀学生，中考数学得分范围是70﹣119（得分都是整数），为了了解该校这300名学生的中考
数学成绩，从中抽查了一部分学生的数学分数，通过数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图．
请你根据给出的图标解答：
（1）填写频率分布表中未完成部分的数据；
（2）指出在这个问题中的总体和样本容量；
（3）求出在频率分布直方图中直角梯形ABCD的面积；
（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息？（写一条即可）
考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
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专题： 图表型．
分析： （1）根据各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，可得答案；
（2）由总体及样本容量的意义，可得：总体是300名学生的中考数学成绩．样本容量为50；
（3）由图形的对称性可得S梯形ABCD =S矩形ABGF +S矩形CDEG ，可求出答案；
（4）根据样本中的频率就等于总体的频率，用样本估计总体即可，答案不唯一．
解答： 解：（1）根据第一组的频数为15，频率为0.30，
所以这次被抽查的学生人数是50人，
第三组的频率为 =0.36，
分数在79.5～89.5之间的人数为50﹣15﹣10﹣18﹣3=4人，
频率为 =0.08，如图：（2）总体是300名学生的中考数学成绩，样本容量为50；
（3）∵∠DOE=∠AOF，∠E=∠AFO=90°，DE=AF，
∴△DOE≌△AOF，
∴S梯形ABCD =S矩形ABGF +S矩形CDEG =0.08+0.36=0.44；
（4）本题有多个结论，例如，300名初中毕业年级学生数学分数在89.5～99.5的人数最多，约为108人；
或300名初中毕业年级学生数学分数在69.5～79.5的人数最少，约为18人．
点评： 本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频
率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．
20．（9分）在暴雨到来之前，武警某部承担了一段长150米的河堤加固任务，加固40米后，接到上级抗旱防汛指挥部
的指示，要求加快施工进度，为此，该部队在保证施工质量的前提下，投入更多的兵力，每天多加固15米，这样一共
用了3天完成了任务．问接到指示后，该部队每天加固河堤多少米？
考点： 分式方程的应用；解一元二次方程-因式分解法．
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专题： 应用题．
分析： 求的是原计划的工效，工作总量明显，一定是根据工作时间来列等量关系，本题的关键描述语是：一共用了3
天完成了任务．等量关系为：40米所用时间+其余米数所用时间=3．
解答： 解：设接到指示后，该部队每天加固河堤x米，则接到指示前每天加固（x﹣15）米（1分）
根据题意，得 （5分）
两边乘以x（x﹣15）得40x+110（x﹣15）=3x（x﹣15）
整理，得x2﹣65x+550=0（6分）
解得，x =55，x =10（7分）
1 2
经检验，x =55，x =10都是原方程的根，但当x=10时x﹣15=10﹣15＜0，
1 2
∴x=10不合题意，只取x=55．（8分）
答：接到指示后，该部队每天加固河堤55米．（9分）
点评： 应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程
的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．（10分）如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，
40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的
俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．（结果保留根号，参考数据：sin15°= ，cos15°= ，
tan15°=2﹣ ，cot15°=2+ ）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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专题： 应用题．
分析： 首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而
可求出答案．
解答： 解：由题意可知，AD=（40+10）×30=1500（米）
过点D作DH⊥BA，交BA延长线于点H．
在Rt△DAH中，DH=AD•sin60°，
=1500× =750 （米）．AH=AD•cos60°=1500× =750（米）．
在Rt△DBH中，
BH=DH•cot15°=750 ×（2+ ）=（1500 +2250）（米），
∴BA=BH﹣AH=1500 +2250﹣750=1500（ +1）（米）．
答：热气球升空点A与着火点B的距离为1500（ +1）（米）．
点评： 本题要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
（1）求证：AB=AC；
（2）当 = 时，①求tan∠ABE的值；②如果AE= ，求AC的值．
考点： 切割线定理；勾股定理；解直角三角形．
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专题： 几何综合题；压轴题．
分析：（1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问
题．
（2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF= ，转化为求AF的问题．
②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得
EB2=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长．
解答： （1）证明：∵BE切⊙O于点B，
∴∠ABE=∠C．
∵∠EBC=2∠C，
即∠ABE+∠ABC=2∠C．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=AC．
（2）解：①如图，连接AO，交BC于点F
∵AB=AC，∴ ；
∴AO⊥BC，且BF=FC．
∵ ∴ ∴ ；
设AB= m，BF=2m，
由勾股定理，得AF= = ；
∴tan∠ABE=tan∠ABF= ．
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，
∴ ；∵ ，
∴EB= EA（※）；
由切割线定理，得EB2=EA×EC=EA（EA+AC）；
将（※）式代入上式，得 EA2=EA（EA+AC）；
∵EA≠0，
∴AC= EA= × =4．
点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理．
23．（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，
y的值相等．直线y=4x﹣16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重
合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体
位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值．
考点： 二次函数综合题．
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专题： 压轴题．
分析：（1）x=O和x=4时，y的值相等，即可得到函数的对称轴是x=2，把x=2和x=3分别代入直线y=4x﹣16就可以
求出抛物线上的两个点的坐标，并且其中一点是顶点，利用待定系数法，设出函数的顶点式一般形式，就可以
求出函数的解析式；
（2）根据待定系数法可以求出直线OM的解析式，设OQ的长为t，即P，Q的横坐标是t，把x=t代入直线OM
的解析式，就可以求出P点的纵坐标，得到PQ的长，四边形PQCO的面积S=S +S ，很据三角形的面
△COQ △OPQ
积公式就可以得到函数解析式；
（3）从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显
当然点P运动到点M时，S最值；
（4）在直角△OPQ中，根据勾股定理就可以求出点P的坐标．
解答： 解：（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等，
∴c=16a+4b+c，（1分）
∴b=﹣4a，
∴x=﹣ =﹣ =2将x=3代入y=4x﹣16，得y=﹣4，
将x=2代入y=4x﹣16，得y=﹣8．（2分）
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8
将点（3，﹣4）代入，得﹣4=a（x﹣2）2﹣8，
解得a=4．
∴抛物线y=4（x﹣2）2﹣8，即y=4x2﹣16x+8．（3分）
（2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，﹣8）代入，得k=﹣4，
∴y=﹣4x．（4分）
则点P（t，﹣4t），PQ=4t，而OC=8，OQ=t．
S=S +S = ×8×t+ ×t×4t=2t2+4t（5分）
△COQ △OPQ
t的取值范围为：0＜t≤2（6分）
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值．
从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，
即S不断变大，显然当点P运动到点M时，S值最大（7分）
此时t=2时，点Q在线段AB的中点上（8分）
因而S= ×2×8+ ×2×8=16．
当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ，
∴四边形PQCO是平行四边形．（9分）
（4）随着点P的运动，存在t= ，能满足PO=OC（10分）
设点P（t，﹣4t），PQ=4T，OQ=t．
由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2．
∵PO=OC，
∴17t2=82，t = ＜2，t =﹣ （不合题意）
1 2
∴当t= 时，PO=OC．（11分）
点评： 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．注意数与形的结合是解决本题的关键．
