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2008年山东省青岛市中考数学试题
（考试时间：120分钟；满分120分）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚．
2．本试题共有24道题，其中1—7题为选择题，请将所选答案的标号，写在第7题后面给出
表格的相应位置上：8—14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相
应位置上；15—24题请在试题给出的本题位置上做答．
一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；
不选，选错或选出的标号超过一个的不得分，请将1—7各小题所选答案的标号填写在第7
小题后面表格的相应位置上．
1． 的相反数等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
3．已知 和 的半径分别为3cm和2cm，圆心距 cm，则两圆的位置关系是（
）
A．相切 B．内含 C．外离 D．相交
4．某几何体的三种视图如右图所示，则该几何体可能是（ ）
主视图 左视图 俯视图
A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体
5．一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其
中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，
摇匀后再随机摸出一球，记下颜色， ，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20
次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（ ）
A．18个 B．15个 C．12个 D．10个
6．如果点 和点 是直线 上的两点，且当 时， ，
那么函数 的图象大致是（ ）
1y
y y y
x
x x x O
O O O
A． B． C． D．
7．如图，把图①中的 经过一定的变换得到图②中的 ，如果图①中
上点 的坐标为 ，那么这个点在图②中的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
y y
3 3 B
2 2
B 1 1
－3－2－Ｏ 1 2 3 x －3－2－Ｏ P 1 2 3 x
1
－1
1
－1
C
A －2 －2
Ｐ －3 －3
C
图① 图②
二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）请将8—14各小题的答案填写在
第14小题后面表格的相应位置上．
8．计算： ．
9．化简： ．
10．如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ，若
， cm，则 的长为 cm．
11．如图， 是 的直径，弦 于 ，如果 ，
，那么 的长为 ．
12．为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次
捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数
是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人
数是多少？若设第一次捐款的人数为 ，则根据题意可列方程为
．
213．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对 两名候选 测试成绩
测试项目
人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如右表所示．
面试 90 95
根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按
综合知识测试 85 80
的比例计算两人的总成绩，那么 （填 或
）将被录用．
14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径 长为10cm．母线
长为10cm．在母线 上的点 处有一块爆米花残渣，且 cm，一只蚂蚁从
杯口的点 处沿圆锥表面爬行到 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
Ｏ
Ａ
Ｅ
Ｆ
第14题图
三、作图题（本题满分6分）
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15．如图， 表示两条相交的公路，现要在 的内部建一个物流中心．设计时
要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处 点的距离为1000米．
（1）若要以 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处 点的图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置 ．
解：（1） （2） 1cm
B
A C
四、解答题（本题满分72分，共有9道小题）
16．（本小题满分6分）
用配方法解一元二次方程： ．
317．（本小题满分6分）
某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连
续三年视力检查的结果，并将所得数据处理后，制成折线统计图和扇形统计图如下：
被抽取学生视力在4.9以下
被抽取学生2008年的视
的人数变化情况统计图
力分布情况统计图
人数
A：4.9以下
B
800 A
B：4.9－5.1
C：5.1－5.2
500 D：5.2以上
C
300 D （每组数据只
含最低值不
0 含最高值）
2006 20072008 时间（年）
解答下列问题：
（1）该市共抽取了多少名九年级学生？
（2）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力不良（4.9以下）的学生大约
有多少人？
（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想（不超过30字）．
18．（本小题满分6分）
小明和小刚用如图所示的两个转盘做配紫色游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中
一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色．此时小刚得1分，否则小明得
1分．
这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若你认为不公平，如何修改规则才能使游戏对双方
公平？
红 红
黄 白
蓝 蓝
19．（本小题满分6分）
在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所
示，其中， 表示窗户，且 米， 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的
4太阳光与水平线 的最小夹角 为 ，最大夹角 为 ．
请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中 的长是多少米？（结果保留两个有
效数字）
（参考数据： ， ， ， ）
Ｄ
Ｃ Ｄ
B
A
20．（本小题满分8分）
2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为
两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在
购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B
种船票数量的一半．若设购买A种船票 张，请你解答下列问题：
（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；
（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？
21．（本小题满分8分）
已知：如图，在正方形 中， 是 上一点，延长 到 ，使 ，连接
并延长交 于 ．
（1）求证： ；
A D
（2）将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
判断四边形 是什么特殊四边形？并说明理由． E
G F
B E
C
22．（本小题满分10分）
5某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又
不高于每件70元，试销中销售量 （件）与销售单价 （元）的关系可以近似的看作一次函
数（如图）．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润 总销售额 总成本）为 元，求 与 之间的函数关系
式，并写出自变量 的取值范围；根据题意判断：当 取何值时， 的值最大？最大值是多
少？
y(件)
400
300
Ｏ 60 70 x(元)
23．（本小题满分10分）
实际问题：某学校共有18个教学班，每班的学生数都是40人．为了解学生课余时间上网情
况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，
那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现要确保
从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最
少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是
它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即
最少需摸出小球的个数是： （如图①）；
（2）若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少
需摸出小球的个数是： （如图②）
（3）若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个是同色的呢？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少
需摸出小球的个数是： （如图③）：
（10）若要确保从口袋中摸出的小球至少有10个是同色的呢？
我们只需在（9）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有10个小球同色，即最少
需摸出小球的个数是： （如图⑩）
6红 黄
9个
红 黄
红 黄
9个
红 黄
红 黄
红 黄
．．．
红 黄 红 黄 红 黄 红 黄
白 白 白 白 白 白 白 白 白 … 白
红 或 黄 或 红 或 黄 或 红 或 黄 或 红 或 黄 或 9个
白 图 白 图② 白 图③ 白 图⑩
①
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各20分（除颜色外完
全相同），现从袋中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
（2）若要确保摸出的小球至少有10个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）若要确保摸出的小球至少有 个同色（ ），则最少需摸出小球的个数是 ．
模型拓展二：在不透明口袋中装有 种颜色的小球各20个（除颜色外完全相同），现从袋
中随机摸球：
（1）若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ．
（2）若要确保摸出的小球至少有 个同色（ ），则最少需摸出小球的个数是 ．
问题解决：（1）请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；
（2）根据（1）中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．
24．（本小题满分12分）
已知：如图①，在 中， ， ， ，点 由 出发沿
方向向点 匀速运动，速度为1cm/s；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度
为2cm/s；连接 ．若设运动的时间为 （ ），解答下列问题：
（1）当 为何值时， ？
（2）设 的面积为 （ ），求 与 之间的函数关系式；
7（3）是否存在某一时刻 ，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分？若存在，
求出此时 的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一
时刻 ，使四边形 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
B
B P
P
C
A Q
C
A Q
图①
图②
P
82008年山东省青岛市中考数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．
2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改
变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分
数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省
略非关键性的推算步骤．
4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B D D C B C
二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）
题号 8 9 10 11
答案 x＋3 8 2
题号 12 13 14
答案 B
三、作图题（本题满分6分）
15．解：（1）1000米=100000厘米，
100000÷50000=2（厘米）； 2′
（2） 略． 6′
四、解答题（本题满分72分，共有9道小题）
16．（本小题满分6分）
解： ，
，
， 3′
，
∴ ， . 6′
17．（本小题满分6分）
解：（1）800÷40% = 2000（人）； 2′
9（2）80000×40% = 32000（人）； 4′
（3）合理即可． 6′
18．（本小题满分6分）
解：
2′
∴P = ，P = ．
（配成紫色） （配不成紫色）
∴小刚得分： ，
小明得分： ，
∵ ， ∴ 游戏对双方不公平． 4′
修改规则的方法不惟一．
（如改为： 红 白 蓝 若配成紫色时
小刚得7分， 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 否则小明得2
分．） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） 6′
19．（本小题 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 满分6分）
解：设CD 为x ，
在Rt△BCD中， ，
∵ ，
∴ ． 2′
在Rt△ACD中， ，
∵ ，
∴ ． 4′
∵ ，
∴ ． 5′
．
答：CD长约为1.14米． 6′
1020．（本小题满分8分）
解：（1）设A种票 张，则B种票 张，
根据题意得： 3′
解得： 5≤ ≤ ．
∴满足条件的x为5或6．
∴共有两种购买方案：
方案一：A种票5张， B种票10张，
方案二：A种票6张， B种票9张． 6′
（2）方案一购票费用： 600×5＋120×10=4200（元），
方案二购票费用： 600×6＋120×9=4680（元），
∵4200＜4680，
∴ 方案一更省钱. 8′
21．（本小题满分8分)
证明：（1） ∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD +∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE． 4′
（2）∵△DCE绕D顺时针旋转 得到△DAE ′，
∴CE=AE ′．
∵CE=CG，
∴CG=AE ′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE ′∥DG，AB=CD．
∴AB－AE ′ =CD－CG，
11即BE ′ =DG．
∴四边形DE ′ BG是平行四边形． 8′
22．（本小题满分10分）
解：（1）设 ，
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），
∴ ， 解得 ．
∴ ． 4′
（2）
6′
自变量取值范围：50≤ ≤70． 7′
∵ ， ＜0．
∴函数 图象开口向下，对称轴是直线x=75．
∵50≤ ≤70，此时 随 的增大而增大，
∴当 时， ． 10′
23．（本小题满分10分）
模型拓展一：（1）1+5=6 1′
（2）1+5×9=46 2′
（3）1+5（n－1） 3′
模型拓展二：（1）1＋m 4′
（2）1+m(n－1) 5′
问题解决：（1）在不透明口袋中放入18种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各40
个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
8′
（2）1+18×(10－1) =163 10′
24．（本小题满分12分）
解：（1）在Rt△ABC中， ，
由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
12若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ． 3′
B
（2）过点P作PH⊥AC于H． P
∵△APH ∽△ABC，
∴ ，
A Q H C
∴ ，
图①
∴ ，
∴ ． 6′
（3）若PQ把△ABC周长平分，
则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴ ，
解得： ．
若PQ把△ABC面积平分，
则 ， 即－ ＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
B
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． 9′
P
N
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM． A Q M C
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
13
图②
P ′∴ ， ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∴当 时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时 ， ，
在Rt△PMC中， ，
∴菱形PQP ′ C边长为 ．12′
14
