文档内容
2009 年宁夏中考数学试卷（教师版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝x12 B．（﹣6a6）÷（﹣2a2）＝3a3
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．2a﹣3a＝﹣a
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式．
【思路】根据合并同类项法则，同底数的幂的定义、乘方的概念解答．
【解析】解：A、应为a3•a4＝x7，故本选项错误；
B、应为（﹣6a6）÷（﹣2a2）＝3a4，故本选项错误；
C、应为（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项错误；
D、2a﹣3a＝﹣a，正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查同底数幂乘法法则，单项式除以单项式，应把系数，同底数幂分
别相除；完全平方公式；合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变，熟
练掌握运算性质和法则是解题关键．
2．（3分）某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每
月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．25（1+x）2＝64 B．25（1﹣x）2＝64
C．64（1+x）2＝25 D．64（1﹣x）2＝25
【微点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【思路】本题依题意可知四月份的人数＝25（1+x），则五月份的人数为：25（1+x）
（1+x）．再令25（1+x）（1+x）＝64即可得出答案．
【解析】解：设每月的平均增长率为x，依题意得25（1+x）2＝64；故选A．
【点拨】本题考查了一元二次方程解增长率问题的知识．
3．（3分）把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A． B．
第 1 页 / 共 19 页C． D．
【微点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【思路】本题的关键是先解不等式组，然后再在数轴上表示．
【解析】解：由（1）得x＞﹣1，由（2）得x≤1，所以﹣1＜x≤1．故选B．
【点拨】本题考查一元一次不等式组的解集及在数轴上的表示方法．
4．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95，85，80，80，85．下列
表述错误的是（ ）
A．众数是85 B．平均数是85 C．中位数是80 D．极差是15
【微点】算术平均数；中位数；众数；极差．
【思路】本题考查统计的有关知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最
中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注
意众数可以不止一个．利用平均数和极差的定义可分别求出．
【解析】解：这组数据中 85出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数位
85；
由平均数公式求得这组数据的平均数位85，极差为95﹣80＝15；
将这组数据按从大到校的顺序排列，第3，4个数是85，故中位数为85．
所以选项C错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义．解答这类题学生
常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．
5．（3分）一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【微点】一次函数的性质．
【思路】根据k、b的值确定一次函数y＝3x﹣4的图象经过的象限．
【解析】解：k＝3＞0，图象过一三象限；b＝﹣4＜0，图象过第四象限，
∴一次函数y＝3x﹣4的图象不经过第二象限．
故选：B．
【点拨】本题考查一次函数的k＞0，b＜0的图象性质．
6．（3分）如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积
为（ ）
第 2 页 / 共 19 页A．24 B．32 C．36 D．48
【微点π】由三视图判断几何体π． π π
【思路】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的体积．
【解析】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2，高是6．
所以该几何体的体积为 ×4×6＝24 ．
故选：A． π π
【点拨】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的面积，考查学生的空间想象．
7．（3分）在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从
其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那
么符合条件的小正方形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【微点】轴对称图形．
【思路】根据轴对称图形的概念求解．
【解析】解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，则下列
四个结论错误的是（ ）
第 3 页 / 共 19 页A．c＞0 B．2a+b＝0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞0
【微点】二次函数图象与系数的关系．
【思路】本题考查二次函数图象的相关知识与函数系数的联系．需要根据图形，逐一判
断．
【解析】解：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；
B、由已知抛物线对称轴是直线x 1，得2a+b＝0，正确；
C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；
D、直线x＝﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x＝﹣1时，y＜0，即y＝ax2+bx+c＝a﹣
b+c＜0，错误．
故选：D．
【点拨】在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也
要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的方法．同时注意特殊点的运用．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）分解因式：m3﹣mn2＝ m （ m + n ）（ m ﹣ n ） ．
【微点】提公因式法与公式法的综合运用．
【思路】先提取公因式m，再运用平方差公式分解．
【解析】解：m3﹣mn2，
＝m（m2﹣n2），
＝m（m+n）（m﹣n）．
【点拨】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分
解因式，分解因式要彻底．
10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA的值是 ．
【微点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【思路】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．
第 4 页 / 共 19 页【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，
∴AC ，
∴cosA ．
【点拨】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．
11．（3分）已知：a+b ，ab＝1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是 2 ．
【微点】整式的混合运算—化简求值．
【思路】根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可．
【解析】解：（a﹣2）（b﹣2）
＝ab﹣2（a+b）+4，
当a+b ，ab＝1时，原式＝1﹣2 4＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查多项式相乘的法则和整体代入的数学思想．
12．（3分）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，
仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为 12 0 元．
【微点】一元一次方程的应用．
【思路】依据题意建立等量关系商品标价＝进价×（1+5%）÷70%
【解析】解：设售货员应标在标签上的价格为x元，
依据题意70%x＝80×（1+5%）
可求得：x＝120，
故价格应为120元．
【点拨】此题首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出
方程，再求解．
13．（3分）用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为
．
【微点】勾股定理；弧长的计算．
【思路】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，圆
锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．
第 5 页 / 共 19 页【解析】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是 ，若底面半径是 R，则
，∴R＝2，
∴圆锥的高是 ．
【点拨】考查圆锥侧面积计算的知识．
14．（3分）如图，梯形ABCD的两条对角线交于点E，图中面积相等的三角形共有 3
对．
【微点】梯形．
【思路】观察可得到有两对同底同高的三角形，同时S ﹣S ＝S ﹣S 所以
△ABD △AED △ADC △AED
共有三对面积相等的三角形．
【解析】解：观察可得到有两对同底同高的三角形，即S ＝S ，S ＝S ，
△ABC △BCD △ABD △ADC
同时S ﹣S ＝S ﹣S 得，S ＝S 所以共有3对面积相等的三角形．
△ABD △AED △ADC △AED △AEB △CED
【点拨】本题考查梯形的性质及三角形面积公式的应用．
15．（3分）如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为
24，那么AD的长为 8 ．
【微点】等腰三角形的性质．
【思路】由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD＝DC，再根据三角形的
周长定义求解．
【解析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC．
∵AB+AC+BC＝32，
第 6 页 / 共 19 页即AB+BD+CD+AC＝32，
∴AC+DC＝16
∴AC+DC+AD＝24
∴AD＝8．
故填8．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质；由已知条件结合图形发现并利用 AC+CD是
△ABC的周长的一半是正确解答本题的关键．
16．（3分）如图， O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积
⊙
为 ．
【微点】三角形的内切圆与内心．
【思路】先求出三角形ABC的面积，从而求出内切圆的半径，进而可求出圆的面积．
图中阴影部分的面积＝S ﹣S ．
△ABC O
【解析】解：连接OA，OD（AB⊙上的内切点）．
由于等边三角形的内心就是它的外心，可得AD AB＝1，∠OAB ∠CAB＝30°；
在Rt△OAD中，tan30° ，即 ，得0D ．
∴图中阴影部分的面积等于S ﹣S 22﹣ （ ）2 ．
△ABC O
⊙
π π
【点拨】本题考查等边三角形的性质及内切圆的概念和计算．
第 7 页 / 共 19 页三、解答题（共10小题，满分72分）
17．（6分）计算： （﹣2009）0+（ ）﹣1+| 1|．
【微点】绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．
【思路】 2 ；任何不等于0的数的0次幂都等于1；一个数的负指数等于这个数
的正指数次幂的倒数；正数的绝对值是它本身．
【解析】解：原式＝2 1+2 1＝3 ．
【点拨】此题考查了二次根式的化简、零指数、负指数、绝对值的概念．
18．（6分）解分式方程：
【微点】解分式方程．
【思路】因为3﹣x＝﹣（x﹣3），所以可确定方程最简公分母为：（x﹣3），去分母时
要注意符号变化．
【解析】解：去分母得：1﹣x＝2（x﹣3），整理方程得：﹣3x＝﹣7，
∴x ，经检验x 是原方程的解，
∴原方程的解为x ．
【点拨】解分式方程时要注意以下几方面：
（1）要准确确定最简公分母；
（2）去分母时要注意符号变化，不要漏乘常数项；
（3）求出解后一定要进行检验．
19．（6分）已知正比例函数y＝k x（k ≠0）与反比例函数y （k ≠0）的图象交于
1 1 2
A、B两点，点A的坐标为（2，1）
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标．
【微点】反比例函数综合题．
第 8 页 / 共 19 页【思路】比例函数y＝k x（k ≠0）与反比例函数y （k ≠0）的图象交于A、B两
1 1 2
点，点A的坐标为（2，1）．把A点的坐标代入函数解析式就可以求出函数的解析式．
解两个函数解析式组成的方程组就可以求出函数的交点坐标．
【解析】解：（1）把点A（2，1）分别代入y＝k x与 得： ，k ＝2．（2
1 2
分）
∴正比例函数、反比例函数的表达式为： ．（3分）
（2）由方程组 得 ， ．
∴B点坐标是（﹣2，﹣1）．（6分）
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关
系，图象上的点一定满足函数解析式．
20．（6分）桌子上放有质地均匀，反面相同的 4张卡片．正面分别标有数字1，2，3，
4，将这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，先从中任意抽出 1张卡片，用卡片上所标
的数字作为十位上的数字，将取出的卡片反面朝上放回洗匀；再从中任意抽取 1张卡片，
用卡片上所标的数字作为个位数字．试用列表或画树状图的方法分析，组成的两位数恰
好能被3整除的概率是多少？
【微点】列表法与树状图法．
【思路】列举出所有情况，让组成的两位数恰好能被3整除的情况数除以总情况数即为
所求的概率．
【解析】解：列表：
个位数 1 2 3 4
十位数
1 11 12 13 14
2 21 22 23 24
第 9 页 / 共 19 页3 31 32 33 34
4 41 42 43 44
树状图：
（3分）
∴一共有16种情况，能被3整除的两位数的有5种情况，
∴能被3整除的两位数的概率是 ．（6分）
【点拨】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解
题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
21．（6分）在“首届中国西部（银川）房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出 A、
B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其
它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
（1）参加展销的D型号轿车有多少辆？
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？
（4）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车
一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．
【微点】扇形统计图；条形统计图；概率公式；利用频率估计概率．
第 10 页 / 共 19 页【思路】（1）先求出D型号轿车所占的百分比，再利用总数1000辆即可求出答案；
（2）利用C型号轿车销售的成交率为50%，求出C型号轿车的售出量，补充统计图即
可；
（3）分别求出各种型号轿车的成交率即可作出判断；
（4）先求出已售出轿车的总数，利用售出的A型号车的数量即可求出答案．
【解析】解：（1）∵1﹣35%﹣20%﹣20%＝25%，
∴1000×25%＝250（辆）．
答：参加销展的D型轿车有250辆；
（2）如图，1000×20%×50%＝100；
（3）四种型号轿车的成交率：
A： 100%＝48%；
B： 100%＝49%；
C：50%；
D： 100%＝52%
∴D种型号的轿车销售情况最好．
（4）∵ ．
∴抽到A型号轿车发票的概率为 ．
第 11 页 / 共 19 页【点拨】利用统计图解决问题时，要善于从图中寻找各种信息．
当一个事件的频率具有稳定性时，可以用该事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．部分数目＝总体数目乘以相应概
率．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC
边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．
求证：EC∥AB．
【微点】平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．
【思路】根据翻折变换的特点可知∠ECA＝∠ACD，由CD＝AD可知∠CAD＝∠ACD，
所以∠ECA＝∠CAD，故EC∥AB．
【解析】证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB＝90°，
∴CD＝AD．
∴∠CAD＝∠ACD．
又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，
∴∠ECA＝∠ACD．
∴∠ECA＝∠CAD．
∴EC∥AB．
【点拨】本题考查图形的翻折变换平行线的判定和直角三角形的性质，解题过程中应注
意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后角相等．
23．（8分）已知：如图，AB为 O的直径，AB＝AC，BC交 O于点D，AC交 O于点
E，∠BAC＝45°． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求∠EBC的度数；
第 12 页 / 共 19 页（2）求证：BD＝CD．
【微点】等腰三角形的性质；圆周角定理．
【思路】（1）∠EBC的度数等于∠ABC﹣∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为
求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出．
（2）在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．
【解析】（1）解：∵AB是 O的直径，
∴∠AEB＝90°． ⊙
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°．（4分）
（2）证明：连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°．
∴AD⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD．（8分）
【点拨】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用．
第 13 页 / 共 19 页24．（8分）如图，抛物线y x2 x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【微点】抛物线与x轴的交点；勾股定理的逆定理．
【思路】（1）抛物线y x2 x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，分
别将x＝0，y＝0代入求得A、B、C的坐标；
（2）由（1）得到边AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理来判定△ABC为直
角三角形；
（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标．
【解析】解：（1）∵抛物线y x2 x+2与x轴交于A、B两点，
∴ x2 x+2＝0．即x2 x﹣4＝0．
解之得：x ，x ＝2 ．
1 2
∴点A、B的坐标为A（ ，0）、B（2 ，0）．（2分）
将x＝0代入y x2 x+2，得C点的坐标为（0，2）；（3分）
（2）∵AC ，BC＝2 ，AB＝3 ，
第 14 页 / 共 19 页∴AB2＝AC2+BC2，则∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；（6分）
（3）当PC∥x轴，即P点与C点是抛物线的对称点，而C点坐标为（0，2）
设y＝2，把y＝2代入y x2 x+2得： x2 x+2＝2，
∴x ＝0，x ．
1 2
∴P点坐标为（ ，2）．（8分）
【点拨】此题考查了二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点的横坐标为0；
直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点．
25．（10分）如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板 AB（与地面平行）或绕定点P
（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持 AP＝A′P，BP＝
B′P）．通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传
动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半径）至点H'，从而使
桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆H′B′所在的直线分别与
水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝
12cm，DH′＝8cm．要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高
度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字）（参考数据： 1.41， 1.73）
第 15 页 / 共 19 页【微点】解直角三角形的应用．
【思路】如图所示，要想求出踏板AB离地面的高度至少等于多少cm，即必须求出
A′N，而A′N∥B′M，所以△A′NP∽△B′MP，又∵A′P和PB′的长为已知量，
所以在 成立的前提下，必须求出MB′，而MB′＝H′C，因此最终解决点
是求出H′C，在△H′CD中 sin60° ，由此可以求出H′C＝MB′，因此
可以求出NA′＝3.5，所以AB离地面至少3.5cm．
【解析】解：作A′N⊥AB于N点．
在Rt△H′CD中，
若∠HDH′不小于60°，
则 ，
即H'C H'D＝4 ．
∵B'M＝H'C≥4 ，
又∵Rt△A′NP∽Rt△B′MP，
∴ ，
第 16 页 / 共 19 页∴A′N 2 3.5cm．
∴踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm．
【点拨】解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到相似三角形和解直角三角
形中，利用它们的性质只要求出CH′的长，一切问题都迎刃而解．
26．（10分）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的
边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点
N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于
P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面
积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形
MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【微点】一次函数综合题．
【思路】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是
矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（2）根据 当0＜t＜1时； 当1≤t≤2时； 当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP
① ② ③
第 17 页 / 共 19 页的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
【解析】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD＝2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM 时，四边形MNQP是矩形，
∴t 秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM＝AMtan60° ，
PQ＝MN＝AB﹣2AM＝4﹣3＝1，
∴S ＝PM•PQ ；
四边形MNQP
（2） 当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△①AMP中，
∵∠A＝60°，AM＝t，tan∠A ，
∴PM＝tan60°×AM AM t，
在Rt△ANQ中，
而AN＝AM+MN＝t+1，
∴QN AN （t+1），
∴S （PM+QN）MN [ t （t+1）] t ；
四边形MNQP
当1＜t＜2时，
②点P在AC上，点Q在BC上，
PM t，
BN＝AB﹣AM﹣MN＝4﹣1﹣t＝3﹣t，
在Rt△BNQ中，
QN BN （3﹣t），
第 18 页 / 共 19 页∴S （PM+QN）MN [ t （3﹣t）]×1 ；
四边形MNQP
当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
③BM＝4﹣t，BN＝3﹣t，
∴PM BM （4﹣t），QN BN （3﹣t），
∴S （PM+QN）MN [ （3﹣t） （4﹣t）] t．
四边形MNQP
综上所述：当 0＜t≤1 时，S t ；当 1＜t＜2 时，S
四边形MNQP 四边形MNQP
；
当2≤t＜3时，S t． （10分）
四边形MNQP
【点拨】本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数
形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．
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