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2 0 2 4 年 教 师 资 格 证
空间解析几何 3
讲师：吉吉
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师一 曲面方程
第三节
二 切平面方程与法线方程
曲面及曲线方程 三 曲线方程
2024FENBI一、曲面方程
选
（一）球面
2024FENBI
P132直线L-母线
（二）柱面
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面，定
曲线 C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线。
【例】方程𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2，在 𝑥𝑂𝑦 面上表示圆心在原点 𝑂，半径为 𝑅 的圆；
在空间直角坐标系中，这个方程表示的曲面可看成是由平行于 𝑧 轴的直线
𝐿 沿 𝑥𝑂𝑦 面上的圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2移动而成的，这个曲面叫做圆柱面，𝑥𝑂𝑦
曲线C-准线
面上的圆 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2叫做它的准线，而平行于 𝑧 轴的直线 𝐿 叫做它的母
线。
总结：曲面的母线平行于哪个轴，该曲面方程不含哪个轴上的量
2024FENBI
P1322024FENBI
P132（二）柱面
直线L-母线
双曲柱面
椭圆柱面
圆柱面
曲线C-准线
2024FENBI选+简
（三）圆锥面
2024FENBI
P133截图啦~ 选+简
考点：求旋转曲面方程
2024FENBI2024FENBI
P1332024FENBI
P133选+简
（二）定积分的应用
（2）求旋转体的体积
2024FENBI2024FENBI
p134选
（四）椭球面
2024FENBI
P1342024FENBI
P1342024FENBI
P134选
（五）双曲面
2024FENBI
P134-P1352024FENBI
P135选
（六）抛物面
2024FENBI
P1352024FENBI二、切平面方程与法线方程
选+简
设曲面方程𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 ;
垂直于曲面上点 𝑀 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) 处切平面的向量称为曲面在该点的法向量。
0 0 0 0
即法向量 𝑛 = (𝐴, 𝐵, 𝐶)
其中
切平面方程为
法线方程为
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P135-P1362024FENBI
P1362024FENBI
P136三、曲线方程
选
（一）曲线的一般方程
2024FENBI
P137选
（二）曲线的参数方程
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P1372024FENBI
P138（三）空间曲线在坐标平面上的投影
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P137（三）空间曲线在坐标平面上的投影
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P138（三）空间曲线在坐标平面上的投影
2024FENBI
P1382024FENBI
P1382024FENBI
P1382024FENBI
P1392024FENBI
P1392024FENBI
P139总结
预习
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数理统计的基本概念
事件和概率曲面方程 常见形式
（一）球面
𝑥2 𝑦2
圆柱面如：𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 椭圆柱面如： + = 1
𝑎2 𝑏2
（二）柱面
𝑥2 𝑦2
双曲柱面如： − = 1 抛物柱面如：𝑥2 = 2𝑦
𝑎2 𝑏2
平行：曲面的母线平行于哪个轴，该曲面方程不含哪个轴上的量
形如𝑧 = ± 𝑥2 + 𝑦2𝑎或𝑧2 = 𝑎2(𝑥2 + 𝑦2)
（三）圆锥面
求旋转曲面:绕哪个轴旋转，哪个字母不变，方程中的另外一个字母变为正负根号下其
他两个字母的平方和。
𝑥2 𝑦2 𝑧2
（四）椭球面 + + = 1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2 𝑧2
1.单叶双曲面： + − = 1
𝑎2 𝑏2 𝑐2
（五）双曲面
𝑥2 𝑦2 𝑧2
2.双叶双曲面： + − = −1
2024FENBI
𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑥2 𝑦2
1.椭圆抛物面： + = 𝑧
𝑝 𝑞
（六）抛物面
𝑥2 𝑦2
2.双曲抛物面： − = 𝑧（也称马鞍面）
𝑝 𝑞
