文档内容
年福建省福州市中考数学试卷
2010
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（2010•福州）2的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2D．﹣2
2．（2010•福州）今年我省规划重建校舍约3 890 000平方米，3 890 000用科学记数法表示为（ ）
A．0.389×107B．3.89×106 C．3.89×104 D．389×104
3．（2010•福州）下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2010•福州）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2010•莆田）式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
6．（2010•福州）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2010•福州）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，3），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
8．（2010•福州）有人预测2010年南非世界杯足球赛巴西国家队夺冠的概率是70%，他们的理解正确的是（ ）
A．巴西国家队一定夺冠 B．巴西国家队一定不会夺冠 C．巴西国家队夺冠的可能性比较大 D．巴西国家
队夺冠的可能性比较小
9．（2010•福州）分式方程 的解是（ ）
A．x=5 B．x=1 C．x=﹣1D．x=2
10．（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＞0
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（2010•福州）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ________ _ b．
12．（2011•温州）分解因式：a2﹣1= ________ _ ．
13．（2010•福州）某校七年（2班）6位女生的体重（单位：千克）是：36，38，40，42，42，45，这组数据的众数为
_________ ．
14．（2010•福州）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为
_________ ．
15．（2010•福州）如图，直线 ，点A 坐标为（1，0），过点A 作x的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB
1 1 1 1
长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A x的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点
2 2 2 2
A ，…，按此做法进行下去，点A 的坐标为（ ________ _ ， ________ _ ）．
3 5
三、解答题（共7小题，满分90分）
16．（2010•福州）（1）计算：|﹣3|+（﹣1）0﹣ ．
（2）化简：（x+1）2+2（1﹣x）﹣x2．
17．（2010•福州）（1）如图1，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D．
求证：△ABC≌△DEF．
（2）如图2，在矩形OABC中，点B的坐标为（﹣2，3）．画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA B C ，并
1 1 1
直接写出的坐标A 、B 、C 的坐标．
1 1 118．（2010•福州）近日从省家电下乡联席办获悉，自2009年2月20日我省家电下乡全面启动以来，最受农户热捧的
四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，其中空调已销售了15万台．根据上述销售情况绘制了
两个不完整的统计图：
请根据以上信息解答问题：
（1）补全条形统计图；
（2）四种家电销售总量为 ________ _ 万台；
（3）扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角是 ________ _ 度；
（4）为跟踪调查农户对这四种家电的使用情况，从已销售的家电中随机抽取一台家电，求抽到冰箱的概率．
19．（2010•福州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P= ，求⊙O的直径．
20．（2010•福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多
8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？
（2）郑老师计划用1000元为全班40位同学每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且
不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？
21．（2010•福州）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、
AC上，AD交EF于点H．（1）求证： ；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停
止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
22．（2010•福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物
线 过点O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 是以BC为直径的圆．过原点O作O 的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物
1 1
线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O 相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
12010 年福建省福州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（2010•福州）2的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．2D．﹣2
考点：倒数。
分析：根据倒数的概念求解．
解答：解：2的倒数是 ．
故选A．
点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数是负数，正数的倒数是正数，0没
有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2010•福州）今年我省规划重建校舍约3 890 000平方米，3 890 000用科学记数法表示为（ ）
A．0.389×107B．3.89×106 C．3.89×104 D．389×104
考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：应用题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点
移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n
是负数．
解答：解：3 890 000用科学记数法表示为3.89×106．故选B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关
键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2010•福州）下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（ ）
A． B． C． D．
考点：三角形的外角性质。
分析：根据图象，利用排除法求解．
解答：解：A、∠1与∠2是对顶角，相等，故本选项错误；
B、根据图象，∠1＜∠2，故本选项错误；
C、∠1是锐角，∠2是直角，∠1＜∠2，故本选项错误；
D、∠1是三角形的一个外角，所以∠1＞∠2，故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查学生识图能力和三角形的外角性质．
4．（2010•福州）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选C．
点评：本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（2010•莆田）式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
考点：二次根式有意义的条件。
分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．
解答：解：根据题意得：x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．
故选B．
点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非
负数，否则二次根式无意义．
6．（2010•福州）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
解答：解：A、主视图为长方形，不符合题意；
B、主视图为圆，不符合题意；
C、主视图为三角形，符合题意；
D、主视图为长方形，不符合题意；
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7．（2010•福州）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，3），则此反比例函数的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
考点：反比例函数的性质。
分析：利用反比例函数的性质，k=3＞0，函数位于一、三象限．
解答：解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，3），
∴代入y= （k≠0）得，k=3，即k＞0，
根据反比例函数的性质，反比例函数的图象在第一、三象限．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的性质，重点是y= 中k的取值．
8．（2010•福州）有人预测2010年南非世界杯足球赛巴西国家队夺冠的概率是70%，他们的理解正确的是（ ）A．巴西国家队一定夺冠 B．巴西国家队一定不会夺冠 C．巴西国家队夺冠的可能性比较大 D．巴西国家
队夺冠的可能性比较小
考点：概率的意义；可能性的大小。
分析：根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案．
解答：解：根据题意，有人预测2010年南非世界杯足球赛巴西国家队夺冠的概率是70%，
结合概率的意义，可得巴西国家队夺冠的可能性比较大；
故选C．
点评：理解概率的意义：反映的只是这一事件发生的可能性的大小．
9．（2010•福州）分式方程 的解是（ ）
A．x=5 B．x=1 C．x=﹣1D．x=2
考点：解分式方程。
专题：计算题。
分析：本题的最简公分母是x﹣2，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．结果要检验．
解答：解：方程两边都乘x﹣2，得
3=x﹣2，
解得x=5．
检验：当x=5时，x﹣2≠0．
∴x=5是原方程的解．
故选A．
点评：解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，解分式
方程一定注意要代入最简公分母验根．
10．（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＞0
考点：二次函数图象与系数的关系。
分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个
数及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；
B、由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，故选项错误；
C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故选项错误；
D、把x=1代入y=ax2+bx+c
得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正，正确．
故选D．
点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊
值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．（2010•福州）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a ＜ b．
考点：实数大小比较；实数与数轴。专题：图表型。
分析：根据数轴左边的数小于右边的数即可直接解答．
解答：解：根据数轴的特点，因为a在b的左边，
所以a＜b．
点评：此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边
的数大．
12．（2011•温州）分解因式：a2﹣1= （ a+ 1 ）（ a﹣ 1 ） ．
考点：因式分解-运用公式法。
分析：符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
解答：解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．
点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
13．（2010•福州）某校七年（2班）6位女生的体重（单位：千克）是：36，38，40，42，42，45，这组数据的众数为 4 2 ．
考点：众数。
分析：由于众数是一组数据中出现次数最多的数，由此即可确定这组数据的众数．
解答：解：依题意得，在这一组数据中42是出现次数最多的，
∴众数是42；
故填42．
点评：此题考查了众数的定义．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组
数据的众数可能不是唯一的．
14．（2010•福州）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为
21 ．
考点：平行四边形的性质。
分析：△OAB的周长=AO+BO+AB，只要求得AO和BO即可，根据平行四边形的对角线互相平分的性质求得答案．
解答：解：在 ▱ABCD中，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∵AC=14，BD=8，
∴OA=7，OB=4，
∵AB=10，
∴△OAB的周长=7+4+10=21．
故答案为21．
点评：本题重点考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
15．（2010•福州）如图，直线 ，点A 坐标为（1，0），过点A 作x的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB
1 1 1 1
长为半径画弧交x轴于点A ；再过点A x的垂线交直线于点B ，以原点O为圆心，OB 长为半径画弧交x轴于点
2 2 2 2
A ，…，按此做法进行下去，点A 的坐标为（ 1 6 ， 0 ）．
3 5考点：一次函数综合题。
分析：∵点A
1
坐标为（1，0），且B
1
A 1⊥x轴，∴B
1
的横坐标为1，将其横坐标代入直线解析式就可以求出B
1
的坐标，就
可以求出A B 的值，OA 的值，根据锐角三角函数值就可以求出∠xOB 的度数，从而求出OB 的值，就可以求出
1 1 1 3 1
OA 值，同理可以求出OB 、OB …，从而寻找出点A 、A …的坐标规律，最后求出A5的坐标．
2 2 3 2 3
解答：解：∵点A 坐标为（1，0），
1
∴OA =1
1
∵B A ⊥x轴
1 1
∴点B 的横坐标为1，且点B 在直线上
1 1
∴y=
∴B （1， ）
1
∴A B =
1 1
在Rt△A
1
B
1
O中由勾股定理，得
OB =2
1
∴sin∠OB
1
A
1
=
∴∠OB
1
A
1
=30°
∴∠OB
1
A
1
=∠OB
2
A
2
=∠OB
3
A
3
=…=∠OB
n
A
n
=30°
∵OA =OB =2，A （2，0）
2 1 2
在Rt△OB
2
A
2
中，OB
2
=2OA
2
=4
∴OA =4，A3（4，0）同理，得
3
OA =8，…，0A =2n﹣1，A （2n﹣1，0）
4 n n
∴OA =25﹣1=16
5
∴A （16，0）．
5
故答案为：（16，0）．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，也是一道规律试题，考查了直角三角形的性质，特别是30°所对的直角边等
于斜边的一半的运用，点的坐标与函数图象的关系．
三、解答题（共7小题，满分90分）
16．（2010•福州）（1）计算：|﹣3|+（﹣1）0﹣ ．
（2）化简：（x+1）2+2（1﹣x）﹣x2．
考点：零指数幂；算术平方根；实数的运算；整式的混合运算。
专题：计算题。
分析：（1）此题是实数的运算，首先去掉括号、绝对值的符号、算术平方根，然后就可以直接计算；
（2）此题是整式的计算，首先按照完全平方公式去掉括号，然后合并同类项即可求出结果．
解答：解：（1）|﹣3|+（﹣1）0﹣ ，
=3+1﹣3，
=1；
（2）（x+1）2+2（1﹣x）﹣x2，
=x2+2x+1+2﹣2x﹣x2，
=3．
故答案为1、3．点评：第一小题主要考查实数的计算，利用了绝对值的定义、零指数幂的定义、算术平方根的定义等知识；
第二小题考查了整式的计算，利用了完全平方公式、单项式乘以多项式的法则、合并同类项等知识．
17．（2010•福州）（1）如图1，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D．
求证：△ABC≌△ DEF．
（2）如图2，在矩形OABC中，点B的坐标为（﹣2，3）．画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA B C ，并
1 1 1
直接写出的坐标A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
考点：作图-旋转变换；全等三角形的判定。
专题：作图题；证明题。
分析：（1）利用全等三角形的判定条件判定三角形全等，此题已知BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D，可用角角边定理判定．
（2）矩形A、B、C三点绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接得到矩形OA B C ，并从图上读出这三点的坐
1 1 1
标．
解答：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF．
（2）解：如图所示，矩形OA B C 就是所求作的，
1 1 1
A （0，2），B （3，2），C （3，0）．
1 1 1
点评：本题综合考查了三角形全等的判定和旋转变换图形的作法．
18．（2010•福州）近日从省家电下乡联席办获悉，自2009年2月20日我省家电下乡全面启动以来，最受农户热捧的
四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，其中空调已销售了15万台．根据上述销售情况绘制了
两个不完整的统计图：请根据以上信息解答问题：
（1）补全条形统计图；
（2）四种家电销售总量为 18 0 万台；
（3）扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角是 12 0 度；
（4）为跟踪调查农户对这四种家电的使用情况，从已销售的家电中随机抽取一台家电，求抽到冰箱的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式。
专题：图表型。
分析：（1）由四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，其中空调已销售了15万台，可计算出销售
冰箱、彩电、洗衣机的台数，从而补全直方图；
（2）求得四种家电之和即可；
（3）由圆心角=360°×所占比例计算；
（4）由概率公式计算．
解答：解：（1）∵四种家电是冰箱、彩电、洗衣机和空调，其销售比为5：4：2：1，空调已销售了15万台，
∴冰箱销售台数=5×15=75万台，
彩电销售台数=4×15=60万台，
洗衣机销售台数=2×15=30万台，
如图所示：
（2）四种家电销售总量=75+60+30+15=180万台；
（3）扇形统计图中彩电部分所对应的圆心角=360× =120°；
（4）P（抽到冰箱）= = ．
答：抽到冰箱的概率是 ．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．用到的知识点为：圆心角度数=相应概率×360°；概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2010•福州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P= ，求⊙O的直径．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义。
专题：几何综合题。
分析：（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据 = 可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；
（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB= ，即 = ，所以可以求得圆的直径．
解答：（1）证明：∵∠C=∠P
又∵∠1=∠C
∴∠1=∠P
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB= ，
即 = ，
又知，BC=3，
∴AB=5，
∴直径为5．
点评：本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．
20．（2010•福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多
8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．
（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？
（2）郑老师计划用1000元为全班40位同学每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且
不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？
考点：一元一次不等式组的应用。
专题：方案型。分析：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x﹣8）元．根据用124元恰好可以买到3个书包和2本词
典，列方程求解；
（2）设购买书包y个，则购买词典（40﹣y）本．根据不等关系“余下不少于100元且不超过120元”列不等式组求解．
解答：解：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x﹣8）元．
根据题意，得
3x+2（x﹣8）=124，
解得：x=28．
∴x﹣8=20．
答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．
（2）设购买书包y个，则购买词典（40﹣y）本．
根据题意得：
，
解得：10≤y≤12.5．
因为y取整数，所以y的值为10或11或12
所以有三种购买方案，分别是：
①书包10个，词典30本；
②书包11个，词典29本；
③书包12个，词典28本．
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
21．（2010•福州）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、
AC上，AD交EF于点H．
（1）求证： ；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停
止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
考点：二次函数的最值；矩形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质。
专题：综合题；数形结合；分类讨论。
分析：（1）易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，它们的比都等于相似比，由
此得证；
（2）此题要转化为函数的最值问题来求解；由（1）的结论可求出AH的表达式，进而可得到HD（即FP）的表达式；已
求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即
可得到矩形的最大面积及对应的x的值；
（3）此题要理清几个关键点，当矩形的面积最大时，由（2）可知此时EF=5，EQ=4；易证得△CPF是等腰Rt△，则
PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合时，矩形移动的距离为PC（即4），运动的时间为4s；
二、E在线段AC上时，矩形移动的距离为9﹣4=5，运动的时间为5s；
三、Q、C重合时，矩形运动的距离为QC（即9），运动的时间为9s；所以本题要分三种情况讨论：
①当0≤t＜4时，重合部分的面积是矩形EFPQ与等腰Rt△FMN（设AC与FE、FP的交点为M、N）的面积差，FM的长
即为梯形移动的距离，由此可得到S、t的函数关系式；
②当4≤t＜5时，重合部分是个梯形，可用t表示出梯形的上下底，进而由梯形的面积公式求得S、t的函数关系式；
③当5≤t≤9时，重合部分是个等腰直角三角形，其直角边的长易求得，即可得出此时S、t的函数关系式．
解答：（1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，∴AH⊥EF；
∴ = ；
（2）解：由（1）得 = ，∴AH= x
∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣ x
∴S矩形EFPQ =EF•EQ=x（8﹣ x）=﹣ x2+8x=﹣ （x﹣5）2+20
∵﹣ ＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ 有最大值，最大值为20；
（3）解：如图1，由（2）得EF=5，EQ=4
∵∠C=45°，△NPC是等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9
分三种情况讨论：
①如图2，当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN是等腰直角三角形；
∴FN=MF=t
∴S=S矩形EFPQ ﹣S
Rt△MFN
=20﹣ t2=﹣ t2+20
②如图3
当4≤t＜5时，则ME=5﹣t，QC=9﹣t，
∴S=S梯形EMCQ = [（5﹣t）+（9﹣t）]×4=﹣4t+28
③如图4
当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC=9﹣t
∴S=S = （9﹣t）2= （t﹣9）2
△KQC
综上所述：S与t的函数关系式为：
S= ．点评：此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，同时还考
查了分类讨论的数学思想．
22．（2010•福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物
线 过点O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 是以BC为直径的圆．过原点O作O 的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物
1 1
线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O 相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
1
考点：二次函数综合题。
专题：压轴题。分析：（1）将O、A的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）根据A点的坐标和直线OB的解析式可求出B点的坐标，进而可求出OA、AB、OB的长；设AC与OB的交点为
E，连接OC，由于A、C关于OB对称，那么OB垂直平分线段AC，则有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、
BC的长，在Rt△BCO中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作
CD⊥x轴于D，易证得△CDA∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求出AD、CD的长，从而得到C点的坐
标；然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；
（3）在（2）中已经证得BC⊥OC，则OC是⊙O
1
的切线，由于P、C不重合，所以P点在第一象限；连接O
1
P，若存在符合
条件的Q点，那么点Q必为直线O
1
P与抛物线的加点，所以解决此题的关键是求出O
1
、P的坐标；过O
1
作O
1
H⊥x轴
于H，则O H是梯形CDAB的中位线，易得AH=DH= AD，由此可得求出AH、DH的长，进而可求出OH的长，根据
1
梯形中位线定理即可得到O
1
H的长，由此可求出点O
1
的坐标；过P作PF⊥x轴于F，由于OC、OP都是圆的切线，则
OC=OP=O C=O P=5，由此可得四边形OCO P是正方形，得∠POC=90°，根据等角的余角相等，可证得
1 1 1
∠OCD=∠POF，由此可证得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的长，也就得出了P点的坐标，然后用待定系数法即可
求出直线O P的解析式，联立抛物线的解析式，即可得到Q点的横坐标．
1
解答：解：
（1）把O（0，0）、A（5，0）分别代入y= x2+bx+c，
得 ，
解得 ；
∴该抛物线的解析式为y= x2﹣ x；
（2）点C在该抛物线上．
理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设AC交OB于点E
∵点B在直线y=2x上，
∴B（5，10）
∵点A、C关于直线y=2x对称，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5
∵S = AE•OB= OA•AB
Rt△OAB
∴AE=2 ，∴AC=4 ；
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠OAB=90°，
∴△CDA∽△OAB
∴ = = ；
∴CD=4，AD=8；
∴C（﹣3，4）
当x=﹣3时，y= ×9﹣ ×（﹣3）=4；
∴点C在抛物线y= x2﹣ x上；（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O 相切；
1
过点P作PF⊥x轴于点F，连接O
1
P，过点O
1
作O
1
H⊥x轴于点H；
∴CD∥O
1
H∥BA
∴C（﹣3，4），B（5，10）
∵O 是BC的中点，
1
∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH= AD=4，
∴OH=OA﹣AH=1，同理可得O H=7，
1
∴点O 的坐标为（1，7）
1
∵BC⊥OC，∴OC为⊙O 的切线；
1
又∵OP为⊙O 的切线，
1
∴OC=OP=O C=O P=5
1 1
∴四边形OPO C为正方形，
1
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
设直线O P的解析式为y=kx+b（k≠0），
1
把O （1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，
1
得 ，
解得 ；
∴直线O P的解析式为y= x+ ；
1
若以PQ为直径的圆与⊙O 相切，则点Q为直线O P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），
1 1
则有n= m+ ，n=y= m2﹣ m
∴ m+ = m2﹣ m，
整理得m2+3m﹣50=0
解得m= ，
∴点Q的横坐标为 或 ．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性质、
切线的判定和性质、切线长定理、函数图象交点坐标的求法等；涉及知识点较多，难度很大．
