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2024 年中考押题预测卷【上海卷】
数 学
考生注意:
1.本场考试时间100分钟，满分150分.
2.作答前，在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上的作答一律不得分.
4.选择题和作图题用 2B铅笔作答，其余题型用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答.
一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分)
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置
上】
1．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】分别根据合并同类项法则、二次根式的性质与化简、同底数幂的除法和幂的乘方判断即可．
【解答】解： 、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查合并同类项、二次根式的性质与化简、同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算性质
和法则是解题的关键．
2．用换元法解方程 时，下列换元方法中最合适的换元方法是
A．设 B．设
C．设 D．设 ．
【分析】根据分式方程的特点即可得出答案．
【解答】解：分式方程中 与 互为倒数，
则可设 ，那么 ，
方程化为 ，那么最合适的换元方法是 ，
故选： ．
【点评】本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握．
3．下列四个函数图象，一定不过原点的是
A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数的性质分别判断即可．
【解答】解： 选项：当 时， ，图象过原点，故 不符合题意；
选项：当 时， ，图象过原点，故 不符合题意；
选项：当 时， ，图象过原点，故 不符合题意；
选项： ， ，图象不过原点，故 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数的性质，熟悉这些函数性质是解题的关
键．
4．某年 月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法不正确的是
A．1月份销量为2.1万辆
B． 月新能源乘用车销量逐月增加
C．4月份销量比3月份增加了1万辆
D．从2月到3月的月销量增长最快
【分析】根据题目中的折线统计图，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
1月份销量为2.1万辆，故选项 不合题意；
月新能源乘用车销量减少， 月新能源乘用车销量逐月增加，故选项 符合题意；
4月份销量比3月份增加了 万辆，故选项 不合题意；
从2月到3月的月销量增长最快，故选项 不合题意；
故选： ．【点评】本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．下列说法正确的是
A．两角对应相等，一边对应相等的两个三角形全等
B．无限小数是无理数
C．三角形的一个外角等于它其中两个内角的和
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【分析】利用全等三角形的判定，无理数的概念，三角形外角的性质及矩形的判定分别判断后即可确定正
确的选项．
【解答】解： 、如两个直角三角形，两个角相等，斜边和另一个三角形的直角边相等，这两个三角形不
一定全等，故本选项不符合题意；
、无限小数是不一定无理数，故本选项不符合题意；
、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项不符合题意；
、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，说法正确，故本选项符合题意．
故选： ．
【点评】】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定、三角形外角的性质及矩
形的判定．
6．若一个梯形的上、下底长分别是2和4，它的一腰长为3，则另一腰长不可能是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】过 作 交 于 ，得到平行四边形 ，求出 、 的长，在 中，根据
三角形的三边关系定理，即可得出结论．
【解答】解：如图，梯形 ，
过 作 交 于 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
设 ，
在 中： ，
，
另一腰的取值范围是 ．
则另一腰长不可能是1．故选： ．
【点评】本题主要考查了梯形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点，解此
题的关键是把梯形转化成平行四边形和三角形．
二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．因式分解： ．
【分析】此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式： ．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．化简： ．
【分析】先把分子分母因式分解，进行通分，计算即可．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的化简，把分子分母因式分解是解题的关键．
9．方程 的根是 ．
【分析】方程两边平方得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解： ，
方程两边平方，得 ，
解得： ，经检验 是原方程的解，
即原方程的解是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
10．已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小．则 的值是 3 ．
【分析】根据函数 是反比例函数，且当 时， 随 的增大而减小，可以得到
，从而可以求得 的值．
【解答】解： 反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小．
，
解得 ，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到△ ，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△ ，
解得 ，
即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
12．从5张上面分别写着“学”“生”“学”“数”“学”这 5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随
机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“数”字的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解： 张卡片中有1张写有“数”字，
抽取一张恰好写有“数”字的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
13．如图，正六边形 的面积是 ，则对角线 的长是 8 ．【分析】设正六边形 的边长为 ，根据正六边形 的面积是 ，求出正六边形边长为
4，连接 ，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设正六边形 的边长为 ，
正六边形 的面积是 ，
，
解得 ，
连接 ，
在正六边形 中， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的
关键．
14．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，且经过点 ，则该抛物线的表达式为 ．
【分析】设抛物线解析式为 ，将 代入解析式求解．
【解答】解： 抛物线顶点在坐标原点，
，
将 代入 得 ，
解得 ，，
故答案为： ．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15．如图，点 、 分别在 的 、 边上， ，且 ，若 ， ，用 、
表示 ，则 ．
【分析】根据 和 求出 ，再利用三角形法则直接求出向量 ．
【解答】解： ，
，
，
又 ，
．
于是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理及平面向量的相关运算，灵活运用平行四边形法则是解题的
关键．
16．某校为了解学生喜爱的体育活动项目，随机抽查了100名学生，让每人选一项自己喜欢的项目，并制
成如图所示的扇形统计图．如果该校有1000名学生，则喜爱跳绳的学生约有 30 0 人．
【分析】样本中“跳绳人数”占整体的 ，因此估计总体100人的 是“跳
绳”的人数．
【解答】解： （人 ，
故答案为：300．【点评】本题考查扇形统计图的意义，明确各个量之间的关系，是正确解答的关键．
17．如图，在正方形 中， ，点 在正方形内部，且 ， ，如果以 为
圆心， 为半径的 与以 为直径的圆相交，那么 的取值范围为 ．
【分析】设 的中点为 ，连接 ，延长 交 于 ，根据直角三角形的性质得到 ，
根据三角函数的定义得到 ，推出点 是以 为直径的圆的圆心，设 ，
，得到 ，根据勾股定理得到 ，求得 ，于是得
到结论．
【解答】解：延长 交 于 ，
，
，
，
在正方形 中， ，
，
，
，
，
点 是以 为直径的圆的圆心，
设 ， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
为半径的 与以 为直径的圆相交，的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定
理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．
18．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点 、 、 在同一直线上， ，
， ，将 绕点 顺时针旋转一定角度 ，如果在旋转的过程中
有一条边与 平行，那么此时 的面积是 或 3 ．
【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当 时，如图2，当 时，利用含30度角的直角三
角形即可解决问题．
【解答】解：如图1，当 时，过点 作 延长线于点 ，
根据题意可知： ， ，
，
，
，
，
，
，的面积 ；
如图2，当 时，过点 作 延长线于点 ，
，
，
，
，
的面积 ．
综上所述： 的面积是 或3．
故答案为： 或3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，关键是
利用分类讨论思想解决问题．
三、解答题:(本大题共7题，共78分)
19.(本题满分10分)计算： ．
【分析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.(本题满分10分)解不等式组： ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分确定出不等式组的解集．
【解答】解： ，
由①得： ，
由②得： ，不等式组的解集为 ．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
21.(本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分)
如图，点 、 分别在扇形 的半径 、 的延长线上，且 ， ， 平行于 ，并
与弧 相交于点 、 ．
（1）求线段 的长；
（2）若 ，求弦 的长．
【分析】（1）根据 可知， ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 的长；
（2）过 作 ，连接 ，由垂径定理可知 ，再根据 可求出 的长，利
用勾股定理即可求出 的长，进而求出答案．
【解答】解：（1） ，
， ，
，
，
即 ，
又 ， ，
，
，
；
（2）过 作 ，连接 ，则 ，
，即 ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得 ，在 中， ，即 ，解得 ．
，
答：弦 的长为4．
【点评】本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根
据题意作出辅助线是解答此题的关键．
22.(本题满分10分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分3分)
随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以
后每次打折收费．设消费次数为 时，所需费用为 元，且 与 的函数关系如图所示．根据图中信息，
解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时， 关于 的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出 与 之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的 ，求出对应的 的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设 ，
根据题意得 ，解得 ，
；
设 ，
根据题意得： ，
解得 ，；
（2）解方程组
解得： ，
出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当 时， ，
；
当 时， ，
解得 ；
，
选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出
正确信息是解题关键．
23.(本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分)
已知：如图，在梯形 中， ， ， ，点 在对角线 上，作
， ，联结 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，试判断四边形 的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由等腰直角三角形的性质可求
，即可求解；
（2）通过证明 ，可得 ，由正方形的判定可得结论．
【解答】证明：（1） ，
，
在 和 中，，
，
，
， ，
，
，
，
．
（2）四边形 是正方形．理由如下：
， ，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，梯形的性质等
知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24.(本题满分12分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)
如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于直线 对称，且经过点 和点 ，横坐标
为4的点 在此抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结 、 、 ，求 的值；
（3）如果点 在对称轴右方的抛物线上，且 ，过点 作 轴，垂足为 ，请说明
，并求点 的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先证得 是等腰直角三角形，可得 ， ，过点 作 轴于 ，
则 ， ， ， 进 而 证 得 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 可 得 ，
，推出 ，再运用三角函数定义即可求得答案；
（3）连接 ，先证得 ，得出 ，即 ，设 ，则
，可得 ，得出 ，代入抛物线解析式求得 ，即可求得答案．
【解答】（1）解： 抛物线关于直线 对称，
设抛物线的解析式为 ，把 、 代入，得： ，
解得： ，
，
该抛物线的表达式为 ；
（2）解：在 中，令 ，得 ，
，
、 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
如图，过点 作 轴于 ，则 ， ， ，，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
；
（3）证明：如图，连接 ，
由（2）知 是等腰直角三角形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，，
，
点 在对称轴右方的抛物线上，
，且 ，
解得： ，
当 时， ，
点 的坐标为 ， ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和
性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．
25.(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)题满分5分，第(3)小题满分5分)
定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图
1，已知直线 外有一点 ，圆 经过点 且与直线 相切，则称圆 是点 与直线 的点切圆．
阅读以上材料，解决问题；
已知直线 外有一点 ， ， ， ，圆 是点 与直线 的点切圆．
（1）如果圆心 在线段 上，那么圆 的半径长是 （直接写出答案）．
（2）如图2，以 为坐标原点、 为 轴的正半轴建立平面直角坐标系 ，点 在第一象限，设圆心
的坐标是 ．
①求 关于 的函数解析式；
②点 是①中所求函数图象上的一点，联结 并延长交此函数图象于另一点 ．如果 ，求
点 的坐标．
【分析】（1）当点 在 上时（图中 ，作 轴于点 ，则 ，可证得
，从而 ，从而 ，从而求得 ；当点 在 的延长线上，同样的方法得出结果；
（2）①根据圆心 到 的距离等于点 到 轴的距离得出 ，化简得出结果；
②设点 ， ，从而得出 ①，接 ，作 轴，作 ，交 于 ，
可证得 ，从而 ，即 ，从而得出 ， ，
代入解析式得出 ②，由①②得出 ， ，进而得出结果．
【解答】解：如图1，
作 轴于点 ，
则 ，
轴，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）①由题意得，
圆心 到 的距离等于点 到 轴的距离，
，
；
②如图2，设点 ， ，
①，
连接 ，作 轴，作 ，交 于 ，
，
，
，
，
， ，
②，
由①②得，
， ，
或 ．
【点评】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解
决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
