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2024 年中考押题预测卷【湖南长沙卷】
数 学
一、选择题（共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C D C A C C C D D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．3.4×10-10 12． 13． 14．6
15． 16．④⑥
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每
小题9分，第25、26题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算．根据乘方运算法则，二次根式化简，特殊角的锐角三角函数值，零指数
幂，以及绝对值符号化简即可解答．
【详解】解：
．
18．
【答案】 ，8．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把原式化简，再把 代入即可求解，掌握分式化简的一般步骤
是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
19．
【详解】（1）在 中， ， ， ，
（米 ．
答：摩天轮的底部 点）到地面 点）的距离为20米．
（2）在 中， ， ， ，（米 ． （米 ．
答：摩天轮的圆轮直径（即 是 米．
20．
【详解】（1）本次参加抽样调查的居民有： （人）；蒜香味所占的百分比是：
，
则 ；故答案为：800，15；
（2）麻辣味的人数有： （人），酱爆味的人数有： （人），补全统计图如下：
（3）两只麻辣味的小龙虾分别用A、B表示、蒜香味的三只分别用C，D、E表示，画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中两只小龙虾中一只麻辣味，一只蒜香味的有12种等可能性，则小巴吃的
两只小龙虾中一只是麻辣味、一只是蒜香味的概率是 ．
21．
【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴
，
∵四边形 是平行四边形，∴四边形 是菱形；
（2）解：∵ 是边长为2的等边三角形，∴ ，∵ ，∴
,∵四边形 是菱形，∴ ，∵ ∴ ，∴ ，∴ ，在 中， ，∴ ，
∴ ，在 中， ，∴ ．
22．
【详解】（1）解：∵每天可售出 件．每件童装降价 元，那么每天就可多售 件，
∴销售单价降低 元，则该款童装每天的销售量为 （件），
每天的利润为： （元），故答案为： ， ；
（2）由题意，得 ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
（3）解：由（ ）知： ， ∵ ，
∴当 时，销售单价定价为 元时，商场每天可获得最大利润 元．
23．
【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°，
又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，
∴ ∠ ABD ＝ ∠ OEB ， ∴ ∠ CDA ＝ ∠ OEB ． 而 tan∠ CDA ＝ ， ∴ tan∠ OEB ＝ ＝ ，
∵Rt CDO∽Rt CBE，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CD＝ ×6＝4，在 Rt CBE 中，设 BE＝x，∴
（x+4）2＝x2+62，
△ △ △
解得x＝ ．
24．
【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；
（2）对于二次函数 ，令 ，则 ，得到交点M，N的横坐标满足
， ，根据两点间距离公式有 ．二次函数是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，由 得
，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足 ， ，纵坐标满足 ，
，根据两点间距离公式有
，由 ，即可求出a的值；
（3）由 ， 得到 ， ， ， ，从而 ，由题意可
得 ， ，从而 ，根据二次函数的增减性
并结合 ，可求出L的取值范围．
【详解】（1）根据题意，二次函数 中， ， ， ，
∴二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，
解方程组 得 ， ，经检验， ， 都是方程组的解，
∴一次函数 与反比例函数 图象的交点为 ， ，
即二次函数 的“共赢点”是 ， ；
（2）∵二次函数 与x轴的交点为M，N，
∴令 ，则 ，∴交点M，N的横坐标满足 ， ，
∴ ，
∵二次函数 是一次函数 与反比例函数 的“共同体”函数，有A，B两个
“共赢点”，∴由 得 ，∴ ，∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足
， ，纵坐标 ， ，∴ ，，
∴
，∵ ，∴ ，∴
，∵二次函数 与x轴有两个交点M，N，
∴ ， ∴ ，∴ ；
（3）∵ ， ，∴ ， ， ， ，∴ ，
∵一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 ， ，
∴ ， 是方程 ，即 的两个根，∴ ， ，
∵
，∵ ，∴ ，即 ．
25．
【分析】（1）根据圆的性质证明即可；
（2）根据圆的性质结合勾股定理计算出 的长度，然后由 计算即可；
（3） ，根据 列出方程计算即可；
（4）根据题意证明 即可．
【详解】（1）解：如图，连接PC，
∵四边形 内接于 ， ， ， ，
∵外角 的平分线 交 于点 ， ， ， ，， ，∴ ；
（2）如图，连接 ，过点 作 于点 ，
由垂径定理得， 垂直平分 ，且直线 经过点 ， ， ，
， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
， ， ，
， ， ，即， ，设 ，
， 关于 的函数解析式为： ；
（3）①设 ，高为 ，则 ， ， ，
， ， ， ， ，
， （不符合题意，舍去）， ， ；
②如图，
设 ，由（2）得 ， ，
， 为直径．
