利用二次函数性质解决线段最值问题
方法突破练
1.如图，已知抛物线 y=x²+2x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C，连接AC，
点M是线段AC下方抛物线上一点，过点M 作y轴的平行线与AC交于点 N，求线段MN的最大值.
2.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，
点P是线段 BC上方抛物线上一点，过点 P作 PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值.
3.如图，已知抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A,B 两点(点 A在点B左侧)，与y轴交于点 C，连接BC，点
FB
D是线段BC上方抛物线上一点，过点 D 作. DE‖BC交x轴于点E,连接AD交BC于点 F,当 取得最小值时，
DE
求点 D的坐标.设问进阶练
例 如图，已知抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点 C，点 D是直
线BC下方抛物线上的动点.
(1)如图①,过点D作 DE‖y轴交BC于点E，过点D作 DF⊥BC于点 F,求 △≝¿周长的最大值；
(2)如图②，若点 D 在抛物线对称轴的右侧，过点 D 作 DE⊥x轴,垂足为点E,DE交BC于点H,求. DH+CH
的最大值，并求出此时点 D 的坐标；
AD
(3)如图③,连接AD交BC于点E,求 的最小值.
DE综合强化练
1.如图，抛物线 y=ax2+bx+√3与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点 C，对称轴为直线. x=2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 为直线BC 上一动点,当 AB=CM时，求点 M的横坐标；
PF
(3)若点 P 为线段 BC 上一点, D(0,2√3),，延长线段DP交抛物线于点 F，求 的最大值.
PD
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)经过A(4，0)，B两点，且与x轴交于另一点( C(−1,0),直线
1
l:y= x+m与x轴交于点A，与y轴交于点
B.
2
(1)求直线l与抛物线的解析式；
(2)若点 P是直线l下方的抛物线上一点，过点P作PM∥x轴交l于点M，过点P作PN∥y轴交l于点N,求
PM+PN的最大值;
(3)若点E是直线l下方抛物线上一点，当点 E到直线l的距离最大时，求出此时点E的坐标.
作图区 答题区类型一 动点产生的线段问题
考向 1
考向2 利用二次函数性质解决线段最值问题
一阶 方法突破练
1.解：∵ 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,∴当x=0时,y=-3,则C(0,-3),
当y=0时,解得x=-3或x=1,
∵点A 在点 B 左侧,∴A(-3,0),B(1,0),
设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
把点A(-3,0),C(0,-3)代入,
{−3m+n=0 {m=−1
, ,
得 解得
n=−3 n=−3
∴ 直线 AC 的解析式为y=-x-3,
设 M(t,t²+2t−3)(−3<t<0);则N(t,-t-3)(设出动点坐标)，
∴MN=−t−3−(t2+2t−3)=−t2−3t=− ( t+ 3) 2 + 9
(表示竖直线段的长)，
2 4
3
∴−3<− <0,−1<0,
2
3 9
∴当
t=−
时，MN有最大值，最大值为 (利用二次函数的性质求解).
2 4
2. 解:如解图,过点 P 作 PN∥y轴交 BC 于点 N(作y轴平行线构造特殊三角形)，
∵ 抛物线与 x 轴交于 A,B两点，
∴令y=0,即 −x²+2x+3=0,解得 x₁=−1,x₂=3.
∵点 A 在点 B 左侧,
∴A(-1,0),B(3,0).
∵ 抛物线与y轴交于点C，
∴C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠OCB=45°.
∵PN⊥x轴,∴PN∥OC,∴∠PNM=∠OCB=45°,
√2
∴ △PMN为等腰直角三角形， ∴PM= PN.
2
∵B(3,0),C(0,3),
∴ 直线 BC的解析式为y=-x+3.
设 P(m,−m²+2m+3)(0<m<3),,则N(m,-m+3)(设点坐标)，
∴PN=−m2+2m+3−(−m+3)=− ( m− 3) 2 + 9 (表示线段长).
2 4
√2 √2( 3) 2 9√2
∴PM= PN=− m− + (将斜线段转化为竖直线段).
2 2 2 8
3 √2
∵0< <3,− <0,
2 23 9√2
∴当
m=
时，PM取得最大值，最大值为 (利用二次函数的性质求解).
2 8
3. 解:∵抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
令x=0,解得y=3;令y=0,解得x=-1或x=3,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),
∴AB=4,直线BC的解析式为y=-x+3.
∵DE∥BC,
∴△AFB∽△ADE(找出含有线段比值的两个相似三角形),
FB AB
∴ = (利用相似三角形的性质将线段比值转化到可以表示出来的线段上).
DE AE
∵AB 为定值,
FB
∴当 取得最小值时，AE取得最大值.
DE
设 D(m,−m²+2m+3)(0<m<3)(设点坐标)，
∵ DE∥BC,
∴设直线 DE 的解析式为y=-x+b,把点 D(m,−m²+2m+3)代入，得 −m+b=−m²+2m+3,
∴b=−m²+3m+3,
∴ 直线 DE 的解析式为 y=−x−m²+3m+3,将y=0代入 y=−x−m²+3m+3中，得 x=−m²+3m+3,
∴E(−m²+3m+3,0),
3 2 25
∴AE=−m²+3m+3−(−1)=−m²+3m+4=−(m− ) + (表示线段长).
2 4
3
∵0< <3,−1<0,
2
3 (3 15)
∴当 m= 时，AE 取得最大值，此时点 D 的坐标为 , (利用二次函数的性质求解)，
2 2 4
FB (3 15)
∴当 取得最小值时，点D 的坐标为 , .
DE 2 4
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵ 抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A,B 两点，与y轴交于点C，
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).
∴直线 BC的解析式为y=x-3.
由B(3,0),C(0,-3)知OB=3,OC=3,∴∠OCB=45°.
设 D(x,x²−2x−3)(0<x<3),则E(x,x-3),
∴DE=x−3−(x²−2x−3)=−x²+3x
∵ DE∥y轴,DF⊥BC,∴∠FED=∠OCB=45°,
√2
∴△DEF 为等腰直角三角形,∴ FD=FE= DE.
2
∴当DE 取最大值时,△DEF 的周长最大.
∴DE=−x2+3x=− ( x− 3) 2 + 9 ,且 −1<0,0< 3 <3,
2 4 2
3 9 √2 9 9√2
∴当 x= 时，DE 取得最大值，最大值为 ，此时 FD=FE= × = .
2 4 2 4 8
9+9√2
∴△DEF周长的最大值为 DE+FE+FD= ;
4
(2) 如解图 ①, 过点 H 作 HG ⊥ y 轴于 点 G,则GH∥OB,由(1)得,A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),
∴OB=OC=3,∴BC=3 √2,
−2
∵抛物线的对称轴为直线 x= − =1,
2
设 D(x,x²−2x−3)(1<x<3),由(1)知,直线BC的解析式为y=x-3,
∴H(x,x-3),GH=x,
∵GH∥OB,∴△CHG∽△CBO,GH CH x CH
∴ = ,即 = ,
OB CB 3 3√2
∴CH=√2x,
又∵ DH=x−3−(x²−2x−3)=−x²+3x,
∴DH+CH=−x2+3x+√2x=−x2+(3+√2)x
∵ -1<0,∴DH+CH存在最大值,
3+√2 6√2+11
∴ 当 x= 时，DH+CH 取得最大值，最大值为 ,
2 4
6√2+11 (3+√2 2√2−13)
∴DH+CH 的最大值为 ,此时点 D 的坐标为 , ;
4 2 4
(3)如解图②,过点 A 作 AH⊥x 轴交直线 BC 于点H,过点 D 作DF⊥x轴交直线 BC 于点 F,
DE DF
易得△DEF∽△AEH, ∴ = .
AE AH
设 D(d,d²−2d−3),则F(d,d-3),
∴DF=d−3−(d²−2d−3)=−d²+3d.
∵ AH ⊥ x 轴, 且点 H 在 直 线BC上,
∴H(-1,-4),
∴AH=4.
DE −d2+3d 1 3
∴ = =− d2+ d.
AE 4 4 4
1
∴− <0,
4
3
4 3 DE 9 AE 16
∴当 d=− = 寸 取得最大值，最大值为 ,∴ 的最小值为 ,
( 1) 2 AE 16 DE 9
2× −
4
AD 5
∴ 的最小值为2 .
DE 9
三阶 综合强化练
1. 解:(1)∵ 抛物线
y=ax2+bx+√3与
x 轴交于点A(1,0),对称轴为直线x=2,
{ √3
{a+b+√3=0 a=
3
∴ b , 解得 ,
− =2 4√3
2a b=−
3
√3 4√3
∴抛物线的解析式为 y= x2− x+√3;
3 3
(2)由(1)得B(3,0),∴AB=2,
当x=0时, y=√3,得C(0, √3),
√3
∴ 直线 BC的解析式为 y=− x+√3,
3
( √3 )
设 M t,− t+√3 ,
3
∵CM=AB,1
∴CM2=t2+ t2=22,解得 t=√3或 t=−√3,
3
∴点M的横坐标为 √3或 −√3;
PF
(3)【思路点拨】画出草图，过点F作x轴的垂线FK,构造△FKP∽△DCP,将求 的最大值转化为求线段 FK的
PD
最大值求解即可.
如解图,过点 F 作 FK⊥x轴,交BC 于点K,
∵ D(0,2 √3),
∴CD=√3,
∵ FK∥y轴,
∴△FKP∽△DCP,
PF FK FK
∴ = = ,
PD DC √3
设 F ( m, √3 m2− 4√3 m+√3 ) ,则 K ( m,− √3 m+√3 ) ,
3 3 3
∴FK=− √3 m+√3− (√3 m2− 4√3 m+√3 ) =− √3 m2+
3 3 3 3
√3m,则
PF
=
FK
=−
1
m2+m=−
1(
m−
3) 2
+
3
,
PD √3 3 3 2 4
1 3
∵− <0,0< <3,
3 2
3 PF 3
∴ 当
m=
时, 有最大值，最大值是 .
2 PD 4
1 1
2. 解:(1)将点A(4,0)代入直线1: y= x+m中，得m=-2,∴直线l的解析式为 y= x−2;
2 2
令x=0,得y=-2,∴B(0,-2),
∴抛物线的解析式为 y=ax²+bx−2,
∵抛物线经过点 A(4，0)，与 x 轴交于另一点C(-1,0),
∴将A，C的坐标分别代入抛物线的解析式，
1
{ a=
{16a+4b−2=0 2
,
得 解得
a−b−2=0 3
b=−
2
1 3
∴ 抛物线的解析式为 y= x2− x−2;
2 2
(2)【思路点拨】由PM∥x轴,PN∥y轴,易得△MPN∽△AOB,可求出 PM 与 PN的关系,再由二次函数的性质求
解即可.
设点 P ( n, 1 n2− 3 n−2 ) (0<n<4),则点 N(n, 1 n−2),∴PN= 1 n−2− (1 n2− 3 n−2 ) =− 1 n2+2n,
2 2 2 2 2 2 2
∵ PM∥x轴,PN∥y轴,∴△MPN∽△AOB,
PM PN PM PN
∴ = ,即 = ,
OA OB 4 2
∴PM=2PN,3 3 3
则 PM+PN=3PN=− n2+6n=− (n−2) 2+6, ∵− <0,0<2<4,
2 2 2
∴当n=2时,PM+PN取得最大值,最大值为6;
(3)【思路点拨】点E与直线l的距离最大，可解读为过点E且与直线l平行的直线与抛物线只有一个交点，联
立此直线与抛物线的解析式求解即可.
1
由(1)得，直线l的解析式为 y= x−2,
2
∵要使点 E 到直线l的距离最大，
∴如解图，向下平移直线l
得直线l'，直至直线 l'与抛
物线只有一个交点，该点即
为所求点 E，设此时直线l'
1
的解析式为
y= x+d,
2
1 1 3
令 x+d= x2− x−2,
2 2 2
1
即
x2−2x−2−d=0,
2
1
∴b2−4ac=4−4× ×(−2−d)=8+2d=0,
2
解得d=-4,
1
∴直线l'的解析式为 y= x−4.
2
1
将d=-4代入
x2−2x−2−d=0中,得x=2,
2
1
当x=2时,
y= x−4=−3,
2
∴当点 E 到直线l的距离最大时，点 E 的坐标为(2,-3).
