文档内容
专题 07 分式方程
课标要求 考点 考向
分式方
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻
程的运 考向一 解分式方程
画现实世界数量关系的有效模型;
算
考向二 分式方程的解
2.能解可化为一元一次方程的分式方程:
3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
分式方 考向一 列分式方程
程的应
考向二 分式方程的实际应用
用
考点一 分式方程的运算
易错易混提醒
解分式方程过程中，易错点有:
（1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项;
（2）忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.
（3）增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根，若这个整式方程本身
无解，当然原分式方程就一定无解.
►考向一 解分式方程
1．（2024·海南·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．4．（2024·四川广元·中考真题）若点 满足 ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的
坐标 ．
5．（2024·浙江·中考真题）若 ，则
6．（2024·北京·中考真题）方程 的解为 .
7．（2024·陕西·中考真题）解方程： ．
8．（2024·福建·中考真题）解方程： ．
►考向二 分式方程的解
9．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 的解为正数，则 的取值范围（ ）
A． B． 且
C． D． 且
10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于 的分式方程 的解是负数，那么实数 的取
值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
12．（2024·重庆·中考真题）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式
方程 的解均为负整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
考点二 分式方程的应用
►考向一 列分式方程
13．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学
生乘慢车先行 ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快
20km，求慢车的速度？设慢车的速度为 ，则可列方程为（ ）
A． B．C． D．
14．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从
2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种
绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植
少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．
细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子
的原价是 元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·山西·中考真题）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的
费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单
价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
►考向二 分式方程的实际应用
17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器
人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．
A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（ ）
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
18．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺流航行
所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生
产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（
）
A．200 B．300 C．400 D．50020．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生
产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰
辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该
厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙
辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，
则该网店所获最大利润为 元．
21．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论
证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的 ．小丽家去年5月份的水费是28元，
而今年5月份的水费则是 元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少 ．设该市
去年居民用水价格为 ，则可列分式方程为 ．
22．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国
具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是 ，装裱后，上、下、左、右
边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后 与 的比是 ，且 ， ， ，求四
周边衬的宽度．
23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实
施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：
00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高 元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时
电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
24．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，
某农产品加工企业有甲、乙两个组共 名工人．甲组每天加工 件农产品，乙组每天加工 件农产
品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的 倍，求甲、乙两组
各有多少名工人？
25．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达
到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所
加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
(2)如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
26．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从 地到 地的航天科技馆参观，已知 地到 地的路程为
300千米，乘坐 型车比乘坐 型车少用2小时， 型车的平均速度是 型车的平均速度的3倍，求 型
车的平均速度．
27．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30
条生产线的设备进行更新换代．
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线
的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线
的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万
元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得
70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
28．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、
乙两人分别用 、 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要 、 两种外墙漆各300千克，购
买外墙漆总费用为15000元，已知 种外墙漆每千克的价格比 种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求 、 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务
所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
一、单选题
1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）某生鲜超市在三月份用20000元进购一批铁皮西红柿，四月份这种铁皮西红柿每千克降价了1元，此生鲜超市用18000元进购同种铁皮西红柿，却多进货500千克．求三月份这种铁皮
西红柿每千克多少元？设三月份这种铁皮西红柿每千克x元，可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·上海宝山·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一
份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时
间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为 ，其中x表示（ ）
A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对
4．（2024·广东·模拟预测）已知 是分式方程 的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·上海·模拟预测）野豪猪内卷会用6000元购进一批试卷，每套试卷含数理化三科，每套以比进
价高10元的优惠价格卖给成员，在销售过程中，因多出5套试卷，以每套10元的白菜价送给了其他同学，
最后野豪猪内卷会盈利950元，则一套试卷的进价为（ ）
A．50元 B．100元 C．120元 D．240元
6．（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于
工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了 ，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万
棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于 的不等式组 有且只有两个偶数解，且关于 的分式
方程 有解，则所有满足条件的整数 的和是（ ）
A． B．10 C． D．
二、填空题
8．（2024·湖南·模拟预测）分式方程 的解是 ．
9．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程 有增根，则k 的值为 ．10．（2024·湖北武汉·模拟预测）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分 元钱，每
人分得若干，若再加上6人，平分 元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求这两次分钱的人数．答：
（1）第一次分钱有 人；（2）第二次分钱有 人．
11．（2024·广东·模拟预测）代数式 与代数式 的值相等，则 ．
12．（2024·湖南·模拟预测）若代数式x与 的比值等于 ，那么 ．
13．（2024·安徽·模拟预测）关于 的方程 的解为非负数，则 的取值范围是 ．
14．（2024·四川南充·模拟预测）有一组并联电路，如图所示，两个电阻的电阻值分别为 、 ，总电阻
值为R，三者关系为： ．若已知 ，则 ．
15．（2024·湖南长沙·模拟预测）为深入学习贯彻习近平文化思想，认真落实习近平总书记关于文化和旅
游工作的重要论述精神，更好发挥公共图书馆对推动公共文化服务高质量发展的重要作用， 月 日上午，
以“城市是一本打开的书”为主题的“书香长沙·岳麓山 阅读” 年世界读书日暨公共图书馆服务宣传周系
列活动启动式在湘江新区举行．甲、乙两同学分别从距离活动地点 米和 米的两地同时出发，参加
宣传活动．已知甲同学的速度是乙同学的速度的 倍，但乙同学仍比甲同学提前 分钟到达活动地点．根
据上述条件可以计算出乙同学的速度是 米 秒．
三、解答题
16．（2024·云南·模拟预测）2024年5月10日，第二届全国乡村振兴职业技术技能大赛在贵州省贵阳市闭
幕，云南省选手斩获2金5银2铜，在奖牌榜上位居全国第三名，取得历届最佳成绩．近年来，云南省大
力发展面向乡村振兴的技能人才培养，把课堂学习和乡村振兴实践紧密结合，为乡村振兴提供人才支持．
甲、乙两校认真贯彻把课堂学习和社会实践紧密结合的方针，组织学生到某农业生产基地参加实践活动，
已知甲、乙两校的学生分别从距离农业生产基地80千米和20千米的两地同时出发，甲校学生行驶的速度
是乙校学生行驶速度的2倍，乙校学生比甲校学生提前 小时到达活动地点．求甲、乙两校学生行驶的速
度各是多少？
17．（2024·山西·模拟预测）为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路
口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，
该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了 ，平均行驶时间减少了3分
钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度．18．（2024·湖北·模拟预测）为了扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，我市某中学针对七年级学生开
设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后又花费9600元购进第
二批面粉，第二批面粉采购量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的价格提高了0.4元，求第一批面粉的采购
量为多少？
19．（2024·宁夏银川·一模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
去括号，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第二步
移项、合并同类项，得 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
解得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 第四步
则原分式方程的解为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步
(1)第一步的依据是________________________________；
(2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_________________．
20．（2024·重庆·模拟预测）重庆小面是重庆的特色美食，已成为重庆市民必不可少的早餐，其中“豌豆小
面”和“鸡杂小面”最受重庆市民喜欢．
(1)已知1份“豌豆小面”和2份“鸡杂小面”共需要37元；3份“豌豆小面”和1份“鸡杂小面”需41元．则“豌豆
小面”和“鸡杂小面”的单价分别是多少？
(2)面粉作为制作小面的主要原材料之一，某小面店第一次花费1200元购进某品牌面粉，第二次花费同样
的钱比第一次购买该品牌面粉重量少了40千克，第二次购买面粉单价在第一次的购买面粉单价的基础上涨
了 ，求第二次购买面粉的价格是多少？
21．（2024·云南·模拟预测）在“旅游示范公路”建设的的中，工程队计划在海边某路段修建一条长 的
步行道，由于采用新的施工方式平均每天修建步行道的长度是计划的 倍，结果提前 天完成任务，求计
划平均每天修建的长度．
22．（2024·辽宁·模拟预测）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，
在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售如图所示的两种点茶器具套装，已知甲种点茶器
具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少36元，用1600元购进甲种点茶器具套装的数量是用980元购
进乙种点茶器具套装数量的2倍．求甲、乙两种点茶器具套装的单价．23．（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告
（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速
度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了 ，若更新设备前每天生产产品 件．
据此解答下列问题：
(1)更新设备后每天生产 件产品（用含 的式子表示）；
(2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少
件产品？
24．（2024·山西·模拟预测）拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域
知名度，计划修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队
在施工了60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原
计划每天施工多少米？
