文档内容
2013年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5 B．x8÷x2＝x4 C．3x﹣2x＝1 D．（x2）3＝x6
3．（3分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视剧，正在播足球赛”是必然事件
B．甲组数据的方差 ＝0.24，乙组数据的方差 ＝0.03，则乙组数据比甲组数据稳定
C．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数都是5
D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛硬币2次就有1次正面朝上
5．（3分）用激光测距仪测得两地之间的距离为14 000 000米，将14 000 000用科学记数法
表示为（ ）
A．14×107 B．14×106 C．1.4×107 D．0.14×108
6．（3分）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
7．（3分）从1到9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）在同一平面坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图
象可能是（ ）
第1页（共24页）A． B．
C． D．
9．（3分）（非课改）已知 ， 是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的
α β
实数根，且满足 + ＝﹣1，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
10．（3分）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火
柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（ ）根火柴．
A．156 B．157 C．158 D．159
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定
的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）如图，AB∥CD，∠1＝60°，FG平分∠EFD，则∠2＝ 度．
12．（3分）大于 且小于 的整数是 ．
13．（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 ．
第2页（共24页）14．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与
原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、
AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当
∠BCA＝45°时，点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
17．（10分）（1）计算：
（2）化简： ．
18．（6分）如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：DE＝AB．
19．（6分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分
要超过90分，他至少要答对多少道题？
20．（6分）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B
行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°．
则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）
21．（6分）如图，平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与双曲线 在第一象
限内交于点B，BC丄x轴于点C，OC＝2AO．求双曲线的解析式．
第3页（共24页）22．（8分）某区八年级有3000名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为了了解本次知识竞
赛的成绩分布情况，从中抽取了200名学生的得分进行统计．
请你根据不完整的表格，回答下列问题：
成绩x（分） 频数 频率
50≤x＜60 10
60≤x＜70 16 0.08
70≤x＜80 0.2
80≤x＜90 62
90≤x＜100 72 0.36
（1）补全频数分布直方图；
（2）若将得分转化为等级，规定50≤x＜60评为“D”，60≤x＜70评为“C”，70≤x＜90
评为“B”，90≤x＜100评为“A”．这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛
成绩被评为“D”？如果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级哪
一个等级的可能性大？请说明理由．
23．（9分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE＝1，∠AEP＝90°，
且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1） 的值为 ；
（2）求证：AE＝EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若
不存在，请说明理由．
第4页（共24页）24．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于
点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD＝10，求半径CD的长．
25．（12分）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点
K的坐标为 ；
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折
线 OAC 按 O→A→C 的路线运动，点 Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA 按
O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t
秒时，△OPQ的面积为S．
请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存
①在，请说明理由；
请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②设S
0
是 中函数S的最大值，直接写出S
0
的值．
③ ②
第5页（共24页）第6页（共24页）2013年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0．
2．【分析】根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项不能合并，故选项错误；
B、应为x8÷x2＝x6，故选项错误；
C、应为3x﹣2x＝x，故选项错误；
D、（x2）3＝x6，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质以及合并同类项的法则；合并同
类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．【分析】根据方差、中位数、众数、随机事件和概率的意义分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、“打开电视剧，正在播足球赛”是随机事件，故本选项错误；
B、因为 ＝0.24， ＝0.03，乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
C、一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5，中位数是4.5，故本选项错误；
第7页（共24页）D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛硬币2次可能有1次正面朝上，故本选
项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了方差、中位数、众数、随机事件和概率的意义，解题的关键是熟练掌握
方差、中位数、众数、随机事件和概率的定义和计算方法．
5．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：14 000 000＝1.4×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．【分析】根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角360°的正多边形即可．
【解答】解：A、正十边形每个内角是180°﹣360°÷10＝144°，不能整除360°，不能单独进行
镶嵌，不符合题意；
B、正八边形每个内角是180°﹣360°÷8＝135°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合
题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；
D、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能单独进行镶嵌，不符合
题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在
一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
7．【分析】先从1～9这九个自然数中找出是偶数的有2、4、6、8共4个，然后根据概率公式求
解即可．
【解答】解：1～9这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是： ．
故选：B．
【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
第8页（共24页）情况数之比．
8．【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负
的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴
为x＝ ，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，
故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x＝ ＝ ＝ ＜0，则对称轴应在
y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，
故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x
＝ ＝ ＝ ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x＝ ＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它
们的性质才能灵活解题．
9．【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用
根与系数的关系和 + ＝﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
第9页（共24页）【解答】解：根据条件知：
+ ＝﹣（2m+3）， ＝m2，
α β αβ
∴ ＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得 ，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一
元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
⇔
2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2
10．【分析】根据第1个图案需7根火柴，7＝1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13＝2×
（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21＝3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3
根火柴，再把11代入即可求出答案．
【解答】方法一：
解：根据题意可知：
第1个图案需7根火柴，7＝1×（1+3）+3，
第2个图案需13根火柴，13＝2×（2+3）+3，
第3个图案需21根火柴，21＝3×（3+3）+3，
…，
第n个图案需n（n+3）+3根火柴，
则第11个图案需：11×（11+3）+3＝157（根）；
方法二：
n＝1，s＝7；n＝2，s＝13；n＝3，s＝21，
设s＝an2+bn+c，
第10页（共24页）∴ ，
∴ ，
∴s＝n2+3n+3，
把n＝11代入，s＝157．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归
纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定
的横线上，不需要解答过程）
11．【分析】根据平行线的性质得到∠EFD＝∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠EFD＝∠1＝60°
又∵FG平分∠EFD．
∴∠2＝ ∠EFD＝30°．
【点评】本题主要考查了两直线平行，同位角相等．
12．【分析】根据 ＝2和 ＜ ＜ 即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝2， ＜ ＜ ，
∴大于 且小于 的整数有2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的北京两个无理数大小的能
力．
13．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆
锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
【解答】解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2 r，底面面积＝ r2，侧面面积＝ lr＝ rR，
π π π
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2 r2＝ rR，
π π 第11页（共24页）∴R＝2r，
设圆心角为n，有 ＝2 r，
π
∴n＝180．
故答案为：180°．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓
住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的
底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
14．【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得
等量关系为：现在生产600台机器时间＝原计划生产450台时间．
【解答】解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．
依题意得： ＝ ．
解得：x＝200．
检验：当x＝200时，x（x﹣50）≠0．
∴x＝200是原分式方程的解．
∴现在平均每天生产200台机器．
故答案为：200．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的
依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两
种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给
出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．
15．【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，
根据矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EF∥BD，且EF＝ BD＝3．
同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝ AC＝4，
又∵AC⊥BD，
∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
第12页（共24页）∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．
故答案是：12．
【点评】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判
定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
16．【分析】如解答图所示，构造含有90°圆心角的 P，则 P与y轴的交点即为所求的点C．
注意点C有两个． ⊙ ⊙
【解答】解：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0）．
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP＝ AB＝5，则易知△PBA为等腰
直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝ ；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作 P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为 P的圆周角， ⊙
⊙
∴∠BCA＝ ∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝ ，由勾股定理得：CF＝ ＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
∴点C坐标为（0，12）；
（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐
标为（0，﹣12）．
综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．
第13页（共24页）【点评】本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的
难点所在．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
17．【分析】（1）本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点
的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解；
（2）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
【解答】解：（1）
＝3﹣|﹣2+ |+1
＝3﹣2+ +1
＝2+ ；
第14页（共24页）（2）
＝ •
＝ ．
【点评】本题主要考查实数的运算和分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关
键．
18．【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证
△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，由∠1＝∠2得∠ACB＝∠DCE是解决
本题的关键，要求我们熟练掌握全等三角形的几种判定定理．
19．【分析】根据小明得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对
x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．
【解答】解：设应答对x道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90，
解得x＞12 ，
∵x取整数，
∴x最小为：13，
答：他至少要答对13道题．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合
题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．
20．【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC＝10，∠A＝30°，解直角三角形求
出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可
第15页（共24页）求解．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC＝10，∠A＝30°，
∴DC＝ACsin30°＝5，
AD＝ACcos30°＝5 ，
在Rt△BCD中，
∵∠B＝45°，
∴BD＝CD＝5，BC＝5 ，
则用AC+BC﹣（AD+BD）＝10+5 ﹣（5 +5）＝5+5 ﹣5 （千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5 ﹣5 ）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建
立直角三角形幷解直角三角形．
21．【分析】先利用一次函数与图象的交点，再利用OC＝2AO求得C点的坐标，然后代入一
次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可．
【解答】解：由题意 OC＝2AO，
∵当y＝0时， x+ ＝0，解得x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1．
又∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴点B的横坐标为2，
代入直线 ，得y＝ ，
∴B（2， ）．
∵点B在双曲线上，
第16页（共24页）∴k＝xy＝2× ＝3，
∴双曲线的解析式为y＝ ．
【点评】本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是根据一次函数求出反比例函数
与直线的交点坐标．
22．【分析】（1）由60≤x＜70分数段的人数除以所占的百分比，求出总人数，进而求出70≤x
＜80分数段的频数，以及80≤x＜90分数段的频率，补全表格即可；
（2）找出样本中评为“D”的百分比，估计出总体中“D”的人数即可；求出等级为A、B、
C、D的概率，表示大小，即可作出判断．
【解答】解：（1）根据题意得：16÷0.08＝200（人），
则70≤x＜80分数段的频数为200﹣（10+16+62+72）＝40（人），50≤x＜60分数段频率为
0.05，80≤x＜90分数段的频率为0.31，补全条形统计图，如图所示：
；
故答案为：0.05；40；0.31；
（2）由表格可知：评为“D”的频率是 ＝ ，由此估计全区八年级参加竞赛的学生约
有 ×3000＝150（人）被评为“D”；
∵P（A）＝0.36；P（B）＝0.51；P（C）＝0.08；P（D）＝0.05，
∴P（B）＞P（A）＞P（C）＞P（D），
∴随机调查一名参数学生的成绩等级“B”的可能性较大．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，以及可能性大小，弄清题意是
解本题的关键．
23．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B＝∠C＝90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE
＝∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
（2）在BA边上截取BK＝BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE＝∠ECP，由AB
第17页（共24页）＝CB，BK＝BE，得AK＝EC，结合∠KAE＝∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；
（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明
△ADM≌△BAE，进而证明MD＝EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AEP＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ，
∵sin∠BAE＝ ＝sin∠FEC＝ ，
∴ ＝ ，
解法二：由上得∠BAE＝∠FEC，
∵∠BAE＝∠FEC，
∠B＝∠DCB，
∴△ABE∽△ECF，
∴ ＝ ，
（2）证明：在BA边上截取BK＝BE，连接KE，
∵∠B＝90°，BK＝BE，
∴∠BKE＝45°，
∴∠AKE＝135°，
∵CP平分外角，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AKE＝∠ECP，
∵AB＝CB，BK＝BE，
∴AB﹣BK＝BC﹣BE，
即：AK＝EC，
第18页（共24页）由第一问得∠KAE＝∠CEP，
∵在△AKE和△ECP中，
，
∴△AKE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（3）答：存在．
证明：作DM⊥AE交AB于点M，
则有：DM∥EP，连接ME、DP，
∵在△ADM与△BAE中，
，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴MD＝AE，
∵AE＝EP，
∴MD＝EP，
∴MD EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性
质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅
助线的准确选择．
24．【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B＝∠CAE，易证得∠ADE＝∠DAE，即可得
ED＝EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的
第19页（共24页）知识，即可判定点F是AD的中点；
（2）首先连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与
ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；
（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2＝ k•
（10+5k），解此方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴ED＝EA，
∵ED为 C直径，
∴∠DFE⊙＝90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，
设EF＝4k，DF＝3k，
则ED＝ ＝5k，
∵ AD•EF＝ AE•DM，
∴DM＝ ＝ ＝ k，
∴ME＝ ＝ k，
∴cos∠AED＝ ＝ ；
（3）解：∵∠B＝∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE＝CE：AE，
∴AE2＝CE•BE，
第20页（共24页）∴（5k）2＝ k•（10+5k），
整理得：25k2＝50k，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴CD＝ k＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾
股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想
与方程思想的应用．
25．【分析】（1）根据已知的与x轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的
解析式即可；
（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C关于x轴的对称点的
坐标C′，从而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点坐标即可；
（3） 如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范
围，然①后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况
下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这
样的t．
本题要分三种情况进行讨论：
②
当Q在OC上，P在OA上，即当0≤t≤1时，此时S＝ OP•OQ，由此可得出关于S，t的函
数关系式；
当Q在CA上，P在OA上，即当1＜t≤2时，此时S＝ OP×Q点的纵坐标．由此可得出关
于S，t的函数关系式；
当Q，P都在CA上时，即当2＜t＜ 相遇时用的时间，此时S＝S△AOQ ﹣S△AOP ，由此可得
第21页（共24页）出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
根据 的函数即可得出S的最大值．
③【解答】②解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6）（a≠0），
∵图象过点（0，﹣8）
∴a＝
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣8；
（2）∵y＝ x2﹣ x﹣8＝ （x2﹣4x+4﹣4）﹣8＝ （x﹣2）2﹣
∴点M的坐标为（2，﹣ ）
∵点C的坐标为（0，﹣8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）
∴直线C′M的解析式为：y＝﹣ x+8
令y＝0
得﹣ x+8＝0
解得：x＝
∴点K的坐标为（ ，0）；
（3） 不存在PQ∥OC，
若PQ①∥OC，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP＝6﹣3t
第22页（共24页）AQ＝18﹣8t，
∴
∴t＝
∵t＝ ＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；
分情况讨论如下，
②情况1：0≤t≤1
S＝ OP•OQ＝ ×3t×8t＝12t2；
情况2：1＜t≤2
作QE⊥OA，垂足为E，
S＝ OP•EQ＝ ×3t× ＝﹣ +
情况3：2＜t＜
作OF⊥AC，垂足为F，则OF＝
S＝ QP•OF＝ ×（24﹣11t）× ＝﹣ + ；
综上所述，
当0≤t≤1时，S＝12t2，函数的最大值是12；
当1＜t≤2时，S＝﹣ + ，函数的最大值是 ；
当2＜t＜ ，S＝ QP•OF＝﹣ + ，函数的最大值为 ；
第23页（共24页）∴S 的值为 ．
0
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综
合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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日期：2020/8/18 21:52:58；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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