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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题25 解直角三角形（含勾股定理）及其应用
一、选择题
1. （2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦
图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这
四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24 B. 36 C. 40 D. 44
2. （2024甘肃临夏）如图，在 中， ， ，则 的长是（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
3.（ 2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，
，其中点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
4.（ 2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度，在建筑物旁边有一高度为
10米的小楼房 ，小李同学在小楼房楼底 处测得 处的仰角为 ，在小楼房楼顶 处测得 处的仰角为 ．（ 在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
5.（ 2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ，小军
在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（ ）（参考数
据： ， ， ）
A. B. C. D.
6. （2024安徽省）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ，则
的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题1.（ 2024深圳）如图，在 中， ， ，D 为上一点，且满足 ，过D
作 交 延长线于点E，则 ________．
2.（ 2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树 的高度．如图，点C处与古树底
部A处在同一水平面上，且 米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为
，古树底部A的俯角为 ，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：
， ， ）．
3. （2024江西省）将图 所示的七巧板，拼成图 所示的四边形 ，连接 ，则
______．
4.（ 2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测得教学楼
顶端点 B 的俯角为 ，则教学楼 的高度约为________m．（精确到 ，参考数据：
， ， ）
5. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部点
的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼的高
度为______m（结果保留根号）．
6.（ 2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践
活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水
平地面 的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为 ，底端B的俯角为 ，则测得黄鹤楼的高度是
__________m．（参考数据： ）7. （2024四川达州）如图，在 中， ．点 在线段 上， ．若
， ，则 的面积是______．
8.（ 2024四川眉山）如图，斜坡 的坡度 ，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树 ，当太阳
光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子 长为10米，则大树 的高为______米．
三、解答题
1.（ 2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独
特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在
学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 的实践活动． 为乾元塔的顶端，
，点 ， 在点 的正东方向，在 点用高度为1.6米的测角仪（即 米）测得 点
仰角为 ，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为 ，请根据测量数据，求乾元塔的高度 ．
（结果保留整数，参考数据： ， ， ）2.（ 2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳
中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，
“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高
度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧，
，点C与点E相距 （ 点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的
仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据： ，
， ．）
3.（ 2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰
好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点D，
透过点P恰好看到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离
，点P到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均
在同一平面）（1）求 的大小及 的值；
（2）求 的长及 的值．
4. （ 2024河南省）如图1，塑像 在底座 上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线
时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，
B两点的圆与水平视线 相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视
角．
（1）请仅就图2的情形证明 ．
（2）经测量，最大视角 为 ，在点P处看塑像顶部点A的仰角 为 ，点P到塑像的
水平距离 为 ．求塑像 的高（结果精确到 ．参考数据： ）．
5. （2024江苏苏州） 图①是某种可调节支撑架， 为水平固定杆，竖直固定杆 ，活动杆
可绕点A旋转， 为液压可伸缩支撑杆，已知 ， ， ．
（1）如图②，当活动杆 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）；（2）如图③，当活动杆 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 ，且 （ 为锐角），求
此时可伸缩支撑杆 的长度（结果保留根号）．
6. （2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测 量
竹竿，米尺
工具
说明： 是一根笔直的竹竿．点
测 量
是竹竿上一点．线段 的长度是
示 意
点 到地面的距离． 是要测量
图
的倾斜角．
测 量
数据
…… ……
（1）设 ， ， ， ， ， ， ， ，请根据表中的
测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”
一栏．
（2）根据（ ）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设 ， ， ，根据（ ）中的推导结果，利用计算器求出 的
度数，你选择的按键顺序为________．7.（ 2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点 依次在同一条水平直线上， ，
垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ，测得桥塔底部 的俯角（ ）为 ，
又在 处测得桥塔顶部 的仰角（ ）为 ．
（1）求线段 的长（结果取整数）；
（2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
8.（ 2024重庆市B）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在 的正北方
向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向， 千米．
（参考数据： ， ， ）
（1）求 的长度（结果精确到 千米）；（2）甲、乙两人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为： ．
请计算说明谁选择的路线较近？
9.（ 2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千
有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10
尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的
地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，请用含
α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
10.（ 2024四川凉山）为建设全域旅游西昌，加快旅游产业发展． 年 月 日位于西昌主城区东
部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结
构阁楼式塔楼，建筑面积为 平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（ ）堵坡造型．某校为
了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（ ）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上 点处，测得塔顶 的仰角为 ，眼睛 距离地面 ，向塔前行
，到达点 处，测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ．（参考数据： ，结
果精确到 ）
11.（ 2024四川泸州）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔
船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西 方向上，再沿北偏东 方向继续
航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D
间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
