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2013年广西桂林市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）．
1．（3分）下面各数是负数的是（ ）
A．0 B．﹣2013 C．|﹣2013| D．
2．（3分）在 0，2，﹣2， 这四个数中，最大的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．
3．（3分）如图，与∠1是同位角的是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．52•53＝56 B．（52）3＝55 C．52÷53＝5 D．（ ）2＝5
5．（3分）7位同学中考体育测试立定跳远成绩（单位：分）分别是：8，9，7，6，10，8，9，这组数
据的中位数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．（3分）下列物体的主视图、俯视图和左视图不全是圆的是（ ）
A．橄榄球 B．乒乓球 C．篮球 D．排球
7．（3分）不等式x+1＞2x﹣4的解集是（ ）
A．x＜5 B．x＞5 C．x＜1 D．x＞1
8．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）下列命题的逆命题不正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
第1页（共20页）B．两直线平行，内错角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．对顶角相等
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线BD、AC分别为2、2 ，以B为圆心的弧与AD、DC相
切，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 ﹣ B．4 ﹣ C．4 ﹣ D．2
π π π
11．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1＝0有两根为x 和x ，且x 2﹣x x ＝0，则a
1 2 1 1 2
的值是（ ）
A．a＝1 B．a＝1或a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝1或a＝2
12．（3分）如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点（与B、C不重合），连结
AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E．设BP＝x，△PCE面积为y，则y与x的函数
关系式是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝ x﹣2x2 C．y＝2x﹣ x2 D．y＝2x
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）．
13．（3分）分解因式：3ab2﹣a2b＝ ．
14．（3分）我国雾霾天气多发，PM2.5颗粒物被称为大气的元凶．PM2.5是指直径小于或等于
2.5微米的颗粒物，已知1毫米＝1000微米，用科学记数法表示2.5微米是 毫米．
15．（3分）桂林市某气象站测得六月份一周七天的降雨量分别为0，32，11，45，8，51，27（单
位：mm），这组数据的极差是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，则AE＝ ．
第2页（共20页）17．（3分）函数y＝x的图象与函数y＝ 的图象在第一象限内交于点B，点C是函数y＝ 在
第一象限图象上的一个动点，当△OBC的面积为3时，点C的横坐标是 ．
18．（3分）如图，已知线段AB＝10，AC＝BD＝2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向
上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O 、O ，当点P从点C
1 2
运动到点D时，线段O O 中点G的运动路径的长是 ．
1 2
三、解答题（本大题共8题，共66分，请将答案写在答题卡上）．
19．（6分）计算：（1﹣ ）0﹣ +2sin60°﹣|﹣ |
20．（6分）解二元一次方程组： ．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O．求
证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）△AOD是等腰三角形．
第3页（共20页）22．（8分）在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院为
老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小丽、小敏中选取
一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表法写出所有
可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
23．（8分）在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案；方案
1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类
垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃
圾处理费共为y 元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y 元，交
1 2
费时间为x个月．
（1）直接写出y 、y 与x的函数关系式；
1 2
（2）在同一坐标系内，画出函数y 、y 的图象；
1 2
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
24．（8分）水源村在今年退耕还林活动中，计划植树200亩，全村在完成植树40亩后，某环保
组织加入村民植树活动，并且该环保组织植树的速度是全村植树速度的1.5倍，整个植树
过程共用了13天完成．
（1）全村每天植树多少亩？
（2）如果全村植树每天需2000元工钱，环保组织是义务植树，因此实际工钱比计划节约多
少元？
第4页（共20页）25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作
DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作 O．
（1）求证：点D在 O上； ⊙
（2）求证：BC是 ⊙O的切线；
（3）若AC＝6，B⊙C＝8，求△BDE的面积．
26．（12分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．
（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、
B，与原抛物线的交点为P．
当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；
①是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若
②不存在，请说明理由．
第5页（共20页）2013年广西桂林市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）．
1．【分析】根据正数和负数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，故本选项错误；
B、﹣2013是负数，故本选项正确；
C、|﹣2013|＝2013，是正数，故本选项错误；
D、 是正数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了正数和负数，正数：大于0的数叫做正数，负数是小于0的数．
2．【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个
负数，其绝对值大的反而小）比较即可．
【解答】解：∵﹣2＜0＜ ＜2，
∴最大的数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：理数的大小比较法则是：正数都
大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
3．【分析】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线
的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可求解．
【解答】解：观察图形可知，与∠1是同位角的是∠4．
故选：C．
【点评】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角
或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，
应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外
不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错
角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
第6页（共20页）B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、利用平方根的定义化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、52•53＝55，本选项错误；
B、（52）3＝56，本选项错误；
C、52÷53＝5﹣1＝ ，本选项错误；
D、（ ）2＝5，本选项正确，
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟
练掌握运算法则是解本题的关键．
5．【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，
由此即可确定这组数据中位数．
【解答】解：把这组数据从小到大排序后为6，7，8，8，9，9，10，
其中第四个数据为8，
所以这组数据的中位数为8．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和
偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则
找中间两位数的平均数．
6．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：橄榄球比较近似于椭球体，所以它的主视图、俯视图和左视图不全是圆；
而乒乓球、篮球、排球都是球体，所以它们的主视图、俯视图和左视图全是圆．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图，比较简单．
7．【分析】利用不等式的基本性质，把不等号右边的x移到左边，合并同类项；然后再在不等
式的两边同时乘以﹣1即可求得原不等式的解集．．
【解答】解：不等式x+1＞2x﹣4移项得，
﹣x＞﹣5，
在两边同时乘以﹣1，得
x＜5．
第7页（共20页）所以，不等式的解集为x＜5．
故选：A．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改
变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
9．【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：A、逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确；
B、逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确；
C、逆命题是：两个底角相等的三角形是等腰三角形，正确；
D、逆命题是：相等的角是对顶角，错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
10．【分析】连接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，在Rt△ABE中
求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影部分的面积．
【解答】解：连接AC、BD、BE，
第8页（共20页）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴AO＝ ，BO＝1，
∵tan∠BAO＝ ，tan∠ABO＝ ，
∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，
∴AB＝2，∠BAE＝60°，
∵以B为圆心的弧与AD相切，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝2，∠BAE＝60°，
∴BE＝ABsin60°＝ ，
∴S菱形 ﹣S扇形 ＝ ×2×2 ﹣ ＝2 ﹣ ．
π
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答本题的关键是根据
菱形的性质求出各角度及扇形的半径．
11．【分析】根据x 2﹣x x ＝0可以求得x ＝0或者x ＝x ，所以 把x ＝0代入原方程可以求
1 1 2 1 1 2 1
得a＝1； 利用根的判别式等于0来求a的值． ①
【解答】解②：解x
1
2﹣x
1
x
2
＝0，得
x ＝0，或x ＝x ，
1 1 2
把x ＝0代入已知方程，得
1
①a﹣1＝0，
解得：a＝1；
当x ＝x 时，△＝4﹣4（a﹣1）＝0，即8﹣4a＝0，
1 2
②解得：a＝2．
综上所述，a＝1或a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于
巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．
12．【分析】过E作EH⊥BC于H，求出EH＝CH，求出△BAP∽△HPE，得出 ＝ ，求出
第9页（共20页）EH＝x，代入y＝ ×CP×EH求出即可．
【解答】解：过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCH＝90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH＝ ∠DCH＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ECH＝∠CEH＝45°，
∴EH＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B＝∠H＝∠APE＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠EPH＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
∵∠B＝∠H＝90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EH＝x，
∴y＝ ×CP×EH
＝ （4﹣x）•x
y＝2x﹣ x2，
故选：C．
第10页（共20页）【点评】本题考查了正方形性质，角平分线定义，相似三角形的性质和判定的应用，关键是
能用x的代数式把CP和EH的值表示出来．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）．
13．【分析】确定出公因式为ab，然后提取即可．
【解答】解：3ab2﹣a2b＝ab（3b﹣a）．
故答案为：ab（3b﹣a）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，比较简单，准确确定出公因式是解题的关键．
14．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1毫米＝1000微米，
∴2.5微米＝0.0025毫米＝2.5×10﹣3毫米．
故答案为：2.5×10﹣3．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．【分析】根据极差的公式：极差＝最大值﹣最小值．找出所求数据中最大的值，最小值，再
代入公式求值即可．
【解答】解：由极差的公式：51﹣0＝51，所以极差是51．
故答案为51mm．
【点评】本题考查了极差的定义及求法．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的
方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：
极差的单位与原数据单位一致．
①如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显
②得不准确．
16．【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD＝BE＝4，再利用勾股定理
即可求出AE的长．
第11页（共20页）【解答】解：∵在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD＝BE＝4，
∵AB＝5，
∴AE＝ ＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单．
17．【分析】分两种情况考虑：当C在B点上方时，如图1所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，
BE⊥x轴，设C（c， ），由反比例函数k的几何意义求出三角形BOE与三角形COF面积
都为2，再由三角形BOC面积为3，得到四边形BCOE面积为5，而四边形BCOE面积由
三角形COF与梯形BCFE面积之和求出，利用梯形面积公式列出关于c的方程，求出方
程的解得到c的值；当C在B下方时，如图2所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，
同理求出c的值，综上，得到满足题意C得横坐标．
【解答】解：当C在点B上方时，如图1所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，
设C（c， ），
∵y＝x与y＝ 在第一象限交于B点，
∴S△BOE ＝2，
∵S△BOC ＝3，
∴S四边形BCOE ＝S△BOE +S△BOC ＝5，
∴S△COF +S四边形BCFE ＝5，即2+ •（2﹣c）•（ +2）＝5，
解得：c＝1；
当C在B下方时，如图2所示，连接BC，OC，作CF⊥x轴，BE⊥x轴，
同理可得S△BOE +S四边形BEFC ＝5，即2+ •（c﹣2）•（ +2）＝5，
解得：c＝4，
综上，C的横坐标为1或4．
故答案为：1或4
第12页（共20页）【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数k的几
何意义，梯形、三角形的面积求法，坐标与图形性质，利用了分类讨论的思想，分类讨论时
注意不重不漏，考虑问题要全面．
18．【分析】根据正方形的性质以及勾股定理即可得出正方形对角线的长，进而得出线段
O O 中点G的运动路径的长．
1 2
【解答】解：如图所示：因为两个正方形的对角线总长度和为定值，每次平移长度都一样，
而G点是其中点，所以决定了G点的运动轨迹为直线，
利用正方形的性质即线段O O 中点G的运动路径的长就是O O″的长，
1 2 2
∵线段AB＝10，AC＝BD＝2，当P与C重合时，
以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，
∴AP＝2，BP＝8，
则O P＝ ，O P＝4 ，
1 2
∴O P＝O B＝4 ，
2 2
当P′与D重合，则P′B＝2，则AP′＝8，
∴O′P′＝4 ，O″P′＝ ，
∴H′O″＝BO″＝ ，
∴O O″＝4 ﹣ ＝3 ．
2
故答案为：3 ．
第13页（共20页）【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出G点移动的路
线是解题关键．
三、解答题（本大题共8题，共66分，请将答案写在答题卡上）．
19．【分析】分别根据0指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，
再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣2 + ﹣
＝1﹣2 ．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三
角函数值是解答此题的关键．
20．【分析】先把 变形为y＝2x﹣1代入 求出x的值，再把x的值代入 即可求出y的值．
② ① ③
【解答】解： ，
由 得：y＝2x﹣1
把②代入 得：3x③+4x﹣2＝19，
解③得：x＝①3，
把x＝3代入 得：y＝2×3﹣1，即y＝5
③
故此方程组的解为 ．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的代入消元法是解答此
题的关键．
21．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，然后求出BF＝CE，再利用
“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可；
第14页（共20页）（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠EDC，然后求出∠DAF＝∠EDA，然后根
据等腰三角形的定义证明即可．
【解答】证明：（1）在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵BE＝CF，BF＝BC﹣FC，CE＝BC﹣BE，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中， ，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠BAF＝∠EDC，
∵∠DAF＝90°﹣∠BAF，∠EDA＝90°﹣∠EDC，
∴∠DAF＝∠EDA，
∴△AOD是等腰三角形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记性质
确定出三角形全等的条件是解题的关键．
22．【分析】（1）用列表的方法将所有情况一一列举出来即可；
（2）确定共有6种情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表为：
小亮 小明 小伟
小丽 小丽，小亮 小丽，小明 小丽，小伟
小敏 小敏，小亮 小敏，小明 小敏，小伟
（2）∵共有6种等可能的情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，
∴正好抽到小丽与小明的概率是 ．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
23．【分析】（1）根据总费用＝购买垃圾桶的费用+每月的垃圾处理费用×月份数，即可求出
y 、y 与x的函数关系式；
1 2
（2）根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数y 、y 的图象；
1 2
第15页（共20页）（3）观察图象可知：当使用时间大于8个月时，方案1省钱；当使用时间小于8个月时，方
案2省钱；当使用时间等于8个月时，方案1与方案2一样省钱．
【解答】解：（1）由题意，得y ＝250x+3000，y ＝500x+1000；
1 2
（2）如图所示：
（3）由图象可知： 当使用时间大于8个月时，直线y 落在直线y 的下方，y ＜y ，即方案
1 2 1 2
1省钱； ①
当使用时间小于8个月时，直线y 落在直线y 的下方，y ＜y ，即方案2省钱；
2 1 2 1
②当使用时间等于8个月时，y
1
＝y
2
，即方案1与方案2一样省钱；
【③点评】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．解题的关键是根据题意
列出函数关系式，再结合图象求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是
解决实际问题的基本能力．
24．【分析】（1）根据整个植树过程共用了13天完成，以及环保组织植树的速度是全村植树
速度的1.5倍表示出两者的植树天数得出等式求出即可；
（2）根据（1）中所求得出原计划全村植树天数以及节省的费用．
【解答】解：（1）设全村每天植树x亩，
根据题意得： + ＝13
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，
答：全村每天植树8亩．
（2）根据题意得：原计划全村植树天数是 ＝25（天），
第16页（共20页）故可以节省工钱（25﹣13）×2000＝24000（元），
答：如果全村植树每天需2000元工钱，环保组织是义务植树，实际工钱比计划节约24000
元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据植树的天数得出等式是解题关键．
25．【分析】（1）连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD＝OA＝OE，可得出点
D在圆O上；
（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD＝OA，利用等边对等角得到一对角相等，
等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两
直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O
的切线；
（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到△ACB与△ODB相似，设OD＝OA＝
OE＝x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出
OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由△BEH与△ODB相似，由相似得比例求出EH
的长，△BED以BD为底，EH为高，求出面积即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵△ADE是直角三角形，OA＝OE，
∴OD＝OA＝OE，
∴点D在 O上；
⊙
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠C＝∠ODB＝90°，
∴BC是 O的切线；
⊙
（3）解：在Rt△ACB中，AC＝6，BC＝8，
∴根据勾股定理得：AB＝10，
设OD＝OA＝OE＝x，则OB＝10﹣x，
第17页（共20页）∵AC∥OD，△ACB∽△ODB，
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
解得：x＝ ，
∴OD＝ ，BE＝10﹣2x＝10﹣ ＝ ，
∵ ＝ ，即 ＝ ，
∴BD＝5，
过E作EH⊥BD，
∵EH∥OD，
∴△BEH∽△BOD，
∴ ＝ ，
∴EH＝ ，
∴S△BDE ＝ BD•EH＝ ．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性
质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
26．【分析】（1）由抛物线的顶点为（0，4），可设抛物线解析式为y＝ax2+4，再将点（2，0）代入，
求出a＝﹣1，即可得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4；
（2） 连接CE，CD，先根据切线的性质得出CE⊥OD，再解Rt△CDE，得出∠EDC＝30°，
①
然后解Rt△CDO，得出OC＝ ，则k＝OC＝ ；
设抛物线y＝﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y＝﹣（x﹣k）2+4，它与y＝﹣x2+4
②
第18页（共20页）交于点P，先求出交点P的坐标是（ ，﹣ k2+4），再利用待定系数法求出直线OD的解
析式为y＝ x，然后将点P的坐标代入y＝ x，即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（0，4），
∴可设抛物线解析式为y＝ax2+4，
又∵抛物线过点（2，0），
∴0＝4a+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；
（2） 如图，连接CE，CD．
∵OD①是 C的切线，∴CE⊥OD．
在Rt△C⊙DE中，∠CED＝90°，CE＝AC＝2，DC＝4，
∴∠EDC＝30°，
∴在Rt△CDO中，∠OCD＝90°，CD＝4，∠ODC＝30°，
∴OC＝ ，
∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k＝OC＝ ；
存在k＝2 ，能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上．理由如下：
②设抛物线y＝﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y＝﹣（x﹣k）2+4，它与y＝﹣x2+4交
于点P，
由﹣（x﹣k）2+4＝﹣x2+4，解得x ＝ ，x ＝0（不合题意舍去），
1 2
当x＝ 时，y＝﹣ k2+4，
∴点P的坐标是（ ，﹣ k2+4）．
设直线OD的解析式为y＝mx，把D（k，4）代入，
得mk＝4，解得m＝ ，
第19页（共20页）∴直线OD的解析式为y＝ x，
若点P（ ，﹣ k2+4）在直线y＝ x上，得﹣ k2+4＝ • ，
解得k＝±2 （负值舍去），
∴当k＝2 时，O、P、D三点在同一条直线上．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、
二次函数的解析式，抛物线平移的规律，直线与圆相切，解直角三角形，两函数交点坐标
的求法，三点共线的条件，综合性较强，难度中等．其中（2） 除了可以将点P的坐标（ ，
②
﹣ k2+4）代入直线OD的解析式，建立关于k的方程外，还可以利用相似三角形对应边成
比例列式求解．
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日期：2020/8/22 9:39:19；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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