文档内容
2024 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣2024的相反数是（ ）
1
A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．
2024
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：B．
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界
围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四
个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180
度后与原图重合．
1−x
3．不等式 ≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2
A． B．
C． D．
【分析】去分母，移项、合并即可得．
【解答】解：去分母，得：1﹣x≥2，
移项，得：﹣x≥1，
系数化为1，得：x≤﹣1
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是
关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2xy﹣xy＝1 B．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2
C．（﹣x2）3＝x6 D．√27−√12=√3
【分析】利用合并同类项法则，平方差公式，幂的乘方法则，二次根式的加减法则逐项
判断即可．
【解答】解：2xy﹣xy＝xy，则A不符合题意；
（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2，则B不符合题意；
（﹣x2）3＝﹣x6，则C不符合题意；
√27−√12=3√3−2√3=√3，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，平方差公式，幂的乘方，二次根式的加减法，熟练掌握
相关运算法则是解题的关键．
5．下列说法正确的是（ ）A．调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，2的中位数是4
C．“清明时节雨纷纷”是必然事件
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为、
s甲 2＝0.4，s乙 2＝2，则乙的成绩比甲的稳定
【分析】根据全面调查与抽样调查、中位数的概念、随机事件、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、调查“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查的方式，
说法正确，符合题意；
B、数据3，5，4，1，2的中位数是3，故本选项说法不正确，不符合题意；
C、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项说法不正确，不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为s甲 2
＝0.4，s乙 2＝2，则甲的成绩比甲的稳定，故本选项说法不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、中位数的概念、随机事件、方差的性质，
掌握相关的概念和性质是解题的关键．
6．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝
80°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
【分析】由平行线的性质可得∠CFE＝∠EBA＝80°，再由三角形的外角性质可得∠CFE
＝∠E+∠D，从而得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EBA＝80°，
∴∠CFE＝∠EBA＝80°，
∵∠CFE是△DEF的外角，
∴∠E+∠D＝∠CFE＝80°．
故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，
同位角相等．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，3），将线段OA绕点O顺时针旋转
90°得到线段OB，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
【分析】过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，然后利用一线
三等角构造全等模型证明△ADO≌△OEB（AAS），从而利用全等三角形的性质可得OE
＝AD＝3，BE＝OD＝2，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，
∴∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴∠DAO+∠AOD＝90°，
∵点A的坐标为（﹣2，3），
∴OD＝2，AD＝3，
由旋转得：
OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝90°，
∴∠DAO＝∠BOE，
∴△ADO≌△OEB（AAS），
∴OE＝AD＝3，BE＝OD＝2，
∴点B的坐标为（3，2），
故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2024•永修县一模）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠CAD＝70°，
则∠ABC的度数是（ ） ⊙ ⊙
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ACO＝∠CAO＝70°，求得∠AOC＝180°﹣
∠OAC﹣∠OCA＝40°，根据圆周角定理得到结论．
【解答】解：∵OA＝OC，∠CAD＝70°，
∴∠ACO＝∠CAO＝70°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝40°，
1
∴∠ABC= ∠AOC＝20°，
2
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，熟
练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，
∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）60
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
sin50°
【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝
60×sin50°，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，
∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，
在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°，
∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，
解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
10．如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 12 ﹣8 ﹣12 ﹣8 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．a b c＜0
B．这个函数的最小值是﹣12
C．一元二次方程ax2+bx+c+8＝0的根是x ＝0，x ＝3
1 2
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
3
【分析】根据抛物线经过点（0，﹣8），（3，﹣8）可得抛物线对称轴为直线x= ，由
2抛物线经过点（﹣2，12）可得抛物线开口向上，进而求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣8），（3，﹣8），
3
∴抛物线对称轴为直线x= ，c＝﹣8＜0，
2
∵抛物线经过点（﹣2，12），
3
∴当x＜ 时，y随x增大而减小，
2
∴抛物线开口向上，
∴a＞0，
b 3
∵− = ，
2a 2
∴b＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
3
∵抛物线对称轴为直线x= ，抛物线开口向上，
2
3
∴当x= 时，y有最小值，故B不符合题意；
2
∵抛物线经过点（0，﹣8），（3，﹣8），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的根是x ＝0，x ＝3，故C符合题意；
1 2
3
∵抛物线对称轴为直线x= ，抛物线开口向上，
2
3
∴x＞ 时，y随x增大而增大，故D不符合题意．
2
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算： ．
√4+2sin45°−(π−3) 0=
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
√4+2sin45°−(π−3) 0
√2
＝2+2× −1
2
＝2+√2−1
＝1+√2．
故答案为：1+√2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，
和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有
括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
1 1
12．已知m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则 + 的值为 ．
m n
1 1 m+n
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝2，mn＝﹣1，将其代入 + = 中，
m n mn
即可求出结论．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
1 1 m+n 2
∴ + = = =−2．
m n mn −1
故答案为：﹣2．
b c
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于− ，两根之积等于 ”是
a a
解题的关键．
13．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初
进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下四个特色课程中选择一个参加：
A．竞技乒乓；B．围棋博弈：C．名著阅读：D．街舞少年．则小明和小王选择同一个
课程的概率为 ．
【分析】根据题意列出表格，可得共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一
个课程的情况有4种，由概率计算公式可求解．
【解答】解：根据题意，列表如下．由表，可知共有16种等可能的结果，其中小明和小王选择同一个课程的结果有4种，
4 1
∴P = = ．
(小明和小王选择同一个课程) 16 4
1
故答案为： ．
4
【点评】本题考查概率的计算公式，列树状图或表格求概率，准确掌握概率的计算方法是
解题的关键．
14．《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺
五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺．那么木长 尺，绳长
尺．．
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5
尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
{y=x+4.5
由题意得： 1 ，
y=x−1
2
{x=6.5
解得： ，
y=11
即木长6.5尺，绳长11尺．
故答案为：6.5，11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且EF1
= BF，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若AB＝3√2，则折痕DG
2
的长为 ．
【分析】过点F作MN⊥BC于点N，与AD交于点M，则四边形ABNM和四边形CDMN
都为矩形，得出 AB＝MN＝CD＝3√2，∠FNG＝∠DCG＝∠DMF＝90°，再证
MF EF 1
△EMF∽△BNF，得出 = = ，推出MF=√2，NF＝2√2，然后由勾股定理求出
NF BF 2
CN＝DM＝4，设CG＝GF＝x，则NG＝4﹣x，再由勾股定理求出x＝3，最后由勾股定理
即可求出DG的长．
【解答】解：如图，过点F作MN⊥BC于点N，与AD交于点M，
则四边形ABNM和四边形CDMN都为矩形，
∴AB＝MN＝CD＝3√2，∠FNG＝∠DCG＝∠DMF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△EMF∽△BNF，
MF EF 1
∴ = = ，
NF BF 2
∴MF=√2，NF＝2√2，
由折叠的性质得：DF＝CD＝3√2，CG＝FG，∴CN＝DM=√DF2−M F2=√(3√2) 2−(√2) 2=4，
设CG＝GF＝x，则NG＝4﹣x，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：GF2﹣NG2＝NF2，
即x2﹣（4﹣x）2＝（2√2）2，
解得：x＝3，
在Rt△DCG中，由勾股定理得：DG=√CD2+CG2=√(3√2) 2+32=3√3，
故答案为：3√3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
理等知识，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
16．（6分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+（2x2﹣x3）÷x，其中x＝4．
【分析】先算乘除，再合并同类项，化简后将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣9+2x﹣x2
＝2x﹣9，
当x＝4时，
原式＝2×4﹣9
＝8﹣9
＝﹣1．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BD上一点，且BE＝BC，AB＝
EF，∠ABD＝∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形．【分析】证明△ABD≌△EBF（ASA），得出AD＝BE，由平行四边形的判定可得出结
论．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵∠ABD＝∠BFE，
∴∠A＝∠BEF，
在△ABD和△EBF中，
{
∠A=∠BEF
AB=EF ，
∠ABF=∠BFE
∴△ABD≌△EBF（ASA），
∴AD＝BE，
又∵BE＝BC，
∴AD＝BE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，证明△ABD≌△EBF
是解题的关键．
18．（6分）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进
行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造
面积的2倍，并且甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平方米的绿化
改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．
【分析】设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成的绿
化改造面积是2x平方米，由甲工程队完成400平方米的绿化改造比乙工程队完成400平
方米的绿化改造少用4天，列出方程，可求解．
【解答】解：设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是x平方米，则甲工程队每天能完成
的绿化改造面积是2x平方米，
400 400
根据题意得： − =4，
x 2x
解得：x＝50．
经检验x＝50是所列方程的解，且符合题目要求，此时2x＝100，
答：甲、乙两工程队每天能完成的绿化改造面积分别是100平方米和50平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
19．（8分）为弘扬学生爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明•缅怀英
烈”知识竞赛活动，现从七年级和八年级参加活动的学生中各随机抽取 20名同学的成绩
进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x
＜90，D.90≤x≤100，下面给出了部分信息：
七年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，
91，92，95，96，99；
八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，87，83，89．
七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 85.2 86 b 62.1
八年级 85.2 a 91 85.3
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由（写出
一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共840名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀
（90分及以上）的学生共有多少人？
【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出 a、b，用“1”分别减去其它
组所占百分比可得m的值；
（2）从平均数、中位数、众数的角度比较得出结论；（3）用总人数乘七、八年级不低于90分人数所占百分比即可．
54
【解答】解：（1）由题意可知，八年级A组有：20×10%＝2（人），B组有：20× =
360
3（人），把被抽取八年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分
87+88
别为87，88，故中位数a= =87.5；
2
在被抽取的七年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多，故众数b＝86；
54 7
m%＝1﹣10%− − =40%，故m＝40．
360 20
故答案为：87.5，86，40；
（2）八年级成绩较好，理由：因为八年级学生成绩的中位数比七年级的高，所以八年级
成绩较好；
6+20×40%
（3）840× =294（人），
20+20
答：估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生大约共有294人．
【点评】本题考查了中位数、众数以及用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确
解答的关键．
k
20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x＞0)的图象和△ABC
x
都在第一象限内，AB＝AC＝5，BC∥x轴，且BC＝8，点A的坐标为（6，10）．
k
（1）若反比例函数y= (x＞0)的图象经过点B，求此反比例函数的解析式；
x
（2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点恰好同时落在反
k
比例函数y= (x＞0)图象上，求m的值．
x
【分析】（1）根据已知求出B与C点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后A与C坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，点A（6，10）．
1
∴BD=CD= BC=4，∠ADB＝90°，
2
∴AD＝3，
∵BC∥x，
∴AD⊥x
∴D（6，7），B（2，7），C（10，7），
k k
若反比例函数y= (x＞0)的图象经过点B，则7= ，解得，k＝14，
x 2
14
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）∵点A（6，10）．C（10，7），
将△ABC向下平移m个单位长度，
∴A（6，10﹣m），C（10，7﹣m），
∵A，C两点同时落在反比例函数图象上，
∴k＝6（10﹣m）＝10（7﹣m），
5
∴m= ．
2
【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质及反比例函
数的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，以AD为直径作 O
交BD的延长线于点E，若CE是 O的切线． ⊙
（1）求证：CE＝BC； ⊙1
（2）若CD＝4，tan∠BEC= ，求 O半径的长．
2
⊙
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EC，得到∠OED+∠BEC＝90°，根据
OE＝OD，得到∠OED＝∠ODE，证明∠BEC＝∠CBE，根据等腰三角形的判定定理证明
结论；
（2）根据正切的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CE是 O的切线，
∴OE⊥E⊙C，
∴∠OED+∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDB+∠CBE＝90°，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠ODE＝∠CDB，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC；
（2）解：设 O的半径为r，
⊙ 1
∵∠BEC＝∠CBE，tan∠BEC= ，
2
1
∴tan∠CBD= ，
2
CD 1
∴ = ，
BC 2
∵CD＝4，
∴BC＝8，
∴EC＝8，
在Rt△OEC中，OC2＝OE2+EC2，即（r+4）2＝r2+82，
解得：r＝6，即 O的半径为6．
⊙【点评】本题考查的是切线的性质、正切的定义、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切
点的半径是解题的关键．
22．（10分）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超
市规定每盒售价不得少于25元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每天
可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于 38元，如果超市想
要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒25元时，每天可以卖出250盒，每盒售价每提高1
元，每天要少卖出10盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数
关系式；
（2）根据利润＝1盒元宵所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解
答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种元宵的每盒售价不得高于38
元，且每天销售汤圆的利润不低于2000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的
销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；
（2）每天销售的利润P＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x＝35时，P取得最大值，最大值为2250，
答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元；
（3）根据题意得，﹣10（x﹣35）2+2250＝2000，
解得：x＝30或x＝40，∴当30≤x≤40时，每天的销售利润不低于2000元，
又∵x≤38，
∴30≤x≤38，
在y＝﹣10x+500中，y随x的增大而减小，
∴当x＝38时，y最小值 ＝﹣10×38+500＝120，
即超市每天至少销售元宵120盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒
元宵所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
23．（11分）综合与买践
问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，
AD∥BC，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AD⊥CD，AG＝
CF，BC＝CD，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
独立思考：（1）请你解答老师提出的问题．
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E
是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE交CE的延长线于点H，GD⊥DF交HA的延
长线于点G，请判断线段HF，AH，CF之间的数量关系并说明理由．
问题解决：（3）智慧小组思考后又发现新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边
AB上一点，AH⊥CE交CE的延长线于点H，在CH上截取线段HM＝AH，连接AM，
BH，若CM＝2cm，求出线段BH的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【分析】（1）证明△ADG≌△CDF（AAS），得出AD＝CD．证出四边形ABCD是平行
四边形．由正方形的判定可得出结论；
（2）证明△ADG≌△CDF（AAS），得出AG＝CF，DG＝DF，证明矩形HFDG为正方
形，得出HG＝HF，则可得出结论；BH AH √2
（3）连接AC，证明△AHB∽△AMC，由相似三角形的性质得出 = = ，则可
CM AM 2
得出答案．
【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形．
理由：∵AD⊥CD，GD⊥DF，
∴∠FDG＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF．
∵AG⊥DG，DF⊥CE，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵AG＝CF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD．
∵BC＝CD．
∴BC＝AD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF，
∴∠DFH＝∠FHG＝∠FDG＝90°，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°．
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG为正方形，
∴HG＝HF，
∵GH＝AH+AG＝AH+CF，
∴FH＝AH+CF；（3）连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM为等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC．
AH AB √2
∴ = = ，
AM AC 2
∴△AHB∽△AMC，
BH AH √2
∴ = = ．
CM AM 2
∵CM＝2cm．
∴BH=√2cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，交y
轴于点C，
P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
PD 1
（2）如图1，连接AP，交线段BC于点D，若 = ，求m的值；
DA 5
（3）如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H，与直线AP，BP分别交于E、F两点．
试问EH+FH是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点P作PM∥x轴，交BC于点M，利用待定系数法求得直线BC的解析式，设P
2 2 1 1 2 2
（m，− m2+ m+4），进而得到M（ m2− m，− m2+ m+4），利用P，M的坐
3 3 2 2 3 3
标表示出线段PM，再利用相似三角形的判定与性质列出关于m的方程，解方程即可得出
结论；
2 2
（3）利用配方法求得抛物线的对称轴，设P（m，− m2+ m+4），利用待定系数法求
3 3
1
得直线PA，PB的解析式，分别令x= ，求得y值，则线段EH，FH可得，将两条线段相
2
加即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，
{4a−2b+4=0
∴ ，
9a+3b+4=0
2
{a=−
3
解得： ，
2
b=
3
2 2
∴抛物线的表达式为y=− x2+ x+4；
3 3
（2）过点P作PM∥x轴，交BC于点M，如图，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
{ n=4
∴ ，
3k+n=0
{ 4
k=−
解得： 3，
n=4
4
∴直线BC的解析式为y=− x+4．
3
2 2
∵P（m，− m2+ m+4），
3 3
1 1 2 2
∴M（ m2− m，− m2+ m+4），
2 2 3 3
1 1 3
∴PM＝m﹣（ m^2m）=− m2+ m．
2 2 2
∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴AB＝5．
∵PM∥AB，
∴△PMD∽△ABD，
PM PD 1
∴ = = ，
AB AD 51 3
− m2+ m
∴ 2 2 1，
=
5 5
1 3
∴− m2+ m＝1，
2 2
解得：m＝1或2；
25
（3）EH+FH为定值，这个定值为 ．理由：
3
2 2 2 1 25
∵y=− x2+ x+4=− (x− ) 2+ ，
3 3 3 2 6
2 2 1
∴抛物线y=− x2+ x+4的对称轴为直线x= ．
3 3 2
∵P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m，
2 2
∴P（m，− m2+ m+4），
3 3
设直线PA的解析式为y＝cx+d，
{
−2c+d=0
∴ 2 2 ，
mc+d=− m2+ m+4
3 3
2
{c=− (m−3)
3
解得： ，
4
d=− (m−3)
3
2 4
∴直线PA的解析式为y=− （m﹣3）x− （m﹣3），
3 3
1 5
当x= 时，y=− m+5，
2 3
1 5
∴E（ ，− m+5），
2 3
5
∴EH=− m+5．
3
2
同理可得：直线PB的解析式为y=− （m+2）x+2（m+2）．
3
1 5 10
当x= 时，y= m+ ，
2 3 31 5 10
∴F（ ， m+ ），
2 3 3
5 10
∴FH= m+ ，
3 3
5 5 10 25
∴EH+FH=− m+5+ m+ = ．
3 3 3 3
25
∴EH+FH为定值，这个定值为 ．
3
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函
数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，平行线是
性质，相似三角形是判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
